2020年秋季高三衡水中学期中考试理科数学试卷及答案
河北省衡水中学2020年全国高三统一联合考试理科数学(含解析)
AF∥BE，AF∩AD＝A，BC∩BE＝B，所以平面 ADF∥平面 BCE．
因为 CE 平面 BCE，所以 CE∥平面 ADF．
（方法二）取 AF 的中点 M，连接 DM，EM，如图．
由题意知 AM＝BE 且 AM∥BE，所以四边形 ABEM 为平行四边形，即 ME＝AB
且 ME∥AB．
又因为四边形 ABCD 是菱形，所以四边形 DCEM 为平行四边形，即有 DM∥CE．
2
三、解答题
（一）必考题
17．已知等比数列{an}是递减数列，a1a4＝3，a2＋a3＝4． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 bn＝2n－2an＋1＋n，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
18．如图，在多面体 ABCDFE 中，四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝60°，四边 形 ABEF 是直角＝梯形，∠FAB＝90°，AF∥BE，AF＝AB＝2BE＝2． （1）证明：CE∥平面 ADF． （2）若平面 ABCD⊥平面 ABEF，H 为 DF 的中点， 求平面 ACH 与平面 ABEF 所成锐二面角的余弦值．
以
A
为坐标原点，以
uuur AN
，
uuur AB
，
uuur AF
的方向分别为
x
轴、y
轴、z
轴的正方向，
建立空间直角坐标系 A—xyz 如图所示．
故 A（0，0，0），C（ 3 ，1，0），D（ 3 ，－1，0），F（0，0，2），H ( 3 , − 1 ,1) ，
22
uuur AH = (
3
,
−
1
D． 21
7
11．已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，A 为抛物线 C 上异于顶点 O 的一点，
2020届河北衡水中学高三理科数学试卷及答案
2020届河北衡水中学高三年级期中考试理科数学试卷本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（）A．{1} B．{2} C．1 D．22．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2 B． C．1 D．33．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞44．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A． B．C．D．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜206．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，] B．（，2]C．（，2] D．（2，4]7．数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B． C． D．9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）A．f（﹣）＜f（）＜f（）B．f（﹣）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（）＜f（﹣）＜f（）10．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．611．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1] C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）e x﹣1，若g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪{1} B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[1，+∞）第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n= ．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．X ﹣2 0 4f（x） 1 ﹣1 116. 已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）△ABC中，已知，记角A，B，C 的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．18. （本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19. （本小题满分12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．20. （本小题满分12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．理科数学参考答案一．选择题1-5 B C C DA 6-10 A D B D C 11-12 D A．二．填空题13．﹣8 14.．16.．三．解答题17．解：（1）依题意：，即，又0＜A+B＜π，∴，∴，................4分（2）由三角形是锐角三角形可得，即由正弦定理得∴，，，======，∵，∴，∴，即...............12分18. ．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{c n}的前n项和…（12分）19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．-- -------6分（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…........................................（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；.........2分（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．......................7分（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x ∈[1，e]），又，当x ∈[1，e]时，x ﹣1≥0，lnx ≤1，x+2﹣2lnx ＞0，从而g'（x ）≥0（仅当x=1时取等号），所以g （x ）在[1，e]上为增函数，故g （x ）的最小值为g （1）=﹣1，所以a 的取值范围是[﹣1，+∞）．.......12分22.解：（1）在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线C 1：ρ=﹣sinθ，∴ρ2=﹣4ρsinθ，∴x 2+y 2=﹣4y ， ∴曲线C 1：x 2+y 2+y=0，∴直线AB 的普通方程为：（x 2+y 2﹣4x ）﹣（x 2+y 2+4y ）=0， ∴y=﹣x ，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣， ∴直线AB 极坐标方程为：)(61R ∈-=ρθ．.............5分 （2）根据（1）知，直线AB 的直角坐标方程为y=﹣x ， 根据题意可以令D （x 1，y 1），则，又点D 在直线AB 上，所以t 1=﹣（2+t 1），解得 t 1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t 1|=，同理，令交点E （x 2，y 2），则有，又点E 在直线x=0上，令2+t 2=0，∴t 2=﹣，∴|CE|=|t 2|=，∴|CD|：|CE|=1：2．............................10分23.解：（1）∵f （x ）=m ﹣|x ﹣3|，∴不等式f （x ）＞2，即m ﹣|x ﹣3|＞2，∴5﹣m ＜x ＜m+1，而不等式f （x ）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；........5分（2）关于x 的不等式|x ﹣a|≥f （x ）恒成立⇔关于x 的不等式|x ﹣a|≥3﹣|x ﹣3|恒成立 ⇔|x ﹣a|+|x ﹣3|≥3恒成立⇔|a ﹣3|≥3恒成立，由a ﹣3≥3或a ﹣3≤﹣3，解得：a ≥6或a ≤0．..............10分。
衡水中学2019~2020学年高三年级下学期其中考试 · 理数试卷及答案
x
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高三数学理科·
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请考生在第(22)、 (23)题中任选一题做答， 如果多做， 则按所做的第 一题计分， 做答时请
写清题亏。
22. (10分）选修4-4: 坐标系与参数方程
x= 1-t2
在平面直角坐标系xOy中， C正
I +t2 (t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正 轴为
10
5
C. 一3
o.3-
10
5
6.有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1, 2. 3, 4. 5, 6, 比 结果设特等奖一名，A, R,
, D四名同学对于谁获得特等奖进行预测
A说：不是1号就是2号获得特等奖；
A. f(x)是偶函数 . B. /(x)在［一冗， 01 上恰有一 个零点
C. /(x)是周期函数
2
<a<-25
@a::::1,-2<b<O
@a=1,一一9 <b<-2或b=O
4
@4个极小值点 ®1个极小值点 (7)6个零点
@4个零点
三、解答题： （本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
试研究，一个三角形能否同时具有以下两个性质； (1)三边是连续的三个自然数；
(2)最大角是最小角的2倍
A. (-1,0]
8. (-1,0)
C. (---00,l)
D. (---oo,-1)
2.iz =-l+i (其中i是虚数单位），则复数z的共辄复数在复平面内对应的点位于
A. 第 一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
J. 已知a=沪，心1 ）-21 ，c =2log, 2则a. b, c的大小关系为
2019—2020学年度衡水中学高三下期中理科数学答案
