2012年高考理科数学新课标(全国卷)详细解析

16. 数列 {an } 满足 a n+1 + (−1) an = 2n − 1 ，则 {an } 的前 60 项和为
n
.
【解析】1830. 由 an +1 + ( −1) an = 2n − 1 得，
n
a2 k − a2 k −1 = 4k − 3 ……① a2 k +1 − a2 k = 4k − 1 ……②,
sin A cos C + 3 sin A sin C − sin B − sin C = 0 ,
sin A cos C + 3 sin A sin C − sin ( A + C ) − sin C = 0 ,
3 sin A sin C − cos A sin C − sin C = 0 ,
Q sin C > 0 ,∴ 3 sin A − cos A − 1 = 0 ,
4.
设 F1 , F2 是椭圆 E :
△F2 PF1 是底角为 30° 的等腰三角形，则 E 的离心率为
A.
1 2
B.
2 3
C.
3 4
D.
4 5
【解析】选 C. 画图易得, △F2 PF1 是底角为 30o 的等腰三角形可得 PF2 = F1 F2 ，即 2 所以 e =
3a − c = 2c , 2
2012 年全国卷新课标——数学理科
（适用地区：吉林 黑龙江 山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古） 本试卷包括必考题和选考题两部分，第 1-21 题为必考题，每个考生都必须作答.第 22 题~第 24 题，考生根据要求作答.
一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1 1 x x − ex e −x 2 2 ， x < ln 2 ， 故 当 x = ln 2 时 ， f ( x ) 取 最 小 值 1 − ln 2 . 所 以 d = = 2 2 d min = 1 − ln 2 . 2
所以 | PQ |min = 2d min =
2 (1 − ln 2 ) .
1. 已知集合 A = {1,2,3,4,5} ，B = {( x, y ) | x ∈ A, y ∈ A, x − y ∈ A} ， 则 B 中所含元素的个 数为 A. 3 【解析】选 D.
B. 6
C. 8
D. 10
法一：按 x − y 的值为 1，2，3，4 计数，共 4 + 3 + 2 + 1 = 10 个； 法二：其实就是要在 1，2，3，4，5 中选出两个，大的是 x ，小的是 y ，共 C5 = 10 种选
, , 比数列，∴ a1 + a10 = −7 . 6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数 N ( N ≥ 2) 和 实数 a1 , a2 , L , a N ，输出 A ， B ，则
A. A + B 为 a1 , a2 , L , a N 的和B.
A+ B 为 a1 , a2 , L, a N 的算术平均数 2
1 2
2 的四个命题： −1+ i
P2 : z 2 = 2i P4 : z 的虚部为 − 1
P1 : | z |= 2
P3 : z 的共轭复数为 1 + i
其中的真命题为 A. P2 ， P3 【解析】选 C. 经计算， z = B. P 1， P 2
C. P2 ， P4
D. P3 ， P4
2 = −1 − i, z 2 = 2i . −1 + i x2 y2 3a + = 1 (a > b > 0) 的左右焦点，P 为直线 x = 上的一点， a2 b2 2
2
法. 2. 将 2 名教师，4 名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个 小组由一名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12 种 B. 10 种 C. 9 种 D. 8 种 【解析】选 A. 只需选定安排到甲地的 1 名教师 2 名学生即可，共 C2C4 种安排方案. 3. 下面是关于复数 z =
1 1 V = × ×3 2 ×3 2 ×3 = 9 . 3 2
8. 等轴双曲线 C 的中心在原点， 焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y 2 = 16 x 的准线交于 A ，B ， 两点， | AB |= 4 3 ，则的实轴长为 A. 2 【解析】选 C. 易知点 −4, 2 3 在 x − y = a 上，得 a = 4 ， 2 a = 4 .
c 3 = . a 4
5. 已知 {an } 为等比数列， a 4 + a7 = 2 ， a5 a6 = −8 ，则 a1 + a10 = A. 7 【解析】选 D. , B. 5 C. − 5 D. − 7
a4 + a7 = 2 a5 a6 = a4 a7 = −8 ∴ a4 = 4, a7 = −2 或 a4 = −2, a7 = 4 a1 , a4 , a7 , a10 成等
12. 设点 P 在曲线 y = A. 1 − ln 2 【解析】选 B.
