4.题型十二 第14题几何图形综合题

题型十二 第14题几何图形综合题
(2015～2019.14)
1. (2019安顺)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，且AB ＝3，AC ＝4，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为________．
第1题图
2. (2019西工大附中模拟)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点O 是AB 的中点，以BC 为直角边向外作等腰Rt △BCD ，连接OD ，当OD 取得最大值时，∠ODB 的度数是________．
第2题图
3. (2019龙东地区)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点P 是矩形ABCD 内一动点，且S △P AB
＝12
S △PCD ，则PC ＋PD 的最小值为________．
第3题图
4. 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个动点，则PD －12
PC 的最大值为________．
第4题图
5. (2019陕西逆袭卷)如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，M 、N 分别为BC 、CD 上一点，连接AM 、AN 、MN ，则△AMN 周长的最小值为________．
针对训练
第5题图
6.如图，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，BC＝4，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是________．
第6题图
7.(2019陕西逆袭卷)如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别为边AB、CD、AD、BC 上的点．若AB＝3，AD＝5，BE＝1，当EF、GH把四边形ABCD的面积四等分时，AG＝______．
第7题图
8.如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB＝2，则P A＋PB＋PC的最小值为________．
第8题图
9. (2019陕师大附中模拟)如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，边BC 与AB的长度差为2，当△ADC面积最大时，边AD的长为________．
第9题图
10. (2019陕西报告会分享试题)如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值为________．
第10题图
11.如图，在Rt△APB中，AB＝2，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，
则四边形PCDE 面积的最大值是________．
第11题图
12. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，AB ＝AD ，AE ⊥BC 于点E ，若AE ＝17，BC ＝8，CD ＝6，则四边形ABCD 的面积为________．
第12题图
13. (2019陕西报告会分享试题)如图，BC ＝AD ＝2，CD ＝4，∠BCD ＝∠CDA ＝90°，AB ︵所对的圆心角
为60°.请在内部找一个点E ，AB ︵上找一点F ，则EC ＋ED ＋EF 的最小值为________．
第13题图
14. (2019西安铁一中模拟)如图，直线AC 的解析式为y ＝x ＋2，A 点的坐标为(0，2)，AC ＝42，点P 在x 轴正半轴上运动，当点P 的坐标为________时，∠APC 最大．
第14题图
参考答案
题型十二 第14题几何图形综合题
1. 125
【解析】如解图，连接AD ，∵∠BAC ＝90°，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴四边形AMDN 是矩形，∴对角线MN ＝AD ，因此，当线段AD 最短时，即MN 最短，根据垂线段最短，即当AD 为BC 边上的高时，
AD 最短，在Rt △ABC 中，BC ＝32＋42＝5，S △ABC ＝12×AB ·AC ＝12×BC ·AD ，∴12×3×4＝12
×5AD ，∴AD ＝125
.
第1题解图
2. 22.5° 【解析】如解图，∵AB ＝4，∠ACB ＝90°，点O 是AB 的中点，∴点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∵BD ＝BC ，∠DBC ＝90°，∴将△BOD 绕点B 逆时针旋转90°得到△BO ′C ，∴OD ＝O ′C ，∠ODB ＝∠O ′CB ，当O ′C 经过圆心O 时取得最大值，即OD 最大．∵∠OBO ′＝90°，OB ＝O ′B ，∴∠O ′OB ＝45°，∴∠O ′CB ＝12
∠O ′OB ＝22.5°，∴∠ODB ＝∠O ′CB ＝22.5°.
第2题解图
3. 45 【解析】∵S △P AB ＝12
S △PCD ，AB ＝CD ，∴点P 在AD 的三等分的直线(靠近AB )上，又∵AB ＝4，BC ＝6，∴此题可以转化为在正方形A ′B ′CD 中，点P 为A ′B ′上一点，求PC ＋PD 的最小值．如解图，点F 是点D 关于点A ′的对称点，∴PF ＝PD ，当PF 和PC 在一条直线上时，PC ＋PD 的值最小，最小值即为F C.在Rt △CDF 中，根据勾股定理可得FC ＝42＋82＝45，故PC ＋PD 的最小值为4 5.
