第三章 力系的平衡条件

解： 取AB梁，画受力图。 梁 画受力图。
∑F =0 x
F + F cos450 = 0 Ax c
F + F sin450 −F = 0 Ay c
∑Fy =0
MA = 0 F cos450 ⋅l − F ⋅ 2l = 0 ∑ c
解得
F = 28.28kN FAx = −20kN FAy = −10kN , , C
例3 - 8
M 已知: F=20kN, q=10kN/m, = 20kN⋅m, L=1m; 已知:
求: A,B处的约束力. 处的约束力. 解: 取CD梁,画受力图. 画受力图.
∑M =0
c
l F sin 60 ⋅l −ql ⋅ − F cos300 ⋅ 2l = 0 B 2
0
解得
FB=45.77kN
∑MA = 0
F ⋅ 2a + F x ⋅ a = 0 Bx D
得
F =−F Bx
例3-19 已知： 荷载与尺寸如图； 已知： 荷载与尺寸如图； 每根杆所受力。 求： 每根杆所受力。 取整体，画受力图。 解： 取整体，画受力图。
∑F = 0 ix
F =0 Ax
F = 20kN Ay
∑MB = 0 −8FAy +5*8+10*6+10*4+10*2 = 0
q= 20kN , m
l =1 ; F = 400kN, m
解得 F = 316.4kN Ax
o F =0 FAy − P−Fcos60 = 0 ∑ y
解得 FAy =300kN
∑M
A
=0
A 解得 M = −1188kN⋅ m
M − M − F1⋅l + F cos60o ⋅l + Fsin 60o ⋅3l = 0 A
F sin300 ⋅ 6−4P −3P = 0 T 2 1
∑MA = 0
F −P −P + F sin300 = 0 ∑F = 0 Ay 1 2 T iy ∑MA = 0 F sin300 ⋅ 6−4P −3P = 0 T 2 1
∑Fix =0
F − F cos300 = 0 Ax T
∑F
iy
=0
=0
→F 2
∑M
C
→F 1 →F 3
∑F
ix
=0
若再求４,５杆受力 若再求４ ５
取节点Ｄ
∑F ∑F
ix
=0 =0
→F 5
→F 4
iy
取节点Ｅ
∑F = 0 →F iy EG ∑F = 0 →F EF ix
L L
例3-20 尺寸如图。 已知： 已知：P1,P2,P3,尺寸如图。 求： １，２，３杆所受力。 杆所受力。 解： 求支座约束力
∑M
A
=0
→F y A
→F By
∑F
iy
=0
从1，2，3杆处截取左边部分 ， ， 杆处截取左边部分
MA =10.37kN
例3-5 已知：P=100kN, M = 20kN⋅m 已知： , 固定端A处约束力 处约束力。 求： 固定端 处约束力。 解：取T型刚架，画受力图。 型刚架， 型刚架 画受力图。
1 其中 F = q×3l = 30kN 1 2 ∑F =0 F + F − Fsin600 = 0 x Ax 1
解得
−F ⋅1⋅cos300 −F ⋅1= 0 1 Ay
F =10.4kN(压) 1
F =0 F + F ⋅sin 600 − P = 0 ∑ iy Ay 2 1
解得
F =1.15kN (拉) 2
F + F + F cos600 = 0 1 3 2
∑F =0 ix
解得
F = 9.81 kN (拉) 3
第三章 力系的平衡条件与构 架的组成规律
二、空间任意力系的平衡条件
, n 空间任意力系简化 {F, F ,L F }⇔{F , M } 1 2 R O
FR = 0 , M O = 0
F =∑ i'=∑ i F F R
i=1
n
平衡
FR = ( ∑ Fx ) 2 + ( ∑ Fy ) 2 + ( ∑ Fz ) 2
例3-12 已知: P=10kN,尺寸如图； 已知: =10kN,尺寸如图 尺寸如图； 桁架各杆件受力。 求: 桁架各杆件受力。 取整体，画受力图。 解: 取整体，画受力图。
∑F =0 F = 0 ∑M =0 2P−4FAy = 0
ix
Bx
B
FAy = 5kN
∑F
iy
=0
FAy + F − P = 0 F = 5kN By By
取整体,画受力图. 取整体,画受力图.