理科数学期中答案 一、选择题1. 【解析】由题得{|0}A x x =<，{|11}B x x =-<<，根据并集的定义知：{|1}A B x x ⋃=<，故选：C ．2.【解析】由i 1i z =-+，得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-，1z i =-∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，故选D. 3.【解析】， 2.12.1212422b -⎛⎫⎝⎭=>==⎪，5552log 2log 4log 51c ==<=，∴c a b <<.故选：B.4.【解析】5.【解析】6.【解析】因为C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，假设D 对，则B 也对与题干矛盾，故D 错，猜对者一定是C ，于是B 一定猜错，A 也错，则获得特等奖的是：3号同学.故选：C.7.【解析】由题可知，程序框图的运行结果为31，当1S =时，9i =；当1910S =+=时，8i =； 当19818S =++=时，7i =；当198725S =+++=时，6i =；当1987631S =++++=时，5i =.此时输出31S =.故选：C.8. 【解析】设“衰分比”为q ，甲获得的奖金为1a ， 则()()()23111111168780a a q a q a q +-+-+-=.()211136200a a q +-=，解得10.1,20000q a ==，故()31114580a q -=.故选：B .9.【解析】对于A ，函数()cos |sin |f x x x =-，定义域为R ，且满足()cos()|sin()|cos |sin |()f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为定义域R 上的偶函数，A 正确；对于B ，[,0]x π∈-时，sin 0x …，()cos |sin |cos sin 24f x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 在[],0π-上恰有一个零点是4π-，B 正确； 对于C ，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数，C 正确；对于D ，[,0]x π∈-时，()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 在[],0π-上先减后增，D 错误．故选D ．10. 【解析】由题意设()()()323,2g x x x h x m x -+=+()g x ∴在()(),0,2,-∞+∞递减，在()0,2上递增，且()()()32030,22324g g g ===-+⋅=Q 存在唯一的正整数0x，使得()00f x >，即()()00g x h x >∴由图得02x =，则()()()()02211m g h g h ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即044133m m m>⎧⎪>⎨⎪-+≤⎩，解得21,3m m ≤<∴的取值范围是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选C. 11.【解析】由2123(2)02c e e c -++=r u r u u r r g 推出2212122(2)312244e e e e c ⎛⎫++-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭u r u u r u r u u rr ，所以122122e e c +-=u r u u r r ，如 图，c r 终点的轨迹是以12为半径的圆，设12OA e OB e ==u u u r u r u u u r u u r ，，1OC c OD te ==u u u r r u u u r u r ，，所以1||c te -r u r 表示 CD 的距离，显然当CD OA ⊥时最小，M 的最大值为圆心到OA 的距离加半径，即max 1sin 602M =︒+g 1232+=故选：A12.二、填空题 1314.当1n =时，2111112a S +===；当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=. 11a =适合n a n =，所以，对任意的n *∈N ，n a n =.()()()()211211111111n n n n nn n n n a a n b a n n +++⎛⎫-=-+ ⎪++⎝=-=⋅⎭Q ，因此，()()11111111122311nn n T n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 故答案为：20202021-. 15.16. ①⑥、②⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题 17.18解：（1）作//MP AB 交BC 于点P ，//NQ AB 交BE 于点Q ，连接PQ ，依题意可得//MP NQ ，且MP NQ =，即MNQP 是平行四边形．MN PQ ∴=由已知，CM BN a ==，1CB AB BE ===，∴11AC BF CP BQ ===即CP BQ ==∴MN PQ ===a =<<由（1）MN =所以，当2a =时，2MN = 即M ，N 分别移动到AC ，BF 的中点时， MN（2）取MN 的中点G ，连接AG 、BG ，AM AN =Q ，BM BN =，AG MN ∴⊥，BG MN ⊥， AGB ∴∠即为二面角α的平面角．又AG BG =，所以由余弦定理有2211cos 3α+-==-． 19.解；（Ⅰ）由||4AB =，且B 在圆上，由抛物线的和圆的对称性可得(2,1)B ， 代入抛物线可得42p =，解得2p =，∴抛物线E 的方程为24x y =；（Ⅱ）设1(C x ，211)4x ，2(D x ，221)4x ，由24x y =，可得214y x =， 12y x ∴'=， 则1l 的方程为：211111()42y x x x x -=-，即2111124y x x x =-，①，同理2l 的方程为：2221124y x x x =-，②， 联立①②解得121()2x x x =+，1214y x x =，又CD 与圆225x y +=切于点0(P x ，0)y ，易得CD 方程为005x x y y +=，其中0x ，0y 满足2205x y +=，0[1y ∈， 联立20045x y x x y y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，化简得2004200y x x x +-=，01204x x x y ∴+=-，12020x x y =-， 设(,)M x y ，则012021()2x x x x y =+=-，120154y x x y ==-，002(x M y ∴-，05)y -， ∴点M 到直线005CDx x y y +=距离为200210|55|210x y d ----+==易知d 关于0y单调递减，dmax ==即点M到直线CD．20.解：（1）令，得x＝1，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以f（x）的极小值为f（1）＝﹣1＜0，又，∴f（x）在区间（0，1）上存在一个零点x1，此时k＝0；∵f（3）＝3﹣ln3﹣2＝1﹣ln3＜0，f（4）＝4﹣ln4﹣2＝2﹣2ln2＝2（1﹣ln2）＞0，∴f（x）在区间（3，4）上存在一个零点x2，此时k＝3．综上，k的值为0或3；（2）当x＝1时，不等式为g（1）＝1＞0．显然恒成立，此时m∈R；当0＜x＜1时，不等式可化为，令，则，由（1）可知，函数f（x）在（0，1）上单调递减，且存在一个零点x1，此时f（x1）＝x1﹣lnx1﹣2＝0，即lnx1＝x1﹣2，当0＜x＜x1时，f（x）＞0，即g'（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x1＜x＜1时，f（x）＜0，即g'（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴g（x）有极大值即最大值为，于是m＞x1．当x＞1时，不等式可化为，由（2）可知，函数f（x）在（3，4）上单调递增，且存在一个零点x2，同理可得m＜x2．综上可知x1＜m＜x2．又∵x1∈（0，1），x2∈（3，4），∴正整数m的取值集合为{1，2，3}．21。
河北省衡水市第二中学2020届高三上学期期中考试理科数学试卷Word版含解析
河北省衡水市第二中学2020届高三上学期期中考试理科数学试卷一：选择题，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A. B. C. D.5.设，满足约束条件，则的最大值是（）A. B. C. D.6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.7.已知命题：存在正数，使函数在上为偶函数；：对任意的，函数的值恒为正数，则在命题，，和中，真命题是（）A. ，B. ，C. ，D. ，8.已知，且，则（）A. B. C. D.9.已知函数，点，分别为图像在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为（）A. B. C. D.10.数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，……以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（）4,4,4 34,43,44,43,4 , 4…A. B.C. D.11.已知函数，若对，，使成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.二：填空题：把答填在答题卡的横线上。
12.已知函数，则的定义域为__________.13.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则______．14.在数列中，，，则_________.15.已知体积为的正四棱锥外接球的球心为，其中在四棱锥内部.设球的半径为，球心到底面的距离为。
过的中点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是___________. 三：解答题，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。
