2019-2020第二学期太原市高一期末数学试题
山西省太原市2019-2020学年高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年山西省太原市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．在等差数列{a n}中，a1＝1，d＝2，则a4＝（）A．5B．7C．8D．162．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）3．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣14．在△ABC中，A＝30°，b＝，c＝1，则a＝（）A．2B．C．D．15．已知a＜b，则下列结论正确的是（）A．a2＜b2B．＜1C．＞D．2a＜2b6．在等比数列{a n}中，若a1a3a5＝8，则a2a4＝（）A．2B．4C．±2D．±47．cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为（）A．B．C．D．8．若||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，则|+|的值（）A．1B．C．D．29．在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），则a2020＝（）A．0B．C．﹣D．10．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+的最小值是（）A．+1B．3+2C．﹣1D．3﹣211．若不等式ax2+2ax﹣1＜0对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（﹣1，0]D．[0，+∞）12．已知等差数列{a n}满足a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0．其前n项和为S n，则使S n＞0成立时n最大值为（）A．2020B．2019C．4040D．4038二、填空题：本大题共4个小题，每个小题3分，共12分，把答案填在横线上．13．已知扇形的半径为1，圆心角为45°，则该扇形的弧长为．14．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为km．15．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则+的值为．16．已知数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l（n∈N*），则该数列的前80项和为．三、解答题（共3小题，满分30分）17．已知等差数列{a n}中，a2＝3，a4＝7．等比数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a14．（1）求数列{a n}通项公式a n；（2）求数列{b n}的前n项和S n．18．已知sinα＝，α∈（，π）．（1）求cosα，tanα；（2）求的值．19．已知△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．（1）求b；（2）求△ABC的面积．（请同学们在甲，乙两题中任选一题作答）20．已知向量＝（1，cos x），＝（1+sin x，1），x∈R，函数f（x）＝•﹣1，（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≥1，求x的取值范围．选做题21．已知向量＝（1，cos2x），＝（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）＝•．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≤2，求x的取值范围．（请同学们在甲、乙两题中任选一题作答）22．已知数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．（1）证明：{}为等差数列；（2）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．选做题23．已知数列{a n}满足a1＝5，a n+1＝2a n+2n+1﹣1（n∈N*），b n＝（n∈N*）．（1）是否存在实数λ，使得{b n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．（2）利用（1）的结论，求数列{a n}的前n项和S n．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置.1．在等差数列{a n}中，a1＝1，d＝2，则a4＝（）A．5B．7C．8D．16【分析】由已知直接利用等差数列的通项公式求解．解：在等差数列{a n}中，由a1＝1，d＝2，得a4＝a1+3d＝1+3×2＝7．故选：B．2．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【分析】可以先求出方程x（x﹣1）＝0的根，根据一元二次不等式的解法，进行求解；解：x（x﹣1）＝0，可得x＝1或0，不等式x（x﹣1）＞0，解得{x|x＞1或x＜0}，故选：D．3．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【分析】根据条件便有，进行向量数量积的坐标运算便可得出k的值．解：∵；∴；∴k＝2．故选：A．4．在△ABC中，A＝30°，b＝，c＝1，则a＝（）A．2B．C．D．1【分析】利用余弦定理即可求出a的值．解：因为A＝30°，b＝，c＝1，∴a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝＝1，故a＝1．故选：D．5．已知a＜b，则下列结论正确的是（）A．a2＜b2B．＜1C．＞D．2a＜2b【分析】通过举例利用排除法可得ABC不正确，即可得出结论．解：由a＜b，取a＝﹣2，b＝﹣1，可知A，B不正确；取a＝﹣1，b＝1，可得C不正确．故选：D．6．在等比数列{a n}中，若a1a3a5＝8，则a2a4＝（）A．2B．4C．±2D．±4【分析】根据等比数列的性质知：a1a3a5＝（a2q）3＝8，a2q＝a3＝2，a2a4＝a32＝4．解：设等比数列{a n}的公比为q，则a1a3a5＝•a2q•a2q3＝（a2q）3＝8，则a2q＝a3＝2．又a2a4＝•a3q＝a32＝22＝4．故选：B．7．cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用两角差的余弦公式，求得所给式子的值．解：cos45°cos15°+sin15°sin45°＝（cos45°﹣15°）＝cos30°＝，故选：B．8．若||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，则|+|的值（）A．1B．C．D．2【分析】根据向量的平方等于模的平方，利用数量积定义和数量积的性质即可得出．解：∵||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，∴＝1，＝4，•＝﹣1，∴|+|2＝（+）2＝+﹣2•＝1+4﹣2＝3，故|+|＝，故选：B．9．在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），则a2020＝（）A．0B．C．﹣D．【分析】利用数列{a n}的通项公式求出数列{a n}的前4项，得到{a n}是周期为3的周期数列，从而a2020＝a1，由此能求出结果．解：在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），∴＝，＝﹣，＝0，∴{a n}是周期为3的周期数列，∵2020＝673×3+1，∴a2020＝a1＝0．故选：A．10．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+的最小值是（）A．+1B．3+2C．﹣1D．3﹣2【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+＝（+）（x+2y）＝3+，当且仅当且x+2y＝1即y＝＝，x＝时取等号，故选：B．11．若不等式ax2+2ax﹣1＜0对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（﹣1，0]D．[0，+∞）【分析】由已知对a进行分类讨论，然后结合二次不等式的性质可求．解：当a＝0时，﹣1＜0恒成立，当a≠0时，可得，解可得，﹣1＜a＜0，综上可得，﹣1＜a≤0，故选：C．12．已知等差数列{a n}满足a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0．其前n项和为S n，则使S n＞0成立时n最大值为（）A．2020B．2019C．4040D．4038【分析】差数列{a n}的首项a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0，可得a2019＞0，a2020＜0．再利用求和公式及其性质即可得出．．解：∵等差数列{a n}的首项a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0，∴a2019＞0，a2020＜0．于是S4038＝＝＞0，S4039＝＝4039•a2020＜0．∴使S n＞0成立的最大正整数n是4038．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每个小题3分，共12分，把答案填在横线上．13．已知扇形的半径为1，圆心角为45°，则该扇形的弧长为．【分析】根据弧长公式进行计算即可．解：由题意得，扇形的半径为8cm，圆心角为45°，故此扇形的弧长为：＝．故答案为：．14．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为30 km．【分析】根据题意画出相应的图形，求出∠B与∠BAC的度数，再由AC的长，利用正弦定理即可求出BC的长．解：根据题意画出图形，如图所示，可得出∠B＝75°﹣30°＝45°，在△ABC中，根据正弦定理得：＝，即＝，∴BC＝30km，则这时船与灯塔的距离为30km．故答案为：3015．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则+的值为2．【分析】由题意可得b2＝ac，2x＝a+b，2y＝b+c，代入要求的式子+，化简求得结果．解：∵已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，可得b2＝ac，2x＝a+b，2y＝b+c，∴+＝+＝＝＝2，故答案为2．16．已知数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l（n∈N*），则该数列的前80项和为3240．【分析】由数列递推式判断数列的特征，4项一组，求和后得到一个等差数列，然后求和即可．解：设a1＝a，由a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l，得a2＝a+1，a3＝2﹣a，a4＝7﹣a，a5＝a，a6＝a+9，a7＝2﹣a，a8＝15﹣a，a9＝a，a10＝a+17，a11＝2﹣a，a12＝23﹣a．可知：a1+a2+a3+a4＝10，a5+a6+a7+a8＝26，a9+a10+a11+a12＝42，…10，26，42，…是等差数列，公差为16，∴数列{a n}的前80项和为：20×10+×16＝3240．故答案为：3240．三、解答题（共3小题，满分30分）17．已知等差数列{a n}中，a2＝3，a4＝7．等比数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a14．（1）求数列{a n}通项公式a n；（2）求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）设等比数列{b n}的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求和．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝3，a4＝7，可得a1+d＝3，a1+3d＝7，解得a1＝1，d＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；（2）设等比数列{b n}的公比为q，由b1＝a1＝1，b4＝a14＝q3＝27，解得q＝3，数列{b n}的前n项和S n＝＝（3n﹣1）．18．已知sinα＝，α∈（，π）．（1）求cosα，tanα；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得结果．（2）由题意利用诱导公式，求得结果．解：（1）∴已知sinα＝，α∈（，π），∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝﹣．（2）＝＝﹣cos2α＝﹣．19．已知△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．（1）求b；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得b的值．（2）由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．∴由正弦定理，可得b＝＝＝2．（2）∵A+B+C＝180°，A＝60°，B＝45°．∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝+＝，∴S△ABC＝ab sin C＝×＝9+3．（请同学们在甲，乙两题中任选一题作答）20．已知向量＝（1，cos x），＝（1+sin x，1），x∈R，函数f（x）＝•﹣1，（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≥1，求x的取值范围．【分析】（1）写出f（x）解析式，根据正弦函数的周期及对称中心可得答案；（2）条件等价于sin（x+）≥，解之即可解：由题可得f（x）＝＝1+sin x+cos x﹣1＝sin（x+），（1）由f（x）解析式可得其最小正周期T＝2π，令x+＝kπ，则x＝kπ﹣，k∈Z，即f（x）的对称中心为（kπ﹣，0），k∈Z；（2）由f（x）≥1得sin（x+）≥，解得2kπ+≤x+≤2kπ+π，k∈Z，则2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z，所以x的取值范围为[2kπ，2kπ+]（k∈Z）．选做题21．已知向量＝（1，cos2x），＝（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）＝•．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≤2，求x的取值范围．【分析】（1）根据平面向量数量积的运算得到f（x）解析式，结合正弦函数性质即可得到答案；（2）由f（x）≤2得到sin（2x+）≤，解之即可解：由题得f（x）＝＝1+sin2x+cos2x＝1+sin（2x+）（1）则函数f（x）的最小正周期为T＝＝π，令2x+＝kπ，解得x＝（k∈Z），即函数的对称中心为（，1）（k∈Z）；（2）当f（x）≤2时，即1+sin（2x+）≤2，所以sin（2x+）≤，则﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤kπ（k∈Z），即x的取值范围是[﹣+kπ，kπ]（k∈Z）（请同学们在甲、乙两题中任选一题作答）22．已知数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．（1）证明：{}为等差数列；（2）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用定义的应用求出结果．（2）利用（1）的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．【解答】证明：（1）数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．整理得：（常数），所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．解：（2）由（1）得：，解得：a n＝n（n+2）．所以．所以：＝＝选做题23．已知数列{a n}满足a1＝5，a n+1＝2a n+2n+1﹣1（n∈N*），b n＝（n∈N*）．（1）是否存在实数λ，使得{b n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．（2）利用（1）的结论，求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）由a n+1＝2a n+2n+1﹣1，得，然后利用累加法求得数列{a n}的通项公式，再由等差数列的定义求使{b n}为等差数列的λ值；（2）由（1）知，，令{（n+1）•2n}的前n项和为T n，利用错位相减法求得T n，进一步求得数列{a n}的前n项和S n．解：由a n+1＝2a n+2n+1﹣1，得，∴，得，，，…（n≥2）．累加得：＝＝．∴（n≥2）．a1＝5适合上式，∴．则b n＝＝．＝．若{b n}为等差数列，则λ﹣1＝0，即λ＝1．故存在实数λ＝1，使得{b n}为等差数列；（2）由（1）知，．令{（n+1）•2n}的前n项和为T n，则，．∴＝，得．∴数列{a n}的前n项和S n＝n•2n+1+n．。
2019-2020学年山西省太原市高一下学期期末质量检测数学试题
山西省太原市2019-2020学年高一下学期期末质量检测数学试题（考试时间：上午8：00-9：30）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置.1.在等差数列{}n a 中，11a =，2d =，则4a =（ ）A.5B.7C.8D.162.不等式()10x x ->的解集是（ ）A.()(),01,-∞+∞B.()0,1C.(),0-∞D.()1,+∞3.已知向量()2,1a =，()1,b k =-，且a b ⊥，则实数k =（ ）A.2-B.12-C.2D.124.在ABC △中，30A =︒，b =1c =，则a =（ ）A.2 D.15.已知a b <，则下列结论正确的是（ ）A.22a b <B.1a b <C.11a b >D.22a b< 6.在等比数列{}n a 中，若1358a a a =，则24a a =（ ）A.2B.4C.2±D.4±7.cos45cos15sin 45sin15︒︒+︒︒=（ ）A.2B.2-C.12D.12- 8.已知1a =，2b =，且a 与b 的夹角为120︒，则a b +=（ ）D.29.在数列{}n a 中，10a =，1n a +=（*n N ∈），则2020a =（ ）A.0C.D.310.已知0x >，0y >，且21x y +=，则11x y+的最小值是（ ）1B.3+1D.3- 11.若不等式2210ax ax +-<对于一切实数x 都恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.(],1-∞-B.()1,0-C.(]1,0-D.[)0,+∞12.已知等差数列{}n a 满足10a >，201920200a a +>，201920200a a ⋅<，其前n 项和为n S ，则使0n S >成立时n 最大值为（ ）A.2020B.2019C.4040D.4038二、填空题：本大题共4个小题，每个小题3分，共12分，把答案填在横线上.13.已知扇形的半径为1，圆心角为45︒，则该扇形的弧长为______.14.一艘船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60︒，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15︒，这时船与灯塔的距离为______km .15.若a ，b ，c 成等比数列，a ，x ，b 成等差数列，b ，y ，c 成等差数列（x ，y 均不为0），则a c x y+=______. 16.已知数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=-（n N *∈），则该数列的前80项和为______. 三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 中，23a =，47a =，等比数列{}n b 满足11b a =，414b a =.（1）求数列{}n a 通项公式n a ；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分10分）已知1sin 3α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）求cos α，tan α；（2）求()()()sin πcos πtan ααα+--的值.19.（本小题满分10分）已知ABC △中，60A =︒，6a =，45B =︒.（1）求b ；（2）求ABC △的面积.20.（本小题满分10分）（请同学们在甲、乙两题中任选一题作答）（甲）已知向量()1,cos a x =，()1sin ,1b x =+，x ∈R ，函数()1f x a b =⋅-.（1）求函数()f x 的最小正周期和对称中心；（2）若()1f x ≥，求x 的取值范围.（乙）已知向量()1,cos2a x =，()1sin 2,1b x =+，x ∈R ，函数()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期和对称中心；（2）若()2f x ≤，求x 的取值范围.21.