3.2.1 第1课时 函数的单调性公开课一等奖优秀课件
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新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
随堂水平达标
课后课时精练
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降 的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
核心概念掌握
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答案
金版点睛 定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格 按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
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注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个 不等式来替代：
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随堂水平达标
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3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单 调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单 调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减， 但是在整个定义域上不具有单调性．
2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件
利用单调性证明不等式
1 2
构造函数 根据不等式的特点，构造一个与不等式相关的函 数。
判断函数单调性 通过求导或差分等方法判断所构造函数的单调性。
3
利用单调性证明不等式 根据函数的单调性，结合不等式的性质，证明不 等式成立。
2024/1/29
18
利用单调性解决实际应用问题
要点一
建立数学模型
要点二
判断函数单调性
2024/1/29
21
导数与微分在函数单调性研究中的应用
导数大于零的区间内函数单调 增加，导数小于零的区间内函 数单调减少。
2024/1/29
导数等于零的点为函数的驻点， 需要进一步判断其左右两侧导 数的符号来确定该点的单调性。
微分的概念可以应用于函数单 调性的研究，通过微分可以分 析函数的局部变化率，进而判 断函数的单调性。
14
指数函数与对数函数
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的单调 性
当 $0 < a < 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递减。
当 $a > 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递增。
指数函数与对数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称，即 互为反函数。
2024/1/29
19
05
函数单调性与其他知识点关联
2024/1/29
20
函数奇偶性与周期性对单调性影响
奇函数在对称区间上的单调性相 同，偶函数在对称区间上的单调
性相反。
周期函数在一个周期内的单调性 与整体单调性一致，可以通过研 究一个周期内的单调性推断整体
的单调性。
3.2.1第1课时函数的单调性(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
A．(－∞，1]
B．(－∞，2]
()
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
【答案】B 【解析】∵函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 图象的对称轴为 x＝a－2 1，且
f(x)在区间12，1上单调递增，∴a－2 1≤21，即 a≤2.
3．(题型3)函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且图象过点(－3,2) 和(1，－2)，则使|f(x)|<2的x的取值范围是________．
设x1，x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量值，如果f(x)满足 以下条件，该函数f(x)是否为增函数？
(1)对任意 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)； (2)对任意 x1，x2(x1≠x2)，都有(f(x1)－f(x2))(x1－x2)>0； (3)对任意 x1，x2(x1≠x2)都有fxx11－ －fx2x2>0.
【答案】－1，12 －1≤x≤1，
【解析】由题意得x<21，
解得－1≤x<12.
题型4 根据函数的单调性求参数的取值范围 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a
的取值范围． 素养点睛：考查直观想象和数学运算的核心素养． 解：由于二次函数图象的开口向上，对称轴为x＝a，故其增区间为
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的 图象并写出函数的单调区间．
素养点睛：考查直观想象和逻 辑推理的核心素养．
【答案】(1)[－2,1] [3,5] [－5， －2] [1,3]
【解析】观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]， [1,3]，[3,5]．其中 y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上具有单调递增，在区 间[－2,1]，[3,5]上单调递减．
3.2.1函数的性质-单调性课件(人教版)
(1 ) < (2 )，那么就称函数() 有(1 ) > (2 )，那么就称函数
在区间上单调递增.
()在区间上单调递减.
就叫做函数 () 的单调递增区间， 就叫做函数 () 的单调递增区间，
简称增区间.
简称减区间.
(2)用定义法证明函数的单调性
（1）取值；
课堂例题
例1 根据定义，研究函数() = + ( ≠ 0)的单调性。
追问1:由初中知识可知，一次函数图象的上升还是下降取决于谁？
追问2:根据单调性的定义，判断单调性的关键是比较 (1 )和(2 ) 的大小？
那如何比较(��1 )和(2 )的大小呢？
分析：根据函数单调性的定义，需要考察当1＜2时，(1)＜(2)还是
章节：第三章 函数的概念与性质
标题：3.2函数的基本性质 (1)
单调性
目
录
1.教学目标
2.新课讲授
3.新课小结
4.作业巩固
环节1：教学目标分解
教学目标
1.理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；会根
据单调定义证明函数单调性； 理解函数的最大（小）值
及其几何意义；
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
(1)＞(2)．根据实数大小关系的基本事实，只要考察(1)－(2)与0
的大小关系．
解：函数()＝＋（ ≠ 0）的定义域是，∀1，2 ∈ ，且1＜2，
则(1)－(2)＝(1＋)－(2＋)＝(1－2).
