常微分方程与差分方程

7、会用微分方程求解简单的经济应用问题.
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三、真题选讲
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例1：已知
y
x ln x
是微分方程
y
y x
(
x) y
的解，则
(
x y
)
的表达式为（
）.
y2
(A) x 2
y2
(B) x 2
(C)
x2 y2
x2
(D) y 2
例2：设函数 f (x) 在 [0,)上可导，f (0)0，且其反函
习2：已知某商品的需求量 x对价格 p的弹性 3p3 ,
而市场对该商品的最大需求量为1（万件）.求需求函数.
习3：设函数 f (x) 具有连续的一阶导数，且满足
f(x) x(x2t2)f(t)d tx2，求 f (x) 的表达式. 0
习4：设函数 yy(x) 满足条件
积分
y(x)dx .
0
yy(0)4y2,y4(y0)0,4,求广义
y(x)
（A）不存在 （B）等于1 （C）等于2 （D）等于3
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例11：设函数 f (u)具有二阶连续导数，而 zf(exsiny)
满足方程
2z x2
2z y2
e2x z
，求
f (u).
例12（1）验证函数 y(x) 1 x3x6x9 x3 n ( x ) 3 ! 6 ! 9 ! (3 n )!
数为 g(x) .若 f(x)g(t)dtx2ex. 求 f (x). 0
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例3:设位于第一象限的曲线 y f(x)过点 ( 2 , 1 ) , 其
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上任一点 P(x, y) 处的法线与 y轴的交点为 Q ，且线段
PQ 被 x轴平分.
（1）求曲线 y f(x)的方程；
（2） 已知曲线 ysinx在 [0, ]上的弧长为 l，试用 l
2、齐次微分方程，一阶线性微分方程.
3、线性微分方程解的性质及解的结构定理. 4、二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线
性微分方程. 5、差分与差分方程的概念，差分方程的通解与特解.
6、一阶常系数线性差分方程.
7、微分方程的简单应用.
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二、考试要求
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直线 x1,xt(t1)与 x轴所围成的平面图形绕 x轴
旋转一周所成的旋转体体积为 V(t)[t2f(t)f(1)]，
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试求 y f(x) 所满足的微分方程，并求该微分方程满足
条件
y
x2
2 9
的解.
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例6：设 L是一条平面曲线，其上任意一点 P(x,y)(x0) 到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 y轴上的截 距，且 L经过点 ( 1 ,0 ) ，
段连续曲线，M(x, y)为该曲线上任意一点，点 C为 M在
x轴上的投影，O为坐标原点.若梯形 OCMA的面积与
曲边三角形 CBM的面积之和为
x3 6
1 3
求 f (x) 的表达式.
满足微分方程 yyyex；
（2）利用（1）的结果求幂级数
x 3n
的和函数 .
n 0 (3 n )!
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11百度文库
例13：差分方程 2yt11y0t5t0的通解为————. 例14：已知某商品的需求量 D和供给量 S都是价格 p的 函数：DD(p)pa2, SS(p)b.p其中 a0和 b0为常 数；价格 p是时间 t的函数且满足方程
2
（1）试求曲线 L的方程;
（2）求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L
以及两坐标轴所围图形的面积最小.
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例7：设 f (u,v) 具有连续偏导数，且满足
fu(u,v)fv(u,v)u.v
求 y(x)e2xf(x,x)所满足的一阶微分方程，并求其通解.
例8：设函数 f (t) 在 [0,)上连续，且满足方程
dpk[D(p)S(p)]（ k为正的常数）
dt
假设当 t 0时价格为1，试求
（1）需求量等于供给量时的均衡价格 p e；
（2）价格函数 p(t) ；（3）极限 lim p(t). t
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四、课外习题
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习1：差分方程 yt1yt t2t的通解为————.
表示曲线 y f(x)的弧长.
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例4：在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L过点 M(1,0)，其
上任意点 P(x,y)(x0)处的切线斜率与直线 OP的斜率之
差等于 a（x常数 a0）.
（1）求 L的方程;
（2）当
L与直线
yax所围成平面图形的面积为
8 3
时，
确定 a的值.
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例5：设函数 f (x) 在 [1,)上连续.若由曲线 y f(x) ，
求f (t).
f(t)e4t2
f(1 x2y2)dx.dy
2 x2y24t2
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例9：设 yex(C 1sixn C 2co x（)sC1,C2 是任意常数）为某 二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为
——————. 例10：设 yy(x) 是二阶常系数微分方程 ypyqye3x
满足初始条件 y(0)y(0)0的特解，则当 x0时，函数 ln( 1 x 2 ) 的极限（ ）.
1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解 等概念.
2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶 线性微分方程的求解方法.
3、会解二阶常系数齐次线性微分方程.
4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解 某些简单的非齐次线性微分方程.
5、了解差分与差分方程的概念及其通解与特解等概念.
6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.
第六章 常微分方程与差分方程
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一、考试内容
二、考试要求
三、真题选讲
四、课外习题
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一、考试内容
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1、常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程.
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习5：设 F(x)f(x)g(x)，其中函数 f(x),g(x)在 (,)内 满足以下条件：
f(x ) g (x )g ,(x ) f(x )，且 f(0)0,f(x)g(x)2ex. （1）求F (x) 所满足的一阶微分方程； （2）求出F (x)的表达式 .
习6：设 y f(x)是第一象限内连接点 A(0,1),B(1,0)的一