《经济数学基础--微积分》复习提纲
经济数学基础(微积分)讲义全
经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数，c y = （c 是常数）例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。
2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。
4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是x y 10log =的简写。
5，三角函数x y sin =，x y cos =，特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。
● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。
● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成632-+=x x y 。
知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。
数学符号记为：}{n a例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 21变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001，1000000001，……，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化，∞→n01→n分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。
（完整版）微积分复习资料
（完整版）微积分复习资料基本知识复习⼀、不定积分1．不定积分概念，第⼀换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的⼀个原函数。
如果()F x 是函数()f x 的⼀个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+?（2）不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=?2。
()()'F x dx F x C =+? 3。
()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+（3）基本不定积分公式表⼀()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dx xdx x C x x µµµµ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+（3）第⼀换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ?=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du =??=?2．第⼆换元积分法，分部积分法（1）第⼆换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.⼜设()()'f t t ψψ具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=??=其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2）分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-??这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-??（3）基本积分公式表⼆(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三⾓函数有理式的积分，某些简单⽆理式的积分⼀、有理函数的积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，⼜称为有理分式.我们总假定分⼦多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分⼦多项式()P x 的次数⼩于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利⽤多项式的除法,总可以将⼀个假分式化成⼀个多项式与⼀个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分⽅法.对于真分式()()n m P x Q x ,⾸先将()m Q x 在实数范围内进⾏因式分解,分解的结果不外乎两种类型:⼀种是()kx a -,另外⼀种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若⼲个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.⼆、可化为有理函数的积分举例例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++?解由三⾓函数知道,sin x 与cos x 都可以⽤tan2x的有理式表⽰,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ ⽽2arctan ,x u =从⽽2.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222 xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++??+ ?++??=??-+ ?++??=++=+++ ?=+++例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从⽽所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =?=++?=-=-++??=+ 例6求u =,于是322,3,x u dx u du =-=从⽽所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+?=-+ +=-+++=+例7 求解设6x t =,于是56,dx t dt =从⽽所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++?=-=-+ +=+例8求解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从⽽所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-?=----?=-+=--+ -+=-++--+=-++⼆、定积分（1）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（1）定积分的概念1。
《经济数学基础》期末复习资料.doc
《经济数学基础》期末复习资料.doc经济数学基础期末复习指导—>复习要求和重点第1章函数1.理解函数概念，了解函数的两要素——定义域和对应关系，会判断两函数是否相同。
2.掌握求函数定义域的方法，会求函数值，会确定函数的值域。
3.掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点。
4.了解复合函数概念，会对复合函数进行分解，知道初等函数的概念。
5.了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。
6.理解常数函数、眼函数、指数函数、对数函数和三角函数(正弦、余弦、正切和余切)。
7.了解需求、供给、成木、平均成本、收入和利润等经济分析中常见的函数。
本章重点：函数概念，函数的奇偶性，几类基本初等函数。
第2章一?元函数微分学1.知道极限概念(数列极限、函数极限、左右极限)，知道极限存在的充分必要条件：lim f (x) = A <=> lim /(x) = * 且lim /(x) = AA—>A0V；2.了解无穷小量概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即limxsin— = 0。
