ch3-椭圆型方程五点格式

线
§ 3.1 五点格式的建立
一、二阶椭圆型方程的边值问题
2u 2u
(
x
2
y2 )
f (x, y)
(x, y)G
y
u( x, y) ( x, y),( x, y)
二、用直接差分法建立五点格式
1、区域的矩形网格剖分：
y2
用两族分别平行于x轴和y轴的直线 y1
xi h1
,h2ih分1 , 别y j为水jh平2 方向和竖直方向的网格x1步x长2
p( x) f1l1(t ) f2l2 (t )
l1
(t
)
(t (t1
t2) t2)
;
l2(t)
(t t1) (t2 t1 )
;
非正则内点P ( xi , y: j ) 竖直方向线性插值：利用
P3 ( y3 , u3 ), P4 ( y4 , u4 )
构建Lagrange多项式
u( y) y y4 y3 y4
利用边界条件给出非正则内 点上的补充方程。
1、第一类边界条件： u( x, y) ( x, y),( x, y)
(1)直接迁移法
( xi , y j )
在边界上寻找一点 ( xi , y j ) ,
( xi , y j )
它是位于网线上，又最靠近 ( xi , y j ) 的边界点。
ui, j ( xi , y j )
(
u )(dy) x
(
u ) x
i1,
j
h2
2
ui1, j ui, j h1
h2
2
带回(3)式：
( ui, j1 ui, j h2
h1
ui1, j ui, j h1
h2
ui, j1 ui, j h2
h1
ui1, j ui, j h1
h2 )
fi, jh1h2
两边同除以 h1h2 可得：
A
n
n
1、将网格进行对藕剖分；
P1
P
B
2、微分方程在在区域ABC上做二重积分：
C
2u 2u
P2
G
( x 2 u
y2
)dxdy
G
f
( x,
y)dxdy;
ds f ( x, y)dxdy
ABC n
G
u
ds AB n
(
AB
u )ds x
uQ uP h1
AB
;
u
ds
u ( )ds
uR uP BC
h1
h2
§ 3.3 用积分插值法构造格式
(i, j 1)
(
2u x 2
2u y2
)
f (x, y)
(1)
(i, j 1)
D2
(i 1 , j) 2
C
(i 1 , j) 2
一、积分法建立格式：
(i 1, j)
(i, j) (i 1, j)
1、将网格进行对藕剖分；
A(i, j 1)
2
B
2、微分方程在在区域ABCD上做二重积分： (i, j 1)
p( x) f1l1(t ) f2l2 (t )
l1
百度文库
(t
)
(t (t1
t2) t2)
;
l2
(t
)
(t t1) (t2 t1 )
;
(3)不等距差分方程
2u 2u ( x2 y2 )
f (x, y)
将水平区间对藕剖分
P3
u u
2u x2
x P1 x P2 ( h1 h1 )
=
u1
up h1
x i 1 , j 2
h2
2
u ds CD n
x
i
1
2 u
( )(dx)
y x
i
1
2
u ( y ) i, j 1 h1
2
ui1, j h1
ui , j
h2
ui, j1 h2
ui, j
h1
(3)式右边：
f ( x, y)dxdy
G
fi, j h1h2
DA
uds n
y j1
2
y j1
u( x)
x x2 x1 x2
u1
x x1 x2 x1
u2
ui, j uP
u(xi )
xi x2 x1 x2
u1
xi x2
x1 x1
u2
h1 h1 h1
u1
h1
h1
h1
u2
其中 u1 ui1, j u2 ( P2 )
( xi , y j )
P4 h2
(t1 , f1 ), (t2 , f2 ) :
u3 y y3 y4 y3
u4
ui, j uP u( y j )
y j y4 y3 y4
u3
y j y3 y4 y3
u4
h2 h2 h2
u3
h2 h2 h2
u4
其中 u3 ui, j1 u4 ( P4 )
P3
h2 P
( xi , y j )
h2 P4
(t1 , f1 ), (t2 , f2 ) :
BC n
BC y
h2
u
u
ds ( )ds (P) | AC |;
CA n
CA n
f ( x, y)dxdy fP | ABC |
G
(uQ uP AB uR uP BC (P) | AC |)
h1
h2
fP | ABC |
小结 1、会用差商代微商的方法建立五点格式；
(i, j 1)
优点：方便 缺点：精度比较低，误差较大
第一类边界条件： u( x, y) ( x, y),( x, y)
(2)线性插值法 非正则内点P( xi , y:j )
水平方向线性插值：利用
P3
h2
P2 h1 P
h1 P1
P1( x1 , u1 ), P2 ( x2 , u2 )
构建Lagrange多项式
Ch3 椭圆型方 程五点格式
Poisson方程
u f ( x, y)
(
2u x 2
2u y2
)
f (x, y)
(x, y)G
G为有界的单连通区域，其边界曲线为
上的三类边界条件：
1、第一类边界条件：u( x, y) ( x, y),( x, y)
2、第二类边界条件：
u n
(
x,
y)
(
x,
y),
n
u1, j u1, j 2h
0, j u0, j
0, j ,( j
0,1, 2, 3, N )
2、第二类边界条件：
u ( x, y) ( x, y),( x, y)
n
j
y3
u1, j u1, j 2h
0, j ,( j 0,1, 2, 3, N )
y2
n
3、第三类边界条件：
(0, j) (1, j)
(0, j 1)
( u1, j
2u0, j h2
u1,
j
u0, j1 2u0, j h2
u0, j1 )
fi, j
