高一数学集合典型例题经典例题

《集合》常考题型 题型一、集合元素的意义+互异性

例1.1.设集合{}{}2|22,|,12,A x x B y y x x A B =-≤==--≤≤=则｛0｝

例1.2.已知A ＝{2，4，a 3－2a 2－a ＋7}，B ＝{1，a ＋3，a 2－2a ＋2，a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B ＝{2，5}，则A ∪B =____________________________

解：∵A∩B ＝{2，5}，∴5∈A.

∴a 3－2a 2－a ＋7＝5解得a ＝±1或a ＝2.

①若a ＝－1，则B ＝{1，2，5，4}，则A∩B ＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去． ②若a ＝1，则B ＝{1，4，1，12}不成立，舍去．

③若a ＝2，则B ＝{1，5，2，25}符合题意．则A ∪B ＝{1，2，4，5，25}． 题型二、空集的特殊性

例2.1.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-，且B A ，

则实数m 的取值范围为_____________

例2.2.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=，012，{}0≥=x x B ，且φ=B A ，

求实数a 的取值范围。

解：①当0a =时，{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-，此时{|0}A x x ≥=Φ；

②当0a ≠时，{|0}A x x ≥=Φ，A ∴=Φ或关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数.

（1）当A =Φ时，关于x 的方程210ax x ++=无实数根，

140a ∆=-<，所以14

a >. （2）当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时，

12121401010a x x a x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩

140a a ⎧≤⎪⇒⇒⎨⎪>⎩104a <≤. 综上所述，实数a 的取值范围为{0}a a ≥.

题型三、集和的运算

例3.1.设集合S ＝{x |x >5或x <－1}，T ＝{x |a

则a 的取值范围是________________－3

例3.2.集合M={x |x =+，k ∈Z}，N={x |x =k +，k ∈Z}，则（C ）

A.M=N?????

B.M ?N????

C.N ?M????

D.M∩N=?

解：∵M 中：x =+=；

N 中：x =k +=n +，k =n ∈Z ，∴N ?M ．故选：C ．

例3.3.全集(){}R y x y x U ∈=,|,，集合()⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=-+=122|,x y y x M ，(){}4|,-≠=x y y x N ， 则()()N C M C U U 等于__{})22(，

______________ 题型四、创新题

例4.1.定义集合A 与B 的运算A*B={x |x ∈A 或x ∈B ，且x ?A ∩B}，则(A*B)*A 等于（D ）

A.A ∩B????

B.A ∪B????

C.A??????

D.B

解：如图，A*B 表示的是阴影部分，

设A*B=C ，根据A*B 的定义可知：C*A=B ，所以(A*B)*A=B ，故答案为D 例4.2.定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为()A P ，用()A n 表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：

①对于任意集合A ，都有()A P A ∈；

②存在集合A ，使得()[]3=A P n ；

③用∅表示空集，若∅=B A ，则()()∅=B P A P ；

④若B A ⊆，则()()B P A P ⊆；

⑤若()()1=-B n A n ，则()[]()[]B P A P n ⨯=2.其中正确的命题为_①④⑤_________（填序号） 对于命题①，A A ⊆，因此()A P A ∈，命题①正确；

对于命题②，若集合A 的元素个数为m ，则集合A 的子集共m 2个，若()[]3=A P n ，则 32=m ，解得N m ∉=3log 2，命题②错误；

对于命题③，若∅=B A ，由于A ⊆∅，B ⊆∅，因此()A P ∈∅，()B P ∈∅，所以 ()()[]B P A P ∈∅，则()()∅=B P A P ，命题③错误；

对于命题④，若B A ⊆，对集合A 的任意子集A E ⊆，即对任意()A P E ∈，则B E ⊆， 则()B P E ∈，因此()()B P A P ⊆，命题④正确；

对于命题⑤，设()n B n =，则()1+=n A n ，则集合A 的子集个数为12+n ，即

()[]n n A P n 2221⨯==+，集合B 的子集个数为n 2，即()[]n B P n 2=，因此

()[]()[]B P A P n ⨯=2，命题⑤正确，

故正确的命题为①④⑤_

变式训练： 1.已知集合{}12,3,1--=m A ，集合{}2,3m B =，若B A ⊆，则实数=m 1 2.设集合M ＝{x |x ＜3}，N ＝{x |x ＞－2}，Q ＝{x |x －a ≥0}，令P ＝M ∩N ，若P ∪Q ＝Q ， 则实数a 的取值范围为__________________

解：P ＝M ∩N ＝{x |－2＜x ＜3}，Q ＝{x |x ≥a }，

∵P ∪Q ＝Q ，∴P ?Q .∴a ≤－2，即实数a 的取值范围是{a |a ≤－2}

3.若集合{2，3}≠⊂M ≠

⊂{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则集合M 共有__________个。126??

解：27-2=126；

4.定义集合P={x |x =3k +1，x ∈Z}，Q={x |x =3k -1，x ∈Z}，M={x |x =3k ，x ∈Z}. 若a ∈P ，b ∈Q ，c ∈M ，则a 2+b -c ∈（b ）

A.P??????

B.M??????

C.Q??????

D.P ∪Q

5.已知全集U =N ，{2,A x x n n ==∈N }，{4,B x x n n ==∈N }，则（C ）

Ａ.U =A B Ｂ.U=（U C A ）B

Ｃ.U=()U A C B Ｄ.U=()()U U C A C B