7经典力学的哈密顿理论

( dy ) dx

d dx
(y)

t2 ydt
t1
t2ydt
t1
(x 0)
（7.8）
（2）变分问题的欧拉方程 求泛函J[y(x)]的变分δJ = 0的条件： 为普遍起见，将（7.6）式改写
J[
y(
x)]

x2 x1
f
(
y,
y',
x)dx
（7.9）
对上式求变分，令δJ=0：
① 第一类正则变换
( p dq P dQ ) (H * H )dt dF1 (q, Q, t )


p


F1 q
,
P
F1 Q
,
1,2,
H*

H

F2

t
② 第二类正则变换
( p dq P dQ ) (H * H )dt dF2 (q, Q, t )
s

t2
t1
L(q
,
q
,
t
)dt
s


t2
t1
L(
q
,
q
,
t
)dt

0
给出——哈密顿原理。
（7.12）
对于非保守系，哈密顿原理的数学表达式为
（7.11）
s


t 2[T
t1
(q
,
q,
t
)

Q q
]dt

0
（7.13）
式中 Q 为广义力。
由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程、正则方程以及各种动力学方程， 因此，哈密顿原理是力学的第一性原理或最高原理。在力学中凡能起 “几何公里”作用，可由它导出全部力学定律的原理或假说，称为力学 第一性原理或最高原理，如牛顿运动定律、虚功原理、达朗贝尔原理等 都是力学第一性原理，所以力学第一性原理的表述形式是多种多样的， 各有优缺点，但都是等价的。
H*

H

F3

t
（7.19）
④ 第二类正则变换
( p dq P dQ ) (H * H )dt dF3 (q, Q, t )


p


F3 , q
P
F3 Q
7.3 正则变换
（1） 选好广义坐标的重要性
选取不同的广义坐标，所得的微分方程的形式不同，求解方程的难易程 度不同。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现一些循环坐标，就能在 正则方程中多得出一些积分，对微分方程的求解就更有利，否则微分方程 的求解就变得十分困难，因此，为何选取广义坐标是理论力学中最富技术 性的环节。
p r
m
（3）
（2）
则哈密顿函数
H p L
[m m( r)] [1 m 2 m ( r) 1 m( r)2 V （4）
2
2
1 m 2 1 m( r)2 V
2
2
（3）式代入（4）式，得
2
r
广义动量
（1）

pr

L r

mr ,
r pr m


p

L

mr 2 ,
p mr 2
（2）
哈密顿函数
H T V (Why ?)

1 2m
(r 2

r 22 )

( r
)

1 2m
(
pr2

p2 r2
)
r
于是得正则方程
L q
0
代入上式，得
s
d ( p q
1

s
L) q dq
1
s
p dq
1

L dt t
（7.1）
式中
，
s
h p q L H ( p, q, t )
（7.2）
1
是体系的广义能量。由
p

L q

p (q,q, t)
q

p
H p
H q
Q
1,2,s
哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。
[例1] 写出粒子在中心势场 V 中的哈密顿函数和正则方程。
r
解：粒子在中心势场中运动的特点、自由 度、广义坐标如何？
粒子的拉格朗日函数为
L 1 m(r2 r 22 )

P

P (q1 , q2 ,qs , p1 , p2 , ps ; t )
d 1,2,s
（7.14）
如果变换后，新的哈密顿函数 H * (P,Q,T ) 仍然满足正则方程
Q

H * , P
P
H * , Q
1,2,, s
满足（7.15）式子的正则坐标变换称为正则变换。

H t
dt
（7.3）
比较（7.2）和（7.3）式，得
q

H p


p

H q
1,2,s
（7.4）
H L t t
（7.5）
（7.4）式称为保守系哈密顿正则方程，它是2s个一阶微分方程，形式对 称，结构紧凑。
对于非保守系，正则方程形式为
H
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p2

p

(

r)

V
2m
正则方程为


H P

p m

(
r)


p

H r

p

V r
（5） （6）
将 p m m r 代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程
m

m

r

m



m

J


x2 x1
f
( y,
y',
x)dx

x2f x1
( y,
y',
x)dx

[x2 f
x1 y
y

f y'
y)dx

[x2 x1
f y
y

d dx
(
f y'
y)

d dx
(
f y'
y)]dx

f y
y'
x2 x1

(x2 d
x1 dx
f y'
δJ = 0
（7.6）
算符δ称为变分记号。
变分运算法则和微分运算法则相似：

(
y1

y2
)

y1

y2
( y1 y2 ) y1y2 y2y1

(
y1
)

y2
y2y1 y1y2
y
2 2
( xy) ky
(dy) d(y)

r

H pr

pr m


p r

H r

p 2 mr 3

r2

m(r r2 )
（径向运动方程）
r2
（3）

H p

p mr 2

p

H
0
p mr 2 常数 （角动量守恒）
（4）
[例2] 写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。
解：取图7.3所示的转动参考系。粒 子的L函数为（参见5.12式）
L 1 m 2 m ( r) 1 m( r)2 V （1）
2
2
所以
p L m m( r)