3.掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限的一般方?法。
两个重要极限的一般形式是：.. sina(x) ,lim ------- ---- = 1心T O 6Z(X)| —lim (1 + ——)机对=e, lim (l + a(x))°⑴=e(p(x) Q(X)~>04.了解函数在一点连续的概念，知道左连续和右连续的概念。
知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。
5.理解导数定义，会求曲线的切线。
知道可导与连续的关系。
6.熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单隐函数的导数。
7.了解微分概念，即dy = y f dx o会求函数的微分。
8.知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。
本章重点：极限概念，极限、导数和微分的计算。
经济数学基础微积分第一篇第一章--函数
(2)自变量可以取一， 个还 数可 值以取 一个表达式。
例 31： . 给定 fx 函 x2数 x2,试计 f0,f(x2),f1x.
解： f(0)02022
f(x 2 ) (x 2 )2 (x 2 ) 2 x 4 x 2 2
给定 r2, 就有 S4;
给定 r3, 就有 S9;
例 y 如 fx x 2 ： x 1
给定 x1, 就y有 f11;
给定 x1, 就y 有 f1 3 ;
【注y 意 f】 x
二. 求定义域
函数的定义域：是使函数有意义的 自变量x取值的全体。 也就是自变 量x允 许取值的范围。
确定函数定义域的三条基本要求： (1) 分式的分母不能为零。即若 y 1
【公 ln x式 kkln 】 x， lo ： ax g kkloax g
【解】 1 fx lx n 2 2 lx n(x 0 ) g x 2 ln x(x 0 )
表达式不同，定义域不同 所以它们是不同的函数。
2 fx lx n 3 3 lx n ( x 0 )
g x 3 ln x(x 0 )
－3 －2
2
x
【练习1】
求函 f(x数 )lo2g (x1)
1 的定.义 x21
【解】 要使f(x) 有意义，必须有
x 1 0
x
2
1
0
xx11x10
xx
1 1
或
x
1
即： x1
公共部分
写成区间 (1, ： )
【练习2】
求函f(x数 ) 1 3x的定.义 lnx(3)
【解】 要使f(x) 有意义，必须有
高数高频易错点
经济数学――微积分复习提纲第一章函数1、函数的定义域及分段函数的求值。
2、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。
3、常用的经济函数(需求函数、供给函数、总成本函数、总收益函数、总利润函数、库存函数)第二章极限与连续1、无穷小的定义与性质。
1）极限为零的变量称为无穷小量。
注：（1）无穷小量是个变量而不是个很小的数.（2）零是常数中唯一的无穷小量。
2）无穷小的性质：有限个无穷小的代数和是无穷小、有界函数与无穷小的乘积是无穷小、常数与无穷小的乘积是无穷小、有限个无穷小的乘积也是无穷小。
3）函数极限与无穷小的关系：的充要条件是，其中A为常数，。
2、无穷大的定义。
在某一变化过程中，若f(x)的绝对值无限增大,则称函数f(x)为此变化过程中的无穷大量。
注：无穷大是变量,不是一个绝对值很大的数。
3、无穷大与无穷小互为倒数。
4、极限的运算法则。
见教材P48 定理1、2、3、4及推论1、25、两个重要极限。
会用重要极限求函数极限。
6、会用等价无穷小代替求极限7、连续的定义。
见教材P66函数f(x) 在点x0处连续，必须同时满足三个条件：1) 在点x0处有定义；2）存在；3）极限值等于函数值，即。
8、函数在点连续的充分必要条件是：既左连续又右连续。
9、函数在点处连续与该点处极限的关系：函数在点处连续则在该点处必有极限，但函数在点处有极限并不一定在该点连续。
10、如何求连续函数的极限连续函数极限必存在，且极限值等于函数值，即11、对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。
12、如何求连续区间？基本初等函数在其定义域内是连续的；一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
13、间断点的定义。
14、间断点的类型。
（一）第一类间断点1、可去间断点（1）在处无定义，但存在。
《微积分》考试大纲
《微积分》考试大纲一、考试题型1、填空题2、选择题3、计算题4、综合题二、考试参考用书经济数学——《微积分》,吴传生编，高等教育出版社，2006年,第二版。
三、考试内容第一章函数1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系；2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念；4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
第二章极限与连续1、了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念；2、了解极限的性质；3、了解极限的四则运算法则；4、掌握极限存在的两个准则；5、掌握利用两个重要极限求极限的方法；6、理解无穷小量的概念和基本性质；7、掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小求极限；8、了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)；10、会判别函数间断点的类型；11、了解连续函数的性质和初等函数的连续性；12、理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。
第三章导数、微分、边际与弹性1、理解并掌握导数的概念，会用定义求点导数；2、掌握函数可导性与连续性之间的关系；3、了解导数的几何意义；4、会求平面曲线的切线方程和法线方程；5、掌握基本初等函数的导数公式；6、熟练掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；7、会求分段函数的导数；8、会求反函数与隐函数的一阶、二阶导数；9、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；10、了解微分的概念、掌握导数与微分之间的关系11、了解函数一阶微分形式的不变性，熟练地求函数的微分。
第四章中值定理及导数的应用1、理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理，了解费马引理，泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用；2、掌握洛必达法则的使用条件和使用方法，熟练地用洛必达法则求极限；3、掌握函数单调性的判别方法；4、了解函数极值的概念；5、掌握函数取到极值的必要条件和充分条件，会求函数的极值；6、会求函数的最大值和最小值，并会解决实际问题的最值；7、掌握凹凸性的定义，会用导数判断函数图形的凹凸性；8、会求函数图形的拐点和渐近线；9、了解泰勒公式，会写出简单函数的泰勒公式。
经济数学—微积分(函数的知识点及结论)
