初中几何证明题库：等腰三角形

例子11：

已知ABC ，以AC 为边在ABC 外作等腰ACD ，其中AC AD =。

(1)如图1，若2DAC ABC ∠=∠，AC BC =，四边形ABCD 是平行四边形，则ABC ∠=______；

(2)如图2，若30ABC ∠=︒，ACD

是等边三角形，3AB =，4BC =。求BD 的长；

(3)如图3，若A C D ∠为锐角，作AH BC ⊥于H 。当2224B D A H B C

=+时，2D A C A B C ∠=∠是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。

解析：(by iC )：第（1）问没什么好说的，送分。

第（2）问，这个如果AB AC =有这个条件的化，可以转化为共圆来做，可是此题并非如此。同样的如果按常规方法，如作高，求BD ，题中条件基本用不上。

考虑题中的30ABC ∠=︒，在“外”的正ACD ，由（数学）图形的对称性，容易想到同里以AB ，（BC 边）向外也等边三角形，如图：正ABN

，

此时已经转化成极其常见的“经典基本图形”，连CN ，

立即有：5BD NC ==

对于第（2）问，反思一下条件，其实直接将ABD

绕点A 顺时针旋转60︒即可，想到旋转，就基本搞定了，你懂的。

第（3）问：知道第(2)的思路与解法后，直接构造出2AH 线段即可，如图：

2OB AH =，OB BC ⊥

显然有：2OAB ABC ∠=∠，

由三边对应相等，有两阴影三角形面积相等，

再倒倒角，知2DAC ABC ∠=∠成立。

B B B C

D

H

如图（1），在等腰ΔABC 中，AB=AC, ∠ABC=α,在四边形BDEC 中，DB=DE,

∠BDE=2α,M 为CE 的中点，连接AM,DM.

(1) 在图中画出△DEM 关于点M 成中心对称的图形。

(2) 求证AM ⊥DM;

(3) 当α=，AM=DM.

如图10，已知AABC 和ABDE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠BDE=90°，P 是AE 的中点，连接PC ，PD 。

(1)在图中画出APAC 关于点P 成中心对称的图形；

（2）判断PC 与PD 的关系，并证明你的结论．

例1.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是 ▲ ．

B

C

【答案】50°。

【考点】翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。

【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC＝40°，以及∠OBC＝∠OCB ＝40°，再利用翻折变换的性质得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，进而求出即可：连接BO，

∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分线，∴AO是BC的中垂线。

∴BO＝CO。

∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，

∴∠OAB＝∠OAC＝25°。

∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°。

∴∠OBC＝65°－25°＝40°。∴∠OBC＝∠OCB＝40°。

∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO。

∴∠CEF＝∠FEO＝（1800－2×400）÷2＝50°。