【16用过】正、余弦定理的应用举例

且CD＝ 3 ，试求A、B两点间
的距离．
A
5
B
75°45°
C
45°
30°
D
3
形成规律
测量两个不可到达点之间的距离方案： 选定两个可到达点C、D； →测量C、D间的距离及∠ACB、∠ACD、 ∠BDC、∠ADB的大小； →利用正弦定理求AC和BC； →利用余弦定理求AB.
形成结论
在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
A C
2 如图，有大小两座塔AB和CD，小
塔的高为h，在小塔的底部A和顶部B测得
另一塔顶D的仰角分别为α、β，求塔CD
的高度.
D
CD ADsin h cos sin sin( ) B
A
Leabharlann Baidu
C
问题探究
3 ．飞机的海拔飞行高度是可知的，若 飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内， 飞机在水平飞行中测量山顶的高度，关 键是求出哪个数据？
飞机与山顶的海拔差
A
如图，设飞机在飞临山顶前，在B、C两 处测得山顶A的俯角分别是α、β，B、C 两点的飞行距离为a，飞机的海拔飞行高 度是H，试求山顶的海拔高度h ．
B
CD
A
h = H - A D = H - A C sin b = H - a sin a sin b sin(b - a )
作业：学海第4课时
sin( )
问题探究
5．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方
向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°方向上，行驶5km后到达B处， 测得此山顶在西偏北25°方向上，仰角为8° 求此山的高度CD．
D
1047m
C
西
B
A东
课堂小结
1.在测量上，根据测量需要适当确定 的线段叫做基线.
课堂小结
1.2 应用举例 第一课时
复习巩固
1.正弦定理和余弦定理的基本公式 是什么？
a = b = c = 2R sin A sin B sinC
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
复习巩固
2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪 些类型的三角形？
问题探究
3 ．设AB是一个底部不可到达的竖直 建筑物，A为建筑物的最高点，如何测 量和计算建筑物AB的高度．
A
D
C
E
G
H
B
问题探究
设在点C、D处测得A的仰角分别为α、
β，CD=a，测角仪器的高度为h，试求
建筑物高度AB．
A
D
C
E
G
H
B
AB AC sin h
a sin sin h sin( )
2.距离测量问题包括一个不可到达点 和两个不可到达点两种，设计测量 方案的基本原则是：能够根据测量 所得的数据计算所求两点间的距离， 其中测量数据与基线的选取有关， 计算时需要利用正、余弦定理.
课堂小结
3.解决物体高度测量问题时，一般先 从一个或两个可到达点，测量出物体 顶部或底部的仰角、俯角或方位角， 再解三角形求相关数据.具体测量哪个 类型的角，应根据实际情况而定.通常 在地面测仰角，在空中测俯角，在行 进中测方位角.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
问题探究
1.如图，设A、B两点在河的两岸，测 量者在点A的同侧，如何求出A、B两点 的距离？
B
B
A
A
C
C
问题探究
若A为可到达点，B为不可到达点， 设计测量方案计算A、B两点的距离:
正弦定理：一边两角或两边与对角； 余弦定理：两边与一角或三边.
创设情境
“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？” 在 古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两 者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？ 我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多 可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、 相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同 的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某 些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能 用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有 局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不 能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理 在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知， 画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把 已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地 解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际 意义，从而得出实际问题的解
B
A C
选定一个可到达点C； →测量AC的距离及∠BAC，∠ACB的大小. →利用正弦定理求AB的距离.
实际演练
在点A所在河岸边选定一点C，
若测出A、C的距离是55m，
∠BAC=51°，∠ACB=75°,求
AB的长．
B
B
A
A
C
C
问题解决
若测得∠BCD＝∠ADB＝45°，
∠ACB＝75°，∠ADC＝30°，
4.计算物体的高度时，一般先根据测量 数据，利用正弦定理或余弦定理计算出 物体顶部或底部到一个可到达点的距离， 再解直角三角形求高度.
补充练习
1 如图，在高出地面30m的小山顶上 建有一座电视塔AB，在地面上取一点C， 测得点A的仰角的正切值为0.5，且∠ACB ＝45°，求该电视塔的高度.
B
150m
问题探求
4 ．如图，在山顶上有一座铁塔BC， 塔顶和塔底都可到达，A为地面上一点， 通过测量哪些数据，可以计算出山顶 的高度？
B
C
A
问题解决
设在点A处测得点B、C的仰角分别为 α、β，铁塔的高BC=a，测角仪的高 度忽略不计，试求山顶高度CD ．
B
C
D
A
CD AC sin a cos sin
例题讲解
例5 设锐角△ABC中， 已知 a = 2b sin A .
(1)求角B的大小； （2）求 cosA + sinC 的取值范围.
作业
练1 在△ABC中，内角A,B,C对边的
边长分别是a，b，c.已知c = 2,C = p 3
（1）若△ABC的面积等于 3，求a，b.
（2）sinC+sin（B-A)=2sin2A,求△ABC的面 积.