由1＜2，得1－2＜0．所以
(2)任意取1 ,2 ∈ (−∞, 0],
当1 ＜2 时，有(1 ) < (2 ).
函数() = ||在区间(−∞, 0]上是单调递增的.
在区间上单调递增.
()在区间上单调递减.
就叫做函数 () 的单调递增区间， 就叫做函数 () 的单调递增区间，
简称增区间.
简称减区间.
(2)用定义法证明函数的单调性
（1）取值；
课堂例题
例1 根据定义，研究函数() = + ( ≠ 0)的单调性。
追问1:由初中知识可知，一次函数图象的上升还是下降取决于谁？
追问2:根据单调性的定义，判断单调性的关键是比较 (1 )和(2 ) 的大小？
那如何比较(��1 )和(2 )的大小呢？
分析：根据函数单调性的定义，需要考察当1＜2时，(1)＜(2)还是
章节：第三章 函数的概念与性质
标题：3.2函数的基本性质 (1)
单调性
目
录
1.教学目标
2.新课讲授
3.新课小结
4.作业巩固
环节1：教学目标分解
教学目标
1.理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；会根
据单调定义证明函数单调性； 理解函数的最大（小）值
及其几何意义；
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
(1)＞(2)．根据实数大小关系的基本事实，只要考察(1)－(2)与0
的大小关系．
解：函数()＝＋（ ≠ 0）的定义域是，∀1，2 ∈ ，且1＜2，
则(1)－(2)＝(1＋)－(2＋)＝(1－2).
由1＜2，得1－2＜0．所以
(2)任意取1 ,2 ∈ (−∞, 0],
当1 ＜2 时，有(1 ) < (2 ).
函数() = ||在区间(−∞, 0]上是单调递增的.
【课件】函数单调性与最值(第1课时) 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
减小
______．
2、 在区间 (0,+∞)
_____ 上，f(x)的值随着x的增大而
增大
_____．
引入
知识点一、增函数、减函数的定义
前提条件
复习引入
条件
设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I
∀x
________________，x
1＜x2
1，x2∈D
都有 f(x1)＜f(x2)
都有 f(x1)＞f(x2)
x
满足f ( ) f ( x) f ( y ),
y
（1）求f (1)的值；
（2）若f (6) 1求不等式f ( x 3) f (2) 1的解集；
x
解：（1）由条件对一切x, y 0, 满足f ( ) f ( x) f ( y),
y
所以令x y 1, 则f (1) 0.
调性的一般步骤：
1 取值.任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差.f(x1)－f(x2)；
3 变形.（通常是因式分解和配方）；
4 定号.（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论.（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
题型三、利用单调性求解不等式
例1.已知函数 f ( x)是定义在 R上的增函数，且 f (3a 7) f (8a 11)
求实数 a的取值范围 .
[解析] ∵函数 f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(3a－7)＞f(11＋8a)，
∴3a－7＞11＋8a，
18
∴a＜－ 5 ，
18
∴实数 a 的取值范围是(－∞，－ 5 )．
题型三、利用单调性求解不等式
______．
2、 在区间 (0,+∞)
_____ 上，f(x)的值随着x的增大而
增大
_____．
引入
知识点一、增函数、减函数的定义
前提条件
复习引入
条件
设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I
∀x
________________，x
1＜x2
1，x2∈D
都有 f(x1)＜f(x2)
都有 f(x1)＞f(x2)
x
满足f ( ) f ( x) f ( y ),
y
（1）求f (1)的值；
（2）若f (6) 1求不等式f ( x 3) f (2) 1的解集；
x
解：（1）由条件对一切x, y 0, 满足f ( ) f ( x) f ( y),
y
所以令x y 1, 则f (1) 0.
调性的一般步骤：
1 取值.任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差.f(x1)－f(x2)；
3 变形.（通常是因式分解和配方）；
4 定号.（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论.（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
题型三、利用单调性求解不等式
例1.已知函数 f ( x)是定义在 R上的增函数，且 f (3a 7) f (8a 11)
求实数 a的取值范围 .