（本小题满分12分）（请同学们在甲、乙两题中任选一题作答）（甲）已知数列{}n a 满足13a =，()()212356n n n a n a n n ++=++++（*n ∈N ）.（1）证明：2n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列； （2）设1n nb a =（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n S . （乙）已知数列{}n a 满足15a =，11221n n n a a ++=+-（*n ∈N ），2n n n a b λ-=（*n ∈N ） （1）是否存在实数λ，使得{}n b 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.（2）利用（1）的结论，求数列{}n a 的前n 项和n S .参考答案一、选择题（每小题3分，共36分）二、填空题（每小题3分，共12分）13.π4 14. 15.2 16.324017.解：（1）由题意得2141337a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，112ad =⎧∴⎨=⎩， ()1121n a a n d n ∴=+-=-（*n∈N ）； （2）由（1）得111b a ==，41427b a ==，334127b b q q ∴===，3q ∴=，()()1113112n n n b q S q -∴==--（*n ∈N ）. 18.解：（1）1sin 3α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 3α∴==-， sin tan cos 4ααα∴==-； （2）()()()sin πcos πtan ααα+-- ()()sin cos tan ααα--=- 2cos α=-89=-. 19.解：（1）由正弦定理sin sin a b A B=得sin 6sin 45sin sin 60a B b A ⋅⨯︒===︒ （2）60A =︒，45B =︒，75C ∴=︒，11sin 67522ABC S ab C ∴==⨯⨯︒△ )sin 45cos30cos45sin30=︒︒+︒︒9=+.20.（甲）解：（1）()π1sin cos 4f x a b x x x ⎛⎫=⋅-=+=+ ⎪⎝⎭， 令ππ4x k +=（k Z ∈），则ππ4x k =-+，()f x ∴的对称中心为ππ,04k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）， ()f x 的最小正周期为2T π=；（2）由（1）得()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，πsin 42x ⎛⎫∴+≥ ⎪⎝⎭， ππ3π2π2π444k x k ∴+≤+≤+（k ∈Z ），π2π2π2k x k ∴≤≤+， x ∴的取值范围为π2π,2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.（乙）解：（1）()πsin 2cos21214f x a b x x x ⎛⎫=⋅=++=++ ⎪⎝⎭， 令π2π4x k +=（k Z ∈），则ππ82k x =-+，()f x ∴的对称中心为ππ,182k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）， ()f x 的最小正周期为T π=；（2）由（1）得()π214f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，πsin 24x ⎛⎫∴+≤ ⎪⎝⎭， 5πππ2π22π444k x k ∴-+≤+≤+（k ∈Z ），3πππ4k x k ∴-+≤≤， x ∴的取值范围为3ππ,π4k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 21.（甲）解：（1）()()()()()212356323n n n n a n a n n n a n n +∴+=++++=++++，1132n n a a n n +∴-=++是一个与n 无关的常数， 2n a n ⎧⎫∴⎨⎬+⎩⎭是以113a =为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）得()112n a n n n =+-=+，()2n a n n ∴=+（*n N ∈）， ()11111222n n b a n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭（*n ∈N ）， 121111111112324112n n S b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()3234212n n n +=-++. （乙）解：（1）假设存在实数λ，使得{}n b 为等差数列，则1322b b b +=， 312322222a a a λλλ---∴+=⨯，32533132222λλλ---∴+=⨯，1λ∴=， 当1λ=时，1111111211222n n n n n n n n n a a a a b b +++++---+-=-==是一个与n 无关的常数， {}n b ∴是以11122a b -==为首项，1为公差的等差数列， ∴存在实数1λ=；（2）由（1）得()111n b b n d n =+-=+，112n n a n -∴=+，()121n n a n ∴=+⨯+（*n ∈N ）， ()231222324212n n n S a a a n n ⎡⎤∴=+++=⋅+⋅+⋅++++⎣⎦，设()212232212n n T n n -=⨯+⨯++⨯++⨯()23122232212n n n T n n +∴=⨯+⨯++⨯++⨯，()()()()121141222221241212n n n n n T n n -++-∴-=⨯+++-+=+-+- 12n n +=-⋅，12n n T n +∴=⋅，12n n S n n +∴=⋅+（*n ∈N ）.。
山西省2019-2020学年高一下学期期末考试数学(文科)试题
山西2019~2020学年高一下学期期末考试数 学（文科）考生注意：1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区．．．．．域书写的答案无效．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．. 3. 本卷命题范围：必修1、必修3、必修4、必修5（线性规划除外）.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，集合{}2,3B =，则()U C A B =（ ）A. {}4B. {}1,3,4C. {}3D. {}3,42. 在四边形ABCD 中，AC AD DC --=（ ） A. ACB. ADC. CDD. 03. 向下图中随机投点，点投在阴影部分的概率是（ ）（其中D 为边BC 靠近点B 的三等分点）A.14 B.23 C. 13D. 124. 已知01a b <<<，那么下列不等式成立的是（ ）A. 2a ab ab >>B. 2ab ab a >>C. 2ab a ab >>D. 2ab ab a >>5. 已知角α的终边过点(),2m -，若()1tan 5πα+=，则m =（ ） A.25B. -10C. 10D. 25-6. 已知向量()3,0a =，(),2b x =-，且()2a a b ⊥-，则x =（ ）A. B. 2-C.D.27. 已知函数()24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的最大值为2B. ()f x 的最小正周期为πC. 4f x π⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数D. ()f x 的图象关于直线52x π=对称 8. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出k 的结果是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 59. 已知样本9，10，11，m ，n 的平均数是9，方差是2，则mn m n --=（ ） A. 41B. 29C. 55D. 4510. 在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，2312a a +=，则下列说法错误．．的是（ ） A. 2q = B. 数列{}2n S +是等比数列C. 8510S =D. 数列{}lg n a 是公差为2的等差数列11. 已知函数()()sin 0f x x ωπω=>在(]0,2上恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω的取值范围是（ ） A. 13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 15,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 35,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭12. 已知a R ∈，函数()243f x x x a a =-+-+在区间[]0,4上的最大值是3，则a 的取值范围是（ ）A. []1,3B. (],3-∞C. (],1-∞D. []0,1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 不等式2340x x --≥的解集为______.14. 已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 15. 已知0a >，0b >，1a b +=，则161a b+的最小值为______. 16. 已知函数2log (5),1()2,1xx x f x m x -+≤⎧=⎨->⎩在R 上存在最小值，则m 的取值范围是______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 已知0απ<<，cos 10α=-. （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求sin 21cos 2αα+的值.18. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且sin cos 2c C a A ==. （1）求C ； （2）若b =ABC △的周长.19. 已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n b S +=，数列{}n b 的前项和为n T ，求n T . 20. 某机构随机抽取100名儿童测量他们的身高（他们的身高都在90cm ~150cm 之间），将他们的身高（单位：cm ）分成：[)90,100，[)100,110，[)110,120，…，[]140,150六组，得到如图所示的部分频率分布直方图.已知身高属于[)100,110内与[)110,120内的频数之和等于身高属于[)120,130内的频数.（1）求频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和； （2）求身高处于[)120,130内与[)110,120内的频率之差；（3）用分层抽样的方法从身高不低于130cm 的儿童选取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任选3人，以频率代替概率，求这3人中恰好有一人身高不低于140cm 的概率. 21. 已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求方程()32f x =-在区间[]0,4内的所有实数根之和. 22. 已知等比数列{}n a 的公比1q >，且3540a a +=，416a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n n b a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意正整数n 不等式(1)2n n n nS a +>-⋅恒成立，求a 的取值范围.。
2019-2020学年山西省太原市高一(下)期末数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年山西省太原市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.在等差数列{a n}中，a2015=a2013+6，则公差d等于()A. 2B. 3C. 4D. 62.不等式(x+2)(x−1)>4的解集为()A. (−∞,−2)∪(3,+∞)B. (−∞,−3)∪(2,+∞)C. (−2,3)D. (−3,2)3.已知向量a⃗=(2,−1)，向量b⃗ =(m,7)，向量c⃗=(3,0)，若(2a⃗+c⃗ )⊥b⃗ ，则实数m的值为()A. 2B. −2C. 492D. −4924.已知△ABC中，a=c=√6−√2，且A=15°，则b等于()A. 2B. √6−√2C. 4−2√3D. 4+2√35.已知a，b∈R，下列结论成立的是()A. 若a<b，则ac<bcB. 若a<b，c<d，则ac<bdC. 若a<b<0，则1a >1bD. 若a<b，则a n<b n(n∈N∗,n≥2)6.等比数列{a n}中，a2a4=16，则a1a5=()A. 4B. 16C. −4D. −167.已知角α的终边经过点P(sin47°,cos47°)，则sin(α−13°)=()A. 12B. √32C. −12D. −√328.若|m⃗⃗⃗ |=2，m⃗⃗⃗ ·n⃗=8，m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为60°，则|n⃗|的值为()A. 5B. 6C. 7D. 89.数列{a n}满足a n+1+a n=2n−3，则a8−a4=()A. 7B. 6C. 5D. 410.已知正数a，b满足a+b=3，则1a +4b+1的最小值为()A. 94B. 3415C. 73D. 9211.若不等式4x2−log a x<0对任意x∈(0,14)恒成立，则实数a的取值范围为()A. [1256,1) B. (1256,1) C. (0,1256) D. (0,1256]12.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若−a2013<a1<−a2014，则必定有()A. S2013>0，且S2014<0B. S2013<0，且S2014>0C. a2013>0，且a2014<0D. a2013<0，且a2014>0二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 弧长为3π，圆心角为135∘的扇形半径为__________．14. 在△ABC 中，A =60°，B =75°，a =10，则c 等于______．15. 已知6，a ，b ，48成等差数列6，c ，d ，48成等比数列，则a +b +c +d 的值为______ ． 16. 数列{a n }满足a n+2=a n+1−a n ，且a 1+a 2+a 3=3，设S n 为{a n }的前n 项和，则S 2019=______． 三、解答题（本大题共7小题，共76.0分）17. 已知等差数列{a n }满足：a 1=1，且a 2+1，a 5−1，a 8+1成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若等差数列{a n }的公差大于0，求数列{(−1)n a n }的前101项和S 101．18. (1)已知tanα=−2，计算：3sinα+2cosα5cosα−sinα(2)已知sinα=2√55，求tan(α+π)+sin(5π2+α)cos(5π2−α)的值．19. 在△ABC 中，a =6，B =30°，C =120°，求△ABC 的面积．20. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(cosx,−sinx)，n ⃗ =(cosx,sinx −2√3cosx)，x ∈R ，设f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)x ∈[π4,π2]，求函数f(x)的值域．21. 设向量α⃗ =(√3sin2x,cosx +sinx)，β⃗ =(1,cosx −sinx)，其中x ∈R ，函数f(x)=α⃗ ⋅β⃗ ． (1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(θ)=1，其中0<θ<π2，求cos(θ−π6)的值．22. 数列{a n }满足a 1=1，12an+1=12a n+1(n ∈N ∗).(Ⅰ)求证：{1a n}是等差数列；(Ⅱ)若b n =a n ⋅a n+1，求{b n }的前n 项和S n ．23. 数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2n+1a n(n+12)an+2n(n ∈N ∗)(1)设b n =2na n，求数列{b n }的通项公式；(2)设c n =1n(n+1)a n+1，数列{c n }的前n 项和为S n ，不等式14m 2−14m >S n 对一切n ∈N ∗成立，求m 得范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．求得公差．在等差数列中，直接利用d=a n−a mn−m【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2015=a2013+6，得2d=a2015−a2013=6，解得d=3．故选：B．2.答案：B解析：【分析】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．根据题意解不等式即可．【解答】解：原不等式可化为x2+x−6>0，即(x+3)(x−2)>0，所以x>2或x<−3，即原不等式的解集为(−∞,−3)∪(2,+∞).故选B．3.答案：A解析：【分析】本题考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质，是基础题．利用平面向量坐标运算法则求出2a⃗+c⃗=(7,−2)，再利用向量垂直的性质即可求出m的值．【解答】解：∵a⃗=(2,−1)，b⃗ =(m,7)，c⃗=(3,0)，∴2a⃗+c⃗=(7,−2)，∵(2a⃗+c⃗ )⊥b⃗ ，∴(2a⃗+c⃗ )⋅b⃗ =7m−14=0，解得m=2．故选A．4.答案：A解析：解：∵△ABC中，a=c=√6−√2，且A=15°，即cosA=cos15°=cos(45°−30°)=√22×√32+√2 2×12=√6+√24，∴由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA，即8−4√3=b2+8−4√3−2(√6−√2)b⋅√6+√24，解得：b=2或b=0(舍去)，则b等于2，故选：A．利用两角和与差的余弦函数公式求出cos A的值，利用余弦定理列出关系式，把a，c，cos A的值代入求出b的值即可．此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5.答案：C解析：解：对于A，当c≤0时，不成立，对于B，当a=−2，b=1，c=−3，d=2，时，则不成立，对于C.根据不等式的性质，a<b<0，两边同时除以ab，即可得到1a >1b，即则成立，对于D，当a=−2，b=1，n=2时，则不成立，故选：C．对于A，B，D举反例即可判断，对于C，根据不等式的性质可判断．本题考查了基本的不等式的性质，排除法是常用的方法，属于基础题．6.答案：B解析：解：根据等比数列的性质得，a2a4=a1a5=16，故选：B．本题考查等比数列的性质，属基础题．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查三角函数的化简和求解，利用三角函数的定义结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键．根据三角函数的定义求出sinα和cosα，结合两角和差的正弦公式和余弦公式进行化简即可．【解答】解：∵r=|OP|=√sin247°+cos247°=1，∴sinα=cos47°1=cos47°，cosα=sin47°1=sin47°，则sin(α−13°)=sinαcos13°−cosαsin13°=cos47°cos13°−sin47°sin13°=cos(47°+13°)=cos60°=12，故选：A．8.答案：D解析：【分析】本题考查向量数量积的运算，属于基础题.代入向量的数量积公式求解即可．【解答】解：因为，所以．故选D．9.答案：D解析：【分析】本题考查了学生的化简运算能力及整体思想的应用．由a n+1+a n=2n−3得到a n+2−a n=2，从而求出答案，属基础题．【解答】解：依题意得(a n+2+a n+1)−(a n+1+a n)=[2(n+1)−3]−(2n−3)，即a n+2−a n =2，所以a 8−a 4=(a 8−a 6)+(a 6−a 4)=2+2=4． 故选D ．10.答案：A解析： 【分析】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 正数a ，b 满足a +b =3，则a +b +1=4.利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：正数a ，b 满足a +b =3，则a +b +1=4． 