集合与简易逻辑一、集合：1、知识点归纳①定义：一组对象的全体形成一个集合②特征：确定性、互异性、无序性③表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}韦恩图④分类：有限集、无限集、空集φ⑤数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N *、空集φ⑥关系：属于∈、不属于∉、包含于⊆(或⊂)、真包含于、集合相等＝⑦运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};补运算AC U＝{x|x∉A且x∈U}，U为全集⑧性质：A⊆A；φ⊆A；若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B；A∩C U A＝φ；A∪C U A＝I；C U( C U A)＝A；C U(A⋃B)＝(C U A)∩(C U B)方法：数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决2、注意：①区别∈与、与⊆、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；②A⊆B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ③若集合A中有n)(Nn∈个元素，则集合A的所有不同的子集个数为n2，所有真子集的个数是n2-1, 所有非空真子集的个数是22-n④空集是指不含任何元素的集合}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集条件为BA⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A的情况⑤理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是函数值的取值？还是曲线上的点？可用列举法、数形结合等方法来理解集合中元素的意义海伦·凯勒：“当一个人感觉到有高飞的冲动时，他将再也不会满足于在地上爬。
”二、含绝对值的不等式及一元二次不等式知识点归纳1绝对值不等式①不等式)0(><aax的解集是{}axax<<-;②不等式)0(>>aax的解集是{}axaxx-<>或,③不等式｜ax+b｜<c, c>0的解集为{})0(|><+<-ccbaxcx;④不等式｜ax+b｜>c c>0的解集为{})0(,|>>+-<+ccbaxcbaxx或⑤两边都为非负数（或式）时，可两边平方⑥含有多个绝对值不等式时，可用零点分段法⑦含有两个绝对值的不等式可用几何意义解决。
大一经济数学基础复习知识点
大一经济数学基础复习知识点经济数学是经济学的一门重要辅助学科，它运用数学工具和方法来解决经济学中的问题。
在大一学期，经济数学基础是我们打下坚实经济学基础的重要一课。
下面是大一经济数学基础的复习知识点：1.微积分基础- 函数与极限：函数的定义和性质，极限的概念及计算方法。
- 导数与微分：导数的定义和性质，常用函数的导数和微分法则。
- 积分与不定积分：不定积分的定义和性质，常用函数的积分法则。
2.微分方程- 一阶微分方程：可分离变量、线性、齐次和非齐次一阶微分方程的求解方法。
- 高阶微分方程：常系数线性齐次和非齐次高阶微分方程的求解。
3.矩阵与行列式- 矩阵的基本概念：矩阵的定义，矩阵的运算（加法、数乘、乘法）。
- 行列式：行列式的定义和性质，行列式的计算方法。
4.最优化问题- 函数的极值：极大值和极小值的定义，求解函数极值的条件和方法。
- 线性规划：线性规划问题的基本概念和解法。
5.微分与一元函数的应用- 弹性：边际效应和弹性的概念，计算边际效应和弹性的方法。
- 最优化问题：求解边际收益等于边际成本的最优产量问题。
6.总体与样本统计- 统计量：样本均值、样本方差的概念和计算方法。
- 抽样分布：样本均值、样本方差的抽样分布。
7.相关与回归分析- 相关系数：相关系数的计算与解释，相关系数的性质。
- 简单线性回归：简单线性回归模型的建立与估计。
8.概率论基础- 概率的基本概念：事件、样本空间、概率的定义和性质。
- 随机变量：随机变量的定义，离散型和连续型随机变量的概率分布。
- 期望和方差：随机变量的期望和方差的计算方法。
以上是大一经济数学基础的复习知识点，通过对这些知识点的复习和理解，我们能够更好地应用数学工具和方法解决经济学中的实际问题，为我们的学习打下坚实的基础。
希望同学们能够认真复习，并在复习过程中加强对理论的理解与应用。
祝大家学业顺利！。
《经济数学基础》微积分部分复习Word版
《经济数学基础》微积分部分复习第一篇 微分学 第一章 函数一、本章考核点1、掌握函数奇偶性的判定，掌握总成本、平均成本、收入、利润函数的概念及表达式，掌握五个基本初等函数的概念及表达式。
2、熟练掌握函数定义域、求函数值、复合函数的复合与分解的计算。
二、基本概念基本初等函数、函数的奇偶性、总成本、平均成本、收入、利润函数奇偶性：若f(-x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数 若f(-x)=－f(x)，则函数f(x)为奇函数 若f(x)不满足上述两式，则函数f(x)为非奇非偶函数总成本函数：10C C C += 隐含条件： 0)0(C C =平均成本：q CC =总收入函数：pq R = 隐含条件：0)0(=R总利润函数：C R L -=基本初等函数： 常数：y=C幂函数：αx y =指数函数：xa y =对数函数：x y log = 自然对数：x y ln = 三角函数：正弦函数 y=sinx 余弦函数 y=cosx 正切函数 y=tanx 余切函数 y=cotx 三、计算1、求函数的定义域重点是已知函数的解析式求函数的定义域——四个限制已知函数的解析式求定义域，有以下几个限制：①分式的分母不为零； ②对数的真数大于零；③开偶次方的被开方数非负；④2tan ππ+≠=k x x y 中πk x x y ≠=中cot 其中k=0, ±1,2,3,…… 2、求函数值3、复合函数的分解第二章 极限、导数与微分一、本章考核点1、熟练掌握极限的计算、导数微分的计算。
2、掌握函数间断点的求法，判断分段函数分段点是否有极限、是否连续。
二、计算1、极限——数列的极限、函数的极限方法：利用四则运算性质、利用两个重要极限公式 2、导数和微分方法：利用导数的四则运算法则和导数基本公式； 复合函数的导数；隐函数的导数；高阶导数 3、求函数的间断点——两种类型初等函数：初等函数在其定义域内连续 ——函数无定义的点即为初等函数的间断点； 分段函数：分段函数的间断点存在于分段点中。
微积分上复习提纲
成本函数、需求函数、价格函数、收益函数、利润函数、 边际函数、函数的弹性以及公式、
8. 渐近线（水平、垂直）——怎么求？
友情链接： 水平：令x趋于无穷大（包括正、负）求极限； 垂直：就是寻找函数的无穷间断点
第四章 积分 1.不定积分和原函数的含义，积分与导数微分的运算关系 2.基本积分公式（记清楚） 3.积分的几种计算方法：
当 0 时 因 ， a m 2 为 b x n c x x d x a （ x m p ) n x ( x q ) dx
1 a(x A pxB q)d xa 1(A lnxp B lnxq)c;
p , q为 a x2 b x c0的 两 个 实 根 ; A , B为 待 定 系 数
友情链接：
经济问题中的 应用
对于实际问题： ①先建立函数关系式（确定出定义域）； ②求出其极值； ③如果f(x)在[a,b]上连续,且在(a,b)内可导,且有唯一驻点,则若 为极小值点必为最小值点,若为极大值点必为最大值点；更进 一步,若实际问题中有最大(小)值,且唯一有驻点,则不必判断极 大还是极小,立即可以断定该驻点即为最大(小)值点.
第一类换元法（凑微分），要求：大胆推测，勇敢尝试
常用凑微分公式：
dx 1 d(kx b) (k 0 )； x d x 1 d x 2 ；
k
2
1 dx 2d x
x；
1 d x d ln x ； x
xn1dx 1 dxn n
sinxdxdcoxs； co x d x s d six； n
se2cxdxdtaxn； cs2cxdxdcoxt；
1 1x2
dxdarctax； n
1 1x2
dxdarcsxin；
经济数学基础--微积分第一章
解 u , v 分别是中间变量,故 y u2 tan 2v tan 2x2 .
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节 第 12 页
极 限 的 概 念
极限的概念
• 1.2.1 数列的极限 • 1.2.2 函数的极限
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节
极
限
1 数列的极限
的 概
念
先给出数列的定义:在某一对应规则下,当 n(n N ) 依次取 1, 2, 3, , n, 时,对应的实
函数的自变量 x 是指 x 的绝对值无限增大,它包含以下两种情况: (1) x 取正值,无限增大,记作 x ; (2) x 取负值,它的绝对值无限增大(即 x 无限减小),记作 x .