[解析] ∵函数 f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(3a－7)＞f(11＋8a)，
∴3a－7＞11＋8a，
18
∴a＜－ 5 ，
18
∴实数 a 的取值范围是(－∞，－ 5 )．
题型三、利用单调性求解不等式
函数的单调性课件市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
怎样用x与f(x)来描述下降旳图象？
y y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
怎样用x与f(x)来描述上升旳图象？
y
3
闭区间[－5, 5]上
2
旳函数y＝f(x)旳图
1
象，根据图象说出 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
y＝f(x)旳单调区间，
-1 -2
以及在每一单调区
-3
间上， y＝f(x)是增函数还是减函数．
解：函数y＝f(x)旳单调区间有[－5,－2)， [－2, 1)，[1, 3)，[3, 5]，
增函数、减函数旳概念：
一般地，设函数f(x)旳定义域为I.
1.假如对于定义域I内旳某个区间上旳任意 两个自变量旳值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.假如对于定义域I内旳某个区间上旳任意 两个自变量旳值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.
增函数、减函数旳概念：
一般地，设函数f(x)旳定义域为I.
1.假如对于定义域I内旳某个区间上旳任意 两个自变量旳值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.假如对于定义域I内旳某个区间上旳任意 两个自变量旳值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.
3.2--3.2.1--第一课时-函数的单调性公开课
[做一做]
1．下列命题中真命题的个数为
()
①定义在(a，b)上的函数 f(x)，如果∃x1，x2∈(a，b)，当 x1<x2 时，有 f(x1)<f(x2)，那么 f(x)在(a，b)上单调递增； ②如果函数 f(x)在区间 I1 上单调递减，在区间 I2 上也单调递 减，那么 f(x)在区间 I1 和 I2 上就一定是减函数； ③∀x1，x2∈(a，b)，且 x1≠x2，当fxx11－－fx2x2<0 时，f(x)在 (a，b)上单调递减；
复合函数y＝f(g(x))的单调性 [问题探究]
[典例] 已知函数f(x)＝x－2 1，x∈[2,6]． (1)判断此函数在x∈[2,6]上的单调性； (2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤．
[解] (1)函数f(x)＝x－2 1可分解为函数y＝u2和函数u＝x－1.
[母题探究] 1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)的单调增区间为(－∞，3]，
求a的值．
解：由题意知－a－1＝3，即a＝－4. 2．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数，求a
的取值范围． 解：由题意可以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
意”；由 f(x)＝1x，可知②是假命题；
∵fxx11－ －fx2x2<0 等价于[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0，而此式又等价于
fx1－fx2>0， x1－x2<0
或
fx1－fx2<0， x1－x2>0，
即 fx1>fx2， x1<x2
或
fx1<fx2， x1>x2，
∴f(x)在(a，b)上单调递减，③是真命题，同理可
第1课时 函数的单调性 课件(42张)
点拨：二次函数的单调性与对称轴有关．
与二次函数单调性相关的参数问题 (1)若已知函数的单调区间，则对称轴即区间的端点； (2)若已知函数在某区间上的单调性，则该区间是函数相关区间的子区间，利用端 点关系求范围．
பைடு நூலகம் 【加固训练】
函数 f(x)＝x2＋(2a＋1)x＋1 在区间[1，2]上单调，则实数 a 的取值范围是( )
创新思维 抽象函数的单调性(逻辑推理) 【典例】已知函数 f(x)对任意的 a，b∈R，都有 f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当 x>0 时，f(x)>1. 求证：f(x)是 R 上的增函数； 【证明】设 x1，x2∈R，且 x1<x2， 则 x2－x1>0，即 f(x2－x1)>1， 所以 f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝ f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0. 所以 f(x1)<f(x2)，所以 f(x)是 R 上的增函数．
范围为－32，＋∞ ∪－∞，－25 .
解不等式
【典例】(2020·昆明高一检测)已知 f(x)是定义在 R 上的减函数，则关于 x 的不等
式 f(x2－x)－f(x)＞0 的解集为( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0，2)
C．(－∞，2)
D．(2，＋∞)
【解析】选 B.因为 f(x)是定义在 R 上的减函数，则 f(x2－x)－f(x)＞0.所以 f(x2－ x)＞f(x)，所以 x2－x＜x.即 x2－2x＜0，解可得 0＜x＜2.即不等式的解集为(0，2).