则1a +4b+1=14[a +(b +1)](1a +4b+1)=14(1+b +1a +4a b +1+4) =14(5+b +1a +4a b +1) ≥14(5+2√b +1a ·4a b +1) =14(5+4)=94，当且仅当b+1a=4a b+1即a =43，b =53时原式有最小值．故选：A ．11.答案：A解析：解：∵不等式4x 2−log a x <0对任意x ∈(0,14)恒成立，∴x ∈(0,14)时，函数y =4x 2的图象在函数y =log a x 的图象的下方，∴0<a <1．再根据它们的单调性可得4×(14)2≤log a 14，即log a a 14≤log a 14，∴a 14≥14，∴a ≥1256．综上可得，1256≤a <1， 故选：A ．由题意可得，x ∈(0,14)时，函数y =4x 2的图象在函数y =log a x 的图象的下方，可得0<a <1.再根据它们的单调性可得4×(14)2≤log a 14，解此对数不等式求得a 的范围． 本题主要考查对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．12.答案：A解析：解：∵−a 2013<a 1<−a 2014， ∴a 2013+a 1>0，a 1+a 2014<0， ∴S 2013=2013(a 1+a 2013)2>0，S 2014=2014(a 1+a 2014)2<0，故选：A ．根据等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式即可得到结论．本题主要考查等差数列的性质的应用，要求熟练掌握等差数列的前n 项和公式以及等差数列的性质．13.答案：4解析： 【分析】本题考查角度制弧度制互化和弧长公式，属于基础题． 根据弧长公式即可求得半径． 【解答】解：因为弧长为3π，圆心角为135°=3π4，所以扇形的半径为：3π3π4=4．故答案为4．14.答案：10√63解析：解：∵在△ABC 中，A =60°，B =75°，即C =45°，a =10， ∴由正弦定理asinA =csinC 得：c =asinC sinA=10×√22√32=10√63．故答案为：10√63由A 与B 的度数求出C 的度数，再由sin A ，sin C 以及a 的值，利用正弦定理求出c 的值即可． 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．15.答案：90解析：【分析】本题考查了等差数列的性质、等比数列的通项公式和等比数列的性质，先由等差数列的性质得a+b=6+48，再由等比可得(dc )3=486，cd=6×48，得出c和d的值，即可得出结果．【解答】解：由题知a+b=6+48=54，(dc )3=486，cd=6×48，所以c=12，d=24，所以a+b+c+d=54+12+24=90．故答案为90．16.答案：3解析：【解答】解：根据题意，{a n}满足a n+2=a n+1−a n，变形可得a n+2−a n+1=−a n，又由a n+3=a n+2−a n+1，则有a n+3=−a n，则有a n+6=a n，则数列{a n}的周期为6，又由a1+a2+a3=3，则a4+a5+a6=−(a1+a2+a3)=−3，则有a1+a2+a3+a4+a5+a6=0，则S2019=(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+(a7+a8+a9+a10+a11+a12)+⋯+(a2011+a2012+ a2013+a2014+a2015+a2016)+(a2017+a2018+a2019)=(a1+a2+a3)=3；故答案为：3．【分析】根据题意，将a n+2=a n+1−a n变形可得a n+2−a n+1=−a n，又由a n+3=a n+2−a n+1，分析可得a n+3=−a n，则有a n+6=a n，分析可得数列{a n}的周期为6；又由a1+a2+a3=3，则a4+a5+a6=−(a1+a2+a3)=−3，进而可得a1+a2+a3+a4+a5+a6=0，则S2019=(a1+a2+a3+a4+ a5+a6)+(a7+a8+a9+a10+a11+a12)+⋯+(a2011+a2012+a2013+a2014+a2015+a2016)+(a2017+a2018+a2019)=(a1+a2+a3)，分析可得答案．本题考查数列的递推公式，关键是分析数列{a n}的周期，属于基础题．17.答案：解：(1)公差为d的等差数列{a n}满足：a1=1，且a2+1，a5−1，a8+1成等比数列，可得(a5−1)2=(a2+1)(a8+1)，即为(4d)2=(2+d)(2+7d)，解得d =2或d =−29，即有a n =1+2(n −1)=2n −1 或a n =1−29(n −1)=11−2n 9；(2)等差数列{a n }的公差大于0，可得d =2， (−1)n a n =(−1)n (2n −1)，可得前101项和S 101=−1+3−5+7−9+11−13+，+199−201 =2+2+⋯+2−201=2×50−201=−101．解析：(1)公差设为d ，由等差数列的通项公式和等比数列中项性质，可得d 的方程，解方程可得d ，进而得到通项公式；(2)由题意可得a n =2n −1，(−1)n a n =(−1)n (2n −1)，运用并项求和，计算可得所求和． 本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.答案：解：(1)∵tanα=−2，∴3sinα+2cosα5cosα−sinα=3tanα+25−tanα=3(−2)+25−(−2)=−47．(2)∵知sinα=2√55，∴α为第一象限角或第二象限角， 当α为第一象限角时，cosα=√1−sin 2α=√55，tan(α+π)+sin(5π2+α)cos(5π2−α)=tanα+cosαsinα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα=52． 当α为第二象限角时，cosα=−√1−sin 2α=−√55，tan(α+π)+sin(5π2+α)cos(5π2−α)=tanα+cosαsinα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα=−52．解析：(1)利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．(2)由题意可得α为第一象限角或第二象限角，再利用同角三角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．19.答案：解：∵a =6，B =30°，C =120°，∴在△ABC 中，由内角和定理知A =30°， ∴三角形ABC 为等腰三角形且a =b =6， ∴面积S =12absinC =9√3．解析：由已知利用三角形内角和定理可求A ，进而可求b ，利用三角形面积公式即可计算得解． 本题主要考查了三角形内角和定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．20.答案：解：(1)由已知f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=cos2x−sin2x+2√3sinxcosx=cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π6)，所以(1)函数的周期为2π2=π；(2)因为x∈[π4,π2]，所以2x+π6∈[2π3,7π6]，所以函数sin(2x+π6)∈[−12,√32]，函数f(x)的值域为：[−1,√3].解析：(1)首先求出解析式，然后利用三角函数的公式化简为一个角的一个三角函数的形式，再利用正弦函数的性质求周期和值域．本题考查了平面向量的数量积的坐标运算以及三角函数式的化简，正弦函数的周期和值域；关键是正确化简三角函数为最简形式．21.答案：解：(1)由题意得：f(x)=√3sin2x+(cosx+sinx)⋅(cosx−sinx)，=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，故f(x)的最小正周期T=2π2=π(2)由(1)可知，f(θ)=2sin(2θ+π6)若f(θ)=1，则sin(2θ+π6)=12又因为0<θ<π2，所以π6<2θ+π6<7π6，则2θ+π6=5π6，故θ=π3当θ=π3时，cos(θ−π6)=cos(π3−π6)=√32，∴cos(θ−π6)的值√32．解析：(1)根据向量的坐标运算，二倍角公式及辅助角公式，求得f(x)=2sin(2x+π6)，由T=2πω，即可求得f(x)的最小正周期；(2)由f(θ)=1，及0<θ<π2，即可求得θ，代入即可求得答案．本题考查三角恒等变换，正弦函数的性质，特殊角的三角函数值，考查转化思想，属于中档题．22.答案：解：(I)由12a n+1=12a n+1可得：1a n+1=1a n+2，∴数列{1a n }是等差数列，首项1a1=1，公差d=2．∴1a n =1a1+(n−1)d=2n−1．∴a n=12n−1．(II)∵b n=a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴S n =a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n a n+1 =12(11−13+13−15+⋯+12n −1−12n +1) =12(1−12n+1)=n2n+1．解析：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． (I)由12an+1=12a n+1可得：1an+1=1a n+2，利用等差数列的定义即可得证；(II)b n =a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，利用“裂项求和”即可得出．23.答案：解：(1)∵a n+1=2n+1a n(n+12)a n +2n ，∴a n+12n+1=a n(n+12)a n +2n，取倒数得2n+1a n+1=(n+12)a n +2na n =2na n+n +12，即b n+1−b n =n +12， 则b 2−b 1=1+12， b 3−b 2=2+12， …b n −b n−1=(n −1)+12， 累加得b n =n 2+12． (2)c n =(n+1)2+1n(n+1)2n+2=n 2+2(n+1)n(n+1)2n+2=n (n+1)2n+2+1n⋅2n+1=12n+2+(1n⋅2n+1−1(n+1)⋅2n+2)，故S n =c 1+c 2+⋯+c n =18(1−12n )1−12+14−1(n+1)⋅2n+2=12−(12n+2+1(n+1)⋅2n+2)<12，故：14m 2−14m ≥12． 则m ≥2或m ≤−1．解析：(1)根据递推关系求出b n =2na n，即可求数列{b n }的通项公式；(2)求出c n =1n(n+1)an+1，利用累加法，即可求出{c n }的前n 项和为S n ，即可解不等式．本题主要考查递推数列的应用，根据条件构造数列是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强．。
太原市名校2019-2020学年高一下期末达标检测数学试题含解析
太原市名校2019-2020学年高一下期末达标检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（ ） A ．2或3 B ．4或3C ．5或6D ．8或7【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于k 的不等式，从而得到k 的范围，结合k ∈N ，得到答案. 【详解】函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以可得2621213T k k ππ==++，因为在区间[],3a a +上，函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4，小于等于8，而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个，所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩，即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤， 又因k ∈N ，所以得2k =或者3k =， 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.2．在集合{6x x ≤且}x N ∈中任取一个元素，所取元素x 恰好满足方程()11x-=的概率是（ ）A ．37B ．47C ．12D ．25【答案】B 【解析】 【分析】写出集合中的元素，分别判断是否满足()11x-=即可得解. 【详解】集合{6x x ≤且}x N ∈的元素0，1,2，3，4，5，6.基本事件总数为7，满足方程()11x-=的基本事件数为4.故所求概率47P =. 故选：B. 【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，属于基础题.3．对一切实数x ，不等式42(1)10x a x +-+≥恒成立.则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥- B ．0a ≥ C ．3a ≤ D ．1a ≤【答案】A 【解析】 【详解】0x =时，()421110x a x +-+=≥恒成立.0x ≠时，原不等式等价于2211x a x +≥-. 由221x x+的最小值是2，可得12a -≤，即1a ≥-. 选A. 4．已知0a b <<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．2a ab < B ．C ．11a b>D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 试题分析：若，那么，A 错；，B 错；是单调递减函数当时，所以，C.正确；是减函数，所以，故选C.考点：不等式5．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos a B b A =，且sin a b C =，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．不确定【答案】C 【解析】 【分析】通过正弦定理可得in 0()s A B -=可得三角形为等腰，再由sin a b C =可知三角形是直角，于是得到答案. 【详解】因为cos cos a B b A =，所以sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，即A B =.因为A B =，所以a b =，又因为sin a b C =，所以sin 1C =，所以2C π=，故ABC ∆的形状是等腰直角三角形.【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等. 6．设向量a 12=-（，），b m 1,,m =+-（）且a b ⊥，则实数的值为（） A ．2- B ．2C ．13D ．13-【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直时数量积为0，列方程求出m 的值． 【详解】向量()12a =-，，b =（m+1，﹣m ），当a ⊥b 时，a •b =0， 即﹣（m+1）﹣2m ＝0， 解得m 13=-． 故选D ． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了向量垂直的条件转化，是基础题． 7．设ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，其外接圆半径为2，且有sin sin )A C A C --=）A ．4B C D ．4或5【答案】C 【解析】 【分析】ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，可得角A 、C 的关系，将已知条件()sin sin cos 22A C A C -+-=中角C 消去，利用三角函数和差角公式展开即可求出角A 的值，再由三角形面积公式即可求得三角形面积. 【详解】ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，则2A C B +=，解得23A C π+=，所以()2,sin sin 3C A A C A C π=---=，所以21sin cos 12sin 22232A A A π⎡⎤⎛⎫-+--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，整理得sin 1033A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则sin 03A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭或103A π⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得3A π=或712π.①当3A π=时，211sin 4sin sin 2233ABC S ac B R ππ∆==⋅⋅=②当A = 712π时，2117sin 4sinsin sin 2212123ABC S ac B R πππ∆==⋅⋅⋅=，故选C. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、等差数列性质、三角函数和差角公式、三角函数辅助角公式，综合性较强，属于中档题；解题中主要是通过消元构造关于角A 的三角方程，其中利用三角函数和差角公式和辅助角公式对式子进行化解是解题的关键.8．在非直角ABC ∆中，“A B >”是“tan tan A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】C 【解析】 【分析】由tan tan A B >得出22tan tan 0A B ->，利用切化弦的思想得出其等价条件，再利用充分必要性判断出两条件之间的关系. 【详解】若tan tan A B >，则222222sin sin tan tan cos cos A BA B A B-=-()()22222222sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos cos cos A B A B A B A B A B A B A B A B -+-==⋅⋅()()()2222sin sin sin sin 0cos cos cos cos A B A B A B CA B A B-+-==>⋅⋅，易知sin 0C >，2cos 0A >，2cos 0B > ，()sin 0A B ∴->， 0A π<<，0B π<<，A B ππ∴-<-<，()sin 0A B ->，0A B π∴<-<，A B ∴>.因此，“A B >”是“tan tan A B >”的充要条件，故选C. 【点睛】本题考查充分必要性的判断，同时也考查了切化弦思想、两角和差的正弦公式的应用，在讨论三角函数值符号时，要充分考虑角的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 9．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元 【答案】D 【解析】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确； 结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；前6个月的平均收入为1(406030305060)456+++++=万元，故D 项错误． 综上，故选D ．10．从3位男运动员和4位女运动员中选派3人参加记者招待会，至少有1位男运动员和1位女运动员的选法有（ ）种 A ．111345C C C B ．3374C C -C ．12213434C C C C +D ．37C【答案】C 【解析】 【分析】利用分类原理，选出的3人中，有1男2女，有2男1女，两种情况相加得到选法总数. 【详解】（1）3人中有1男2女，即1234C C ；（2）3人中有2男1女，即2134C C ；所以选法总数为12213434C C C C +，故选C.【点睛】分类加法原理和分步乘法原理进行计算时，要注意分类的标准，不出现重复或遗漏情况，本题若是按先选1个男的，再选1个女的，最后从剩下的5人中选1人，则会出现重复现象.11．对具有线性相关关系的变量,x y ，有观测数据()(),1,2,3,10i i x y i =⋯，已知它们之间的线性回归方程是ˆ320yx =+，若10118ii x==∑，则101i i y ==∑（ ）A ．254B ．25.4C ．74D ．7.4【答案】A 【解析】 【分析】先求出x ，再由线性回归直线通过样本中心点(),x y 即可求出101i i y =∑.【详解】 由题意，181.810x ==，因为线性回归直线通过样本中心点(),x y ，将 1.8x =代入可得25.4y =，所以10110254ii yy ===∑.【点睛】本题主要考查线性回归直线通过样本中心点(),x y 这一知识点的应用，属常规考题.12．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( )A ．12倍 B ．2倍C ．4倍 D ．2倍 【答案】C 【解析】 【分析】以三角形的一边为x 轴，高所在的直线为y 轴，由斜二测画法看三角形底边长和高的变化即可． 【详解】以三角形的一边为x 轴，高所在的直线为y 轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为y′轴，长度减半，故三家性的高变为原来的12sin45°=4，故直观图中三角形面积是原三角形面积的4． 故选C ． 【点睛】本题重点考查了斜二侧画法、平面图形的面积的求解方法等知识，属于中档题．解题关键是准确理解斜二侧画法的内涵，与x 轴平行的线段长度保持不变，与y 轴平行的线段的长度减少为原来的一半． 二、填空题：本题共4小题 13．函数11y x x =+-(1)x >的最小值是 ． 【答案】3 【解析】试题分析：()11x+=x-1++1x=2.x-1x-1≥，当且仅当时取等号 考点：基本不等式.14．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =________ 【答案】5 【解析】 【分析】由等差数列的前n 和公式，求得1710a a +=，再结合等差数列的性质，即可求解.由题意，根据等差数列的前n 和公式，可得1777()352a a S +==，解得1710a a +=， 又由等差数列的性质，可得17452a a a +==. 故答案为：5. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n 和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，以及合理应用等差数列的前n 和公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 15．若6x π=是方程2cos()1x α+=的解，其中(0,2)απ∈，则α=________．【答案】6π或32π【解析】 【分析】 将6x π=代入方程，化简结合余弦函数的性质即可求解.【详解】由题意可得：2cos 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1cos 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以2,63k k Z ππαπ+=-+∈或2,6k k Z παπ=+∈又(0,2)απ∈ 所以3222ππαπ=-+=或6πα=故答案为：6π或32π【点睛】本题主要考查了三角函数求值问题，属于基础题.16．已知数列{}n a 是等差数列，1379,a S S =-=，那么使其前n 项和n S 最小的n 是______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式211(1)()22n n n dS na d n a d n -=+=+-，判断开口方向，计算出对称轴，即可得出答案。