16.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求；（2）已知，，求的面积.17.已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，.（1）求，的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18.如图所示，在四面体中，，平面平面，，且.（1）证明：平面；（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值.19.已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程：若不存在，请说明理由.20.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，满足，证明：.21.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中.曲线的方程为，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线的普通方程；（2）点为曲线上一动点，点为曲线上一动点，试求的最小值.22.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.河北省衡水市第二中学2020届高三上学期期中考试理科数学试卷参考答案一：选择题，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2020河北省衡水市高三(下)期中数学试卷(理科)
期中数学试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={x|2x-3＜4}，则A∩B=（）A. {0，2}B. {0，2，6}C. {4，8}D. {2，4，6}2.已知复数为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）A. （-2，）B. （）C. （-∞，-2）D. （）3.某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（）A. 6种B. 12种C. 18种D. 24种4.正方体ABCD-A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A.B.C.D.5.设x∈R，则使2x＜3成立的充分不必要条件是（）A. x＜2B. x＜log23C.D.6.若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x-2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A. 2B.C.D.7.设单位向量，对任意实数λ都有||≤||，则向量，的夹角为（）A. B. C. D.8.在如图算法框图中，若a=（2x-1）dx，程序运行的结果S为二项式（2+x）5的展开式中x3的系数的9倍，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是（）A. k＜3B. k＞3C. k＜2D. k＞29.设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对于任意正数x，y有f（xy）=f（x）+f（y），已知，若一个各项均为正数的数列{a n}满足，其中S n是数列{a n}的前n项和，则数列{a n}中第18项a18=（）A. B. 9 C. 18 D. 3610.函数f（x）=2sin（2x+φ）+1（|φ|≤），当x∈（0，）时，f（x）＞0，则f（）的最小值是（）A. 1B. 2C.D.11.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，若球O的体积为π，则直线PC与平面PAB所成角的正切值为（）A. B. C. D.12.已知f'（x）是定义域为R的函数f（x）的函数f（x）的导函数，若对任意实数x都有f'（x）＞f（x）+1，且有f（1）=1，则不等式f（x）+1＜2e x-1的解集为（）A. （1，e）B.C. （1，+∞）D. （-∞，1）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.某学生社团共有45名成员，采用系统抽样的方法从中抽取5名成员了解他们对开展学生社团活动的合理建议，对1到45名所有成员随机编号，已知编号为a1，a2，a3，a4，a5（a1＜a2＜a3＜a4＜a5）的同学被抽中，若111＜a1+a2+a3+a4+a5＜120，则a3=______．14.若x，y满足约束条件则z=x-2y的最大值为______．15.过抛物线y2=8x的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点，正三角形ABC的顶点C在直线x=-2上，则△ABC的边长是______16.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b cos C=a，点M在线段AB上，且∠ACM=∠BCM．若b=6CM=6，则cos∠BCM=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知公比不为1的等比数列{a n}的前3项积为27，且2a2为3a1和a3的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若数列{b n}满足b n=b n-1•log3a n+1（n≥2，n∈N*），且b1=1，求数列{}的前n 项和S n．18.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．19.已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线，垂足为Q．（1）若直线AB过焦点F，D是抛物线C上的动点，点E（-1，3），求|DF|+|DE|的最小值；（2）是否存在实数p，使？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．20.随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，每超过1kg（不足1kg按1kg计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：包裹重量（单位：kg）（0，1]（1，2]（2，3]（3，4]（4，5]包裹件数43301584公司对近天，每天揽件数量统计如表：包裹件数范围0～100101～200201～300301～400401～500包裹件数（近似处50150250350450理）天数6630126以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101～300之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每日揽件不超过150件，日工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是公司老总，是否进行裁减工作人员1人？21.对于函数y=f（x）的定义域为D，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当f（x）的定义域为[m，n]时，值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的“K区间”．对于函数（a＞0）．（1）若a=1，求函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，+∞）上存在“K区间”，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρsinθ＝4，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+1＝0，曲线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．（Ⅰ）求C1与C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若C2与C1的交于P点，C2与C3交于A、B两点，求△PAB的面积．23.已知不等式|x-m|＜|x|的解集为（1，+∞）．（1）求实数m的值；（2）若不等式对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={0，2，4，6，8，10}，B={x|2x-3＜4}={x|x＜}，∴A∩B={0，2}．故选：A．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部均小于0列不等式组求解．【解答】解：∵z=在复平面内对应的点在第三象限，∴，解得a＜-2．∴实数a的取值范围是（-∞，-2）．故选：C．3.【答案】B【解析】解：根据题意，分3步分析：①，在4人中选出1人负责清理讲台，有C41=4种情况，②，在剩下的3人中选出1人负责扫地，有C31=3种情况，③，剩下的2人负责拖地，有1种情况，则有4×3=12种不同的分工；故选：B．根据题意，分3步分析：①，在4人中选出1人负责清理讲台，②，在剩下的3人中选出1人负责扫地，③，剩下的2人负责拖地，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图．本题主要考查空间三视图的识别，利用空间几何体的直观图是解决本题的关键．比较基础．【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C．故选：C．5.【答案】D【解析】解：使2x＜3⇔x＜log23．log23=＞=．∴使2x＜3成立的充分不必要条件是x＜．故选：D．使2x＜3⇔x＜log23．log23=＞=．即可得出使2x＜3成立的充分不必要条件．本题考查了函数的单调性、对数运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，直线和圆的位置关系，属于中档题．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨设为：bx-ay=0，圆（x-2)2+y2=4的圆心（2，0），半径为2，由双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x-2)2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到bx-ay=0的距离为d==，及即,又,可得e2=4，即e=2．故选A．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查单位向量的概念，不等式的性质，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角．可设的夹角为θ，根据为单位向量，对||≤||两边平方可得，，整理可得，，而该不等式对于任意的λ恒成立，从而得出，从而得出，这样即可求出θ．【解答】解：∵是单位向量，设的夹角为θ；∴对两边平方得，；整理得，，该不等式对任意实数λ恒成立；∴=；∴；∴；又0≤θ≤π；∴．故选：D．8.【答案】A【解析】解：由于a=（2x-1）dx=x2-x|=6，∵二项式（2-x）5展开式的通项公式是T r+1=•25-r•x r，令r=3，∴T3+1=•22•x3；∴x3的系数是•22•13=40．