定义1.2.3 : 如果当 x 无限增大(即 x )时,函数 f (x) 无限趋近于一个确定
的常数 A ,那么就称 f (x) 当 x 时存在极限 A ,称数 A为当 x 时函数 f (x) 的极限,
径.在上述领域中除去领域的中心点 a
称为点 a
的去心
领域,记为
0
U（a,
）,
0
即 U（a,） x 0 x a ， 如右图所示.
第 19 页
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节 极 限 的 概 念
注意:
在定义中,“设函数 f (x) 在点 x0 的某个去心领域内有定义”反映我们关心的 是函数 f (x) 在点 x0 附近的变化趋势,而不是 f (x) 在 x0 这一孤立点的情况.在定义 极限lim f (x) 时, f (x) 有没有极限,与f (x) 在点 x0 是否有定义并无关系.
例1.1.3 求函数 y 4x 1 的反函数. 解 由v 4x 1 ,可解得 x y 14 . 交换 x 和 y 的次序,得 y 14(x 1) ,
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基本知识复习一、 不定积分1． 不定积分概念，第一换元积分法（1） 原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的一个原函数。
如果()F x 是函数()f x 的一个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+⎰（2） 不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=⎰2。
()()'F x dx F x C =+⎰ 3。
()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（3）基本不定积分公式表一()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dxxdx x C x x μμμμ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3） 第一换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ϕ=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du ϕϕϕ=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰2． 第二换元积分法，分部积分法（1） 第二换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.又设()()'f t t ψψ⎡⎤⎣⎦具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2） 分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-⎰⎰这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-⎰⎰（3） 基本积分公式表二(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、有理函数的积分 两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分子多项式()P x 的次数小于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式()()n m P x Q x ,首先将()m Q x 在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型:一种是()kx a -,另外一种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.二、可化为有理函数的积分举例 例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++⎰解 由三角函数知道,sin x 与cos x 都可以用tan2x的有理式表示,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ 而2arctan ,x u =从而22.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=+++⎰⎰⎰例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从而所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =⋅=++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰⎰ 例6求解u =,于是322,3,x u dx u du =-=从而所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰例7 求解 设6x t =,于是56,dx t dt =从而所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰例8求.解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从而所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-⋅=----⎛⎫=-+=--+ ⎪-+⎝⎭=-++--+⎫=-++⎪⎪⎭⎰⎰⎰二、 定积分（1） 定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质 （1） 定积分的概念1。
微积分提纲
第一章 函数1.N----自然数集 Z-----整数集 Q-----有理数集 R-----实数集 交换律： 结合律：分配律： 摩根律： 2.集合的笛卡儿乘积：A ×B={(x, y)| x ∈A, y ∈B} A ×B ×C={(x, y, z)| x ∈A, y ∈B, z ∈C}3.邻域：.}{)(δδδ+<<-=a x a x a U 点a 的去心邻域：.}0{)(δδ<-<=︒a x x a U4.函数的两要素：定义域与对应法则.约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.5.若自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，则称这种函数为单值函数（一对一或多对一），否则称为多值函数（一对多）．6.几个特殊的函数举例 符号函数：狄利克雷函数：取整函数：y=[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数取最值函数： 7.函数的特性：有界性；单调性；奇偶性；周期性.8.反函数：直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称.9.复合函数：注意-----不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;判断两个函数能否构成复合函数的关键，就是D(f)∩Z(g)≠Φ.10.基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函. 11.初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数.第二章 极限与连续1. 