山西省太原市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷(I)卷
山西省太原市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）若点（x，y）在映射f下的象是点（x+y，x﹣y），则在映射f下点（2，1）的象是（）A . （3，1）B . （）C . （）D . （1，3）2. （2分）已知全集，，，，则（）A .B .C .D .3. （2分）下列各组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A . f（x）=x﹣1与g（x）=B . f（x）=x与g（x）=C . f（x）=x与g（x）=D . f（x）=与g（x）=x+24. （2分） (2018高一上·遵义月考) 下列函数中，在上为增函数的是（）A .B .C .D .5. （2分）若方程的根在区间上，则k的值为（）A . -1B . 1C . -1或2D . -1或16. （2分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为3的奇函数，且0＜x＜时，f（x）=log2x，则f（﹣）+f（﹣2）+f（﹣3）=（）A . 1B . ﹣1C . 2D . ﹣27. （2分） (2019高一上·新疆月考) 若方程在内有解，则的图象可能是（）A .B .C .D .8. （2分）函数的图象是（）A .B .C .D .9. （2分）下列各式成立的是（）A . =(x+y)B .C .D .10. （2分）(2016·天津模拟) 设a＞b＞0，a+b=1且x=（） b ， y=log a，z= a，则x，y，z的大小关系是（）A . y＜x＜zB . z＜y＜xC . y＜z＜xD . x＜y＜z11. （2分）设函数，，，记Ik=|fk（a2）﹣fk（a1）|+|fk（a3）﹣fk（a2）|+…+|fk（a2015）﹣fk（a2014）|，k=1，2，则（）A . I1＜I2B . I1=I2C . I2＜I1D . 无法确定12. （2分） (2016高三上·荆州模拟) 已知f（x）是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2 ，如果直线y=x+a与曲线y=f（x）恰有两个不同的交点，则实数a的值为（）A . 2k（k∈Z）B . 2k或2k+ （k∈Z）C . 0D . 2k或2k﹣（k∈Z）二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分）已知函数是R上的减函数，那么a的取值范围是________．14. （1分） (2016高一上·南京期中) 已知a，b为常数，若f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，则5a﹣b=________．15. （1分）(2017·长宁模拟) 设集合A={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，集合B={x|x＞0}，则A∩B=________．16. （1分） (2018高二上·汕头期末) 若“∀x∈ ，tan x≤m”是假命题，则实数m的取值范围是________．17. （1分） (2016高三上·黑龙江期中) 已知函数，若f（x）=10，则x=________．三、解答题 (共6题；共26分)18. （5分） (2017高二上·莆田月考) 已知，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．19. （5分） (2017高二下·福州期末) 设命题p：f（x）= 在区间（1，+∞）上是减函数；命题q：2x ﹣1+2m＞0对任意x∈R恒成立．若（￢p）∧q为真，求实数m的取值范围．20. （1分）设命题p：，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________21. （5分） (2017高二上·河南月考) 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，对于任意，不等式恒成立，若薇真命题，为假命题，求实数的取值范围.22. （5分）(2017·三明模拟) 已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|，a∈R．（I）当a=3时，求关于x的不等式f（x）≤6的解集；（II）当x∈R时，f（x）≥a2﹣a﹣13，求实数a的取值范围．23. （5分） (2016高二上·会宁期中) 解关于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共6题；共26分)18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、。
太原市名校2019-2020学年新高考高一数学下学期期末达标检测试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =（ ） A ．60B ．75C ．90D ．1052．边长为1的正方形ABCD 上有一动点P ，则向量AB AP ⋅的范围是（ ） A ．0,1B ．0,2⎡⎤⎣⎦C ．1,2⎡⎤⎣⎦D ．{}13．已知数列{}n a 满足*11()1,2,nn n n a a a n N S +=⋅=∈是数列{}n a 的前n 项和，则（ ） A ．201920192a =B ．101020192a =C ．1010201923S =- D ．1011201923S =-4．已知向量()a ab ⊥+，2b a =，则a ，b 的夹角为（ ） A ．23πB ．34π C ．56π D ．π5．下列函数中，最小值为2的函数是（ ） A ．1y x x=+B ．1sin 0sin 2y πθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C ．1sin (0)sin y θθπθ=+<< D ．222y x =+6．已知(,2)P m 为角α终边上一点，且tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α=（ ） A ．5 B ．25C ．55±D ．255±7．某四棱锥的三视图如图所示，则它的最长侧棱的长为（ ）A ．5 B．22 C ．23D ．48．直线350x y +-=的倾斜角为( ) A ．30-B ．60C ．120D ．1509．若某扇形的弧长为2π，圆心角为4π，则该扇形的半径是（ ） A ．14 B ．12C ．1D ．210．一个体积为123的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱）的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）A ．63B ．3C ．83D ．1211．函数()()sin 0,0,y A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像如图所示，则该函数的解析式为（ ）A ．22sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．2sin 23x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭12．若实数,x y 满足约束条件1223x y xx y ⎧≤≤⎪⎨⎪+≤⎩，则x y -的最大值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题13．在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，1n n a a n --=．则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和是_____.14．正六棱柱底面边长为10,高为15,则这个正六棱柱的体积是_____．15．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为.16．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，则x的值为_________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
太原市2019-2020学年新高考高一数学下学期期末达标检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若数列{a n }是等比数列，且a n ＞0，则数列*12()n n n b a a a n N =⋅⋅∈也是等比数列. 若数列{}n a 是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为( ).A ．12nn a a a b n⋅⋅⋅=是等差数列B ．12...nn a a a b n+++=是等差数列C ．12n n n b a a a =⋅⋅⋅是等差数列D ．12nnn a a a b n+++=是等差数列2．下列角中终边与330相同的角是（ ） A ．30B ．30-C ．630D ．630-3．三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，PA ⊥底面ABC ，且2PA =，则此三棱锥外接球的半径为（ ）A ．B ．C ．2D ．4．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，6AB =，13AA =，5AC BC ==，E ，F 分别是1BB ，1CC 上的点，则三棱锥1A AEF -的体积为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．365．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点M ，N 在AC 上运动，MN a =，四面体11M B C N -的体积为V ，则（ ） A ．326V a =B ．326V a >C ．3212V =D ．3212V <6．已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24mx y+≥恒成立，则m 的取值范围是 A ．)2,⎡+∞⎣B ．[)2,+∞C ．(2D ．(]0,27．从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a ，从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b =与向量(2,1)n =-垂直的概率为( )A ．16B ．14C ．13D ．128． 下列赋值语句正确的是 ( ) A ．S ＝S ＋i 2 B ．A ＝－A C ．x ＝2x ＋1D ．P ＝9．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝()3,1-，n ＝(cosA ，sinA)，若m 与n夹角为3π，则acosB ＋bcosA ＝csinC ，则角B 等于( ) A ．6π B ．3π C ．4π D ．23π 10．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1a =，2b =，2c =，则cos B =( ) A ．16B ．13C ．14D ．2311．已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．若实数x ，y 满足不等式组220,10,2,x y x y y ++⎧⎪+-⎨⎪-⎩则z x y =-的最大值为（ ）A ．5-B ．2C ．5D ．7二、填空题：本题共4小题13．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若b·cosC=c·cosB ，且cosA ＝23，则cosB 的值为_____．14．已知直线//m 平面β，P β∈，那么在平面β内过点P 与直线m 平行的直线有________条. 15．已知,,a b c 为ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量()3,1m =-，()cos ,sin n A A =．若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则B= 16．在ABC ∆中，若3a =，4c =，1cos 4C =-，则b =________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年山西省高一下学期期末数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年山西省高一下学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝（）A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3}D．{4}【答案】D【解析】先求得并集，再求补集．【详解】∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，∴∁U(A∪B)＝{4}.故选：D．【点睛】本题考查集合的综合运算，属于基础题．2．下列关于向量的概念叙述正确的是（）A．方向相同或相反的向量是共线向量B．若//a cb c，则//a b，//C．若a和b都是单位向量，则a b=D．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合【答案】A【解析】由向量共线的定义，可知A正确；当0b=时，可知B不正确；单位向量，方向不定，不相等；向量相等即大小和方向相同即可.【详解】由向量共线的定义可知，A正确；当0b=时，可知B不正确；单位向量，方向不确定，故C不正确；向量是自由的，向量相等，只需大小和方向相同即可，不需起点终点重合，故D不正确. 故选：A【点睛】本题考查了向量的定义和基本性质，考查了理解辨析能力，属于基础题目.3．已知01a b <<<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．2a ab ab >> B ．2ab ab a >> C ．2ab a ab >> D ．2ab ab a >>【答案】D【解析】利用不等式的性质判断即可. 【详解】01b <<，所以201b b <<<，又01a b <<<，所以2ab ab a >> ，故选：D 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，需熟记性质，属于基础题. 4．已知角α的终边过点(),2m -，若()1tan 5πα+=，则m =（ ） A ．25B ．10-C ．10D ．25-【答案】B【解析】由诱导公式可知()1tan tan 5παα+==，再由正切函数的定义知21tan5m ，即可求出m . 【详解】()1tan tan 5παα+==，角α的终边过点(),2m -，由正切函数的定义知21tan 5m ，解得10m =-. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数定义和诱导公式的应用，属于基础题.5．已知函数()24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最大值为2B ．()f x 的最小正周期为πC ．4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数D ．()f x 的图象关于直线52x π=对称 【答案】D【解析】分别求出函数的最大值，最小正周期，对称轴可判断A ，B ，D 的正误，根据定义可判断4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的奇偶性.【详解】 因为当sin 124x π⎛⎫+=⎪⎝⎭时，()f xA 错误； 因为()f x 的最小正周期2412T ππ==，故B 错误；因为()4242148x f x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，33()424428128x x f x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-≠-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是奇函数，故C 错误；因为()24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴满足,242x k kZ ，当1k =时，52x π=，故D 正确. 故选： D. 【点睛】本题考查对正弦型函数性质的理解，属于基础题.6．在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，那么下列各式中正确的是（ ） A ．DB DC = B ．2AD DE = C ．2AB AC AD+=D ．AB AC BC -=【答案】C【解析】依题意ABC 如图所示：∵D 是BC 的中点 ∴DB CD =，故A 错误 ∵E 是AD 的中点 ∴2AD ED =，故B 错误∵AB AD DB =+，AC AD DC =+∴2AB AC AD DB AD DC AD +=+++=，故C 正确∴()AB AC AD DB AD DC DB DC CB -=+-+=-=，故D 错误 故选C 7．定义运算:a b ad bc c d=-.若不等式22301k kx x+<-的解集是空集，则实数k 的取值范围是( ) A ．{}[)024,⋃+∞ B ．[]0,24C ．(]0,24D ．(][),024,-∞⋃+∞【答案】B【解析】根据定义可得2230kx kx ++<的解集是空集，即2230kx kx ++≥恒成立，再对k 分类讨论可得结果. 【详解】 由题意得22232301k kx kx kx x+=++<-的解集是空集，即2230kx kx ++≥恒成立.当0k =时，不等式即为30>，不等式恒成立； 当0k ≠时，若不等式恒成立，则0,Δ0,k >⎧⎨≤⎩即0,024,k k >⎧⎨≤≤⎩解得024k <≤. 综上可知:024k ≤≤.故选：B 【点睛】本题考查了二次不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，属于基础题.8．已知样本9，10，11，m ，n 的平均数是9，方差是2，则mn m n --=（ ） A ．41 B ．29C ．55D ．45【答案】A【解析】根据平均数以及方差的计算公式即可求解. 【详解】 由题意可得9101195m n++++=，①()()()()()22222991091199925m n -+-+-+-+-=，②整理①式可得15m n +=，③整理②可得()()22995m n -+-=，④ 将③平方代入④，可得56mn =， 所以561541mn m n --=-=. 故选：A 【点睛】本题考查了平均数、方差的公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.9．