矩阵的初等变换与逆矩阵34页PPT
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逆矩阵及初等变换
先假设n阶矩阵A, 满足 A ≠ 0， 即 矩阵A是可逆的
则有下列公式： 则有下列公式：
( A | E ) n×2 n ( E | A ) n×2 n →
行初等变换
1
施行初等行变换， 即对 n × 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
例3
6 4 2 * 得 A = 3 6 5 , 所以 2 2 2
1 3 2 1 * 3 5 1 . A = A = 3 A 2 2 1 1 1
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例2 设
1 2 3 1 3 2 1 A = 2 2 1, B = 5 3, C = 2 0, 3 4 3 3 1
1 1 1
(4).若A可逆 则A 也可逆 且( A ) = ( A ) . , ,
T
T 1
1 T
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例1 解
1 2 3 . 求方阵 A = 2 2 1的逆阵 3 4 3 ≠0， 可逆。 经计算可得： |A| = 2 ≠0，知A可逆。 经计算可得： | 可逆
A11= 2，A21= 6，A31=－4， 2， 6， A12=－3，A22=－6，A32=5， =5， A13= 2，A23= 2，A33=－2， 2， 2，
1 * A = A, A
1
A A . 其中 *为方阵 的伴随阵
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由定理1和定理2可得：矩阵 由定理1和定理2可得：矩阵A 是可逆方阵的充 分必要条件是 |A| ≠ 0 。 | 称为奇异方阵 否则称为非 奇异方阵， 当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵，否则称为非 | 奇异阵。 奇异阵。 推论 ），则 若 AB = E（或 BA = E），则B = A -1 。 （ ），
第九章9.2矩阵的初等变换和逆矩阵
r1 2r3 r2 5r3
1 r2 2
r3
1 0 0 1 3 2 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1
1 r2 2
r3
3 2 1 0 0 1 1 3 2 3 3 5 5 1 3 0 1 0 A 3 . 2 2 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 1
(3) (4)
方程（4）-2（3）的位置关系，得
x 2 y 5 7 y 14 (5) (6)
方程（6）的两边同时除以7，得
x 2 y 5 y 2 (7) (8)
x 1 方程（7）+方程（8）的2倍得 y 2
在上面用消元解法解线性方程组的过程中， 我们只是对方程组的增广矩阵施行下面三类操作 1）交换矩阵的两行； 2）矩阵的某行乘以非零倍数；
A -1 = B
三. 利用初等行变换求逆矩阵 方法 设A是n阶可逆矩阵，作n 2n矩阵 A|En
对 n 2n 矩阵 ( A | En ) 施行初等行变换，
当把 A 变成 En 时，原来的 En 就变成 A .
1
1 2 3 例 3 设 A 2 2 1 , 求 A 1 . 3 4 3
r3 r4
r4 2r3
1 0 0 0
1 2 1 4 1 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0
关于矩阵的初等变换我们有
定理 任意 m n阶矩阵通过若干次初等 变换可变换为如下标准型．
1 E 1 r 0 O 0
类似定义矩阵的初等列变换 (记号改“r”为“c”)． 初等行变换和初等列变换统一称为初等变换.
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法演示精品PPT课件
返回15
互换两个方程的位置
16
返回
方程两边同乘以一个非零常数c
返回17
一个方程加上另一个方程的k倍
返回18
对调I中的两行（或两列）
对调I的两行
对调I的两列
返回19
非零数乘以I中的某行（或某列）
非零数乘以I的行
非零数乘以I的列
20
返回
某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）
返回21
初等矩阵左乘相当于行变换 初等矩阵右乘相当于列变换
7
变为阶梯型矩阵之后就得到了原方程组的同解方程组。
或
注意：在对矩阵进行初等变换时，只能进行行变换，不 能进行列变换！因为矩阵列变换对应的并不是线性方程 组的同解变换。
8
初等矩阵
定义：由单位矩阵I经过一次初等变换的矩阵称为初 等矩阵。 由于初等变换有三种类型，所以对应的初等矩阵就有 三种类型。 （1）对调I的两行（或两列）； （2）非零数乘以I中的某行（或某列）； （3）某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）。 初等矩阵都是可逆的，并且
则
Pt1 P21P11 A I
Pt1 P21P11I A1
上式表明，对矩阵A与I进行相同的行变换，
在把A化为方向组合成一个大矩阵，对
大矩阵进行行变换，在A部分成为I的时候，
原来的I部分就成为A的逆。
11
例题
设
，求
解：
12
小结
本节要求掌握内容 1. 矩阵初等变换的记号，初等矩阵的记号； 2. 初等矩阵的性质； 3. 用初等行变换求逆矩阵.
返回24
初等矩阵的性质
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆.