∴程序运行的结果S为360，模拟程序的运行，可得k=6，S=1不满足条件，执行循环体，S=6，k=5不满足条件，执行循环体，S=30，k=4不满足条件，执行循环体，S=120，k=3不满足条件，执行循环体，S=360，k=2由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S的值为360．则判断框中应填入的关于k的判断条件是k＜3？故选：A．根据二项式（2+x）5展开式的通项公式，求出x3的系数，由已知先求a的值，模拟程序的运行，可得判断框内的条件．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】C【解析】解：f（S n）=f（a n）+f（a n+1）-1=f[a n（a n+1）]，∵函数f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n}各项为正数，∴S n=a n（a n+1）①当n=1时，可得a1=1；当n≥2时，S n-1=a n-1（a n-1+1）②①-②可得a n=a n（a n+1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n+a n-1）（a n-a n-1-1）=0，∵a n＞0，∴a n-a n-1-1=0，即a n-a n-1=1，∴数列{a n}为等差数列，a1=1，d=1；∴a n=1+（n-1）×1=n，故a18=18，故选：C．根据f（S n）=f（a n）+f（a n+1）-1=f[a n（a n+1）]，函数f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n}各项为正数，可得S n=a n（a n+1），再写一式，即可求得数列{a n}的通项公式．本题本题考查了数列和函数相结合的性质以及数列S n与数列{a n}的关系．属于中档题．10.【答案】B【解析】解：∵f（x）=2sin（2x+φ）+1＞0，∴sin（2x+φ）＞，∴，k∈z，解可得，φ+kπ＜x＜kφ，k∈z，当k=0时，φ＜x＜，∵当x∈（0，）时，f（x）＞0，∴，解可得，∴，则f（）=2sin（φ）+1=2cosφ+1∈[2，3]，即最小值2，故选：B．由f（x）＞0，结合正弦函数的性质求出符合条件的x，然后结合x∈（0，）时，f（x）＞0，可求满足条件的φ，进而可求．本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，解题中要善于利用函数的图象．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了棱锥与球的位置关系，球的体积，线面角，属于中档题．取AB的中点M，则∠CPM为所求线面角，利用勾股定理和球体积求出PM，即可得出答案．【解答】解：设△ABC的中心为E，M为AB的中点，过O作OD⊥PA，则D为PA的中点，∴∠CPM是直线PC与平面PAB所成角．∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴OD=AE==，∵=，∴OP=，∴PA=2PD=2=．∴PM==．∴tan∠CPM==．故选：A．12.【答案】D【解析】解：根据题意，令g（x）=，其导数g′（x）=，又由，∀x∈R都有f'（x）＞f（x）+1，则有g′（x）＞0，即函数g（x）在R上为增函数，若f（1）=1，则g（1）=，f（x）+1＜2e x-1⇒＜⇒g（x）＜g（1），又由函数g（x）在R上为增函数，则有x＜1，即不等式不等式f（x）+1＜2e x-1的解集为（-∞，1）；故选：D．构造函数g（x）=，利用导数判断函数g（x）的单调性，而不等式f（x）+1＜2e x-1可以转化为g（x）＜g（1），结合函数g（x）的单调性分析可得答案．本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键要掌握导数的计算公式．13.【答案】23【解析】解：样本间隔为=9，则a1+a2+a3+a4+a5=a3-18+a3-9+a3+a3+9+a3+18=5a3，∵111＜a1+a2+a3+a4+a5＜120，∴111＜5a3＜120，即22＜a3＜24，则a3=23，故答案为：23．根据系统抽样的特点，求出组距是9，再分别判断即可．本题考查了系统抽样方法的特征与应用问题，是基础题目．14.【答案】-3【解析】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x-2y为y=x-，由图可知，当直线y=x-过点A（-1，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为-3．故答案为：-3．画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】24【解析】解：抛物线方程为y2=8x，焦点为P（2，0），准线方程为l：x=-2，如图所示，由△ABC是正三角形，设M为AB的中点，AA1⊥l，BB1⊥l，MN⊥l，垂足分别为A1、B1和N，则MN=（AA1+BB1）=（AF+BF）=AB，MC=AB，又=sin∠NMF=sin∠AFx，∴直线AB的斜率为k=tan∠AFx==，AB直线方程为y=（x-2）；由，消去y，得x2-20x+4=0，∴x1+x2=20，∴|AB|=x1+x2+p=20+4=24．故答案为：24．由抛物线的方程与几何性质，利用△ABC是正三角形，求出直线AB的斜率和方程，再与抛物线方程联立，求得弦长|AB|的值．本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了弦长公式，是中档题．16.【答案】【解析】解：△ABC中，b cos C=a，∴sin B cos C=sin A，∴sin B cos C=sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C，∴cos B sin C=0，C∈（0，π），∴sin C∈（0，1），∴cos B=0，∴B=；又b=6CM=6，∴CM=1，如图所示；设∠ACM=∠BCM=θ，则cosθ==a，cos2θ=，∴=6，整理得12cos2θ-cosθ-6=0，解得cosθ=或cosθ=-（不合题意，舍去）；∴cos∠BCM=．根据b cos C=a，利用正弦定理和三角恒等变换求得B=，再根据题意画出图形，结合图形利用三角恒等变换求得cos∠BCM的值．本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）设{a n}的公比为q，则a1a2a3=a23=27，∴a2=3，∴a1=，a3=3q，∵2a2为3a1和a3的等差中项，∴4a2=3a1+a3，即12=+3q，解得q=3或q=1（舍）．∴a n=3n-1．（2）∵b n=b n-1•log3a n+1=nb n-1，∴=n，又b1=1，∴b n=•••…•=n!，∴===-，∴S n=（-）+（-）+…+（-）=-=．【解析】（1）利用等比数列的性质列方程解出公比和a2，从而得出通项a n；（2）化简递推式可得=n，使用累乘法得出通项b n，从而得出{}的通项，利用裂项法求出S n．本题考查了等比数列的性质，数列求和，属于中档题．18.【答案】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2，则AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos60°=3，∴AB2=AC2+BC2，得BC⊥AC．∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE；（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令FM=λ（0≤λ≤），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1）．=（-，1，0），=（λ，-1，1）．设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由，取x=1，得=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量．∴cosθ===．∵0≤λ≤，∴当λ=0时，cosθ有最小值，当λ=时，cosθ有最大值．∴cosθ∈[]．【解析】（1）由已知求解三角形可得BC⊥AC，由平面ACFE⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质得BC⊥平面ACFE；（2）建立空间坐标系，令FM=λ（0≤λ≤），根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦值关于λ的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围．本题考查平面与平垂直的证明，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的余弦值，是中档题．19.【答案】解：（1）∵直线2x-y+2=0与y轴的交点为（0，2），∴F（0，2），则抛物线C的方程为x2=8y，准线l：y=-2．设过D作DG⊥l于G，则|DF|+|DE|=|DG|+|DE|，当E，D，G三点共线时，|DF|+|DE|取最小值2+3=5．（2）假设存在，抛物线x2=2py与直线y=2x+2联立方程组得：x2-4px-4p=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），△=（4p）2+16p=16（p2+p）＞0，则x1+x2=4p，x1x2=-4p，∴Q（2p，0）∵，∴QA⊥QB．则，可得（x1-2p）（x2-2p）+y1y2=，代入得p2+p-1=0，解得或（舍去）．【解析】（1）求出直线2x-y+2=0与y轴的交点为（0，2），得到抛物线C的方程为x2=8y，准线l：y=-2．设过D作DG⊥l于G，则|DF|+|DE|=|DG|+|DE|，然后求解当E，D，G三点共线时，|DF|+|DE|取最小值．（2）假设存在，抛物线x2=2py与直线y=2x+2联立方程组得：x2-4px-4p=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），△=（4p）2+16p=16（p2+p）＞0，结合韦达定理，弦长公式以及向量的数量积，转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力是中档题．20.【答案】解：（1）样本中包裹件数在101～300之间的天数为36，频率f==，故可估计概率为．显然未来5天中，包裹件数在101～300之间的天数X服从二项分布，即X～B，故所求概率为=．（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：kg）12345快递费（单位：元）1015202530包裹件数43301584故样本中每件快递收取的费用的平均值为：=15，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元．