平面势流的叠加流动

二、点涡和点汇叠加的流动——螺旋流
点涡 2 2 点汇
qV 1 l nr 2
2
l nr 2
qV 1 2
等势线方程
1 （Γ qV l n r） 2 1 （Γ l n r qV ） 2 流线方程
一、势流叠加原理
1、 1 2 3 2、 2 2 (1 2 3 ) 21 2 2 2 3 0
2 2 1 2 2 2 3 0
3、
1 2 3 x x x x 3 1 2 y y y y 1 2 3 z z z z
u u1 u 2 u 3 v v1 v 2 v 3 w w1 w 2 w3
V V1 V2 V3
重要结论：叠加两个或多个不可压平面势流流动组成一个
新的复合流动，只要把各原始流动的势函数或流函数简单 地代数相加，就可得到该复合流动的势函数或流函数。该 结论称为势流的叠加原理。
第六节 平面势流的叠加流动
势流叠加原理
几个简单有势流动叠加得到的新的有势流动，其速度势函数 和流函数分别等于原有几个有势流动的速度势函数和流函数的代 数和，速度分量为原有速度分量的代数和。

意义：
将简单的势流叠加起来，得到新的复杂流动的流函数和势函 数，可以用来求解复杂流动。
一、点涡和点汇叠加的流动——螺旋流 二、点源和点汇叠加的流动——偶极流
M y M y 2 2 r 2 x 2 y 2
偶极流流线方程
M M x2 y 4C1 4C1
2
2
2
M M 2 x y 偶极流等势线方程 4C 4C 2 2
2 3 4 ln( 1 ) ln （ 1 ） 2 3 4 qV 2a cos1 qV 2a cos1 lim ln 1 lim 2 a 0 2 2 a 0 r2 r2 qV 2 qV
Γ qV lnr const
r C1e
Γ qV
Γ lnr qV const q
r C 2e

Байду номын сангаас
V
Γ

等势线簇和流线簇是两组互相正交的对数螺旋线簇， 称为螺旋流。流体从四周向中心流动。
研究螺旋流在工程上有重要意义。例如旋流燃烧室、 旋风除尘设备及多级离心泵反导叶中的旋转气流即可 看成是这种螺旋流。
M cos M r cos 2r 2 r 2
M x M x 2 2 r 2 x 2 y 2
偶极流流函数Ψ BC为从B点向AP所作的垂线 BC r2 sin 2a sin1
2a 0 a 0 sin
r 2a sin
M r sin q q 2a sin lim V lim V 2 2a 0 2 a 0 2 2 r 2 r qV qV
螺旋流的速度分布
1 Γ v r 2r qV vr r 2r
1 （Γ qV l n r） 2 1 （Γ l n r qV ） 2

2 2 Γ q V V 2 v2 vr2 4 2 r 2
代入伯努里方程，得流场的压强分布
2
单独的偶极流没有什么实际意义，但是它与直线均匀流 叠加的复合势流非常有用。
四、绕圆柱体无环量流动
均匀直线流
均匀直线流与偶极流叠加
M x M x 2 r 2 2 x 2 y 2 M y M y 2 r 2 2 x 2 y 2
偶极流
V x V y
2 qV （x a） y2 ln 2 4 （x a） y2 qV qV （1 2） 2 2
qV 2 2 （ln r1 ln r2） ln （x a） y 2 ln （x a） y2 2 2
V


偶极流定义 点源和点汇无限接近的同时，流量无限增大(即2a→0，qv →∞) 以至使2aqv保持一个有限常数值M的极限情况。在这种极限情 况下的流动称为偶极流，M称为偶极矩或偶极强度 偶极流是有方向的，一般规定由点源指向点汇的方向为正向
常数
常数
偶极流速度势φ qV qV r1 qV r1 r2 （ln r1 ln r2） ln ln 1 2 2 r2 2 r2 r1 r2 2a cos1
2a 0 qV
2aqV M
r1 r2 r 1 2 0
1 2 2 1 p1 p2 2（Γ qV） 2 2 8 r r 1 2
三、点源和点汇叠加的流动——偶极流
A点（－a，0）——点源
B点（a，0）
——点汇
叠加
点源
1
1
qV 1 1 2
q
qV 1 l n r1 2
V2 l n r2 2 点汇 2 qV 2 2 2 2 叠加 q