※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应 的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。
互换两个方程的位置
16
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方程两边同乘以一个非零常数c
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一个方程加上另一个方程的k倍
返回18
对调I中的两行（或两列）
对调I的两行
对调I的两列
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非零数乘以I中的某行（或某列）
非零数乘以I的行
非零数乘以I的列
20
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某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）
返回21
初等矩阵左乘相当于行变换 初等矩阵右乘相当于列变换
7
变为阶梯型矩阵之后就得到了原方程组的同解方程组。
或
注意：在对矩阵进行初等变换时，只能进行行变换，不 能进行列变换！因为矩阵列变换对应的并不是线性方程 组的同解变换。
8
初等矩阵
定义：由单位矩阵I经过一次初等变换的矩阵称为初 等矩阵。 由于初等变换有三种类型，所以对应的初等矩阵就有 三种类型。 （1）对调I的两行（或两列）； （2）非零数乘以I中的某行（或某列）； （3）某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）。 初等矩阵都是可逆的，并且
则
Pt1 P21P11 A I
Pt1 P21P11I A1
上式表明，对矩阵A与I进行相同的行变换，
在把A化为方向组合成一个大矩阵，对
大矩阵进行行变换，在A部分成为I的时候，
原来的I部分就成为A的逆。
11
例题
设
，求
解：
12
小结
本节要求掌握内容 1. 矩阵初等变换的记号，初等矩阵的记号； 2. 初等矩阵的性质； 3. 用初等行变换求逆矩阵.
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初等矩阵的性质
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆.
※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应 的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。
初等行变换逆矩阵(修正).ppt
求逆矩阵的初等行变换规则主要涉及三种基本变换：交换矩阵的பைடு நூலகம்行，用非零常数乘以矩阵的某一行，以及将某一行乘以常数后加到另一行上。这些变换在求矩阵的秩和逆矩阵时非常关键。通过初等行变换，可以将任意矩阵化为行阶梯形矩阵或行简化阶梯形矩阵，从而方便地求出矩阵的秩。对于满秩矩阵，即其秩等于其阶数的方阵，可以通过初等行变换化为单位阵，这样的矩阵被称为可逆矩阵。逆矩阵的存在性与矩阵是否满秩密切相关，只有满秩矩阵才存在逆矩阵。通过判断矩阵是否满秩，可以进一步判断其是否可逆。在实际应用中，可以利用这些规则通过初等行变换来求解逆矩阵。
矩阵的初等变换与逆矩阵
取 定 k 行 k 列 [ k m in ( m , n )]， 则 位 于 这 k 行 和 k列 交 点 上 的 元 素 , 按 原 顺 序 可 构 成 一 个 k阶 行 列 式 ， 称 这 个 k阶 行 列 式 为 矩 阵 A 的 一 个 k 阶 子 式.
k k 注 ： n 矩 阵 A 的 k 阶 子 式 共 有 C m C n个 . m
（ k c i ：数k乘第i列， 0 ） k
（3）将矩阵的某一列乘以数k后加到另一列， （ c i k c j ：第j列的k倍加到第i列上）
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
当矩阵A经过的初等变换变成矩阵B时，记 作 A B. 注：这是矩阵的演变，A与B一般不相等.
0 例1 利用初等行变换将矩阵 A 1 2 化为单位矩阵. 1 3 0 0 0 0 1
3 2 0
2 1 1
2 3 ，求该矩阵的秩． 5
解
1 0 2
0.
1 0
3 2
2 0,
1 2 3 2 0 2
计算A的3阶子式，
3 2 2 1 2 2 1 1 2 3 0, 5
3 2 0
2
, 1 00
0 3 2, 1
3 00 , 5
3 例4 3 设 A 2 1 秩． 2 2 0 6 0 3 1 4 5 6 5 1 0 1 ,求矩阵 A的 3 4
1 A 1 0
2 1 3
3 1 , 5
2 B 1 1
1 1 5
1 3 . 11
注： ① 上述方法中只能用初等行变换，不能
用初等列变换. ② 初等行变换过程中若发现虚线左边某 一行的元素全为零时，说明矩阵不可逆.
逆矩阵的计算ppt课件
可见AB为恒等变换所对应的矩阵，故AB = E 。
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26
用(8)代入(10)，得 X = B( AX ) = ( BA )X
即有 BA = E。 于是有AB = BA = E。 具有这种性质的矩阵A称为是可逆的，而矩阵B 称为 矩阵A 的逆矩阵。
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27
证 AT ( A1 )T ( A1 A)T ET E.
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8
当| A | 0时, 定义 A0 E, Ak ( A1 )k ,
其中 k 为正整数。
当| A | 0,, 为整数时,有
A A A ,( A ) A .
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9
例9
1 求方阵 A 2
2 2
13 的 逆 阵.