②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数范围 0～100101～200 201～300 301～400 401～500包裹件数（近似50 150 250 350 450处理）实际揽件数 50 150 250 350 450频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1EY 50×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260故公司平均每日利润的期望值为260×15×-3×100=1000（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数范围 0～100101～200 201～300 301～400 401～500包裹件数（近似50 150 250 350 450处理）实际揽件数 50 150 250 300300频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1EY 50×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235故公司平均每日利润的期望值为235×15×-2×100=975（元）因975＜1000，故公司不应将前台工作人员裁员1人．【解析】（1）样本中包裹件数在101～300之间的天数为36，频率f=，故可估计概率为f．显然未来5天中，包裹件数在101～300之间的天数X服从二项分布，即X～B．（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表格，故样本中每件快递收取的费用的平均值．②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如表格．若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如表格．可得公司平均每日利润的期望值．本题考查了频率分布直方图的性质及其应用、茎叶图、相互对立事件、相互独立及其条件概率计算公式、超几何分布列的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）a=1时，f（x）=ln x-x（x＞0），，则，∴函数f（x）在（e，1-e）处的切线方程为，即．（2）x＞0时，，在区间（0，a）单调递增，在区间（a，+∞）单调递减设函数f（x）在（0，+∞）上存在“K区间”是[m，n]（i）当0＜m＜n≤a时，由上表可知，即，转化为与在（0，a]有两个交点，设，，当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，所以有，解得2e＜a≤e2．（ii）当a＜m＜n时，由上表可知，，两式相减得，a（ln m-l n n）=0，此式不可能成立，所以此时f（x）不存在“K区间”．综上所述，函数f（x）存在“H区间”的a的取值范围是2e＜a≤e2．【解析】（1）a=1时，化简f（x）=ln x-x（x＞0），求出导函数，得到切线的斜率，然后求解切线方程．（2）x＞0时，，在区间（0，a）单调递增，在区间（a，+∞）单调递减，设函数f（x）在（0，+∞）上存在“K区间”是[m，n]，（i）当0＜m＜n≤a时，列出关系式，推出与在（0，a]有两个交点，设，，利用函数的单调性求解即可．（ii）当a＜m＜n时，类比（i）转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的应用，切线方程的求法，函数的极值的判断考查分析问题解决问题的能力，是难题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=4，曲线C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+1=0，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，可得曲线C1的直角坐标方程为y=4，曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2x-4y+1=0，即（x-1）2+（y-2）2=4．（Ⅱ）∵曲线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R）．∴曲线C3的直角坐标方程为y=x，联立C1与C2：，得x2-2x+1=0，解得x=1，∴点P的坐标为（1，4），∴点P到C3的距离d==．设A（ρ1，），B（ρ2，），将代入C2的极坐标方程，得，则ρ1+ρ2=3，ρ1ρ2=1，|AB|=|ρ1-ρ2|==，∴S△PAB=•|AB|•d==．【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．（Ⅰ）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，即可得到C1与C2的直角坐标方程．（Ⅱ）由曲线C3的极坐标方程求出曲线C3的直角坐标方程，联立C1与C2得x2-2x+1=0，即可求得点P坐标，从而可得点P到C3的距离d，设A（ρ1，），B（ρ2，），将代入C2的极坐标方程，得，求出|AB|=|ρ1-ρ2|，由此能求出△PAB的面积．23.【答案】解：（1）由|x-m|＜|x|得|x-m|2＜|x|2，即2mx＞m2，而不等式|x-m|＜|x|的解集为（1，+∞），∴1是方程2mx=m2的解，解得m=2（m=0舍去）．（2）∵m=2，∴不等式对x∈（0，+∞）恒成立，等价于不等式a-5＜|x+1|-|x-2|＜a+2对x∈（0，+∞）恒成立．设，则f（x）∈（-1，3]．∴a+2＞3，且a-5≤-1，∴1＜a≤4．【解析】（1）解绝对值不等式可得不等式|x-m|＜|x|的解集为（1，+∞），可得1是方程2mx=m2的解，由此求得m的值．（2）由题意可得不等式a-5＜|x+1|-|x-2|＜a+2对x∈（0，+∞）恒成立，结合f（x）=|x+1|-|x-2|∈（-1，3]，可得a+2＞3，a-5≤-1，由此求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，求函数的值域，属于中档题．。
河北省衡水市衡水中学2020届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019-2020学年度高三年级上学期期中考试数学试卷(理科)一、选择题1.已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A. -4 B. -1C. 1D. 4【答案】C 【解析】 【分析】先求出()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a 的值. 【详解】由题意，()cos sin 3f x x x x '=-+，()0cos034f '=+=，则曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线斜率为4，由于切线与直线410ax y ++=垂直，则414a -⨯=-，解得1a =.故选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.2.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2578220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且77b a =，则212b b 等于（ ）A.49B.32C.94D.23【答案】C 【解析】由题意可得：()()2225787777722222320a a a a d a a d a a -+=--++=-=，7730,2a a ≠∴=Q ，则：222127794b b b a ===. 本题选择C 选项.3.对于函数()f x ，若存在区间[,]A m n =使得{|(),}y y f x x A A =∈=则称函数()f x 为“同域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“同城区间”.给出下列四个函数：①()cos2f x x π=；②2()1f x x =-；③2()|1|f x x =-；④2()log (1)f x x =-.存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②C. ②③D. ①②④【答案】A 【解析】 ①()cos2f x x π= ，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②()21f x x =-，x∈[-1，0]时，f （x ）∈[-1，0]，所以②存在同域区间；③()21f x x =-，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④()()2log 1f x x =-，判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x 是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为①②③．点睛：本题主要考查了对同域函数及同域区间的理解，涉及到二次函数、余弦函数的值域的求解，函数图像的相交等，属于难题.本题在判断邻域时，需要知道通过判断函数f （x ）和函数y=x 图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．4.设θ为两个非零向量,a b r r的夹角，已知对任意实数t ，b ta +r r 的最小值为1，下列说法正确的是（ ）A. 若θ确定，则a r唯一确定 B. 若θ确定，则b r唯一确定 C. 若a r确定，则θ唯一确定D. 若b r确定，则θ唯一确定【答案】B 【解析】 【分析】对式子b ta +r r 平方转化成关于t 的二次函数，再利用最小值为1，得到()221cos 1b θ-=r ，进而判断θ与b r之间的关系．【详解】222222222cos b ta b ta b t a a t a b t b θ+=+⋅+=+⋅⋅+r r r r r r r r r r .因为min1b ta+=r r ，所以()2222222244cos 1cos 14a b a b b aθθ⋅-⋅=-=r r r r r r .所以22sin 1b θ=r ，所以sin 1b θ=r ，即1sin b θ=r .所以θ确定，b r 唯一确定.故选B.【点睛】本题考查向量模的最值、数量积运算、向量夹角等知识，考查与二次函数进行交会，求解时不能被复杂的表达式搞晕，而是要抓住问题的本质，始终把22||,||a b r r 看成实数．5.已知点(),P x y 是直线224y x =-上一动点，PM 与PN 是圆()22:11C x y +-=的两条切线，,M N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( ) A.43B.23C.53D.56【答案】A 【解析】 【分析】利用当CP 与直线224y x =-垂直时，PC 取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出PC 的最小值，然后利用勾股定理计算出PM 、PN 的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形PMCN 面积的最小值． 