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，2312a a +=，则下列说法错误的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{lg }n a 是公差为2的等差数列【答案】D【解析】根据题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 因为()31118a q+=，()2112a q q +=，所以321183122q q q +==+，所以2q ，12q =（舍），A 正确；所以12a =，2nn a =，()12122212n n nS +-==--，()8821251012S -==-，C 正确；又1222n n S S ++=+，所以{}2n S +是等比数列，B 正确；又11lg lg lglg 2n n n na a a a ++-==， 所以数列{lg }n a 是公差为lg 2的等差数列.D 错误； 故选D 【点睛】本题主要考查数列的综合应用，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.10．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人一宰相西萨·班·达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每1小格都比前1小格加1倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就同意给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？如图所示的程序框图是为了计算上面这个问题而设计的，那么在“”和“”中，可以先后填入（ ）A ．2,64?S S n =B ．21,64?S S n =+C ．2,64?S S n n =+D ．63,2?S S n n =+【答案】B【解析】由题意可知，程序框图为求等比数列的和，结合输出的结果即可得解.【详解】由题可知，程序框图是为了计算236312222++++⋅⋅⋅+的值， 即等数列的公比为2，首项为1，结合循环结构，可知判断框内容为64?n ≤，由求和的式子可知循环结构的内容为21,S S =+故选：B ． 【点睛】本题考查了循环结构的简单应用，补全程序框图的应用，关键在于读懂题意，属于基础题.11．已知函数()()sin 0f x x ωπω=>在(]0,2上恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω的取值范围是（ ） A ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．15,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．35,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】根据题意求出02x ωπωπ<≤,由正弦函数的性质：只需35222ππωπ≤<，解不等式即可. 【详解】函数()()sin 0f x x ωπω=>在(]0,2上恰有一个最大值点和一个最小值点，∴02x ωπωπ<≤，只需2ωπ在第一个最小值后第二个最大值前，即35222ππωπ≤<，解得3544ω≤<， 即ω的取值范围是35,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C 【点睛】本题考查了三角函数得性质，考查了基本知识得掌握情况，属于基础题.12．已知a R ∈，函数()243f x x x a a =-+-+在区间[]0,4上的最大值是3，则a 的取值范围是（ ） A ．[]1,3 B ．(]3,-∞C ．(],1-∞D ．0,1【答案】C【解析】由二次函数性质知{}max()max (0),(2)f x f f =，得(0)3(2)3f f =⎧⎨≤⎩或(2)3(0)3f f =⎧⎨≤⎩，化简并解含绝对值的不等式，即得结果. 【详解】由二次函数性质知，(0)(4)f f =，所以函数()243f x x x a a =-+-+在区间[]0,4上的最大值{}max ()max (0),(2)3f x f f ==所以(0)3(2)3f f =⎧⎨≤⎩或(2)3(0)3f f =⎧⎨≤⎩，即3313a a a a ⎧-+=⎪⎨--+≤⎪⎩或1333a a a a ⎧--+=⎪⎨-+≤⎪⎩故31a a ≤⎧⎨≤⎩或13a a =⎧⎨≤⎩，即得1a ≤.故选：C. 【点睛】本题考查了利用函数最值求参数范围，考查了含绝对值的不等式的求解，属于中档题.二、填空题13．已知函数2log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】12【解析】根据分段函数解析式，代入直接求解即可. 【详解】由2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，所以()12111log 12222f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故答案为：12【点睛】本题考查了分段函数求函数值，考查了指数、对数的运算，属于基础题.14．两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m 的概率为______. 【答案】13【解析】根据题意，求得满足题意的彩珠所在区间长度，根据几何概型的长度型问题的概率计算公式即可求得结果. 【详解】根据题意，设绳子两段为,A B ，作图如下：显然要满足题意，只需彩珠在CD 即可.根据几何概型的概率计算公式，满足题意的概率为：13. 故答案为：13. 【点睛】本题考查几何概型的概率求解，属简单题. 15．已知0a >，0b >，1a b +=，则161a b+的最小值为__________. 【答案】25 【解析】变形()161161a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1617b a a b=++后，利用基本不等式可得. 【详解】()1611611617b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1617172425b aa b≥+⋅=+⨯= 当且仅当2216a b =，即45a =，15b = 时取等号. 故答案为：25 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题. 16．已知函数2log (5),1()2,1xx x f x m x -+≤⎧=⎨->⎩在R 上存在最小值，则m 的取值范围是______.【答案】(],0-∞【解析】对分段函数进行分段讨论即可. 【详解】当1x ≤时，()()2log 5f x x =-+在(],1-∞上单调递减，在(],1-∞存在最小值()12f =，当1x >时，()2xf x m =-在()1,+∞上单调递增，若()f x 在R 上存在最小值，则只需满足()12log 152m -+≤-，∴0m ≤，故答案为：(],0-∞. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，也考查了数形结合的思想.三、解答题17．已知3sin cos tan()22()tan()sin()f ππααπαααππα⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--+. （1）化简()fα；（2）若tan 2α=，求()2f α的值. 【答案】（1）cos α；（2）35-.【解析】（1）利用诱导公式，整理化简即可求得结果；（2）利用余弦的倍角公式以及同角三角函数关系，即可容易求得结果. 【详解】（1）3sin cos tan()22()tan()sin()f ππααπαααππα⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--+ ()()cos sin tan tan sin ααααα-⋅⋅-=-⋅-cos α=；（2）()222222cos sin 22cos sin cos sin f cos αααααααα-==-=+ 221tan 1tan αα-=+ 1414-=+ 35=-.【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数关系、以及倍角公式的应用，属综合基础题. 18．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且124,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若11n n b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】(1)2n a n =；（2）2(2)n nT n =+．【解析】试题分析：（1）利用等差等比基本公式，计算数列{}n a 的通项公式；（2）利用裂项相消法求和. 试题解析：(1)设公差为d ，因为1a ，2a ，4a 成等数列，所以2214a a a =，即()()22223d d +=+，解得2d =，或0d =(舍去)， 所以()2212n a n n =+-=. (2)由(1)知()()2212nn n S nn +==+，所以()()111111212n n b S n n n n +===-++++， 111111233412n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()112222n nT n n =-=++. 19．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin cos sin cos sin b A C c A B ac B += .(1)证明：bc a = ； (2)若13,cos 6c C ==，求AC 边上的高.【答案】（1）见解析（2）2【解析】分析：(1)由sin cos sin cos sin b A C c A B ac B +=，结合正弦定理可得sin sin A c B =，即a bc =；（2）由1cos 6C =，结合余弦定理可得1b =，从而可求得AC 边上的高. 详解：（1）证明：因为sin sin cos sin sin cos sin sin B A C C A B c A B +=， 所以sin cos sin cos sin B C C B c B += ， 所以sin sin A c B = ， 故a bc =.(2)解：因为3,c a bc ==，所以221093,cos 6b a b C b-==. 又1cos 6C =，所以22109166b b -=，解得1b =，所以3,1a c b ===，所以AC 2=.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.20．某机构随机抽取100名儿童测量他们的身高（他们的身高都在90cm ~150cm 之间），将他们的身高（单位：cm ）分成：[)90,100，[)100,110，[)110,120，…，[]140,150六组，得到如图所示的部分频率分布直方图.已知身高属于[)100,110内与[)110,120内的频数之和等于身高属于[)120130,内的频数.（1）求频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和；（2）求身高处于[)120130,内与[)110,120内的频率之差； （3）用分层抽样的方法从身高不低于130cm 的儿童选取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任选3人，以频率代替概率，求这3人中恰好有一人身高不低于140cm 的概率.【答案】（1）0.45；（2）0.15；（3）12【解析】（1）利用小矩形的面积之和等于1即可求解.（2）设身高处于[)110,120内的频率为x ，身高处于[)120130,的频率为y ，根据题意列出方程组0.450.15x y x y +=⎧⎨+=⎩，解方程组即可.（3）根据分层抽样求出身高处于[)130140,为5人，身高处于[)140150,的为1，分别进行标记，列出基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意知，身高区间为[)90,100的小矩形的面积为：0.01100.1⨯=； 身高区间为[)100,110的小矩形的面积为：0.015100.15⨯=；身高区间为[)130140,的小矩形的面积为：0.025100.25⨯=； 身高区间为[)140150,的小矩形的面积为：0.005100.05⨯=； ∴频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和为：()10.10.150.250.050.45-+++=.（2）设身高处于[)110,120内的频率为x ，身高处于[)120130,的频率为y ， ∴0.450.15x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得0.15x =，0.3y =，所以0.15y x -=.（3）由于身高区间为[)130140,的频率与身高区间为[)140150,的频率之比为： 0.25:0.055:1=，∴需要从身高处于[)130140,选取5人，身高处于[)140150,选取1，身高处于[)130140,的5人记1,2,3,4,5，身高处于[)140150,的1人记A ， 从中任取3人的取法为：()()()()1,2,3,,1,2,4,1,2,5,1,2,,A()()()()()1,3,4,1,3,5,1,3,,1,4,5,1,4,,A A ()()()()()()1,5,,2,3,4,2,3,5,2,3,,2,4,5,2,4,,A A A ()()()()()2,5,,3,4,5,3,4,,3,5,,4,5,A A A A ，共20个，其中这3人中恰好有一人身高不低于140cm 的为：()1,2,,A ()()1,3,,1,4,,A A ()()()1,5,,2,3,,2,4,,A A A ()()()()2,5,,3,4,,3,5,,4,5,A A A A ，共10个，所以这3人中恰好有一人身高不低于140cm 的概率：101202P == 【点睛】本题考查了频率分布直方图、古典概型的概率计算公式，属于基础题.21．设函数()()sin f x A x =+ωϕ（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且33()f θ=7cos 212πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1） ()3)3f x x π=+；（2）2【解析】（1）由函数图象可得3=A π，进而可得=2ω，由函数过点7(,12π，可得3πϕ=，进而可得结果（2）3sin(2)035πθ+=-<和角的范围，可得4cos(2)35πθ+=-，7cos(2)cos(2)1234πππθθ+=++，利用两角和的余弦公式可得结果.【详解】（1）由图象可知，=A 373=(),41264ππππ--=∴=T T ，2==2ππωω⇒ ())ϕ=+f x x 过点7(,12π，7)2,123ππϕϕπ⋅+==+∈k k Z 0,3πϕπϕ<<∴=())3π=+f x x（2）()3)sin(2)0335ππθθθ=+=⇒+=-<f 又因为4(0,),2(,)2333ππππθθ∈+∈，所以42(,)33ππθπ+∈，4cos(2)35πθ∴+=- 7cos(2)cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 12343434πππππππθθθθ+=++=+-+43=()525210-⨯--⨯=【点睛】本题考查了通过三角函数的图象求解析式，利用三角恒等变换求三角函数值，考查了运算求解能力，属于基础题目.22．已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足111a b ==，2252a b +=，且3210a b =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设1122n n n c a b a b a b =+++，是否存在正整数k ，使n k c c ≥恒成立？若存在，求出k 的值;若不存在，请说明理由.【答案】（1）21n a n =-，112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （2）存在正整数k ，2k =，证明见解析【解析】（1）根据题意，列出关于d 与q 的两个等式，解方程组，即可求出． （2）利用错位相减求出n c ，再讨论求出n c 的最小值，对应的n 值即为所求的k 值． 【详解】（1）解：设等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的公差与公比分别为d ，q ，则5121210d q d q ⎧++=⎪⎨⎪+=-⎩，解得212d q =⎧⎪⎨=-⎪⎩，于是，21n a n =-，112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）解：由1122n n n c a b a b a b =+++，即()2111113521222n n c n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-+⨯-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()23111111352122222nn c n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-+⨯-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①-②得：()2131111122122222n nn c n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++---⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，从而得12611992n n n c -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．令161192n n n d -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,得16713122261n n d n d n n ++==+++,显然0n d >、1131261n n d d n +=+<+所以数列{}n d 是递减数列， 于是，对于数列{}n c ，当n 为奇数时，即1c ，3c ，5c ，…为递减数列， 最大项为11c =，最小项大于29；当n 为偶数时，即2c ，4c ，6c ，…为递增数列，最小项为212c =-，最大项大于零且小于29， 那么数列{}n c 的最小项为2c ．故存在正整数2k =，使2n c c ≥恒成立． 【点睛】本题考查等差等比数列，利用错位相减法求差比数列的前n 项和，并讨论其最值，属于难题．。
【全国校级联考】山西省四大名校2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题