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11
解 于是
A1
1 3
3 3
2 1
1
X A1CB1
52 , 21
B 1
3 5
21,
1 3
2 1
3 3 1
5221
1 2 3
3 0 1
3 5
21
1 0
0
1 2 2
3 5
21
2 10 10
1 4. 4
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12
矩阵的运算小结
一、已定义过的运算：
★矩阵与矩阵的加、减法； ★矩阵与数的乘积； ★矩阵与矩阵的乘积； ★方阵的行列式； ★逆矩阵； ★矩阵的转置。
Ex.4
设A
2 0
0 3
00 , 求A的 逆 矩 阵.
0 0 4
解 因| A| 24 0,故A可逆. 又
A11 12, A22 8, A33 6, Aij 0(i, j 1,2,3,且i j),
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26
用(8)代入(10)，得 X = B( AX ) = ( BA )X
即有 BA = E。 于是有AB = BA = E。 具有这种性质的矩阵A称为是可逆的，而矩阵B 称为 矩阵A 的逆矩阵。
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证 AT ( A1 )T ( A1 A)T ET E.
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8
当| A | 0时, 定义 A0 E, Ak ( A1 )k ,
其中 k 为正整数。
当| A | 0,, 为整数时,有
A A A ,( A ) A .
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例9
1 求方阵 A 2
2 2
13 的 逆 阵.
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解 于是
A1
1 3
3 3
2 1
1
X A1CB1
52 , 21
B 1
3 5
21,
1 3
2 1
3 3 1
5221
1 2 3
3 0 1
3 5
21
1 0
0
1 2 2
3 5
21
2 10 10
1 4. 4
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12
矩阵的运算小结
一、已定义过的运算：
★矩阵与矩阵的加、减法； ★矩阵与数的乘积； ★矩阵与矩阵的乘积； ★方阵的行列式； ★逆矩阵； ★矩阵的转置。
Ex.4
设A
2 0
0 3
00 , 求A的 逆 矩 阵.
0 0 4
解 因| A| 24 0,故A可逆. 又
A11 12, A22 8, A33 6, Aij 0(i, j 1,2,3,且i j),
矩阵的逆及其求法PPT课件
(A
E )
4
0
2
.
8 1 3
6 1 1
所以
(A
E )1
1 2
(A
E )
1 2
4 8
0 1
2
,
3
6 1 1 2 1 1 8 1
B
1 2
4 8
0 1
2
2
3 2
6 1
4
3
1 2
4 8
2 1
故
6
1 2
1
2
A B 4 7 3 .
2
3
11
2 2
1
2
.
充分发挥其作用，有必要对它进一步探讨。
定理3 A可逆 A 行 E Pm P2P1A E
Pm P2P1E A1 E 行 A1
求 A1方法 ：( A E) 行(E A1)
21
第21页/共36页
例7 求下列矩阵的逆
矩阵 1 0 1
1. A 2 1 0 3 2 5
解：
1 0 1 1 0 0
A A1 E 1 0 , 因此 A 0.
充分性．设 A 0, 由定理 2.1 知
AA A A A E.
故有 A( 1 A* ) ( 1 A* )A E .
A
A
9
第9页/共36页
由逆矩阵定义知，A 可逆，且其逆为
A1 1 A* . A
定理 2.2 不仅给出了判断矩阵可逆的方法， 还给出了求解逆矩阵的一种方法 .
2
第2页/共36页
一、逆矩阵的概念
定义1 设 A 为 n 阶方阵，如有 n 阶方阵 B ，使 AB = BA = E .
则称 A 为可逆阵，B 为 A 的逆阵，记作 B A1 .
第2节矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
表示A的第i行乘c; 表示A的第i行乘c加至第j行; 表示A的第i行与第j行对换位置; 表示B的第i列乘c; 表示B的第j列乘c加至第i列; 表示B的第i列与第j列对换位置.
初等矩阵的行列式都不等于零, 因此初等矩阵都是可 逆矩阵. 由于对初等矩阵再作一次初等变换就化为单 位矩阵, 即
❖ 所以, 初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵, 即
r2 r1 r3 3 r1
1
0 0
5 2 11
2 1 5
1 1 3
0 1 0
0
0 1
1 5 2 1 0 0
1 5 2 1 0 0
r2/(2)0 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 r311r20 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0
0 11 5 3 0 1
0 0 1/ 2 5/ 2 11/ 2 1
初等矩阵与初等变换有什么关系呢？
例1 计算下列初等矩阵与矩阵A=[aij]3n, A=[aij]32, B=[bij]33的乘积:
用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等行变换；用初等矩阵右乘某 矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换。
不难证明下面的一般结论:
Ri(c)A Rij(c)A RijA BCi(c) BCij(c) BCij
0 0
1 0
0 1
r2 2r1 r3 3r1
0
0
2 2
5 6
2 3
1 0
0
1
r1 r2
r3 r2
1 0 0
r2 (2)
r3 (1)
0 2 0
2 5 1
1 2 1
1 1 1
0
0
1
r1 r2
2r3 5r3