【详解】如下图所示：由切线的性质可知，CM PM ⊥，CN PN ⊥，且PCM PCN ∆≅∆，2221PM PN PC CMPC ==-=-当PC 取最小值时，PM 、PN 也取得最小值，显然当CP 与直线24y x =-垂直时，PC 取最小值，且该最小值为点()0,1C 到直线224y x=-的距离，即()()min221453221PC--==+-，此时，22min min min541133PM PN PC⎛⎫==-=-=⎪⎝⎭，∴四边形PMCN面积的最小值为min11442212233PM CM⨯⋅=⨯⨯⨯=，故选A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；（2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值．6.已知函数()sin()(0,0,0)2f x A wx Aπϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则3()4fπ=（）A.22- B.12- C. 1- D. 22【答案】C【解析】【分析】根据图像最低点求得A，根据函数图像上两个特殊点求得,ωϕ的值，由此求得函数()f x解析式，进而求得3π4f⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】根据图像可知，函数图像最低点为7π,212⎛⎫-⎪⎝⎭，故2A=，所以()2sin()f x xωϕ=+，将点(7π3,,212⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x 解析式得2sin 37π2sin 212ϕωϕ⎧=⎪⎨⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得2π3ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3π3ππ2sin 21443f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.7.已知函数1()4sin cos 2f x x x =-，若()()f x a f x a -=-+恒成立，则实数a 的最小正值为（ ） A. 2π B. πC.2π D.4π 【答案】D 【解析】 【分析】先化简f (x ),分析出f (x )本身的最小正周期T ，再根据()()f x a f x a -=-+分析出用a 表示f (x )的最小正周期，最后根据两者相等，求得a 的最小正值． 【详解】由1()4sin cos 2f x x x =-，则1()2sin 22f x x =-，所以f (x )的最小正周期T=π 因为()()f x a f x a -=-+，则',()(2)x x a f x f x a =+=-+‘，令则，，这f (x )的最小正周期T=4a ,所以4a =π，所以实数a 的最小正值是4π，故答案选D 【点睛】本题主要考察带绝对值三角函数的的周期，同时要会通过函数满足的关系式，分析函数周期8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，12n n a S +=，则数列1{}na 的前20项和为（ ） A.1931223-⨯ B.1971443-⨯ C.1831223-⨯ D.1871443-⨯【答案】D 【解析】12n n a S +=，∴12n n a S -= 相减得()132n n a a n +=≥ 由11a =得出2212,3a a a =≠()21,123,2n n n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩ ，1n a =21,111,223n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩011812201111111......1......2333a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 191911113131111222313⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+=+⋅-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦= 1871443-⨯ 故选D点睛：已知数列的n a 与n S 的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n 的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.9.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A.31+ B.31C.22D.51- 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率.【详解】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥，又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-，在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=，即2222a ac c -= 所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212312e -==， 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题. 10.已知函数()sin 3f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A. 3π-B. 0C.3π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数2()sin 33sin()(f x a x x a x θθ==++为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+， 即23322a a +=+1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11.若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为()A. (,)e -∞B. (0,]eC. (,2)-∞D. (0,2]【答案】B 【解析】 【分析】利用函数求导函数 f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ），只有一个极值点时f ′（x ）＝0只有一个实数解，有e x ﹣kx ≥0，设新函数设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx ，等价转化数形结合法即可得出结论，【详解】解：函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点， f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ）， 若函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点，f ′（x ）＝0只有一个实数解， 则：e x ﹣kx ≥0， 从而得到：e x ≥kx ， 当k ＝0 时，成立．当k ≠0时，设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx如图：当两函数相切时，k ＝e ，此时得到k 的最大值，但k ＜0时不成立． 故k 的取值范围为：（0，e ] 综上：k 的取值范围为：[0，e ]故选B ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题．12.双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°．若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝（ ） A. 1143+B. 1353+C. 163-D.19103-【答案】D 【解析】 【分析】设22BF m =，根据2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o，以及双曲线的性质可得212(33),2(23)AF a AF a ==，再根据勾股定理求得,a c 的关系式，即可求解.【详解】由题意，设22BF m =，如图所示，因为2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o， 由212AF AF a -=，所以132AF m a =-， 由212BF BF a -=，所以122BF m a =-，所以11AF BF AB +=3222m a m a m -+-=， 所以2(31)m a =，所以232(31)2(33)AF a a ==，12(33)22(23)AF a a a =-=， 在直角12F AF ∆中，222124AF AF c +=，即222224(33)4(23)4a a c +=，整理得22(19103)a c -=，所以22219103c e a==-故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．.二、填空题13.已知向量,,1,2a b a b ==v v v v，且210a b +=r r a b ⋅=r r ___________．【答案】12【解析】 【分析】把210a b +=r r1,2a b ==r r 代入，化简即可得结果. 【详解】因为1,2a b ==r r，所以222448410a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅=vv v vv v v v12a b ∴⋅=v v ，故答案为12.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=r r r r ，二是1212a b x x y y ⋅=+r r，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=r r g r r g （此时a b r r g 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a r 在b r上的投影是a b b⋅r r r ；（3）,a b r r 向量垂直则0a b ⋅=r r ;(4)求向量ma nb +r r 的模（平方后需求a b ⋅r r ）.14.