∑F
解得
ix
=0
FAx − F cos600 − Fsin 300 = 0 B
FAx = 32.89kN
F −F sin 600 −2ql −Fcos300 = 0 ∑F =0 Ay B iy
解得
FAy = −2.32kN
∑M
解得
A
=0
MA −M −2ql ⋅ 2l + F sin 600 ⋅3l − F cos300 ⋅ 4l = 0 B
解: 取整体,求支座约束力。 取整体,求支座约束力。
∑F =0 FAx = 0 ∑M =0 2P + P −3F = 0
ix
B
1
2
Ay
解得
FAy = 9kN
iy
∑F
解得
=0
FAy + F − P − P = 0 By 1 2
F =8kN By
用截面法,取桁架左边部分。 用截面法,取桁架左边部分。
∑ME =0
例 3-14 P 已知： 尺寸如图； 已知：1 = 4kN, P =10kN, 尺寸如图； 2 求：BC杆受力及铰链A受力。 杆受力及铰链A受力。 解： 取AB 梁，画受力图。 画受力图。 F − F cos300 = 0 F =0 ∑ Ax T
ix
∑F = 0 iy
F −P −P + F sin300 = 0 Ay 1 2 T
∑M
解得
A
= 0 F ⋅ 4a −M − P⋅ 2a −q⋅ 2a⋅ a = 0 B
3 1 F = P+ qa B 4 2
∑Fy =0
F −q⋅ 2a − P+ F = 0 Ay B
P 3 F = + qa A （ － ） 已知： 已知： AC=CB=l, P=10kN; 求： 铰链A和 杆受力 （用平面任意力系方法求解） 杆受力。 铰链 和DC杆受力。 用平面任意力系方法求解）
得
∑F = 0 iy
F + F −40 = 0 Ay By
得 F = 20kN By 求各杆内力 取节点A
∑F = 0 →F iy AD ∑F = 0 →F AC ix
取节点Ｃ
∑F = 0 →F iy CF ∑F = 0 →F = 0 CD ix
取节点Ｄ
∑F = 0 iy →F F , F E D D ∑F = 0 ix
0
A l
MA
A F Ax B
= 0, ⇒
1 2 M A − ∫ xqdx = 0, M A = ql 2 0
例3-4 已知： P, q, a, M = pa; 已知： 求： 支座 、B处的约束力。 支座A 处的约束力。 处的约束力 解：取AB梁，画受力图。 梁 画受力图。
∑F =0 F = 0 解得 F = 0 x Ax Am
(1)
解得
F =17.33kN T
F = 5.33kN Ay
已知： 各杆重不计； 例3-16 已知：P , a ,各杆重不计； 铰处约束反力。 求：B 铰处约束反力。 取整体， 解： 取整体，画受力图
∑MC = 0 −F ⋅ 2a = 0 By
解得 F = 0 By 取ADB杆，画受力图 取DEF杆，画受力图
MO = (∑ MOx )2 +(∑ MOy )2 +(∑ MOz )2
n
n
i=1
M = ∑Mi = ∑r ×F O i i
i=1 i=1
n
空间任意力系平衡的充分必要条件： 空间任意力系平衡的充分必要条件：
∑ Fx = 0 ∑ MOx (F ) = 0 ∑ M x (F ) = 0 FR = 0 ⇔ ∑ Fy = 0 MO = 0 ⇔ ∑ MOy (F ) = 0 = ∑ M y (F ) = 0, Fz = 0 ∑ ∑ MOz (F ) = 0 ∑ M z (F ) = 0
画受力图。 取节点A，画受力图。 F =0 F +F sin 300 = 0 ∑ iy 1 Ay 解得 解得
F = −10kN(压) 1
F +F cos300 = 0 2 1
F =8.66kN(拉) 2
∑F =0 ix
画受力图. 取节点C,画受力图.
∑F =0 F4 cos30 −F cos30 = 0 1 ix
∑MD = 0
F sin45o ⋅ a − F ⋅ 2a = 0 E
得
F sin45o = 2F E
∑F = 0 ix
得
F cos45o − F' x = 0 E D
F' = F cos45o = 2F Dx E
F' ⋅ a − F ⋅ 2a = 0 Dx
∑MB = o
得
F' = 2F Dx
对ADB杆受力图
空间问题
平面问题
∑M
=0