数列极限的性质：有界性-----定理1 收敛的数列必定有界. 推论 无界数列必定发散. 唯一性-----定理2 每个收敛的数列只有一个极限.收敛数列的保号性-----定理3 ，那么存在或而且)0(0,lim <>=∞→a a a x n n ).0(0,0<>>>n n x x N n N 或时，有使得当推论 ,00}{）（或从某项起有若数列≤≥n n n x x x ).0(0,lim ≤≥=∞→a a a x n n 或则且子数列的收敛性------定理4 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．2.函数的极限：两种情形:.10情形+∞→x A x f x =+∞→)(lim .)(,,0,0εε<->>∃>∀A x f X x X 恒有时使当:.20情形-∞→x A x f x =-∞→)(lim .)(,,0,0εε<--<>∃>∀A x f X x X 恒有时使当.,,R Q Q Z Z N ⊂⊂⊂}|{,B x A x x B A B A B A B A B A ∈∈=或即的并，记为与的集合，称为的所有元素构成和，由和设有集合 }|{,B x A x x B A B A B A B A B A ∈∈=且即的交，记为与成的集合，称为的所有公共元素构和，由和设有集合 }|{,B x A x x B A B A B A B A B A ∉∈=--且即的差，记为与构成的集合，称为的所有元素而不属于，属于和设有集合}|{,A ''A x U x x A A A U ∉∈=且即的补集，记为称为的元素构成的集合，中所有不属于全集AB B A AB B A ==)()()()(C B A C B A C B A C B A ==)()()()()()(C B C A C B A C B C A C B A =='''''')()(B A B A BA B A ==⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==010001sgn x x x x y 当当当⎩⎨⎧==是无理数时当是有理数时当x x x D y 01)()}(),(max{x g x f y =)}(),(min{x g x f y =3.函数极限的性质：有界性；唯一性；局部保号性；子列收敛性.4.推论1 ,),(,0,)(lim 00时当且若δδx U x A x f x x ∈>∃=→).0(0),0)((0)(≤≥≤≥A A x f x f 或则或推论2 的某一则存在着若0),0()(lim 0x A A x f x x ≠=→有时当去心邻域,)(),(0000x U x x U ∈|2||)(|Ax f > 5.函数极限的统一定义：过程 ∞→n ∞→x +∞→x-∞→x时刻 N从此时刻以后N n >N x > N x >N x -<)(x fε<-A x f )(过程 0x x →+→0x x -→0x x 时刻 δ从此时刻以后δ<-<00x x δ<-<00x x00<-<-x x δ)(x f ε<-A x f )(6.无穷大与无穷小注意：无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 零是可以作为无穷小的唯一的数；无穷大是变量,不能与很大的数混淆;切勿将limy= ∞认为极限存在；无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 7.无穷小与函数极限的关系:定理1------变量y 以A 为极限的充分必要条件是：变量y 可以表示为A 与一个无穷小的和. 定理2------在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理3------有界变量与无穷小的乘积是无穷小.定理4------在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 推论1------在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2------常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3------有限个无穷小的乘积也是无穷小 8.极限运算法则：则设,)(lim ,)(lim B x g A x f ==;)]()(lim[)1(B A x g x f ±=±;)]()(lim[)2(B A x g x f ⋅=⋅ 0,)()(lim)3(≠=B BAx g x f 其中 推论1------则为常数而存在如果,,)(lim c x f ).(lim )](lim[x f c x cf = 推论2------则是正整数而存在如果,,)(lim n x f .)]([lim )](lim[n n x f x f =结论1------为非负整数时有和当n m b a ,0,000≠≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→,,,,0,,lim110110m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当 9.极限求法：①多项式与分式函数代入法求极限;②消去零因子法求极限; ③无穷小因子分出法求极限; ④利用无穷小运算性质求极限; ⑤利用左右极限求分段函数极限. 极限10.极限存在准则：夹逼准则；单调有界准则11.两个重要极限：1sin lim0=→x x x e x x x =+∞→)11(lim （e nn n =+∞→)11(lim ）12.无穷小的比较: .0,,≠αβα且穷小是同一过程中的两个无设αβαβ是比，则称若0lim)1(= ；记作)(αβo = 高阶的无穷小 αβαβ是比，则称若２∞=lim )(低阶的无穷小是与则称若αβαβ,0lim)3(≠=C 同阶的无穷小 是与则称若特殊地，αβαβ,1lim =；～记作αβ等价的无穷小 的是则称若αβαβ,0,0lim)4(>≠=k C kk 阶的无穷小 13. 常用等价无穷小: (,0时当→x ))1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x + )0(~1)1(,21~c o s 1,1~2≠-+--a ax x x x e x a x 14. 定理２(等价无穷小代换定理) .lim lim ,lim~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 15. 函数的连续性定理: 00)()(x x f x x f 在是函数处连续在函数⇔.处既左连续又右连续 16. :)(0条件处连续必须满足的三个在点函数x x f;)()1(0处有定义在点x x f ;)(l i m )2(0存在x f x x → ).()(lim )3(00x f x f x x =→17. 四则运算的连续性:定理1 ,)(),(0处连续在点若函数x x g x f )0)(()()(),()(),()(0≠⋅±x g x g x f x g x f x g x f 则.0处也连续在点x定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 定理3 ,连续a 在点f (u)函数a,(x)lim 若0x x =→ϕ(x)].lim f [f (a)(x)]f [lim 则有0x x x x ϕϕ→→==定理4 且连续在点设函数,)(0x x x u ==ϕ,)(,)(000连续在点而函数u u u f y u x ===ϕ.)]([0也连续在点则复合函数x x x f y ==ϕ定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. (初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;)18. 