已知抛物线E ：212y x ＝的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与E 交于A ，B 两点，过A 作AM l ⊥，垂足为M ，AM 的中点为N ，若AM FN ⊥，则AB ＝___________. 【答案】16 【解析】 【分析】由题意画出图形，得到直线AB 的斜率，进一步求得直线AB 的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．【详解】AF AM =Q ，N 为AM 的中点，且FN AM ⊥，30AFN ∴∠=︒，则直线AB 的倾斜角为60︒，斜率为3．由抛物线212y x =，得(3,0)F ，则直线AB 的方程为3(3)y x =-．联立23(3)12y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得21090x x -+=．则10A B x x +=， ||16A B AB x x p ∴=++=．故答案为：16．【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用，属于中档题．15.已知函数21()()2x f x x x e -=-，若当1x >时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为________ 【答案】(1,)-+∞ 【解析】【分析】先求导数，判断函数21()()2x f x x x e -=-的单调性，可得1x >时大致图象，利用数形结合求解.【详解】()10f x mx m -++Q „()(1)1f x m x ∴--„(1)1y m x =--Q 过定点(1,1)-Q 当1x >时，()10f x mx m -++≤有解∴当1x >时,存在()y f x =在(1)1y m x =--的下方，()21()2x f x x e -'=-Q令()0f x '=，解得2x =， 当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，()f x ∴在(1,2)上递减，在(2,)+∞上递增， Q 当2x >时，()0f x >，又(1)1,(2)1,(2)0f f f =-<-=，作函数()y f x =，(1)1y m x =--的大致图象：由图象可知：1m >-时满足条件， 故答案为：(1,)-+∞【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值、图象，直线过定点，数形结合，属于难题.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题17.如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60o 角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设BDE α∠=．（1）当60α=o 时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积()S α的取值范围．【答案】（123；（2）333,82⎛ ⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）根据角度可确定四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形；利用ABC BDE CDF S S S ∆∆∆--即可求得结果；（2）利用正弦定理，用α表示出BE 和CF ，利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式可将BE CF +化简为()312sin 2301α+-+o，利用3090α<<o o 可求得BE CF +的范围；从而将所求面积表示为())33S BE CF α=+，进而得到所求范围. 【详解】（1）当60α=o 时，//DE AC ，//DF AB∴四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形又)2122sin 6032ABC S km ∆=⨯⨯⨯=o ，)21311sin 602BDE CDF S S km ∆∆==⨯⨯⨯=o ∴)23332km =（2）由题意知：3090α<<o o在BDE ∆中，120BED α∠=-o，由正弦定理得：()sin sin 120BE αα=-o在CDF ∆中，120CDF α∠=︒-，CFD α∠= 由正弦定理得：()sin 120sin CF αα-=o()()()()22sin 120sin sin 120sin sin sin 120sin 120sin BE CF αααααααα-+-∴+=+=--o o o o2222231533sin sin sin cos cos 24243131sin cos sin sin cos sin ααααααααααααα⎫++⎪+⎝⎭==⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭()23341112sin 2301313sin 2cos 21sin cos sin αααααα==+=+-+-++o3090α<<ooQ 30230150α∴<-<o o o ()1sin 23012α∴<-≤o ()352122sin 2301α∴≤+<-+o，即52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭()())133sin 6032ABC BDE CDF S S S S BE CF BE CF α∆∆∆∴=--=+=+o 52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭Q )33333BE CF +∈⎝⎦即绿化面积()S α的取值范围为：3382⎛⎝⎦ 【点睛】本题考查解三角形知识的实际应用问题，涉及到正弦定理和三角形面积公式的应用、三角恒等变换中的两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式的应用；求解范围类问题的关键是能够构造出关于某一变量的函数，从而利用函数求值域的方法求得结果.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11a =，11b =，224a b +=.（1）若337a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若313T =，求5S .【答案】（1）12n n b -=；（2）5或75.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠，由已知条件求出q ，再写出通项公式；（2）由1313T =，求出q 的值，再求出d 的值，求出5S .【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠有()14d q ++=，即3d q +=.（1）∵()2127d q ++=，结合3d q +=得2q =，∴12n n b -=.（2）∵23113T q q =++=，解得4q =-或3，当4q =-时，7d =，此时55457752S ⨯=+⨯=； 当3q =时，0d =，此时5155S a ==.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S 一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.19.已知圆22:(2)(1)1D x y -+-=，点A 在抛物线2:4C y x =上，O 为坐标原点，直线OA 与圆D 有公共点.（1）求点A 横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA 过圆心D 时，过点A 作抛物线的切线交y 轴于点B ，过点B 引直线l 交抛物线C 于,P Q 两点，过点P 作x 轴的垂线分别与直线,OA OQ 交于,M N ，求证：M 为PN 中点.【答案】（1）)9,4A x ⎡∈+∞⎢⎣（2）见证明【解析】 【分析】（1）设:OA l y kx =，联立抛物线，再利用圆D 与直线相交建立不等式，从而确定点A 横坐标的取值范围；（2）可先找到函数关系式，利用导数确定切线的斜率，设221212:4,,,,44y y l y mx P y Q y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用韦达定理即可证明M 为PN 中点.【详解】解：（1）由题意直线OA 斜率存在且不为零，设:OA l y kx =2244A y kx x y xk =⎧⇒=⎨=⎩ ()2,1D 到:0OA l kx y -=22141031k k k -≤⇒≤≤+， 所以)9,4A x ⎡∈+∞⎢⎣（2）当直线OA 过圆心()2,1D 时，()214,16,16,82A k x A k=== ()2402y x y y x y x'=>⇒=⇒=，所以1614AB x k y -='=， ()18164AB l y x -=-：即144y x =+， 所以()04B ，，设221212:4,,,,44y y l y mx P y Q y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由214:,:2OA OQ l y x l y x y ==得22112,8M N y y y y y ==22441604y mx my y y x=+⎧⇒-+=⎨=⎩，所以1212416,y y y y m m +== ()222211121112124+=2164P N M y y y y y y m y y y y y y y m+=+===，即M 为PN 中点．【点睛】本题主要考查了直线与圆，抛物线的位置关系，切线问题等，综合性强，直线与圆的相关计算常考点到直线的距离公式，必须熟记.20.已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n ==∈N .（1）若10a =，23d π=，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，n T n b b +=，T 是不超过5的正整数，求T 的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S . 