证明方法

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2 2 2
有公因数2,这与 p,q互质矛盾.故假设不成立, 即 2不是有理数。
2 2

证明:c c 2 ab a c c 2 ab c 2 ab a c c 2 ab a c c 2 ab a c c 2 ab
2
a 2 2ac c 2 c 2 ab a 2 a 2c b a 2c b a b 2c, 即:c a b 2 综上知:原不等式c c 2 ab a c c 2 ab成立.
所以前后矛盾。 假设不成立,原命题成立。
变式: 已知 0 a 1, 0 b 1, 0 c 1 1 求证:(1 - a)b, - b)c, - c)a中至少有一个不大于 . (1 (1 4
1 1 1 假设 1 a b , 1 b c , 1 c a 4 4 4
假设不成立,原命题成立。
例6设a3+b3=2,求证a+b≤2 证明:假设a+b>2,则有a>2-b,从而 a3>8-12b+6b2-b3, a3+b3>6b2-12b+8=6(b-1)2+2. 因为6(b-1)2+2≥2,所以a3+b3>2,这与题 设条件a3+b3=2矛盾,
所以,原不等式a+b≤2成立。
Q P1
P1 P2
P2 P3

得到一个明显 成立的结论
特点:执果索因.
分析法证明的基本步骤: 欲证 成立, 只需证 只需证即证 因为上式成立, 所以结论成立。
例3、 已知实数a, b, c R , 2c a b. 求证:c c ab a c c ab
例7.平面上有四个点,没有三点共线,证 明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐 角三角形。
证明:假设以每三点为顶点的四个三角形 都是锐角三角形,记这四个点为A,B,C, D, 考虑△ABC,点D在△ABC之内或之外 两种情况。
(1)如果点D在△ABC之内,根 据假设,围绕点D的三个角都是 锐角,其和小于270°,这与一 B 个周角等于360°矛盾;
1 1 a a 又因0 a 1 1 a a≤ 2 1 4 1 同理: b 1 b ≤ , 0 c 1 c ≤ 0 4 4
2
1 则 1 a b 1 b c 1 c a 64
1 则 1 a a 1 b b 1 c c≤ 64
P Q1
Q1 Q2
Q 2 Q3

Qn Q
特点:“由因导果”
例2、求证:3 7 2 5.
2、分析法 一般地,从要证明的结论出发,追 溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直 到使结论成立的条件和已知条件或已知 事实吻合为止,这种证明的方法叫做 分析法.(逆推证法) 用框图表示分析法的思考过程、特点.
A D
A
C
D (2)如果点D在△ABC之外,根 据假设四边形ABCD的四个内角 分别是某锐角三角形的内角, B C 即∠A,∠B,∠C,∠D都小于90°,这和 四边形内角和等于360°矛盾, 综上所述,原题的结论正确。
例8.已知四面体S-ABC中,SA⊥底面ABC, △ABC是锐角三角形,H是点A在面SBC上的射影. 求证:H不可能是△SBC的垂心. 证明:假设H是△SBC的垂心, S 连接BH交SC于D D 又H是点A在面SBC上的射影, H C 由三垂线定理知SC⊥AB A 又SA⊥底面ABC,所以 B SA⊥AB,所以AB⊥平面SAC, 所以AB⊥AC,与△ABC是锐角 三角形矛盾。所以假设不成 立,原命题成立。
例9、 求证:2不是有理数.
p 证明:假定 2是有理数,可设 2= , q p 其中p, q为互质正整数,将 2= 两边平方, q 变形后得: q 2 p 2 , 显然 p 2是偶数,因此 2 p也是偶数.可令 p 2l , l是正整数,代入得 q 2l , 则q 是偶数,因此 q也是偶数.这样 p, q
反设--假设命题的结论不成立, 即假设原结论的反面成立. 归谬--从假设和已知条件出发, 经过一系列正确的逻辑推理 (演绎推理),得出矛盾结果. 存真--由矛盾结果,断定假设不成立, 从而肯定原命题的结论成立.
注意:所谓矛盾主要是指:
(1)与假设矛盾或自相矛盾; (2)与数学公理、定理、公式、定义 或已被证明了的结论矛盾; (3)与公认的简单事实矛盾
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+a2
≥2ac,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
来自百度文库
练习:
1、已知a、b、c为不全等的正数, b c-a c a b a b c 求证: 3 a b c
一般什么时候,适合用反证法?
(1)结论本身是以否定形式出现的。
如:证明“不可能……”,“没有……”,“不存 在……”等等。 (2)有关结论是以“至多……”、“至少……”的形式 出 现的命题。
(3)关于唯一性、存在性的问题。 (4)结论的反面比原结论更具体,更简单容易的命题。
反证法的证明过程 否定结论——推出矛盾——肯定结论, 即分三个步骤:反设—归谬—存真
例4、 n 2, 求证 : log n (n 1) log n1 n 已知
3.反证法
一般地,由证明p q转向证明: q r t , t与假设矛盾,或与 某个真命题矛盾。从而判定q为假,推出 q为真的方法,叫反证法。
反证法的思维方法:正难则反
把这种不是直接证明的方法称为间接证明 注:反证法是最常见的间接证法,
1 2 3 2、求证: 2 log5 19 log3 19 log 2 19
1、综合法
从已知条件出发,以已知定义、公理、定理等 为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为 止,这种证明方法叫做综合法(顺推证法) 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
应用举例
例5:已知a,b,c为正数,求证: 1 1 1 a + ,b + ,c + 中至少有一个不小于2. b c a 1 1 1 假设:a 2, b 2, c 2 证明: b c a 1 1 1 那么:a b c 6 b c a
1 1 1 又 a ≥2, b ≥2, c ≥2, a b c 1 1 1 a b c ≥6 b c a
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