【全国校级联考】山西省四大名校2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题（本题包括12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只．有一项．．．是符合题目要求的. 1. 不等式260x x --<的解集为（ ） A. 11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 11,23⎛⎫-⎪⎝⎭C. (3,2)-D. (2,3)-2. 已知5sin cos 4θθ+=-，则θ（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 不等式2360x y -+>表示的平面区域在直线2360x y -+=的（ ） A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4. 已知ABC ∆中，2AB =，4AC =，30A ∠=︒，则ABC ∆的面积为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 45. 若a b <，则下列不等关系中一定成立的是（ ） A.11a b< B. a b >C. 22a b >D. 222ab b a -<6. 已知A ∠是ABC ∆的一个内角，且tan 0A -≥，则sin A 的取值范围是（ ）A. ⎫⎪⎪⎣⎭B. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ⎤⎥⎣⎦ D. 12⎡⎢⎣⎦7. 在等比数列{}n a 中，73a =，则3539log log a a +=（ ） A. 1B. 2C. 32log 2+D. 38. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A.53B.103 C.56D.1169. 测量河对岸某一高层建筑物AB 的高度时，可以选择与建筑物的最低点B 在同一水平面内的两个观测点C 和D ，如图，测得15BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，30CD m =，并在C 处测得建筑物顶端A 的仰角为60︒，则建筑物AB 的高度为（ ）A. B. C. D.10. 下列函数中，最小值为4的是( ) A. y ＝x ＋4xB. y ＝sinx ＋4sin x(0<x<π)C. y ＝e x＋4e －xD. y11. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若对所有的()n n N *∈，都有min 2Lr =，则（ ）． A. 0n a ≥B. 9100a a ⋅<C. 217S S <D. 190S ≤12. 已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，令cos 2n n n b a π=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2018T =（ ） A. -2018B. 2018C. -2017D. 2017二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知1=a ，(1,2)b =，a 与b 共线且同向，则a 的坐标为__________．14. 已知钝角ABC 的面积是12，且1AB =，BC =AC =__________． 15. 已知数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =+-，则135a a a ++=__________．16. 数表的第1行只有两个数字3，7，从第2行开始，先按序照搬上一行的数再在相邻两数之间插入这两个数的和，如下图所示，那么第10行的各个数之和等于__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 已知函数()sin cos f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 图象上每一点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移8π个单位长度得到()g x 的图象，求函数()g x 的值域.18. 在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若向量(3,sin )m A =-，(,2)n a c =，且m n ⊥.（1）求C；（2）若c =，且6a b +=，求a ，b 的值.19. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，224n n n a a S +=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 前n 项和n T .20. 已知函数2()f x x bx c =+-，且不等式()0f x <的解集为{|21}x x -<<. （1）求函数()f x 的解析式；（2）设1()2xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对任意的1[3,2]x ∈--，任意的2[0,2]x ∈，使12()()f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.21. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知2cos()cos b c B A a A++=. （1）若ABC ∆的面积为2，求bc 的值； （2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值及使ABC ∆的面积最大时b ，c 的值..的22. 已知n S 是数列{}n a 的前nn =，各项均为正数的等比数列{}n b 中，634b b b =，且3b 和5b 的等差中项是32a .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若n n n c a b =⋅，求数列{}n c 前n 项和n T .高一数学试题一、选择题（本题包括12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只．有一项．．．是符合题目要求的. 1. 不等式260x x --<的解集为（ ） A. 11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 11,23⎛⎫-⎪⎝⎭C. (3,2)-D. (2,3)-【答案】D 【解析】分析：直接利用一元二次不等式的解法即可.详解：解方程260x x --=，得123,2x x ==-，∴不等式260x x --<的解集为()2,3-.故选D.点睛：本题考查一元二次不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答. 2. 已知5sin cos 4θθ+=-，则θ（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 分析：5sin cos 4θθ+=-，可知sin 0,cos 0θθ<<，即可得出答案.详解：1sin 1θ-≤≤，1cos θ1，又5sin cos 4θθ+=-，的sin 0,cos 0θθ∴<<， ∴θ在第三象限.故选C.点睛：本题考查了三角函数基本关系式以及符号的判定，明确角所在象限与三角函数的符号关系是关键. 3. 不等式2360x y -+>表示的平面区域在直线2360x y -+=的（ ） A. 左上方 B. 左下方C. 右上方D. 右下方【答案】D 【解析】分析：根据二元一次不等式表示平面区域的性质确定不等式对应的平面区域即可. 详解：0,0x y ==时，60>，∴原点位于不等式2360x y -+>表示的平面区域内，∴不等式2360x y -+>表示的平面区域在直线2360x y -+=的右下方.故选D.点睛：本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，先确定原点所对应的不等式即可，比较基础. 4. 已知ABC ∆中，2AB =，4AC =，30A ∠=︒，则ABC ∆的面积为（ ） A 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】分析：直接利用1sin 2S bc A =即可. 详解：11sin 24sin 30222S bc A ︒==⨯⨯⨯=.故选B.点睛：三角形面积公式的应用原则： (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 5. 若a b <，则下列不等关系中一定成立的是（ ） A11a b< B. a b >C. 22a b >D. 222ab b a -<【答案】D..【解析】分析：由已知中a b <，举出反例或利用不等式性质即可判断选项中的不等式是否成立. 详解：当0a b <<时，11a b>，故A 不成立； 当0a b <<时，||||a b <，故B 不成立； 当0a b <<时，22a b <，故C 不成立；()22220ab b a a b -⇔-，a b ≠，∴D 成立.故选：D.点睛：本题考查的知识点是不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键，也可使用特殊值法对不等式进行判定.6. 已知A ∠是ABC ∆的一个内角，且tan 0A -≥，则sin A 的取值范围是（ ）A. ⎫⎪⎪⎣⎭B. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ⎤⎥⎣⎦ D. 12⎡⎢⎣⎦【答案】A 【解析】分析：由tan 0A -≥与A ∠是ABC ∆的一个内角，即可求出A 的取值范围，从而得出sin A 的取值范围.详解：tan 0tan A A ≥⇔≥32A ππ∴≤<，sin 1A ≤<，即sin A 的取值范围是⎫⎪⎪⎣⎭. 故选A.点睛：在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 7. 在等比数列{}n a 中，73a =，则3539log log a a +=（ ） A. 1 B. 2C. 32log 2+D. 3【答案】B 【解析】分析：对所求式子利用对数的运算法则计算，再利用等比数列的性质化简即可. 详解：()2353935937373log log log log 2log 2log 32a a a a a a +=⋅====.故选：B.点睛：此题考查了等比数列的性质，以及对数的运算性质，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键. 8. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A.53B.103 C.56D.116【答案】A 【解析】 分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论. 【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题. 9. 测量河对岸某一高层建筑物AB 的高度时，可以选择与建筑物的最低点B 在同一水平面内的两个观测点C 和D ，如图，测得15BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，30CD m =，并在C 处测得建筑物顶端A 的仰角为60︒，则建筑物AB 的高度为（ ）【A. B. C. D.【答案】B 【解析】分析：先根据三角形内角和为180︒，求得CBD ∠，再根据正弦定理求得BC ，进而在Rt ABC ∆中，根据tan AB BC ACB =∠求得AB.详解：在BCD ∆中，15BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，135CBD ︒∠=， 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠，所以30sin 30sin135BC ︒︒==在Rt ABC ∆中，tan AB BC ACB =∠==故选：B.点睛：本题考查了解三角形的实际应用，考查学生的计算能力. 10. 下列函数中，最小值为4的是( ) A. y ＝x ＋4xB. y ＝sinx ＋4sin x(0<x<π)C. y ＝e x ＋4e －xD. y【答案】C 【解析】分析：利用基本不等式的性质即可判断出. 详解：对A ，取0x <，则最小值不可能是4；对B.0,0sin 1x x π<<∴<≤，4sin 4sin y x x ∴=+>=，其最小值大于；对C ，0,44x x x e y e e ->∴=+≥=，当且仅当2,ln 2xe x ==时取等号，其最小值为4，正确；对D ，211,x y +≥∴=≥=当且仅当1x =±时取等号，其最小值为故选：C.点睛：本题考查了基本不等式的性质，注意“一正二定三相等”的使用法则.11. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若对所有的()n n N *∈，都有min 2Lr =，则（ ）． A. 0n a ≥ B. 9100a a ⋅<C. 217S S <D. 190S ≤【答案】D 【解析】分析：由n N *∀∈，都有101011,0,0n S S a a ≤∴≤≥，再根据等差数列的性质即可判断. 详解：由n N *∀∈，都有10n S S ≤，10110,0a a ∴≤≥， 1191020a a a ∴+=≤， ()119191902a a S +∴=≤故选：D.点睛：利用等差数列的性质求S n ，突出了整体思想，减少了运算量. 12. 已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，令cos 2n n n b a π=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2018T =（ ） A. -2018 B. 2018C. -2017D. 2017【答案】A 【解析】分析：利用当1n =，11a S =.当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即可得到n a ，于是()cos 21cos 22n n n n b a n ππ==-，由于函数cos 2n y π=的周期242T ππ==，利用周期性和等差数列的前n 项和公式即可得出.详解：由数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，当1n =时，11110a S ==-=；当2n ≥时，()()2211122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，上式对1n =时也成立，22n a n ∴=-. ∴()cos21cos 22n n n n b a n ππ==-， 函数cos 2n y π=的周期242T ππ==， ∴()()()2018152013262014372015.........T b b b b b b b b b =+++++++++++()48201620172018...b b b b b ++++++()()201720180215...20140237...20154032cos4034cos 22ππ=-+++++++++⋅+⋅45044034=⨯- 2018=-.故选A.点睛：本题考查了利用“当1n =，11a S =.当2n ≥时，1n n n a S S -=-”求n a 、余弦函数的周期性、等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查了推理能力和计算能力.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知1=a ，(1,2)b =，a 与b 共线且同向，则a 的坐标为__________．【答案】,55⎛ ⎝⎭【解析】分析：设(),a x y =，根据,a b 共线且||1a =，列出二元一次方程组即可. 详解：设(),a x y =，根据2共线且||1a =，∴22201x y x y -=+= ，解得5255x y =±=±，,a b 同向，∴55255x y ==.故a 的坐标为,55⎛ ⎝⎭.故答案为,55⎛ ⎝⎭.点睛：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 14. 已知钝角ABC 的面积是12，且1AB =，BC =AC =__________． 【解析】三角形面积公式为11·sin 22S AB BC B ==,所以sin B ，若B 为钝角时，则cos B =由余弦定理，2222cos AC AB BC AB BC B =+-，解得AC =若B 为锐角时，则cos 2B =，由余弦定理，2222cos AC AB BC AB BC B =+-，解得1AC =，此时，ABC 为直角边1的等腰直角三角形，不符合题意．综上，AC =15. 已知数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =+-，则135a a a ++=__________．【答案】20 【解析】分析：根据数列n a 与n S 之间的关系即可得到结论. 详解：当1n =时，112a S ==.当2n ≥时，()()22121121121n n n a S S n n n n n -=-=+-----+=+，357,11a a ∴==，135271120a a a ∴++=++=.故答案为20.点睛：由a n ＝S n －S n －1求a n 时的n 是从2开始的自然数，由此求得的a n 不一定就是它的通项公式，必须验证n ＝1时是否也成立，否则通项公式只能用分段函数来表示.16. 数表的第1行只有两个数字3，7，从第2行开始，先按序照搬上一行的数再在相邻两数之间插入这两个数的和，如下图所示，那么第10行的各个数之和等于__________．【答案】95(31)⨯+ 【解析】分析：归纳出第一行、第二行、第三行、…各个数之和的规律，从而即可得到答案. 详解：第一行的和为()1110531-=⨯+；第二行的和为()2120531-=⨯+；第三行的和为()3150531-=⨯+； 第四行的和为()41140531-=⨯+；…第n 行的和为()1531n -⨯+；故第10行的各个数之和等于()9531⨯+. 故答案为()9531⨯+.点睛：归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同特征；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数()sin cos f x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 图象上每一点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移8π个单位长度得到()g x 的图象，求函数()g x 的值域.【答案】（1）2π；（2）[. 【解析】分析：（1）利用辅助角公式化简()f x 即可；（2）通过平移变换得到()g x x =，从而可得答案.详解：（1）∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴最小正周期为22T ππω==.（2）由题意得()g x x =，则()g x 的值域为⎡⎣.点睛：解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式．第二步：(用辅助角公式)构造f (x )·(sin x＋cos x )．第三步：(求性质)利用f (x )x ＋φ)研究三角函数的性质． 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．18. 在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若向量(3,sin )m A =-，(,2)n a c =，且m n ⊥. （1）求C ；（2）若c =，且6a b +=，求a ，b 的值. 【答案】（1）3C π=或23C π=；（2）2a =，4b =或4a =，2b =. 【解析】分析：（1）由两向量的坐标，根据两向量垂直，列出关系式求解即可； （2）利用余弦定理即可.详解：（1）∵m n ⊥，∴32sin 0m n ac A ⋅=-=2sin sin 0A C A -=， ∵sin 0A ≠，∴sin C =，∴3C π=或23C π=.（2）当3C π=时，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()222123a b ab a b ab =+-=+-.解得：8ab =，即2a =，4b =或4a =，2b =.当23C π=时，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()22212a b ab a b ab =++=+-. 解得：24ab =，∵6a b +=，可得a ，b 无解，综上2a =，4b =或4a =，2b =.点睛：(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．19. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，224n n n a a S +=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n a n =；（2）4(1)nn +．【解析】分析：（1）利用n S 与n a 的关系式即可求出n a ； （2）裂项相消法求和.详解：（1）由224n n n a a S +=，知211124n n n a a S ++++=.两式相减，得()2211124n n n n n a a a a a +++-+-=，即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-. 因为0n a >，所以12n n a a +-=.又因为211124a a a +=，解得10a =（舍去）或12a =.所以{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，通项公式为2n a n =. （2）由2n a n =可知()11111122241n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭.∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+ 111111142231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()41n n =+. 点睛：利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．20. 已知函数2()f x x bx c =+-，且不等式()0f x <的解集为{|21}x x -<<. （1）求函数()f x 的解析式；（2）设1()2xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对任意的1[3,2]x ∈--，任意的2[0,2]x ∈，使12()()f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2()2f x x x =+-；（2）m 1≥. 【解析】分析：（1）不等式()0f x <的解集为{|21}x x -<<.则2-与1是方程20x bx c +-=的两个根，利用韦达定理即可求出答案；（2）对任意的[]13,2x ∈--，任意的[]20,2x ∈，有()()12f x g x ≥恒成立，则需()()min max f x g x ≥，即可求出答案.详解：（1）由()20f x x bx c =+-<的解集为{|21}x x -<<，可得()2121b c -=-+⎧⎨-=-⨯⎩，∴()22f x x x =+-（2）∵()22f x x x =+-在[]3,2--上单调递减，∴()f x 在[]3,2--上的最小值为()20f -=.又∵()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2上是单调递减，∴()g x 在[]0,2上的最大值为()01g m =-. 若对任意的[]13,2x ∈--，任意的[]20,2x ∈，有()()12f x g x ≥恒成立，则需()()min max f x g x ≥. 即01m ≥-，∴1m ≥.点睛：一元二次不等式恒成立问题的解题方法(1)图象法：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．(2)更换主元法：如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键，即需要确定合适的变.