证明方法
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2 2 2
有公因数2，这与 p，q互质矛盾.故假设不成立， 即 2不是有理数。
2 2
证明：c c 2 ab a c c 2 ab c 2 ab a c c 2 ab a c c 2 ab a c c 2 ab
2
a 2 2ac c 2 c 2 ab a 2 a 2c b a 2c b a b 2c, 即：c a b 2 综上知：原不等式c c 2 ab a c c 2 ab成立.
所以前后矛盾。 假设不成立，原命题成立。
变式： 已知 0 a 1, 0 b 1, 0 c 1 1 求证:(1 - a)b, - b)c, - c)a中至少有一个不大于 . (1 (1 4
1 1 1 假设 1 a b , 1 b c , 1 c a 4 4 4
假设不成立，原命题成立。
例6设a3+b3=2，求证a+b≤2 证明：假设a+b>2，则有a>2－b，从而 a3>8－12b+6b2－b3， a3+b3>6b2－12b+8=6(b－1)2+2. 因为6(b－1)2+2≥2，所以a3+b3>2，这与题 设条件a3+b3=2矛盾，
所以，原不等式a+b≤2成立。
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
特点：执果索因.
分析法证明的基本步骤： 欲证 成立， 只需证 只需证即证 因为上式成立， 所以结论成立。
例3、 已知实数a, b, c R , 2c a b. 求证：c c ab a c c ab
例7．平面上有四个点，没有三点共线，证 明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐 角三角形。
证明：假设以每三点为顶点的四个三角形 都是锐角三角形，记这四个点为A，B，C， D， 考虑△ABC，点D在△ABC之内或之外 两种情况。
（1）如果点D在△ABC之内，根 据假设，围绕点D的三个角都是 锐角，其和小于270°，这与一 B 个周角等于360°矛盾；
1 1 a a 又因0 a 1 1 a a≤ 2 1 4 1 同理： b 1 b ≤ , 0 c 1 c ≤ 0 4 4
2
1 则 1 a b 1 b c 1 c a 64
1 则 1 a a 1 b b 1 c c≤ 64
P Q1
Q1 Q2
Q 2 Q3
…
Qn Q
特点:“由因导果”
例2、求证：3 7 2 5.
2、分析法 一般地，从要证明的结论出发，追 溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直 到使结论成立的条件和已知条件或已知 事实吻合为止，这种证明的方法叫做 分析法．(逆推证法) 用框图表示分析法的思考过程、特点.
A D
A
C
D （2）如果点D在△ABC之外，根 据假设四边形ABCD的四个内角 分别是某锐角三角形的内角， B C 即∠A，∠B，∠C，∠D都小于90°，这和 四边形内角和等于360°矛盾， 综上所述，原题的结论正确。
例8.已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影． 求证：H不可能是△SBC的垂心． 证明：假设H是△SBC的垂心， S 连接BH交SC于D D 又H是点A在面SBC上的射影， H C 由三垂线定理知SC⊥AB A 又SA⊥底面ABC，所以 B SA⊥AB,所以AB⊥平面SAC， 所以AB⊥AC,与△ABC是锐角 三角形矛盾。所以假设不成 立，原命题成立。
例9、 求证：2不是有理数.
p 证明：假定 2是有理数，可设 2＝ , q p 其中p, q为互质正整数，将 2＝ 两边平方， q 变形后得： q 2 p 2 , 显然 p 2是偶数，因此 2 p也是偶数.可令 p 2l , l是正整数，代入得 q 2l , 则q 是偶数，因此 q也是偶数.这样 p, q
反设－－假设命题的结论不成立， 即假设原结论的反面成立. 归谬－－从假设和已知条件出发， 经过一系列正确的逻辑推理 （演绎推理），得出矛盾结果. 存真－－由矛盾结果，断定假设不成立， 从而肯定原命题的结论成立.
注意：所谓矛盾主要是指：
（1）与假设矛盾或自相矛盾； （2）与数学公理、定理、公式、定义 或已被证明了的结论矛盾； （3）与公认的简单事实矛盾
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+a2
≥2ac,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
来自百度文库
练习：
1、已知a、b、c为不全等的正数， b c-a c a b a b c 求证： 3 a b c
一般什么时候，适合用反证法？
（1）结论本身是以否定形式出现的。
如：证明“不可能……”，“没有……”，“不存 在……”等等。 （2）有关结论是以“至多……”、“至少……”的形式 出 现的命题。
（3）关于唯一性、存在性的问题。 （4）结论的反面比原结论更具体，更简单容易的命题。
反证法的证明过程 否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即分三个步骤：反设—归谬—存真
例4、 n 2, 求证 : log n (n 1) log n1 n 已知
3.反证法
一般地，由证明p q转向证明： q r t , t与假设矛盾，或与 某个真命题矛盾。从而判定q为假，推出 q为真的方法，叫反证法。
反证法的思维方法：正难则反
把这种不是直接证明的方法称为间接证明 注：反证法是最常见的间接证法，
1 2 3 2、求证： 2 log5 19 log3 19 log 2 19
1、综合法
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等 为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为 止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法) 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
应用举例
例5:已知a,b,c为正数，求证: 1 1 1 a + ,b + ,c + 中至少有一个不小于2. b c a 1 1 1 假设：a 2, b 2, c 2 证明： b c a 1 1 1 那么：a b c 6 b c a
1 1 1 又 a ≥2, b ≥2, c ≥2, a b c 1 1 1 a b c ≥6 b c a
有公因数2，这与 p，q互质矛盾.故假设不成立， 即 2不是有理数。
2 2
证明：c c 2 ab a c c 2 ab c 2 ab a c c 2 ab a c c 2 ab a c c 2 ab
2
a 2 2ac c 2 c 2 ab a 2 a 2c b a 2c b a b 2c, 即：c a b 2 综上知：原不等式c c 2 ab a c c 2 ab成立.