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.( 若区间是开区间,定理不一定成立;若区间内有间断点,定理不一定成立.) 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 定理3（零点定理）.0)())(),(0)()()()(],[)(=<<<⋅ξξξf b a x f b a b f a f b f a f b a x f ，使得（一点的一个零点，即至少有内至少有函数间），则在开区异号（即与上连续，且在闭区间设函数定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及f(b)＝B ，则对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C (a<ξ<b). 推论:在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值.第三章 导数与微分1. .)()()(000都存在且相等和右导数左导数处可导在点函数x f x f x x f +-''⇔上在闭区间都存在，则称和内可导，且在开区间若函数],[)()()(),()(b a x f a f b f b a x f +-''可导. 2. 定理 凡可导函数都是连续函数. (注意: 该定理的逆定理不成立.)3. (.,)()()(,)(.1000函数在角点不可导的角点为函数则称点若连续函数x f x x f x f x f +-'≠'()(.)(,)()(lim lim,)(.2000000不可导有无穷导数在点称函数但连续在点设函数x x f xx f x x f x yx x f x x ∞=∆-∆+=∆∆→∆→∆(.,)()(.30点不可导则指摆动不定不存在在连续点的左右导数都函数x x f(.)()(,,)(.4000不可导点的尖点为函数则称点反的两个单侧导数符号相且在点若x f x x x f ∞=' 4. 函数的和、差、积、商的求导法则:定理1: 且处也可导在点分母不为零商则它们的和、差、积、处可导在点若函数,)(,)(),(x x x v x u).0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2≠'-'=''+'='⋅'±'='±x v x v x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u推论: ;)(])([)1(11∑∑=='='ni in i ix f x f );(])([)2(x f C x Cf '=';)()()()()()()()(])([)3(1121211∑∏∏=≠=='='++'='n i nik k k i n n ni i x f x f x f x f x f x f x f x f x f定理2: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 5. 常数和基本初等函数的导数公式:0)(='C 1)(-='μμμx x x x cos )(sin =' x x 2s e c )(t a n =' x x xt a n s e c )(s e c =' x x s i n )(c o s -=' x x 2csc )(cot -=' x x xc o t c s c )(c s c -=' a a a x x ln )(=' xx 1)(l n =' xx e e =')( 211)(arcsin x x -=' 211)(a r c t an x x +=' 211)(a r c c o s xx --=' 211)c o t (x x a r c +-=' 6. 函数的和、差、积、商的求导法则: 均可导，则设)(),(x v v x u u ==:)0('')'()4(,'')'()3(,(')'()2(,'')'()1(2≠-=+==±=±v v uv v u v u uv v u uv C Cu Cu v u v u 是常数）7. 复合函数的求导法则:).()()()]([),(),(x u f x y dxdu du dy dx dy x f y x u u f y ϕϕϕ'⋅'='⋅====或的导数为则复合函数而设8. 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.9. 对数求导法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.(适用范围:多个函数相乘除或幂指函数情形) 10. 高阶导数求法-----直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.11. 可微的条件-----定理: ).(,)()(000x f A x x f x x f '=且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数 称为函数的微分的微分在任意点函数,)(x x f y = .)(),(x x f dy x df dy ∆'=即或记作 12. 基本初等函数的微分公式:0)(=C d x d x x d c o s )(s i n = x d x x d 2s e c )(t a n = xdx x x d tan sec )(sec =dx x x d 1)(-=μμμ x d x xd s i n )(c o s -= x d x x d 2c s c )(c o t -= xd x x x d c o t c s c )(c s c -= adx a a d x x ln )(= dxe e d x x =)( dx a x x d a ln 1)(log =dx xx d 1)(ln =dx x x d 211)(arcsin -=dx x x d 211)(arccos --= dx x x d 211)(arctan +=dx xx arc d 211)cot (+-= 13. 函数和、差、积、商的微分法则:dv du v u d ±=±)( Cdu Cu d =)( udv vdu uv d +=)( 2)(v udvvdu v ud -= 14. 导数与微分的区别:.,,,))((),()(00000它是无穷小实际上它的定义域是的线性函数是而微分处的导数是一个定数在点函数R x x x x x f dy x f x x f --'='.))(,()())((,))(,()()(,00000000的纵坐标增量的切线方程在点处在点是曲线而微分处切线的斜率在点是曲线从几何意义上来看x x f x x f y x x x f dy x f x x f y x f =-'=='第四章 中值定理与导数的应用1. 罗尔(Rolle)定理: 若函数f(x)（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b).则在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使f ’(ξ)=0.2. 拉格朗日(Lagrange)定理: 若函数f(x)（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导. 则在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得))(()()('a b f a f b f -=-ξ3. 推论: .)(,)(上是一个常数在区间那么上的导数恒为零在区间如果函数I x f I x f4. 