中考专题---阿氏圆最值问题

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中考专题---阿氏圆最值问题

阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A 、B ，则所有满足

PA PB

=k （k >0且k 不

等于1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆

例、问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，

求AP +

的最小值．尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB 上取点D,使CD=1,则有CD/CP=CP/CB=1/2,又∵∠PCD ＝∠BCP ，

∴△PCD ∽△BCP,∴PD/BP=1/2,∴PD=1/2BP,∴

AP +

=AP+PD

请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +的最小值为

自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，

AP ＋BP 的最小为

．

拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90º，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是CD上一

点，求2PA ＋PB

的最小值

3

1PB 2

1

PB 2

1PB 2

1

2

向内构造类型

1、如图，已知AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10， C 的半径为4，点D 是 C 上的动点，连接AD ，BD ，则的最小值

2、如图，四边形ABCD 为边长为4的正方形， B 的半径为2，P 是 B 上一动点，则

的最小值是，

3、如图，

已知

菱形AB CD 的边长为4，∠B=60

,⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，

则

的最小值是

4、如图，AB 为 O 的直径，AB ＝2，点C 与点D 在AB 的同侧，且AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，

AD ＝1，BC ＝3，点P 是 O 上的一动点，则

2PD +PC 的最小值为

2

5、在∆ABC 中，AB =9，BC =8，∠ABC =60ο A 的半径为6，P 是 A 上的动点，连接PB 、PC ，则3PC +2PB 的最小值为

PC PD 2

1+

PC PD 2

1+

BD AD 2

1+

6、如图，边长为4的正方形，内切圆记为 O，P是 O上一动点，则2PA+PB的最小值为

7、如图，在Rt⊿

ABC

中，

∠

A

=30︒，AC=8，以C为圆

心，4为半径作⊙C．

（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由;

（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD=2，

试说明⊿FCD∽⊿ACF;

1

（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出EF+FA的最小值．

2

向外构造型

1、如图,点A，B在圆0上，OA⊥0B,OA=OB=12,点C是OA的中点，点D

在OB上，OD=10,点P是圆O上一动点，则PC+½PD的最小值为

3、如图，在扇形CAB中，CA=4,∠CAB=1200,D为CA的中点，P为弧

BC上一动点（不与C,B重合），则2PD+PB的最小值为（）

A.

3

2

4+ B.7

4 C.16 D.4

3

4+

4.如图，圆O的半径为2，AB为直径，过AO的中点C作CD⊥AB交O

于点D，DE为圆O的直径，点P为圆O上动点，则2PC+PE的最小值

是

3

4

综合题

如图，抛物线

y=-x 2

+bx+c 与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点，直线AC:

交y轴于C,点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G.（1）求抛物线y=-x 2+bx+c 的表达式；

(2)连接GB,EO.当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,FH,当点E运动到什么位置时，以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形？求出此时的点E,H的坐标；

②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求它的最小值。

6

2

1

y --=x CM AM +2

1