二、非矩形区域边界处理：
1、边界点不一定 在网格节点上
存在的问题：
2、非正则内点与边界点的距离不一定为h， 正则内点的五点格式不能用
3、边界法向量非水平或竖直，二、三类边 界不好处理。
up h1
u2
将竖直区间对2 藕剖分
P2
h1 h1 2
P3
P2 P
P1 P1
( xi , y j )
P4 P4
保持格式对称性
u u
2u y2
y y
P3
P4
( h2 h2 )
=
u3
up h2
up h2
u4
修正格式为：2
h2 h2 2
1 h1
u1 up
h1
up u2 h1
( ui 如果 h1
1,hj 2，(2h(uh正1i),2j方形ui网1, j格)ui
,
j 1
2ui, j (h2 )2
ui ,
j 1
)
fi, j
1 h2 (ui, j1 ui1, j 4ui, j ui1, j ui, j1 ) fi, j
§ 3.2 边界条件处理
一、矩形区域：
1、第一类边界条件：
AB
uds n
x
i
1
2
x
i
1
(
u y
)dx
u ( y ) i, j1 h1
2
ui, j1 h2
ui, j
h1
2
(i 1 , j) 2
(i 1 , j) 2
(i, j)
(i, j 1)
(i 1, j)
A
2B
(i, j 1)
u
ds BC n
y j1
2 u ( )dy
x y j1
u ()
x
i 0,1, 2, , n1; j 0,1, 2, , n2
y
交点为节点：(
正
xi
,
y
j
)
内点
则 内
（上下左右相
点
邻的点均为内 点）
y2
y1
非正则内点
x1 x2
x
(1)在正则内点处离散微分方程得到差分格式
边界点 (2)在非正则内点和边界点处利用边界条件， 得到补充方程
2u 2u ( x2 y2 ) f ( x, y)
2、会用数值积分的方法建立五点格式；(i 1, j)
(i, j) (i 1,
(i, j 1)
( ui1, j
2ui, j (h1 )2
ui1, j
ui ,
j 1
2ui, j (h2 )2
ui ,
j 1
)
fi, j
3、会写出用五点格式求解微分方程时的线性代
数方程组 Au g ；
4、会处理非矩形区域上的边界条件。
( ui1, j
2ui, j ui1, j (h1 )2
ui
,
j
1
2ui, j (h2 )2
ui
,
j 1
)
fi, j
(i, j 1)
(i 1, j)
(i, j) (i 1, j)
(i, j 1)
二、积分方法处理非矩形区域上二、三类边界条件：
第二类边界条件：u ( x, y) ( x, y)
j
y3
u( x, y) ( x, y),( x, y) y2
ui, j ( xi , y j )
y1
y0 x0 x1
x2 x3 i
2、第二类边界条件：
u n
(
x,
y)
(
x,
y),
j
(
x,
y)
左边界处：u
n
(
x,
y)
u x
y3
如果直接用内点和边界点
y2
做差商单侧逼近边界法向量，
n
y1
会造成差分方程组系数矩阵
u
y
n
u
n P
u cos u cos
x P
y P
Q
P u
x
R
uP uQ cos uP uR cos
(2)P
(
xi
,
h1 yj)
不在边界上h：2
在边界上寻找边界上距离P最近的
u
y
n
点P
u
u n
P
u n
P
u x
cos
P
u cos
y P
Q
P
x
P
R
uP uQ cos uP uR cos
的不对称性。 在(0,j)左侧再
y0
增设一列虚点(-1,j),
x1
x0 x1
x2 x3
用中心差商代替法向导数： 3、第三类边界条件：
u1, j u1, j 2h
0, j ,( j 0,1, 2, 3, N )
u (x, y) ( x, y)u( x, y) ( x, y),( x, y)
2u 2u
G ( x2 y2 )dxdy G f ( x, y)dxdy
(2)
3、用Green公式将(2)中G上的面积分转换为边界上的
线积分：
uds n
G
f
( x,
y)dxdy
u
ds f ( x, y)dxdy (3)
ABCDA n
G
(i, j 1)
(i, j 1)
D2
C
(3)式左边可化为： 中矩形公式(i 1, j)
1 h2
u3 up
h2
up u4 h2
fi, j
h1 h1 2
h1
h2 h2 2
h2
2、第二类边界条件：
u n
(
x,
y)
(
x,
y),
(
x,
y)
3、第三类边界条件： u (x, y) (x, y)u( x, y) ( x, y),
n
(1)P ( xi , y j )在边界上：
y1
u ( x, y) ( x, y)u( x, y) ( x, y),
n
y0 x0 x1
u1, j u1, j 2h
0, j u0, j
0, j ,( j
0,1, 2, 3, N )
(1, j)
在(0,j)上建立五点格式
2u 2u ( x2 y2 )
f (x, y)
x2 x3 (0, j 1)
2、差商代微商：(正则内点上)
(i, j 1)
2u x2
ui1, j 2ui, j ui1, j (h1 )2
(i 1, j)
(i, j) (i 1, j)
(i, j 1)
2u y2
ui, j1 2ui, j ui, j1 (h2 )2
f (x, y) (i, j)
fi, j
3、五点格式： 1 i n1 1;1 j n2 1
(
x,
y)
n 为边界外法向量。 3、第三类边界条件：u (x, y) ( x, y)u( x, y) ( x, y),( x, y)
n
(x, y) 0
一维 1、求解区间
二维 1、求解区域 G
a x1 x2
2、区间剖分
b
2、区域剖分 ( xi , y j )
3、边界：区间端点 a,b 3、边界：区域的边界曲