柯西(Cauchy)定理: 若函数f(x)及F(x)（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）F(x)在(a,b)内每一点处的导数均不为0.则在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得)()()()()()(''ξξF f a F b F a f b f =-- 5. 洛必达法则定理:.)()(lim )()(lim );()()(lim )3(;0)()()(,)2(;)()(,)1(x F x f x F x f x F x f x F x F x f a x F x f a x a x a x a x ''=''≠'''→→→→则或为无穷大存在都存在且及点的某去心邻域内在都趋于零及函数时当设6.洛必达法则型未定式解法型及:00∞∞; 型未定式解法00,1,0,,0∞∞-∞∞⋅∞:先变化成⎪⎩⎪⎨⎧∞⋅⋅∞⋅−−→−⎪⎭⎪⎬⎫∞∞ln 01ln 0ln 01000取对数.0∞⋅⇒再用洛必达法则. 7. 单调性的判别定理: 内可导上连续，在设函数),(],[)(b a b a x f y =.],[)(0)(),()2(],[)(0)(),(1上单调减少在，则函数内若在上单调增加；在，则函数内若在）（b a x f y x f b a b a x f y x f b a =<'=>'8. 定理1(必要条件): .0)()(000='x f x x x f 处取得极值，则处导数存在，且在在设 定理2(第一充分条件):处取得极大值；在，则，有；而，有若）（00000)(0)(),(0)(),(1x x f x f x x x x f x x x <'+∈>'-∈δδ 处取得极小值；在，则，有；而，有若）（00000)(0)(),(0)(),(2x x f x f x x x x f x x x >'+∈<'-∈δδ .)()(),(),(300000处无极值在符号相同，则时，及若）（x x f x f x x x x x x '+∈-∈δδ9. 求极值的步骤: );()1(x f '求导数;0)()2(的根求驻点，即方程='x f;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号检查x f '.)4(求极值10. 定理3(第二充分条件): ，则，处二阶可导，且在设0)(0)()(000≠''='x f x f x x f处取得极大值；在时，函数当00)(0)()1(x x f x f <''.)(0)()2(00处取得极小值在时，函数当x x f x f >''11. 定理1: 内若在内具有一阶和二阶导数在上连续在如果),(,),(,],[)(b a b a b a x f上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(b a x f x f b a x f x f <''>''定理2: .0)())(,(),()(00000=''+-x f x f x x x x f 是拐点的必要条件是内存在二阶导数，则点在若δδ 12. 渐近线: 铅垂渐进线; 水平渐进线; 斜渐进线 13. 斜渐近线求法: ,)(lima xx f x =∞→.])([lim b ax x f x =-∞→.)(的一条斜渐近线就是曲线则x f y b ax y =+=14.函数图形的作法: ①确定函数的定义域;②确定曲线的对称性;③讨论函数的单调性和极值;④讨论函数的凹向与拐点;⑤确定曲线的渐进线;⑥由曲线的方程计算出一些点的坐标,特别是曲线与坐标轴的交点坐标. 15. 需求函数 Qd= f (p) = -ap+ b （a,b 为正常数） 供给函数 Qs=g (p ) = cp - d （c,d 为正常数）均衡价格 （1）当市场价格p > 均衡价格p*时， Qs ↑ Qd ↓； （2）当市场价格p < 均衡价格p*时， Qs ↓ Qd ↑。
《微积分》复习大纲1
《微积分》复习大纲第二章、极限与连续第一节、数列的极限教学目的和要求：1、通过割圆术和截杖问题的计算实例引入数列极限的概念，从中领会极限的基本思想。
2、使学生了解的极限定义和性质，并通过例题学会如何处理和解决相应的数学问题。
重点：数列极限的概念教学过程：一、问题的提出1、刘徽的割圆术2、截杖问题二、数列极限的定义注：1、数列是否有极限，与其前面的有限项无关•而与从某项以后的变化情况有关，因此改变一个数列的有限项的值或去掉或添加有限项，均不改变{ X n} 的收敛与发散性；2、在证明数列有极限时，不一定要找到最小的正整数N,只要证明其存在即可.显然，如果证明了存在符合要求的正整数N,那么这种就有无穷多个.3、数列极限的定义未给出求极限的方法.第二节、函数的极限教学目的和要求：1、理解函数极限的概念，了解；-X ,；定义。
2、使学生了解的函数极限性质重点：函数极限的概念教学过程：一、函数极限的定义1、自变量趋于无穷大时函数的极限注：讨论当自变量X的绝对值|X无限增大（X r ,X r 一，X））时，函数f （X）无限趋近于一个常数A的情形.2、自变量趋于有限值时函数的极限注：研究自变量x无限趋近于一个常数x o,(x— x0,x_. x0,x_. \7),函数f (x) 无限趋近于一个常数A的情形.三、例题分析例1证明lim叱=0.x注：1本题考察用定义验证函数极限的一般过程2、若|im f x =c，则直线y = c是函数y= f x的图形的水平渐近线。
例2:证明lim c =c ( c为常数).X—注：常数在任一点的极限是常数。
例3:证明lim x = x0.X—sxo例4:证明lim匸1 =2.一x—1注：函数在某一点是否有极限，与该点是否有定义无关。
\+1, x c0例5:设f (x)=彳0, x =0证验当X T0时，f (x )的极限不存在.x2 -1, x 0注：函数f X当x > X。
经济数学基础--微积分复习提纲
《经济数学基础--微积分》复习提纲(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《经济数学基础--微积分》复习提纲一、第一章：函数1、函数概念，表达式，初等函数，定义域等。
例如：（1）函数21)(x x x f -+=的定义域是x=[0，1]；（2） f(x)＝522-+x x ,得f(x －1)＝5)1(2)1(2--+-x x ＝…；（3）22)1(2+-=+x x x f ，即)(x f ＝2212)1(2+---+x x x ＝…＝542+-x x ；（4）设==))((,1)(x f f x x f 则)1(x f ＝…= 21x； （5）在下列函数中与||)(x x f =表示相同函数的是（ B ） A ．2)(x B.2x C ．33x D ．xx 2(6) 设⎩⎨⎧>+≤+=05402)(2x x x x x f ，则9)1(=f ，2)0(=f ，17)3(=f ，3)1(=-f ； 二、第二章：极限与连续1、概念理解，无穷大＋∞，无穷小－∞，极限运算等。
能代即代……只看最高次……因式分解、分子分母有理化、公式化简等；2个重要极限中的=→xx x sin lim 01。
例如：（1）443222lim ++∞→x x x ＝（只看最高次）＝1/2； （2）3923lim --→x x x ＝（因式分解）＝…＝3； （3）1027776664999888222lim 2323++-+-+∞→x x x x x x x ＝只看最高次＝ 1/4 （4）4586224+-+-→x x x x im l x ＝（因式分解）＝…＝32 （5）xx im l x 110-+→＝（分子有理化）＝…＝21 （6）但是=∞→xx x sin lim0，=→x x x sin lim 01。
