2021届高三数学总复习第一轮——解三角形

2021届高三数学总复习第一轮——解三角形考纲

思维导图

知识梳理

1. 正余弦定理

（1）正弦定理

2(R )

sin sin sin a b c

ABC R ABC A B C ===在中，为外接圆半径△△ 推论：

2sin ,2sin ,2sin ;

sin ,sinB ,sin ;

222::sin :sin :sin ;sin sin ,sin sin ,sin sin ;2sin sin sin a R A b R B c R C a b c

A C R R R

a b c A B C a B b A b C c B a C c A a b c

R

A B C

==========++=++

适用范围：1. 已知两角和任一边，解三角形。 2. 已知两边和其中一边的对角，解三角形。

（2）余弦定理

222222

222

cos 2cos 2cosC 2b c a A bc a c b B ac a b c ab

+-=

+-=

+-=

推论：

2222222222cos A,2cosB,2cosC,

a b c bc b a c ac c a b ab =+-=+-=+-

适用范围：1.已知三边，解三角形；

2.已知两边和其中一边的对角，解三角形。

2 .三角形面积公式

,,,1

(h BC )2111

sin sinB sinA

222

ABC a b c ah ab C ac bc ==设的三边为所对的三个角分别为A,B,C,其面积为S.

(1)　S=为边上的高；

（2） S=△

3.解三角形常用的几个结论 (1) 三角形的内角和定理A+B+C=π.

由此可得到sinA=sin(B+C), cosA= －cos (B ＋C) , tanA=－tan(B ＋C);

sin cos

22cos sin

22

A B C A B C +=+=

(2) 内角A,B,C 成等差数列 ⇔B= 60，A+C = 120.

(3) 三角形中，大角对大边；较大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大。

4. 判断解的个数的方法

例题

考点1 ：正弦定理考查

例1．（2019北京模拟）在△ABC中，a＝1，A＝30°，B＝45°，那么b的值为（）A．1 B．C．D．2

例2. (2018西城一模理) 在△ABC sin sin2

C c A

⋅=⋅．

（Ⅰ）求A

∠的大小；

（Ⅱ）若a=b=△ABC的面积．

例3.（2018西城二模）在△ABC中，a＝3，b＝2，，则sin A＝

9

10

．

例4.在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝1．

考点2：正余弦定理与面积公式等综合

例5.（2018北京） 在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝﹣． （Ⅰ）求∠A ；

（Ⅱ）求AC 边上的高．

例6. （2019石景山一模15）

2019在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，b =3c=，1

cos 3

B = ． （Ⅰ）求sin

C 的值； （Ⅱ）求ABC △的面积．

考点3：综合运用

例7（2019朝阳区一模）在△ABC中，a＝，∠A＝120°，△ABC的面积等于，且b＜c．（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求cos2B的值．

【练1】（2019东城期末）在△ABC 中，a ＝1，c ＝2，∠A ＝30°，则∠C 等于（ ）

A ．45°

B ．60°

C ．90°

D ．120°

【练2】（2019东城期末）在△ABC 中，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 为（ ）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰或直角三角形

D ．等腰直角三角形

【练3】（2019石景山期末理） 在ABC △中，7,3,60a c A ==∠=︒，则

ABC △的面积为（）

C.

D.

【练4】（2019西城期末） 在△ABC 中，a ＝2，，sin A +cos A ＝0，则角B 的大小为__________．

【练5】（2019海淀期末） 在ABC △

中，b =，且cos cos A B =2，则cos A = __________

【练6】（2019西城二模理）在ABC ∆

中，若,a b ==，则三个内角中最大角的余弦值为 __________ 【练7】 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2

，∠B ＝2∠A ．

（Ⅰ）求cosA 的值； （Ⅱ）求c 的值．

【练1】（2018石景山期末）在△ABC 中，a ＝7，c ＝3，∠A ＝60°，则△ABC 的面积为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【练2】（2019丰台一模）若ABC △的面积为23，且3

A π

=

，则AB AC = __________ 【练3】（2017朝阳一模）△ABC 中，，BC ＝3，

，则∠C ＝__________．

【练4】(2019通州期末理)

如图，在△ABC 中，4

A π

∠=，4AB =，17BC =，点D 在AC 边上，且1cos 3

ADB ∠=-

． （Ⅰ）求BD 的长； （Ⅱ）求△BCD 的面积．

【练5】 (2019海淀一模)在△ABC 中，2sin cos sin .c A B a C =

（Ⅰ）求B ∠的大小；

2cos ABC a A (Ⅱ)若的面积为△，求的值.