锐角三角比讲义

【知识点总结与归纳】

1、 锐角的三角比

（1） 定义：在直角三角形ABC 中，A ∠为一锐角，则

∠A 的正弦=A a sin A=c

∠的对边，即斜边

∠A 的余弦=A b cos A=c

∠的邻边，即斜边

,

∠A 的正切=A a tanA=A b

∠的对边，即∠的邻边

∠A 的余切=A a =A b

∠的邻边，即cotA ∠的对边

注：三角函数值是一个比值．

定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。

若A ∠为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA 的取值范分别是：

0sinA<1,00,cotA>0<。

同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1

tanA cotA=1tanA=cot A

或

2、 特殊锐角的三角比的值

（1） 特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值

锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）

已知锐角，求三角比

已知锐角的一个三角比，求锐角 直角三角形中的边角关系（三边之间、两锐角之间、一锐角与两边之间） 解

直角三角形

已知一边和一锐角

已知两边

解直角三角形的应用

（2） 同角，互余的两角多的三角比之间的关系： 倒数关系：1

tanA=

cot A

平方关系：2

2

sin A+cos A=1 积商关系：sin cos tanA=

,cot cos sin A A

A A A

=

余角和余函数的关系：

如果0

90A B ∠+∠=，那么sinA=cosB, tanA=cotB （正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。

注意：求锐角三角比的值问题

（1） 在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻

边”，掌握三角比的定义。

（2） 给出锐角的度数，求这个锐角的三角比

特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。 求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。

（3） 当锐角不是直角三角形的内角，首先观察有否相等的锐角可代换，而且可代换

的锐角含在某直角三角形中，如果没有可代换的相等的锐角，可作适当的垂线构建含有这个锐角的直角三角形。

3、 解直角三角形

（1） 在直角三角形中，除直角外，还有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三

角形中除直角外的已知两个元素（其中至少含有一条边），求出其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

（2） 解直角三角形常用到的关系：

锐角关系：0

90A B ∠+∠=，

三边关系：勾股定理：222

a b c +=

边角关系：sinA=,cos ,tan ,cot sinB=,cos ,tan ,cot a b a b A A A c c b a

b a b a B B B

c c a b ⎧

===⎪⎪⎨⎪===⎪⎩

直角三角形的面积：111

sin 222

S ch ab ab C ∆=

== （3） 当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三

角形，再求解。

（4） 解直角三角形的类型有：

已知两条边；已知一条边和一个锐角。

（5）解法分类：已知斜边和一个锐角解直角三角形；

已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；

已知两边解直角三角形．

注意：解直角三角形的方法：可概括为“有弦（斜边）则弦（正弦，余弦），无弦用切，宁乘勿除，取原避中”。这几句话的含义是：当已知条件中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，则用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则尽量用乘法，避免用除法；既可以用已知的原始数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，避免用中间数据后引起连锁错误或较大误差。

4、解直角三角形的应用

（1）仰角和俯角视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。

（2）坡角和坡度坡面与水平面的夹角叫做坡角。坡面的铅直高度h与水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用i标志，即i=h:l,通常坡度要写成1:m的形

式，坡角的正切是坡面的坡度。

（3）方向角一般以观测者的位置为中心将正北或正南方向为始边旋转到目标的方向线所成的锐角。

例1已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是

A、

2

sin

3

B=B、

2

cos

3

B=C、

2

tan

3

B=D、

2

cot

3

B=

例2

某山路坡面坡度i=某人沿此山路向上前进200米,那么他在原来基础上

升高了__________米．

例3如图8-1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=3

5

．

求：（1）DC的长；（2）sinB的值．

例4如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千

踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，

若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为︒

53，

则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：

︒

53

sin≈0.8,︒

53

cos≈0.6)

课后作业

一、填空题

1．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为____________．

(不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°

，cos15°

)

0.5m

图8-3-1