（7）已知122=+y x ，即y '＝yx -（课本61页例题） （8）课本35－37页有关例题。
《微积分》复习大纲
中班保育员个人工作心得范文五篇中班保育员个人工作心得范文1秋去冬来，暑去寒来。
一年又在孩子们欢歌笑语中度过了。
又到我们为一年工作做总结的时候了。
时间过得真快，我担任小二班保育工作也一个学期了。
虽然工作经验较少，但是我都很认真的对待每一项工作;在遇到不懂的地方及时的请教保健医生和有丰富经验的老教师。
在工作中发现不足的地方及时的纠正。
把卫生工作做好的同时，做好幼儿日常护理工作，配合班中教师培养幼儿的日常生活常规。
利用午休时间组织梨园部保育员手拉手学习各方面的保育知识。
以下是我对这个学期以来在各方面工作详细的阐述。
一、思想工作方面：在这个学期里，本人能够遵守园内的各项规章制度，热爱集体，能坚守工作岗位，不迟到、不早退，无事不请假，对幼儿一视同仁，与同事相处融洽。
服从领导的分配，乐意接受各项任务，并且尽力把它完成。
班上出现问题，能够与班上的老师共同商量解决。
同时创造新的好的办法传授给大家，积极认真的参加保育员及其他的各种学习，每次学习都认真的做好笔记，在工作中遇到有问题时，做到早发现早解决，主动听取保健医生的意见，做到不隐瞒自己的不足和错误;经常与保健医生交流。
二、生活卫生方面：做到来园开窗通风，搞好室内外卫生，保证环境清洁整齐。
做好晨间各项准备工作。
保持卫生区地面干净、无污物、无积水、墙饰整洁、画框无尘土;盥洗室地面洁净干燥、无积水、水池及墙壁无污物，每天勤擦，消毒盆每次用完清洗、盆内无浸泡物;盥洗室地面坚持每2—3周一次大的清刷，为保证幼儿的身心健康，减少污染没采用任何酸性物刷地，而是采用清水刷洗地面;每天下班后清洗毛巾，为毛巾消毒，保证毛巾洁白有淡淡的消毒液味;每天清洗水杯、消毒水杯，保证水杯体外明亮无污物、水杯内无事物残留;不把当天的活留到第二天再做;厕所保持无异味、地面干燥洁净、清洁用具挂放整齐、不堆放垃圾;厕所坚持每次上完后冲洗墩地，发现有异味及时用淡洁厕灵浸泡一会墩干，做到每天消毒不少于三次，经常用坛香去味，做到勤冲勤刷;墩地用的墩布严禁分开使用，做到经常消毒;活动室地面洁净干燥，物品摆放整齐，教具、玩具洁净无尘土，室内空气清新无异味;幼儿被褥叠放整齐，经常凉晒;认真做好班中每个角落的卫生，把每天的都当作卫生大检查来对待;严格执行一日卫生消毒，坚持每天三餐的卫生消毒。
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《经济数学基础--微积分》复习提纲
一、第一章：函数
1、函数概念，表达式，初等函数，定义域等。
例如：（1）函数21)(x x x f -+=
的定义域是x=[0，1]； （2） f(x)＝522-+x x ,得f(x －1)＝5)1(2)1(2--+-x x ＝…；
（3）22)1(2+-=+x x x f ，即)(x f ＝2212)1(2+---+x x x ＝…＝542+-x x ；
（4）设==))((,1)(x f f x x f 则)1(x f ＝…= 21x
； （5）在下列函数中与||)(x x f =表示相同函数的是（ B ） A ．2)(x B.2x C ．33
x D ．x x 2
(6) 设⎩⎨⎧>+≤+=0
5402)(2x x x x x f ，则9)1(=f ，2)0(=f ，17)3(=f ，3)1(=-f ； 二、第二章：极限与连续
1、概念理解，无穷大＋∞，无穷小－∞，极限运算等。
能代即代……只看最高次……因式分解、分子分母有理化、公式化简等；2个重要极限中的=→x
x x sin lim 01。
例如：（1）4
43222lim ++∞→x x x ＝（只看最高次）＝1/2；
（2）3923
lim --→x x x ＝（因式分解）＝…＝3； （3）102
7776664999888222lim 2323++-+-+∞→x x x x x x x ＝只看最高次＝ 1/4 （4）4
586224+-+-→x x x x im l x ＝（因式分解）＝…＝32 （5）x x im
l x 110
-+→＝（分子有理化）＝…＝21 （6）但是=∞→x x x sin lim
0，=→x x x sin lim 01。
（7）已知122=+y x ，即y '＝y
x -（课本61页例题）
（8）课本35－37页有关例题。
三、第三章：导数与微分
导数概念、几何意义；导数常用基本公式（课本62-63页）以及v u v u uv '+'=')(等，符合函数求导，隐含数求导，高阶导数，微分等。
例如：1、，x x y ln =dx x x xdx x dy '+'=ln ln ＝…＝lnx dx +dx ＝…
2、x e y sin =， y '＝x e x 'sin sin ＝x xe sin cos ；
3、)12sin(21+x 是)12cos(+x 的一个原函数，也就是说)12sin(2
1+x 求导后等于)12cos(+x ； 4、y = sin2x ，d y ＝…＝2cos2xdx
5、='=y e y x ，即4…＝434x e x ，='=y e y x ，即3323x e x （课本61页例题）
6、x y ln =，y ''＝)(1'-x ＝2
1x - 7、x x x y cos sin +=，y '＝（Sinx + xcosx ）- sinx ＝…xcosx
8、y=e x cos x 则y ， =（v u v u uv '+'=')(）＝…＝e x cosx-e x sinx
四、第四章：导数的应用
函数增减性判断y '>0增，y '<0减…，极值求法：y ''>0极小值（下凸），y ''<0极大值（上凸）；洛必达法则（课本84页）。
一元函数在经济数学上的应用（课本93页例题）。
例如：1、x x x 103sin lim 0→＝3/10，x x x 94sin lim 0
→＝4/9 2、x x x x sin lim 0
-→＝（洛必达法则）＝0 3、函数x x x f 3)(3-= 当x =（－∞，－1）∪（1，＋∞）时为增函数
4、曲线2
4x x y -=的凸向，y ''＝－2<0，所以在X=（－∞，＋∞）上凸； 5、x
x e x x --→2010lim ＝（洛必达法则）＝－1
6、求81232)(2
3+-+=x x x x f 在区间[-3,4]的最大值和最小值。
（参看以前笔记：第一步。
第二步。
）
01266)(2=-+='x x x x f ，求得极值点：6（x+2）(x-1)=0
x 1=-2,x 2=1；全部代入原方程得：f(－3)＝8)3(12)3(3)3(22
3+---+-=17 f(－2)= ……＝28； f(1)= ……＝1； f(4)= ……＝136
因此，最大值为136，最小值为1。
7、某厂生产某种产品x 单元的费用（成本）为2005)(+=x x C （元），得到的收入是：201.010)(x x x R -=(元)，问生产多少台机床时，才能得到最大的利润
利润＝收入－成本，即：F(x)=R-C,)(x F ''＝<0为最大值（最大利润），F ׳(x)=0求得X=250，即： 250单元，
五、第五、六章：不定积分和定积分
概念，积分基本公式（课本99页），定积分应用。
例如：1、若函数 f x ()可积，则 f x x f x x a
b c b ()()d d =+⎰⎰f x x a c ()d ⎰ 2、⎰xdx 3sin ＝c x +-3cos 3
1 3、直线x y =与曲线2x y =围成的面积是多少（参看课本135页例题）
先通过解方程x y =＝2x y =求得2条曲线交点（0，0）和（1，1），然后积分dx x x ⎰-1
02＝…＝61。
4、=⎰3x dx 利用积分公式＝c x
+-221（不能漏掉C ） 5、dx x ⎰2
12＝7/3 ，dx x ⎰1
02＝1/3。
6、课本125页有关例题。
结合课堂笔记，祝考试顺利！。