【答案】（1）33,22⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）23π或π；（3）3T =或4，3T =时，23n a n π=，33S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭；4T =时，2n a n π=，{}0,1,1S =-【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b ，再根据周期性求解；（2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案；（3）分别令1T =，2，3，4，5进行验证，判断T 的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S 【详解】（1）Q 等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==， 所以集合3{S =03}． （2）Q 12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意．与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为23n a n π=，此时33,,022S ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭. ②当4T=时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{0S =，1，1}-． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为2n a n π=，此时{}0,1,1S =-【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．21.已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln eg x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+. 【答案】（Ⅰ）()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增.（Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得函数的导数1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=，进而利用导数的符号，即可求得函数单调区间；（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，结合图象，即可得出证明．【详解】（Ⅰ）由题意，函数()(1)ln f x x x =-，则1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x ≥时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知 由11()(1ln )1h x m x x x-'=++-且0m >可知， 当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 当1x ≥时，()0h x '≥，函数()h x 单调增；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<， 因此当1x e=时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->， 可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点，因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为22，且过定点2M . （1)求椭圆C 的方程；（2)已知直线1:()3l y kx k R =-∈与椭圆C 交于,A B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ？若存在，求出点P 的坐标和PAB ∆的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 2224155y x += (2)见解析 【解析】【分析】（1）本问考查了椭圆的离心率公式，以及椭圆的方程、性质，通过条件构建关于基本量,,a b c 的方程组，求解即可．（2）本题考查了直线与椭圆的位置关系，利用条件以弦AB 为直径的圆恒过点P ，将几何关系代数化，利用韦达定理建立方程，判断方程是否有解．【详解】解：（1)由已知22222222522511142c e a a b c a b a b⎧==⎪⎧=⎪⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=⎪⎪+=⎩⎪⎩，椭圆C 的方程为2224155y x +=.（2)由221324155y kx y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得229(24)12430k x kx +--=.① 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 方程①的两根， 1212221243,9(24)9(24)k x x x x k k ∴+==-++ 设(0,)P p ，则1122(,),(,)PA x y p PB x y p =-=-u u u r u u u r ，22121212121212112()()()()333p PA PB x x y y p y y p x x kx kx pk x x p ⋅=+-++=+---+++u u u r u u u r 2222(1845)3624399(24)p k p p k -++-=+ 假设在y 轴上存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ，则PA PB ⊥u u u r u u u r ，即0PA PB ⋅=u u u r u u u r ，即222(1845)3624390p k p p -++-=对任意k ∈R 恒成立，22184503624390p p p ⎧-=∴⎨+-=⎩此方程组无解，∴不存在定点满足条件． 【点睛】本题的关键是将条件“以弦AB 为直径的圆恒过点P ”，几何关系代数化，和联立方程组得到的韦达定理联系起来，建立关于参数p 的方程．。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）已知集合 S={ 1，2} ， T={ x| x2＜4x﹣ 3} ，则 S∩T=（ ）
A．{ 1} B．{ 2} C．1 D．2
2．（ 5 分）已知复数 z1，z2 满足 | z1| =| z2| =1，| z1﹣z2| = ，则| z1+z2| 等于（ ） A．2 B． C．1 D．3
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 解答时请写清题号 .[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ] 22．（ 10 分）在直角坐标系中，圆 C 的方程是 x2+y2﹣4x=0，圆心为 C，在以坐标 原点为极点， 以 x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中， 曲线 C1：ρ＝﹣4 sin θ 与圆 C 相交于 A， B 两点． （ 1）求直线 AB 的极坐标方程；
2019-2020 学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷 （理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）（2019?云南二模）已知集合 S={ 1，2} ，T={ x| x2＜4x﹣ 3} ，则 S∩T=（ ） A．{ 1} B．{ 2} C．1 D．2 【分析】 求出 T 中不等式的解集确定出 T，找出 S 与 T 的交集即可． 【解答】 解：由 T 中不等式变形得： x2﹣ 4x+3＜0，即（ x﹣1）（ x﹣3）＜ 0， 解得： 1＜x＜3，即 T=（1，3）， ∵ S={ 1，2} ， ∴ S∩ T={ 2} ， 故选： B．
∴
﹣ 2z1z2+
河北省衡水2019-2020学年高三上学期期中考试理科数学试卷(有答案)(已审阅)
2019-2020学年度第一学期期中考试高三理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 抛物线24y x =的焦点坐标是A. (0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,116) 2. 已知圆221236F x y ++=（:），定点220F （，），A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是A. 22143x y +=B.22195x y +=C.22134x y +=D.22159x y +=3.将函数y=3sin （2x+3π）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（12π-，0）中心对称 A. 向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 4.函数21e x y x =-（）的图象是5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83π B. 3π C.103π D.6π6.已知A B P 、、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不同的三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB 、的斜率乘积3PA PB k k =，则该双曲线的离心率为A. B.C. 2D.37.已知抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为A.34 B.32C.1D.2 8. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A. 8B.4 9.在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，2CA =，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足BP =1，则()BP CA CB +的取值范围是A. [-B. [0,C. [-2,2]D.[-10.已知12,F F 是椭圆2211612x y +=的左、右焦点，点M （2，3），则∠12F MF 的角平分线的斜率为A. 1B.C. 211.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的12.已知球O 与棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是△1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是A. B. 2]C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分。