对数的概念与运算性质

《对数与对数运算》（第一课时）

（人教A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修1 第二章第二节）

一、教学内容解析

《对数与对数运算》选自人教A 版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容．16、17 世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急. 苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.

与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质.

基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化.

二、教学目标设置

1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念；

2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值；

3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标：通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念.

通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用. 对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值.

恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性

三、学生学情分析

1. 认知基础从运算的角度来讲，加、乘、乘方运算中只有乘方的逆运算对数运算还没有学习. 从函数的角度来说，高一的学生刚刚学习了集合、函数的概念、函数的表示方法和函数的一般性质，

对函数有了初步的认识，在此基础上又学习了指数运算和指数函数，了解了研究函数的一般方法，经

历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程，之后将在学习对数的基础上继续学习对数函数.

2. 问题诊断

对数的概念对于学生来说，是全新的.形式地进行指数式与对数式之间的互化是容易的，在真正理解对数概念的基础上进行解题是有一定难度的，表现在两个方面：

（1）不能将对数与普通的数平等对待，不理解对数的概念，只能够进行表面上的形式转换；

（2）不能把“对数的实质是指数”应用在数学问题的解决中. 基于以上分析，本节的教学难点是：（1）对数概念的理解；（2）对数的常用性质的概括. 为了突破第一个难点，要在引入对数概念时，通过不同的实例，让学生感受到为什么要学习对数，是基于研究指数的需求才引入对数，因此对数的实质是指数；在形成概念时，要引导学生明确“对数是数”这一事实；在引入对数概念后，学生通过自主举例，具体感知个例，从对数概念外延的角度进行理解.

本节的第二个难点是：“0 和负数没有对数”这一性质的深入认识.在教学中最明显的例证是涉及到求定义域时，看到对数符号，不能如同看到分母一样，瞬间闪现出真数要大于0 的限制，因此应该在学习对数伊始，就打好“ 0 和负数没有对数”的认识基础.

为了突破第二个难点，不要急于将现成的结论抛出，可以让学生在自主举例（感受个例）的基础上，尝试思考（分析通例）对数中的底数和真数可以取什么样的数，引导学生思考是不是所有的实数都有对数，哪些数有对数？为什么？

通过互化和求值的练习，让学生逐渐地从内涵和外延两方面加深对数概念的理解.

四、教学策略分析

本节教学中，学习对数概念的过程就是认识的辨证发展过程：从实践到认识：通过具体情境，具体问题，具体对数的体验感知，遵循从具体到抽象的过程，来建立对数概念，从概念内涵的角度学习；

再实践：形成概念之后，遵循从一般到特殊的思路，进行自主举例，感知个例，从概念外延的角度加深概念理解；

再认识：理性分析通例（思考底数和真数的范围），又从特殊到一般进行概念的再认识；循环往复：在随后的练习巩固中，认识两种特殊的对数（常用对数和自然对数）和两种特殊的对数值（1的对数和底数的对数），来获得基于对数概念的运算性质，从而丰富学生对于对数概念的认知.

突破难点的策略为：旧知新悟，适度模仿，归纳概括，自主举例•

五、教学过程设计

1.对数概念的形成

1.1创设情境，引发思考

【实际情境】网上的一则消息：有驴友挖到几枚恐龙蛋，送到权威机构做了碳14同位素鉴定，结果是白垩纪的恐龙蛋化石，现坐等博物馆上门收购.

生物死亡后，它机体内原有的碳14含量，每经过大约6000年，会衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，研究人员常常根据机体内碳14的含量来推断生物体的年代，其中半衰次数与碳14的含量P间的关系为：P = （-）x.

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但是，当生物组织内的碳14含量低于千分之一时（这里我们按来计算），一般的放

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射性探测器就测不到碳14 了.

众所周知，恐龙生活在距今大约一亿年前的地球上，那么用碳14同位素法能推断出恐龙

蛋化石的年代吗？

问题1: （1）经过1次半衰期，碳14的含量会变为原来的多少？3次呢？（2）经过几次半衰期，一般的放射性探测器就测不到碳14 了呢？（3）用碳14同位素法能推断出恐龙蛋化石的年代吗？

【预设的答案】-，-；；不能

【设计意图】对数概念不是凭空产生的，用考古鉴定这一实例，让学生感受“求指数”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的

【数学情境】解方程：（1）；（2）；（3）.

【设计意图】创设数学情境，通过指数方程的实例，让学生感受在数学学习中，“求指数”

这样的问题也是存在的，有必要研究这一类问题•

问题2:以上几个问题的共同特征是什么？

【活动预设】弓I导学生归纳概括出问题的共同特征：已知底数和幕，求指数

1.2探究典例,形成概念

活动：解方程：(1) ; (2) ; (3) .

【活动预设】感受在求指数的过程中，有的指数可以直接写出结果，有的指数却不好表示.

【设计意图】为引入对数符号表示指数做铺垫•

问题3:以引例中的为例，分析的值存在吗？如果存在，符合条件的的值有几个？

能估计出的大致范围吗？

【活动预设】