所以前后矛盾。 假设不成立，原命题成立。
变式： 已知 0 a 1, 0 b 1, 0 c 1 1 求证:(1 - a)b, - b)c, - c)a中至少有一个不大于 . (1 (1 4
1 1 1 假设 1 a b , 1 b c , 1 c a 4 4 4
假设不成立，原命题成立。
例6设a3+b3=2，求证a+b≤2 证明：假设a+b>2，则有a>2－b，从而 a3>8－12b+6b2－b3， a3+b3>6b2－12b+8=6(b－1)2+2. 因为6(b－1)2+2≥2，所以a3+b3>2，这与题 设条件a3+b3=2矛盾，
所以，原不等式a+b≤2成立。
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
特点：执果索因.
分析法证明的基本步骤： 欲证 成立， 只需证 只需证即证 因为上式成立， 所以结论成立。
例3、 已知实数a, b, c R , 2c a b. 求证：c c ab a c c ab
例7．平面上有四个点，没有三点共线，证 明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐 角三角形。
证明：假设以每三点为顶点的四个三角形 都是锐角三角形，记这四个点为A，B，C， D， 考虑△ABC，点D在△ABC之内或之外 两种情况。
（1）如果点D在△ABC之内，根 据假设，围绕点D的三个角都是 锐角，其和小于270°，这与一 B 个周角等于360°矛盾；
1 1 a a 又因0 a 1 1 a a≤ 2 1 4 1 同理： b 1 b ≤ , 0 c 1 c ≤ 0 4 4
2
1 则 1 a b 1 b c 1 c a 64
1 则 1 a a 1 b b 1 c c≤ 64
P Q1
Q1 Q2
Q 2 Q3
…
Qn Q
特点:“由因导果”
例2、求证：3 7 2 5.
2、分析法 一般地，从要证明的结论出发，追 溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直 到使结论成立的条件和已知条件或已知 事实吻合为止，这种证明的方法叫做 分析法．(逆推证法) 用框图表示分析法的思考过程、特点.
A D
A
C
D （2）如果点D在△ABC之外，根 据假设四边形ABCD的四个内角 分别是某锐角三角形的内角， B C 即∠A，∠B，∠C，∠D都小于90°，这和 四边形内角和等于360°矛盾， 综上所述，原题的结论正确。
例8.已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影． 求证：H不可能是△SBC的垂心． 证明：假设H是△SBC的垂心， S 连接BH交SC于D D 又H是点A在面SBC上的射影， H C 由三垂线定理知SC⊥AB A 又SA⊥底面ABC，所以 B SA⊥AB,所以AB⊥平面SAC， 所以AB⊥AC,与△ABC是锐角 三角形矛盾。所以假设不成 立，原命题成立。
例9、 求证：2不是有理数.
p 证明：假定 2是有理数，可设 2＝ , q p 其中p, q为互质正整数，将 2＝ 两边平方， q 变形后得： q 2 p 2 , 显然 p 2是偶数，因此 2 p也是偶数.可令 p 2l , l是正整数，代入得 q 2l , 则q 是偶数，因此 q也是偶数.这样 p, q
反设－－假设命题的结论不成立， 即假设原结论的反面成立. 归谬－－从假设和已知条件出发， 经过一系列正确的逻辑推理 （演绎推理），得出矛盾结果. 存真－－由矛盾结果，断定假设不成立， 从而肯定原命题的结论成立.
注意：所谓矛盾主要是指：
（1）与假设矛盾或自相矛盾； （2）与数学公理、定理、公式、定义 或已被证明了的结论矛盾； （3）与公认的简单事实矛盾
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+a2
≥2ac,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
来自百度文库
练习：
1、已知a、b、c为不全等的正数， b c-a c a b a b c 求证： 3 a b c
一般什么时候，适合用反证法？
（1）结论本身是以否定形式出现的。
如：证明“不可能……”，“没有……”，“不存 在……”等等。 （2）有关结论是以“至多……”、“至少……”的形式 出 现的命题。
（3）关于唯一性、存在性的问题。 （4）结论的反面比原结论更具体，更简单容易的命题。
反证法的证明过程 否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即分三个步骤：反设—归谬—存真
例4、 n 2, 求证 : log n (n 1) log n1 n 已知
3.反证法
一般地，由证明p q转向证明： q r t , t与假设矛盾，或与 某个真命题矛盾。从而判定q为假，推出 q为真的方法，叫反证法。
反证法的思维方法：正难则反
把这种不是直接证明的方法称为间接证明 注：反证法是最常见的间接证法，
1 2 3 2、求证： 2 log5 19 log3 19 log 2 19
1、综合法
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等 为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为 止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法) 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
应用举例
例5:已知a,b,c为正数，求证: 1 1 1 a + ,b + ,c + 中至少有一个不小于2. b c a 1 1 1 假设：a 2, b 2, c 2 证明： b c a 1 1 1 那么：a b c 6 b c a
1 1 1 又 a ≥2, b ≥2, c ≥2, a b c 1 1 1 a b c ≥6 b c a