第3题解图
4. 5 【解析】如解图，构造△PBG 和△CBP 相似，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，∵PB BG ＝21＝2，BC PB
＝42＝2，∴PB BG ＝BC PB ，∵∠PBG ＝∠PBC ，∴△PBG ∽△CBP ，∴PG CP ＝BG BP ＝12，∴PG ＝12
PC ，当D 、G 、P 三点共线时，即点P 在DG 的延长线上时，PD －12
PC 的值最大，最大值为DG ＝CD 2＋CG 2＝42＋32＝5.
第4题解图
5. 27 【解析】如解图，作点A 关于BC 、CD 的对称点E 、F ，连接EF ，分别交BC 、CD 于点M 、N ，则AM ＝ME ，AN ＝NF ，∴EM ＋MN ＋NF ≥EF ，即当E 、M 、N 、F 四点共线时，EF 的长为△AMN 周长的最小值．过点F 作FP ⊥EA 交EA 延长线于点P ，∵∠BAD ＝120°，∴∠P AF ＝60°.∵AF ＝2AD ＝4，∴P A ＝2，PF ＝2 3.在Rt △EPF 中，PE ＝P A ＋2AB ＝4，∴EF ＝PE 2＋PF 2＝27，∴△AMN 周长的最小值为27.
第5题解图
6. 27－2 【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∠BCD ＝60°，BC ＝4，M 是AD 边的中点，∴AM ＝2，∵△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，如解图，点A 在以点M 为圆心，AM 长为半径且在菱形ABCD 内部的弧上运动．连接CM ，与弧交于点A ″，∵A ′C ≥CM －A ′M ，∴当且仅当A ′与A ″重合时，A ′C 取得最小值，此时A ′C ＝A ″C.过点M 作MH ⊥CD ，交CD 的延长线于点H .在Rt △DMH 中，∠MDH ＝∠A ＝∠BCD ＝60°，DM ＝2，∴DH ＝1，HM ＝3，∴CH ＝CD ＋HD ＝5，∴在Rt △CMH 中，CM ＝CH 2＋HM 2＝27，∴A ″C ＝CM －A ″M ＝27－2.
第6题解图
7. 53
【解析】如解图，过平行四边形ABCD 的对角线的交点O 作直线EF 、GH ，过点O 作QM ⊥AB ，PN ⊥AD ，则MQ ＝2OM ，PN ＝2ON ，∵S ▱ABCD ＝AB ·MQ ＝AD ·PN ，∴3×2OM ＝5×2ON ，∴OM ON ＝53
，∵S △AOB ＝14S ▱ABCD ，S 四边形AEOG ＝14S ▱ABCD ，∴S △AOB ＝S 四边形AEOG ，∴S △BOE ＝S △AOG ，∵S △BOE ＝12BE ·OM ＝12
×1×OM ， S △AOG ＝12AG ·ON ，∴12×1×OM ＝12AG ·ON ，OM ＝AG ·ON ，OM ON ＝AG ＝53，∴AG ＝53
.
第7题解图
8. 6＋2 【解析】如解图，将△APB 绕点B 逆时针旋转60°，得到△A ′P ′B ，其中点A 与点A ′对应，连接A ′C ，PP ′，则△BPP ′是等边三角形，∴AP ＋BP ＋CP ＝A ′P ′＋P ′P ＋PC ，即当点A ′，P ′，P ，C 在一条直线上时，P A ＋PB ＋PC 最小，即解图中的线段A ′C 即为所求最小值．过点A ′作A ′E ⊥BC ，交CB 延长线于点
E ，由旋转性质得∠A ′BA ＝60°，则∠A ′BC ＝150°，∴∠A ′BE ＝30°，∵A ′B ＝AB ＝2，A ′E ⊥BC ，∴A ′E ＝12
A ′
B ＝1，EB ＝3，∴A ′
C ＝A ′E 2＋EC 2＝12＋（2＋3）2＝6＋ 2.