量或参数，能使函数关系更加清晰明朗．一般思路为：将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解．(3)分离参数法：如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围．一般地，a ≥f (x )恒成立时，应有a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立时，应有a ≤f (x )min .21. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos()cos b c B A a A++=.（1）若ABC ∆的面积为2，求bc 的值； （2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值及使ABC ∆的面积最大时b ，c 的值.【答案】（1）6bc =；（2）当ABC ∆时，b c ==. 【解析】分析：（1）由正弦定理对()cos 2cos B A b c a A++=进行化简整理即可得到1cos 2A =-，再利用面积公式即可求得答案；（2）利用基本不等式即可. 详解：（1）由()cos 2cos B A b c a A ++=及正弦定理化简得()cos 2sin sin sin cos C B C A Aπ-+=. 即2sin cos sin cos cos sin B A C A C A ++ 2sin cos sin 0B A B =+=. ∵0B π<<，∴sin 0B ≠.故解得1cos 2A =-.又∵1sin 2ABC S bc A ∆==sin A =，∴6bc =. （2）由（1）知1cos 2A =-，又2a =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2243b c bc bc =++≥， ∴43bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立.则114sin 22323ABC S bc A ∆=≤⨯⨯=.故当ABC ∆的面积取最大值3时，3b c ==.点睛：三角形面积公式的应用原则： (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．22. 已知n S 是数列{}n a 的前n n =，各项均为正数的等比数列{}n b 中，634b b b =，且3b 和5b 的等差中项是32a .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）n T =(23)23nn -⨯+.【解析】分析：（1）利用n a 与n S 的关系式即可求出n a ，由634b b b =与3534b b a +=联立求解即可； （2）错位相减法求和.详解：（1n =，∴2n S n =，则当1n =时，11a =；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 经检验当1n =时，2111n a =⨯-=，∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.又由6343534b b b b b a =⎧⎨+=⎩，可得233200b b +-=，解得34b =，2q =，∴12n n b -=.（2）()1212n n n n c a b n -=⋅=-⋅，012123252n T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+ ()()21232212n n n n ---⨯+-⨯，① 1232123252n T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+ ()()1232212n n n n --⨯+-⨯，②由①-②得()()12112222212n nn T n --=+⨯++⋅⋅⋅+--⨯.∴()1221212(22nn T n =-⨯--⨯+ ()12)2323n n n -+⋅⋅⋅+=-⨯+.点睛：(1)错位相减法是求解由等差数列{b n }和等比数列{c n }对应项之积组成的数列{a n }，即a n ＝b n ×c n 的前n 项和的方法．这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练． (2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围．。
太原市名校重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学达标检测试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知两个单位向量12,e e 的夹角为θ，则下列结论不正确的是（ ） A ．12e e 在方向上的投影为cos θ B ．121e e ⋅=C ．2212e e =D ．1212()()e e e e +⊥-2．设函数()cos()cos()f x m x n x αβ=+++，其中,,,m n αβ为已知实常数，x ∈R ，则下列命题中错误的是（ ）A ．若(0)()02f f π==，则()0f x =对任意实数x 恒成立；B ．若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数；C ．若()02f π=，则函数()f x 为偶函数；D ．当22(0)()02f f π+≠时，若12()()0f x f x ==，则122x x k π-= （k ∈Z ）．3．设0x >，0y >，24x y +=，则()()121x y xy++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．72D ．924．已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的体积之比为（ ） A ．1:3B ．1:3C ．1:9D ．1:275．函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只要将()cos2g x x =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度6．把函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6π个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ）A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=D ．712x π=7．若4sin cos 3αα+=，且(0,)4πα∈，则sin cos αα-的值是（ ） A ．23-B ．32-C ．32D ．23±8．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）A ．13+B ．23+C ．122+D ．229．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．1810．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积为（ ） A ．24πB ．2πC ．12πD ．4π11．如果直线l 过点（2，1），且在y 轴上的截距的取值范围为（﹣1，2），那么l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．（12-，1） B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，12-）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）12．将函数y sin2x =的图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数解析式是( )A ．y cos2x =B ．y cos2x =-C ．πy sin 2x 4⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．y sin2x =- 二、填空题：本题共4小题 13．已知()3tan 4αβ+=，1tan 43πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．14．已知直线134x y+=分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，则||AB 等于________. 15．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为512-，约为0.618，这一数值也可以近似地用2sin18m ︒=表示，则24m m -=_____. 16．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为()22234a b c +-，且4c =，则ABC 的周长的取值范围是________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
山西省太原市2019-2020学年高一年级下学期期末质量检测数学题(原卷版).docx
2019-2020学年高一年级第二学期期末质量监测数学试卷说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置.1.在等差数列｛%｝中，"1=1, d = 2,则句=()2.不等式%(%-!)>0的解集是()A. (^o,0)D (l,+oo)B.(0,1)c.(YO,0)D. (l,+oo)3.已知向量Q=(2,1),人=(—1/),且i_L 片，则实数左=()A. -2B. -1C. 2D. J_24.A ABC 中，A = 30。
，b = A /3 , c = 1,则。
二()A. 2B. ^3 c. 72D. 15.已知a<b,则下列结论正确的是()a <1 1A. a 2 < b 2B. —<1C.->-D. 2a<2bba b6.在等比数列｛%｝中，若q%% = 8 ,贝U 角。
4=()A. 2B. 4C. ±2D. ±47. cos 45°cos 15° +sin 45° sin 15° =( ).A. -B. --C. —D. 一立2 22 28, 已知同=1,料=2,且方与片的夹角为120。
,则R +牛() A. V7 B. ^3 C. ^5D. 2 9.在数列｛%｝中’a ｝=Q , %+i = f c "),则a 2020 =()B. 7C. 8D. 16A. 510.己知x>0, y>0,且x + 2y = l f 则-+ -的最小值是()A. V2+1B. 3 + 2很 c. V2-1D. 3-2V211.若不等式ax 2+2ax-l <0对于一切实数x 都恒成立，则实数a 的取值范围是()A.(―叫―1]B. (-1,0)C. (-1,0]D. [0,+oo)12, 已知等差数列｛%｝满足％〉0,。
2019-2020学年山西省高一(下)期末数学试卷(文科)及答案
2019-2020学年山西省高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是目要求的．1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，则∁U（A∪B）＝（）A．{4}B．{3}C．{1，3，4}D．{3，4}2．（5分）在四边形ABCD中，﹣﹣＝（）A．B．C．D．3．（5分）向图中随机投点，点投在阴影部分的概率是（）（其中D为边BC靠近点B 的三等分点）A．B．C．D．4．（5分）已知a＜0＜b＜1，那么下列不等式成立的是（）A．a＞ab＞ab2B．ab＞ab2＞a C．ab＞a＞ab2D．ab2＞ab＞a 5．（5分）已知角α的终边过点（m，﹣2），若tan（π+α）＝，则m＝（）A．﹣B．C．﹣10D．106．（5分）已知向量＝（，0），＝（x，﹣2），且⊥（﹣2），则x＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（+），则（）A．f（x）的最大值为2B．f（x）的最小正周期为πC．f（x﹣）为奇函数D．f（x）的图象关于直线x＝对称8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出k的结果是（）A．2B．3C．4D．59．（5分）已知样本9，10，11，m，n的平均数是9，方差是2，则mn﹣m﹣n＝（）A．41B．29C．55D．4510．（5分）在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1+a4＝18，a2+a3＝12，则下列说法错误的是（）A．q＝2B．数列{S n+2}是等比数列C．S8＝510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωπx）（ω＞0）在（0，2]上恰有一个最大值1和一个最小值﹣1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．≤ω＜1 12．（5分）已知a∈R，函数f（x）＝|x2﹣4x+3﹣a|+a在区间[0，4]上的最大值是3，则a的取值范围是（）A．[1，3]B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，1]D．[0，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）不等式x2﹣3x﹣4≥0的解集为．14．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））的值是．15．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）＝在R上存在最小值，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知．（1）求的值；（2）求的值．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝＝．（1）求C；（2）若b＝+，求△ABC的周长．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．20．（12分）某机构随机抽取100名儿童测量他们的身高（他们的身高都在90cm～150cm 之间），将他们的身高（单位：cm）分成：[90，100），[100，110），[110，120），…，[140，150]六组，得到如图所示的部分频率分布直方图．已知身高属于[100，110）内与[110，120）内的频数之和等于身高属于[120，130）内的频数．（1）求频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和；（2）求身高处于[120，130）内与[110，120）内的频率之差；（3）用分层抽样的方法从身高不低于130cm的儿童选取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任选3人，以频率代替概率，求这3人中恰好有一人身高不低于140cm 的概率．21．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）求方程f（x）＝﹣在区间[0，4]内的所有实数根之和．22．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a5＝40，a4＝16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，S n是数列{b n}的前n项和，对任意正整数n不等式S n+＞（﹣1）n•a恒成立，求a的取值范围．2019-2020学年山西省高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是目要求的．1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，则∁U（A∪B）＝（）A．{4}B．{3}C．{1，3，4}D．{3，4}【分析】根据集合的并集和补集的定义进行计算即可．【解答】解：∵集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{1，2，3}，∵全集U＝{1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）＝{4}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）在四边形ABCD中，﹣﹣＝（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，再由向量减法的三角形法则求解．【解答】解：如图，∵﹣＝，∴﹣﹣＝．故选：D．【点评】本题考查向量减法的三角形法则，是基础题．3．（5分）向图中随机投点，点投在阴影部分的概率是（）（其中D为边BC靠近点B 的三等分点）A．B．C．D．【分析】向图中随机投点，点投在阴影部分的概率是P＝，由此能求出结果．【解答】解：设△ABC的高为h，∵D为边BC靠近点B的三等分点，∴向图中随机投点，点投在阴影部分的概率是：P＝＝＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）已知a＜0＜b＜1，那么下列不等式成立的是（）A．a＞ab＞ab2B．ab＞ab2＞a C．ab＞a＞ab2D．ab2＞ab＞a 【分析】根据a＜0＜b＜1，取a＝﹣2，b＝，即可排除错误选项．【解答】解：根据a＜0＜b＜1，取a＝﹣2，b＝，则可排除ABC．故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．5．（5分）已知角α的终边过点（m，﹣2），若tan（π+α）＝，则m＝（）A．﹣B．C．﹣10D．10【分析】由任意角三角函数的定义推导出tanα＝﹣，由诱导公式推导出tan（π+α）＝tanα＝，由此能求出m．【解答】解：∵角α的终边过点（m，﹣2），∴tanα＝﹣，∵tan（π+α）＝tanα＝，∴﹣，解得m＝﹣10．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，考查任意角三角函数的定义、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）已知向量＝（，0），＝（x，﹣2），且⊥（﹣2），则x＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】根据题意，由数量积的坐标计算公式可得﹣2＝（﹣2x，4），进而由向量垂直与向量数量积的关系可得•（﹣2）＝（﹣2x）+0×4＝0，解可得x的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量＝（，0），＝（x，﹣2），则﹣2＝（﹣2x，4），若⊥（﹣2），则•（﹣2）＝（﹣2x）+0×4＝0，解可得x＝；故选：D．【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（+），则（）A．f（x）的最大值为2B．f（x）的最小正周期为πC．f（x﹣）为奇函数D．f（x）的图象关于直线x＝对称【分析】先将看成一个整体，结合y＝sin x的性质，对A，C，D选项做出判断，然后套用周期公式对B选项进行判断．【解答】解：因为，所以sin（+），故A错误；周期，故B错误；令g（x）＝f（）＝，此时，故C错误；f＝，取得f（x）的最小值，故是f（x）的对称轴，故D正确．故选：D．【点评】结合函数f（x）＝A sin（ωx+θ）的最值与对称轴，零点与对称中心，奇偶性之间的关系，以及公式法研究周期是此类问题的常规路子．属于中档题．8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出k的结果是（）A．2B．3C．4D．5【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得k＝0，S＝0满足条件S≤128，执行循环体，S＝1，k＝1满足条件S≤128，执行循环体，S＝1+21＝3，k＝2满足条件S≤128，执行循环体，S＝3+23＝11，k＝3满足条件S≤128，执行循环体，S＝11+211＝2059，k＝4此时，不满足条件S≤128，退出循环，输出k的值为4．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．（5分）已知样本9，10，11，m，n的平均数是9，方差是2，则mn﹣m﹣n＝（）A．41B．29C．55D．45【分析】根据平均数与方差的定义，求出m与n的值，即可得出mn﹣m﹣n的值．【解答】解：∵9，10，11，m，n的平均数是9，∴（9+10+11+m+n）＝9×5，即m+n＝15①；又∵方差是2，∴[（9﹣9）2+（10﹣9）2+（11﹣9）2+（m﹣9）2+（n﹣9）2]＝2，即（m﹣9）2+（n﹣9）2＝5②；由①②联立，解得或；∴mn﹣m﹣n＝41．故选：A．【点评】本题考查了数据的平均数与方差的应用问题，解题时应根据平均数与方差的计算公式进行解答，是基础题．10．（5分）在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1+a4＝18，a2+a3＝12，则下列说法错误的是（）A．q＝2B．数列{S n+2}是等比数列C．S8＝510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列【分析】先由题设条件求得等比数列中的基本量，然后逐项检验排除，选出答案．【解答】解：由题设条件知：，解得：或．∵q为整数，∴，故选项A说法正确；∵S＝2n+1﹣2，∴S n+2＝2n+1．