基础类型二 利用定义证明函数的单调性(逻辑推理) 【典例】证明：函数 f(x)＝x2－x 1 在区间(－1，1)上单调递减．
函数单调性课件(公开课)ppt
函数单调性课件(公开课)
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
3.2.1 函数的单调性(课件)高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)原创精品
例1.上图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据图象说
出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函
数还是减函数?
思考
1
函数 f(x)= 有单调递减区间
1
能否说 f(x)= 是单调递减函数？为什么？
；
2 函数的单调性的证明
例2.根据定义证明以下各命题：
(1)函数f(x)= 在定义域上是增函数;
k∈
答案: -1<k<2
.
（由 k < 2<k+3 得）
思
素养
维
1.若函数 f(x) = x 2 + 2(a − 1)x + 2 的单调递减区间
为(−∞, 4] ，则 a 的值为______.
答案：a=-3
2. 若函数f(x) = x 2 + 2(a − 1)x + 2 在区间(−∞, 4]
上是减函数，则实数 a 的取值范围是________.
用符号语言描述:任意取x1，x2∈(－∞,0］，得
到f(x1)＝x12，f(x2)＝x22，那么
当x1＜x2时，有f(x1)>f(x2)．
这时我们就说函数 f(x)＝x2 在区间(－∞,0］上
是单调递减的.
如图，图象在y轴右侧部分从左到右是上升的，
也就是说，当x>0时，y随x的增大而增大．
用符号语言描述:任意取x1，x2∈[0,+∞)，得到
1−2
范围是
答案：
3
<a≤2
2
则实数a的取值
.
（由 -1≤1-a < a-2≤ 1 得）
课堂小结
一、本节课学习的新知识
3.2.1+单调性与最大(小)值(共2课时)高一数学优秀课件(人教A版2019必修第一册)
【答案】(−∞, 1)和
3
2
,2
【解析】当 ≥ 2或 ≤ 1时， ( ) = 2 − 3 + 2，
3
对称轴为 = 2 ，
当1 < < 2时， ( ) = − 2 + 3 − 2，对称轴为
3
= 2，
作出 ( )的图象如图所示，
3
由图可知 ( )单调递减区间为(−∞, 1) 和 ( 2 , 2)，
(2)用定义法证明： 在 2,6 上单调递增；
【解析】（1）函数 =
2−3
有意义，则
−1
− 1 ≠ 0，
即 ≠ 1，
所以函数 =
2 −3
的定义域为
−1
−∞, 1 ⋃ 1, +∞ .
（2）任取2 ≤ 1 < 2 ≤ 6，
2 − 1 =
2 2 −3
区间D为f(x)的单调递减区间.
图
示
注意：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.
②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性.
新知：单调性的定义
问题2：(1)设是区间上某些自变量的值组成的集合，而且∀1 ，2 ∈ ，当1 < 2 时，
则 1 − 2 =
= 1 − 2 +
= 1 − 2
1
1−
∵ 0 < 1 < 2 <
，
1
−
+ 1 −
2
1 2
2
∵
− 2
= 1 − 2 +
= 1 − 2
3.2.1 第1课时 函数的单调性公开课一等奖优秀课件
x
O x1
y
y x2
f (x1 )
x
O
x1
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y y＝f(x)
f(x2)
在给定区间上任取x1, x2 若x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
f(x1)
则函数f (x)图象在这个给定区间
O
x1
x2 x 上从左到右呈上升趋势.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？
y
f(x1) f(x2)
在单调区间上增函数的图象从左至右是上升的，而 减函数的图象是下降的.
P79
P85
P86
P78
用定义证明函数单调性的一般步骤：
P79
证明：
证明：
P86
证明：
课堂小结
1．两个定义：增函数、减函数． 2．两种方法： 判断函数单调性的方法
有图象法、定义法．
3.2.1 单调性与最大(小)值
@《创新设 计》
第1课时 函数ห้องสมุดไป่ตู้单调性
课标要求
素养要求
1.借助函数图象，会用符号语言表 1.结合实例，经历从具体的直
达函数的单调性. 观描述到形式的符号表达的抽
2.理解函数单调性的作用和实际意 象过程.体会用符号形式表达单
义. 调性定义的必要性.
3.在理解函数单调性概念的基础上， 2.在函数单调性的应用过程中，
理解函数单调性的作用，掌握函数 发展逻辑推理和数学运算素养.