第8题解图
9. 292
【解析】如解图，延长BA 、CD 交于点E ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠DBE ，又∵BD ＝BD ，∠BDC ＝∠BDE ＝90°，∴△BCD ≌△BED ，∴BE ＝BC ，DE ＝C D.∵BC －AB ＝2，∴BE －AB ＝2，
即AE ＝2. 取AC 的中点F ，连接DF ，则DF 是△AEC 的中位线，∴DF ∥AE ，DF ＝12
AE ＝1. 设AC 边上的高为h ，则S △ADC ＝12AC ·h ≤12AC ·DF ＝52
，故当且仅当DF ⊥AC 时，S △ADC 取得最大值，∵DF ∥AE ，∴∠EAC ＝90°，在Rt △AEC 中，AE ＝2，AC ＝5，∴CE ＝29，∵D 为CE 的中点，∴AD ＝12CE ＝292
.
第9题解图
10. 3
11. 1 【解析】如解图，延长EP 交BC 于点F .∵∠APB ＝90°，∠APE ＝∠BPC ＝60°，∴∠EPC ＝150°，∴∠CPF ＝180°－150°＝30°，∴PF 平分∠BP C.又∵PB ＝PC ，∴PF ⊥B C.在Rt △ABP 中，设AP ＝a ，BP ＝
b ，则CF ＝12CP ＝12
b ，a 2＋b 2＝22＝4.∵△APE 和△ABD 都是等边三角形，∴AE ＝AP ，AD ＝AB ，∠EAP ＝∠DAB ＝60°，∴∠EAD ＝∠P AB ，∴△EAD ≌△P AB ，∴ED ＝PB ＝CP ，同理得：△APB ≌△DCB ，∴EP ＝
AP ＝CD ，∴四边形CDEP 是平行四边形，∴S 四边形CDEP ＝EP ·CF ＝a ×12b ＝12
ab ，又∵(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2≥0，∴2ab ≤a 2＋b 2＝4，∴12
ab ≤1，∴四边形PCDE 面积的最大值为1.
第11题解图
12. 119【解析】如解图，连接AC，将△ADC绕点A旋转至△ABF，则BF＝CD＝6，∠ADC＝∠ABF，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＋∠ABF＝180°，∴点F、B、C共线，∴CF＝BC＋BF＝8＋6＝14，∴S
四边形ABCD ＝S△ABC＋S△ADC＝S△ABC＋S△ABF＝S△AFC＝
1
2CF·AE＝
1
2×14×17＝119.
第12题解图
13. 43－2
14. (－2＋26，0)【解析】如解图，作AC的垂直平分线，交AC于点B，交y轴、x轴于点D、E，过点A、C作⊙Q，与x轴正半轴相切于点P′，连接QA、QP′，此时∠APC≤∠AP′C，当且仅当点P与点P′重合时，∠APC最大．∵A点坐标为(0，2)，AC＝42，∴C(4，6)，B(2，4)，∵DE⊥AC，直线AC的解析式为y＝x＋2，∴设直线DE的解析式为y＝－x＋b，将B(2，4)代入得4＝－2＋b，解得b＝6，∴直线DE 的解析式为y＝－x＋6，∴D(0，6)，E(6，0)．∵圆心Q在直线DE上，∴设点Q(x，－x＋6)，则点P′(x，0)，∵AB＝22，BQ＝2（x－2）2，QE＝2（x－6）2，P′E＝6－x，∴在Rt△ABQ中，AB2＋BQ2＝AQ2，即AQ2＝8＋2(x－2)2，在Rt△QP′E中，QP′2＋P′E2＝QE2，即QP′2＝2(x－6)2－(6－x)2，又∵AQ＝P′Q，∴AQ2＝P′Q2，即8＋2(x－2)2＝2(x－6)2－(6－x)2，解得x1＝－2＋26，x2＝－2－26(舍去)，∴点P的坐标为(－2＋26，0)．
第14题解图。