p


F2 q
,
P
F2 Q
,
1,2,
H*

H

F2

t
③ 第二类正则变换
( p dq P dQ ) (H * H )dt dF3 (q, Q, t )


p


F3 q
,
P
F3 Q
,
1,2,
（2）正则坐标变换的目的和条件
正则坐标变换（正则变换）的理论，就是寻找最佳坐标，使H函数中 出现更多的循环坐标，求解微分方程组变得更容易的方法。
设原来的正则变量为p、q，通过变量变换新的正则变量为P、Q，它 们的变换关系为
Q Q (q1 , q2 ,qs , p1 , p2 , ps ; t )
设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲
线运动速度为

2gy ds
(dx)2 (dy)2
1 y'2 dx
dt
dt
dt
质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间
J
xBdt
xB
1 y'2 dx
xA
xA 2gy
（7.6）
显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题，即y(x) 取什么函数时，函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。 J[y(x)]取极值的条件为
在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点， 随着时间的变动，位形点在位形）空，间描绘出体系的运动轨道。设在时刻
t 1 和 t 2 体系位于位形空间的 P1 点和 P2 点，相应的广义坐标为
q (t1 ) 和 q (t 2 )（或缩写为 q(t1 ) 和 q(t2 ) 由 P1 点通向和 P2 点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实 轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的 真实轨道？即在 t1 ~ t2 时间内，为何确定体系的s个广义坐标 q(t )？
哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。 ·定义： 体系的拉格朗日函数在 t1 ~内t2的积分
s

t2 L(q, q,
t1
t )dt
为哈密顿作用量（或主函数），是 q(t ) 的泛函数。
·哈密顿原理
1843年哈密顿提出：对于一个保守系
的完整力学体系，其由动力学规律所决定
的真实运动轨道可由泛函数 取极值的条件

f )ydx
y

(x2 x1
d dx
f y'

f y
)ydx

0
因此，
d f f 0 dx y' y
（7.10）
（7.10）是泛函J[y(x)]取极值时函数y(x)必须满足条件，称为欧拉方程， 思考：欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别？
（3）哈密顿原理 一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标 q (t ) 来描述。
（7.15）
满足正则变换（7.15）式的具体条件（证明见P.256-257）是：
( p dq P dQ ) (H * H )dt dF (q, Q,（t ) 7.16）

式中F为正则变换母函数。
由（7.16）式可得
p

F q
,
P
F Q
,
1,2,, s
r


F
ma

F

m

(

r)

2m

7.2 哈密顿原理 （1）最速落径问题和变分法
数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。
如图7.4所示，铅直平面内在所有连接两个定点A和B的曲线中，找出 一条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自A点沿它无摩 擦地滑下时，以最短时间到达B点。
可以解出 q
q ( p, q, t )
故H是p、q、t的函数，表征体系的状态，称为哈密顿函数。
若L不显含t，并且约束是稳定的，体系的能量守 恒，则
H=E=T+V
（2）哈密顿正则方程 哈密顿函数H=H（p，q，t）的全微分为
dH

s

H
1 p
dp

s

H
1 q
dq
（7.17）
H* H F t
（7.18）
以上二式表明：由 p , q P , Q 时，Q 可任意规定；Q 规定后，
则 P 由
来确定。
P

F Q
规定，F由
P
F q
来选取，H *
由 H* H F
t
（3）四种不同类型的正则变换
（7.16）式是正则变换的一种形式，是以（q，Q）为独立变量的形式， 对应的母函数F（q，Q，t）为第一类正则变换母函数。也可以（q，P）， （p，Q），（p，P）为独立变量。
7 经典力学的哈密顿理论
内容： · 哈密顿正则方程 · 哈密顿原理 · 正则变换 · 哈密顿—雅可比方程
重点： ·哈密顿正则方程 · 正则变换
难点： · 正则变换
在经典力学中，力学体系的运动可用各种方法来描述。用牛顿运动定律 描述，常常要解算大量的微分方程组，对约束体系更增强了问题的复杂 性。1788年拉格朗日用s个广义坐标来描述力学体系的运动，导出了用广 义坐标表出的拉格朗日方程，其好处是只要知道体系的动能和所受的广 义力，就可写出体系的动力学方程。1834年以后哈密顿提出用s个广义坐 标和s个广义动量（称为正则共轭坐标）描述体系的运动，导出了三种不 同形式的方程：哈密顿正则方程、哈密顿原理和哈密顿——雅可比方程， 称为经典力学的哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、牛顿理论是 等价的。哈密顿理论的优点在于便于将力学推广到物理学其他领域。
7.1 哈密顿函数和正则方程 （1）哈密顿函数
拉格朗日函数是 q , q 和t的函数： L L(q ,q，, t )它的全微分为
dL

s

1
L q
dq


s 1
L q
dq

L dt t
将广义动量和拉格朗日方程：
p

L q
d L dt q