单调性的应用 .
课前预 习
课堂互 动
素养达 成
观 察 函 数 f(x)=x 的 图 象 是 怎 样 变 化 的 , 它 们 有 怎 样的升降规律?
不同的函数,其图象的变化趋势可能也不同,同一函数在不同 区间上的变化趋势也不一定相同.
O x1
y
y x2
f (x1 )
x
O
x1
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y y＝f(x)
f(x2)
在给定区间上任取x1, x2 若x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
f(x1)
则函数f (x)图象在这个给定区间
O
x1
x2 x 上从左到右呈上升趋势.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？
y
f(x1) f(x2)
在单调区间上增函数的图象从左至右是上升的，而 减函数的图象是下降的.
P79
P85
P86
P78
用定义证明函数单调性的一般步骤：
P79
证明：
证明：
P86
证明：
课堂小结
1．两个定义：增函数、减函数． 2．两种方法： 判断函数单调性的方法
有图象法、定义法．
3.2.1 单调性与最大(小)值
@《创新设 计》
第1课时 函数ห้องสมุดไป่ตู้单调性
课标要求
素养要求
1.借助函数图象，会用符号语言表 1.结合实例，经历从具体的直
达函数的单调性. 观描述到形式的符号表达的抽
2.理解函数单调性的作用和实际意 象过程.体会用符号形式表达单
义. 调性定义的必要性.
3.在理解函数单调性概念的基础上， 2.在函数单调性的应用过程中，
理解函数单调性的作用，掌握函数 发展逻辑推理和数学运算素养.
单调性的应用 .
课前预 习
课堂互 动
素养达 成
观 察 函 数 f(x)=x 的 图 象 是 怎 样 变 化 的 , 它 们 有 怎 样的升降规律?
不同的函数,其图象的变化趋势可能也不同,同一函数在不同 区间上的变化趋势也不一定相同.
函数的单调性优质课课件pptx
04 复合函数与反函 数单调性分析
复合函数单调性判定方法
同增异减原则
内外层函数单调性相同时 ，复合函数为增函数；内 外层函数单调性相反时， 复合函数为减函数。
求导判断法
对复合函数求导，根据导 数的正负判断函数的单调 性。
图像判断法
画出内外层函数的图像， 通过观察图像的升降来判 断复合函数的单调性。
参变量变化对实际问题解 决的影响分析
案例分析：参变量在实际 问题中的具体应用
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
01 02
函数单调性的定义
对于函数y=f(x)，如果对于区间I内的任意两个数x1, x2，当x1<x2时， 都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数f(x)在区间I上是单调递增 （或单调递减）的。
判断函数单调性的方法
通过求导判断函数的单调性，若f'(x)>0，则f(x)在对应区间内单调递增 ；若f'(x)<0，则f(x)在对应区间内单调递减。
03
单调性与函数图像的关系
单调递增函数的图像从左到右呈上升趋势，单调递减函数的图像从左到
右呈下降趋势。
易错难点剖析及解题技巧分享
易错点
在求导过程中忽略定义域的限制 ，导致判断错误；将函数的局部
极值点处的一阶偏导数必须为零，即 驻点。
案例分析：多元函数单调性应用
01
02
03
经济学中的应用
在生产函数中，通过判断 多元函数的单调性可以确 定生产要素的投入量对产 出的影响。
工程学中的应用
在优化设计中，利用多元 函数的单调性可以找到最 优的设计方案。
数学建模中的应用
在解决实际问题时，通过 建立多元函数模型并利用 其单调性进行分析，可以 得到问题的解决方案。
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x
O x1
y
y x2
f (x1 )
Hale Waihona Puke xOx1如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y y＝f(x)
f(x2)
在给定区间上任取x1, x2 若x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
f(x1)
则函数f (x)图象在这个给定区间
O
x1
x2 x 上从左到右呈上升趋势.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？
y
f(x1) f(x2)
O
y＝f(x) x1 x2
在给定区间上任取x1, x2 若x1＜x2 f(x1)＞f(x2)
则函数f (x)图象在这个给定区
x 间上从左到右呈下降趋势.
增函数、减函数的概念：
增函数: x和y同增同减,图象从左到右呈上升趋势 减函数: x和y一增一减,图象从左到右呈下降趋势
函数单调性的概念
如果函数 y＝f(x)在某区间上是增函数或减函数，那么就说 函数 f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做 y＝f(x) 的单调区间.