1 x e 上，点 Q 在曲线 y = ln(2 x) 上，则 | PQ | 的最小值为 2
B.
2 (1 − ln 2)
C. 1 + ln 2
D.
2 (1 + ln 2)
1 1 y = e x 与 y = ln(2 x) 互为反函数，曲线 y = e x 与曲线 y = ln(2 x) 关于直线 y = x 对称， 2 2
只需求曲线 y =
1 x 1 e 上的点 P 到直线 y = x 距离的最小值的 2 倍即可.设点 P x, e x ，点 2 2
1 x − ex 2 . P 到直线 y = x 距离 d = 2
令 f ( x ) = ex − x
1 2
， 则 f ′( x) =
1 x e − 1 . 由 f ′ ( x ) > 0 得 x > ln 2 ； 由 f ′ ( x ) < 0 得 2
再由 a cos C + 3a sin C − b − c = 0 可得， a ⋅
2 2 2 2
a 2 + b2 − c 2 + 3c sin A − b − c = 0 ， 2ab
即 a + b − c + 2 3bc sin A − 2b − 2bc = 0 ，
a 2 + b 2 − c 2 + 2 3bc sin A − 2b 2 − 2bc = 0 − b2 + c2 − a2 π + 3 sin A = 1 ，即 3 sin A − cos A = 1 ， 2 sin A − = 1 ， 2bc 6
由 10. 已知函数 f ( x) =
1 ，则 y = f ( x) 的图像大致为 ln( x + 1) − x
【解析】选 B. 易知 y = ln( x + 1) − x ≤ 0 对 x ∈ ( −1, +∞ ) 恒成立，当且仅当 x = 0 时，取等号. 11. 已知三棱锥 S − ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ ABC 是边长为 1 的正三角形，
二、填空题.本大题共 4 小题，每小题 5 分.
13.已知向量 a ， b 夹角为 45° ，且 |a| = 1 ， |2a − b| = 10 ，则 |b| = 【解析】 3 2 . 由已知得， | 2a − b | = ( 2a − b ) = 4a − 4a b + b = 4 a − 4 a b cos 45 + b
2 2 2 2
B. 2 2
C. 4
D. 8
(
)
9. 已知 ω > 0 ，函数 f ( x) = sin(ωx +
π π ) 在 ( , π ) 单调递减，则 ω 的取值范围是 4 2
C. (0, ]
A. [ , ] 【解析】选 A.
1 5 2 4
B. [ , ]
1 3 2 4
1 2
D. (0,2]
π π π π 3π 1 5 + 2kπ ≤ ω + < πω + ≤ + 2kπ , k ∈ Z 得， + 4k ≤ ω ≤ + 2k , k ∈ Z ， 2 2 4 4 2 2 4 1 5 Qω > 0 ∴ ≤ ω ≤ . 2 4
SC 为球 O 的直径，且 SC = 2 ，则此棱锥的体积为
A.
2 6
B.
3 6
C.
2 3
D.
2 2
【解析】选 A. 易知点 S 到平面 ABC 的距离是点 O 到平面 ABC 的距离的 2 倍.显然 O − ABC 是棱长为 1 的正四面体，其高为
6 1 3 6 2 2 ，故 VO − ABC = × × = ， VS − ABC = 2VO − ABC = 3 3 4 3 12 6
C. A 和 B 分别是 a1 , a2 , L , a N 中最大的数和最小的数 D. A 和 B 分别是 a1 , a2 , L , a N 中最小的数和最大的数 【解析】选 C.
7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【解析】选 B. 由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为 3 的三棱锥，
2 2 2 2 2 o 2
.
= 4 − 2 2 b + b = 10 ，解得 b = 3 2 .
2
x − y ≥ −1 x + y ≤ 3 14. 设 x, y 满足约束条件 则 Z = x − 2 y 的取值范围为 x ≥ 0 y ≥ 0