∴，∴数列{S n+2}是等比数列，故选项B说法正确；又S8＝29﹣2＝510，故选项C说法正确；故选：D．【点评】本题主要考查等比数列基本量的运算，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωπx）（ω＞0）在（0，2]上恰有一个最大值1和一个最小值﹣1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．≤ω＜1【分析】根据三角函数的性质得到≤2且＞2，解出即可．【解答】解：由于f（x）＝sin（ωπx）在当x＞0时，第一个最大值出现在ωπx＝，第一个最小值出现在ωπx＝，第二个最大值出现在ωπx＝，由于函数f（x）（ω＞0）在（0，2]上恰有一个最大值点和一个最小值点，也就是≤2且＞2，解得：ω≥且ω＜，故ω的取值范围是[，）．故选：C．【点评】本题主要考查研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题．12．（5分）已知a∈R，函数f（x）＝|x2﹣4x+3﹣a|+a在区间[0，4]上的最大值是3，则a的取值范围是（）A．[1，3]B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，1]D．[0，1]【分析】根据二次函数y＝f（x）＝x2﹣4x+3﹣a的对称轴，可得函数f（x）＝|x2﹣4x+3﹣a|+a在区间[0，4]上的最大值只可能是f（0），f（4），f（2）中的某一个值，（其中f（0）＝f（4）），分类讨论即可．【解答】解：根据二次函数y＝f（x）＝x2﹣4x+3﹣a的对称轴x＝2，可得函数f（x）＝|x2﹣4x+3﹣a|+a在区间[0，4]上的最大值只可能是f（0），f（4），f（2）中的某一个值，其中f（0）＝f（4）＝|3﹣a|+a，f（2）＝|1+a|+a，当|3﹣a|+a≥|1+a|+a时，|3﹣a|+a＝3，解得a≤1．当|3﹣a|+a＜|1+a|+a时，|1+a|+a＝3，a∈∅．综上，则a的取值范围是（﹣∞，1]．故选：C．【点评】本题考查了函数得最值，考查了分类讨论思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）不等式x2﹣3x﹣4≥0的解集为（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．【分析】把不等式化为（x﹣4）（x+1）≥0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣4≥0可化为（x﹣4）（x+1）≥0，解得x≥4或x≤﹣1，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））的值是．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入即可．【解答】解：由分段函数可得f（）＝，∴f（f（））＝，故答案为：【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数直接代入即可得到结论．15．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为25．【分析】因为＝（）×1＝（）×（a+b）＝16+++1＝17++，由基本不等式，即可得出答案．【解答】解：＝（）×1＝（）×（a+b）＝16+++1＝17++因为a＞0，b＞0，所以+≥2＝8，（当且仅当即b＝，a＝时，取等号）所以17++≥25，所以，+的最小值为25，故答案为：25．【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝在R上存在最小值，则m的取值范围是（﹣∞，0]．．【分析】利用函数的单调性，分别求出两段的值域即可．【解答】解：函数y＝log2（﹣x+5）在（﹣∞，1]单调递减，即可得x≤1时，f（x）≥f（1）＝2．当x＞1时，f（x）＞2﹣n．要使函数f（x）＝在R上存在最小值，只需2﹣m≥2，即m≤0．【点评】本题考查了分段函数得值域，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知．（1）求的值；（2）求的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式即可求解；（2）利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．【解答】解：（1）因为，所以，所以‘所以．（2）＝＝＝．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝＝．（1）求C；（2）若b＝+，求△ABC的周长．【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数基本关系式可求tan A＝1，结合范围A∈（0，π），可求A＝，进而可求sin C＝，结合c＜a，可得C为锐角，可求C的值．（2）由（1）及三角形的内角和定理可求B，由正弦定理可求得a，c的值，即可求解△ABC的周长．【解答】解：（1）∵＝＝，∴sin A＝cos A，可得tan A＝1，∵A∈（0，π），∴A＝，∴sin C＝cos＝，∵c＜a，C为锐角，∴C＝．（2）∵由（1）可得B＝π﹣A﹣C＝，又∵b＝+，∴由正弦定理＝＝，可得a＝•sin＝2，c ＝•sin＝2，∴△ABC的周长L＝a+b+c＝22++＝+3+2．【点评】本题主要考查了正弦定理、同角三角函数基本关系式，三角形的内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【分析】（1）设公差为d，通过a1，a2，a4成等比数列，求出公差，然后求解通项公式．（2）化简通项公式，利用裂项消项法求解数列的和．【解答】解：（1）设公差为d，因为a1，a2，a4成等比数列，所以，即（2+d）2＝2（2+3d），解得d＝2，或d＝0（舍去），所以a n＝2+2（n﹣1）＝2n．（2）由（1）知，所以，，所以．【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列的通项公式数列求和，裂项法的应用，考查计算能力．20．（12分）某机构随机抽取100名儿童测量他们的身高（他们的身高都在90cm～150cm 之间），将他们的身高（单位：cm）分成：[90，100），[100，110），[110，120），…，[140，150]六组，得到如图所示的部分频率分布直方图．已知身高属于[100，110）内与[110，120）内的频数之和等于身高属于[120，130）内的频数．（1）求频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和；（2）求身高处于[120，130）内与[110，120）内的频率之差；（3）用分层抽样的方法从身高不低于130cm的儿童选取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任选3人，以频率代替概率，求这3人中恰好有一人身高不低于140cm 的概率．【分析】（1）根据频率和为1求出频率分布直方图中未画出的小矩形的频率和，即为面积和；（2）分别求出身高处于[120，130）与[11，120）内的频率值，再求它们的差；（3）用分层抽样法抽取样本，由题意知随机变量X的可能取值，在计算概率分布及数学期望值．【解答】解：（1）因为身高在[110，130）内的频率为1﹣（0.010+0.015+0.025+0.005）×10＝0.45；求小矩形的面积等于×组距＝频率，所以所给频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和为0.45；（2）设第3组[110，120）与第4组[120，130）的频率分别为a、b，由第2组[100，110）与第3组[110，120）的频数之和等于第4组[120，130）的频数，所以第2组与第3组的频率之和等于第4组的频率，列方程组得，解得a＝0.15，b＝0.30；所以成绩处在第3组[110，120）的频率为0.15，处在第4组[120，130）的频率为0.30；成绩处在第3组[110，120）与第4组[120，130）之间的频率之差为0.3﹣0.15＝0.15；（3）由题意得，身高在[130，140）的人数为100×0.25＝25人，在[140，150）内的人数为100×0.05＝5人；用分层抽样的方法从这100人中身高不小于130cm的儿童中抽取一个容量为6的样本，所以需要在[130，140）内抽取6×＝5人，在[140，150）内抽取1人，这3人中恰好有一人身高不低于140cm的概率：．故答案为：（1）未画出的小矩形的面积之和为0.45．（2）频率之差为0.3﹣0.15＝0.15．（3）3人中恰好有一人身高不低于140cm的概率：【点评】本题考查了频率分布直方图以及离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）求方程f（x）＝﹣在区间[0，4]内的所有实数根之和．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得方程f（x）＝﹣在区间[0，4]内的所有实数根之和．【解答】解：（1）根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A＝2，＝﹣，∴ω＝π．再根据五点法作图可得π•+φ＝，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（πx+）．（2）由方程f（x）＝﹣，求得sin（πx+）＝﹣，f（x）的周期为＝2，故区间[0，4]包含函数的2个周期．在区间[0，4]上，πx+∈[，4π+]，故方程f（x）＝﹣在区间[0，4]内的有2个实数根有4个，设这4个根从小到大分别为：x1，x2，x3，x4，则x1与x4关于直线πx+＝对称，x2与x3关于直线πx+＝对称，故有＝，＝，∴x1+x4＝，x2+x3＝，∴方程f（x）＝﹣在区间[0，4]内的所有实数根之和为：x1+x2+x3+x4＝．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．22．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a5＝40，a4＝16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，S n是数列{b n}的前n项和，对任意正整数n不等式S n+＞（﹣1）n•a恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）首先利用已知条件建立方程组，进一步求得公比q和a3，求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用分类讨论思想和利用函数的单调性及恒成立问题，进一步求出参数a的取值范围．【解答】解：（1）设公比为q的等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a5＝40，a4＝16．则：，整理得：，解得：q＝2，a3＝8，所以：，（2）由于：，所以：b n＝＝，①，①，②，①﹣②得：，所以：，＝，＝2．所以：＝＞（﹣1）n•a，由于f（n）＝单调递增，故：当n为奇数时，f（1）＝1为最小值，所以：﹣a＜1，则：a＞﹣1，当n为偶数时，f（2）＝为最小值．所以：．所以：a的取值范围为（﹣1，）．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，利用函数的恒成立问题求出参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．。
2019-2020学年山西省太原市宇星苑学校高一数学理下学期期末试题含解析
2019-2020学年山西省太原市宇星苑学校高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A．B．C．D．参考答案：C2. 设a=21.2，b=log38，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数和对数函数的性质求解．【解答】解：∵a=21.2＞21=2，1=log33＜b=log38＜log39=2，c=0.83.1＜0.81=0.8，∴c＜b＜a．故选：C．【点评】本题考查三个数大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的性质的合理运用．3. 已知为奇函数，为偶函数，且，则=（）A． B．C． D．参考答案：C4. 已知函数f（x）=－log3x，在下列区间中包含f（x）零点的是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）参考答案：C5. 若函数f（x）=ln（x），则f（e﹣2）等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣e D．﹣2e参考答案：B【考点】对数的运算性质；函数的值．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】将x=e﹣2代入函数的表达式求出即可．【解答】解：∵函数f（x）=ln（x），∴f（e﹣2）=ln（e﹣2）=﹣2，故选：B．【点评】本题考察了求函数值问题，考察对数函数的性质，是一道基础题．6. 已知集合，则，则（A）（B）（C） (D)参考答案：A7. 任意说出星期一到星期日的两天（不重复），其中恰有一天是星期六的概率是（）A B C D参考答案：B8. 设集合,那么“,或”是“”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A 解析：“,或”不能推出“”，反之可以9. （5分）关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③参考答案：D考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，易得到答案．解答：若m∥α，n∥β且α∥β，则m，n可能平行也可能异面，也可以相交，故①错误；若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m，n一定垂直，故②正确；若m⊥α，n∥β且α∥β，则m，n一定垂直，故③正确；若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m，n可能相交、平行也可能异面，故④错误故选D．点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α?a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．10. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取( )名学生.A．60 B．75 C.90 D．45参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数f（x）=，其中a＞0，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是．参考答案：[7，+∞）【考点】函数的值域．【分析】根据指数函数性质可知y=3x+4a，（x＞3）是增函数，其值域y＞27+4a，y=2x+a2（x≤3）也是增函数，其值域y≤9+a2．要使f（x）的值域为R，只需9+a2≥27+4a即可，从而可得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=，其中a＞0，令y1=3x+4a，（x＞3）是增函数，其值域y1＞27+4a，y2=2x+a2（x≤3）也是增函数，其值域y2≤9+a2．要使f（x）的值域为R，只需9+a2≥27+4a解得：a≥7或a≤﹣3．∵a＞0，∴实数a的取值范围是[7，+∞）故答案为：[7，+∞）．12. 不等式的解集是_______参考答案：【分析】把二次项系数化为正数，然后因式分解得出相应二次方程的两根，写出不等式的解集．【详解】由得，即，∴．即不等式的解集为．故答案为：．【点睛】本题考查解一元二次不等式，属于基础题．解不含参数的一元二次不等式，一般先化二次项系数为正，然后结合二次方程的根和二次函数的图象直接写出不等式的解集．13. 已知f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a＝，b＝参考答案：；014. 两平行直线，间的距离为 .参考答案：115. 给出下列四个命题：①函数为奇函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；③函数的值域是；④若函数的定义域为，则函数的定义域为；⑤函数的单调递增区间是．其中正确命题的序号是．（填上所有正确命题的序号）参考答案：①④⑤略16. 已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．【分析】先根据=0，可得⊥，又因为===|OC|×1×cos30°==1×，所以可得：在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为，又根据=m+n=n+m，可得答案．【解答】解：∵||=1，||=， =0，⊥===|OC|×1×cos30°==1×∴在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为∵=m+n=n+m∴，两式相比可得： =3．故答案为：3【点评】本题主要考查向量数量积的几何意义．对于向量数量积要明确其几何意义和运算法则．17. 周长为的矩形的面积的最大值为_______.参考答案：.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山西省太原市汾潇中学2019-2020学年高一数学理下学期期末试题含解析
山西省太原市汾潇中学2019-2020学年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知偶函数f(x)在区间[0,＋∞)上单调增加,则满足<的x取值范围是()A. B. C. D.参考答案：B略2. 已知集A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，满足A?B，则( )A．a≥2B．a≤1C．a≥1D．a≤2参考答案：A【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据真子集的定义、以及A、B两个集合的范围，求出实数a的取值范围．【解答】解：由于集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，且满足A?B，∴a≥2，故选：A．【点评】本题主要考查集合间的关系，真子集的定义，属于基础题．3. 已知（）A． B． C． D．参考答案：B4. 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊥α，m∥n，则n⊥αC．若m∥α，n?α，则m∥n D．若m⊥n，n?α，则m⊥α参考答案：B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，n∥α或n?α；在B中，由线面垂直的判定定理得n⊥α；在C中，m与n平行或异面；在D中，m与α相交、平行或m?α．【解答】解：由m，n表示两条不同直线，α表示平面，知：在A中：若m∥α，m∥n，则n∥α或n?α，故A正确；在B中：若m⊥α，m∥n，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故B正确；在C中：若m∥α，n?α，则m与n平行或异面，故C错误；在D中：若m⊥n，n?α，则m与α相交、平行或m?α，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．5. 已知是定义在上的偶函数, 那么的值是A. B. C.D.参考答案：B略6. 若两条直线与互相平行，则等于（）（A）2 （B）1 （C）（D）参考答案：D7. 若，则（）A. B.C. D.参考答案：B略8. 设全集U＝R，，则（）A．B．C． D．参考答案：D9. 下列哪组中的两个函数是同一函数（）A. 与B.与C. 与D.与参考答案：B略10.A. B. C. D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列{a n}的前n项和，则的前项和______▲_______.参考答案：12. 设，的夹角为，若函数在上单调，则的取值范围是________.参考答案：13. 求值：.参考答案：14. 在四边形ABCD中，已知AD⊥DC，AB⊥BC，AB=1，AD=2，∠BAD=120°，则BD= ，AC= ．参考答案：，．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】由余弦定理求出BD，利用AC为直径，根据正弦定理，即可求出．【解答】解：△ABD中，由余弦定理可得BD==∵AD⊥DC，AB⊥BC，∴A，B，C，D四点共圆，AC为直径，∴AC==．故答案为：，．【点评】本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．15. 函数在上有两个不同的零点,则实数的取值范围是.参考答案：16. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则_______.参考答案：63【分析】由等差数列的前项和公式可得，即可求出结果.【详解】因为，所以.故答案为63【点睛】本题主要考查等差数列的前项和，以及等差数列的性质，熟记公式即可，属于基础题型.17. 命题“若△不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是；参考答案：若△的两个内角相等，则它是等腰三角形三、解答题：本大题共5小题，共72分。