在单调区间上增函数的图象从左至右是上升的，而 减函数的图象是下降的.
P79
P85
P86
P78
用定义证明函数单调性的一般步骤：
P79
证明：
证明：
P86
证明：
课堂小结
1．两个定义：增函数、减函数． 2．两种方法： 判断函数单调性的方法
有图象法、定义法．
y
f ( x1 )
x1 O
y x2 x
y
f ( x1 )
x1 O
y x2
x
y
y x2
f ( x1 )
x
x1 O0
y
y x2
f ( x1 )
x
x1O
y
y x2
f ( x1 )
x
O x1
y
y x2
f ( x1 )
x
O x1
y
y x2
f ( x1 )
x
O x1
y
y x2
f ( x1 )
理解函数单调性的作用，掌握函数 发展逻辑推理和数学运算素养.
单调性的应用 .
课前预 习
课堂互 动
素养达 成
观 察 函 数 f(x)=x 的 图 象 是 怎 样 变 化 的 , 它 们 有 怎 样的升降规律?
不同的函数,其图象的变化趋势可能也不同,同一函数在不同 区间上的变化趋势也不一定相同.
函数图象的这种变化规律反映了函数的一个重要性质: ---------函数的单调性
3.2.1 单调性与最大(小)值
@《创新设 计》
第1课时 函数的单调性
课标要求
素养要求
1.借助函数图象，会用符号语言表 1.结合实例，经历从具体的直
达函数的单调性. 观描述到形式的符号表达的抽
2.理解函数单调性的作用和实际意 象过程.体会用符号形式表达单
义. 调性定义的必要性.
3.在理解函数单调性概念的基础上， 2.在函数单调性的应用过程中，
O x1
y
y x2
f (x1 )
Hale Waihona Puke xOx1如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y y＝f(x)
f(x2)
在给定区间上任取x1, x2 若x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
f(x1)
则函数f (x)图象在这个给定区间
O
x1
x2 x 上从左到右呈上升趋势.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？
y
f(x1) f(x2)
O
y＝f(x) x1 x2
在给定区间上任取x1, x2 若x1＜x2 f(x1)＞f(x2)
则函数f (x)图象在这个给定区
x 间上从左到右呈下降趋势.
增函数、减函数的概念：
增函数: x和y同增同减,图象从左到右呈上升趋势 减函数: x和y一增一减,图象从左到右呈下降趋势
函数单调性的概念
如果函数 y＝f(x)在某区间上是增函数或减函数，那么就说 函数 f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做 y＝f(x) 的单调区间.
在单调区间上增函数的图象从左至右是上升的，而 减函数的图象是下降的.
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P78
用定义证明函数单调性的一般步骤：
P79
证明：
证明：
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证明：
课堂小结
1．两个定义：增函数、减函数． 2．两种方法： 判断函数单调性的方法
有图象法、定义法．
y
f ( x1 )
x1 O
y x2 x
y
f ( x1 )
x1 O
y x2
x
y
y x2
f ( x1 )
x
x1 O0
y
y x2
f ( x1 )
x
x1O
y
y x2
f ( x1 )
x
O x1
y
y x2
f ( x1 )
x
O x1
y
y x2
f ( x1 )
x
O x1
y
y x2
f ( x1 )
理解函数单调性的作用，掌握函数 发展逻辑推理和数学运算素养.
单调性的应用 .
课前预 习
课堂互 动
素养达 成
观 察 函 数 f(x)=x 的 图 象 是 怎 样 变 化 的 , 它 们 有 怎 样的升降规律?
不同的函数,其图象的变化趋势可能也不同,同一函数在不同 区间上的变化趋势也不一定相同.
函数图象的这种变化规律反映了函数的一个重要性质: ---------函数的单调性
3.2.1 单调性与最大(小)值
@《创新设 计》
第1课时 函数的单调性
课标要求
素养要求
1.借助函数图象，会用符号语言表 1.结合实例，经历从具体的直
达函数的单调性. 观描述到形式的符号表达的抽
2.理解函数单调性的作用和实际意 象过程.体会用符号形式表达单
义. 调性定义的必要性.
3.在理解函数单调性概念的基础上， 2.在函数单调性的应用过程中，