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高三质量检测数学试题(理科)

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2023年江西省4月高三教学质量检测卷理科数学试题及答案

2023年江西省4月高三教学质量检测卷理科数学试题及答案

Mm l{E考i1E：号：由白（在此卷上答题元效）2023年江西省高三教学质量监测卷理科数学说明：l.全卷满分150分．考试时间120分钟．2.会卷分为试题卷和答是是卡．答案妥求写在答题字上．不得在试卷上作o－否则不给分．一、选择题：本题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A=(.r E R1x2<4l.B={.i:13’＜9｝.贝I]A.A门B=BB.A U B=(.r l O<.r<2fc.八门日＝A D.A U B=R2.已知主L数＝满足Cl+i>::=2-i(i为m：数单位）·则复数主的缺等于A俨’ B.�飞．在lo D.一23若O＜α＜π则子＜出以1”是W训”的A.充要条件c.必婆不充分条件 B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.在某校随机抽取了100名学生．调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘栩如下频率分布直方图．根据此频率分布直方回．下y1J结论中正确的是组距o.sI.…0.4,.03, .....0.1，…O I 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5完成作业时间／时A.估计该校有40%的学生在2小时｜人j元成i束后作业B.铀取的学生中有10人不能在4小时内完成以后作、I�.C.t自取学生课后完成作业时间的100个数据的中位数伍l丘1'111( 2.2. 5）内0.抽取学生课后完成作业时间的100个荣立据的众数一定（E f天fF-i l(2.2. 5）内5.已知抛物线x'=4y的焦点为f,,(i,M在抛物线上，H I M F l=3，贝11lJ. M到y铀的�li肉J-1A.48. 2/3 C.2J2 D. 36.函数刀。

＝sin2.r-/3cos 2.1寸l{.E隧I同［O.rr]Iλl的＇.）！，：点个败是A.28.3 c.4D.57. （［炎热的反天里．人们都喜欢在饮品里放冰块．如l 民I �主一个问脚杯．它的细11盹I 归是JE 王fr l %.容拇内有－定虫的水．扣在高脚杯l均放入一个球形冰块后．冰块没有开始融化前水面所在的平而价好经过冰块的球心。

2023届陕西省高三下学期4月教学质量检测(二)理科数学试题(PDF版)

2023届陕西省高三下学期4月教学质量检测(二)理科数学试题(PDF版)

2023年陕西省高三教学质量检测试题（二）理科数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2230A x x x =+->，{}1,0,1,2B =-，则（ ）A ．{}2AB = B ．A B =RC ．(){}1,0RA B=-ð D ．(){}31RB x x A =-<<ð2．定义：若复数z 与z '满足1zz '=，则称复数z 与z '互为倒数．已知复数12z =+，则复数z 的倒数z '=（ ）A ．12-B ．12+C ．12-D ．12 3．设()3,a m =，()4,2b =，则“1m =-”是“()a ab ⊥-”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．A ，B ，C ，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为（ ） A ．127 B ．481 C ．527 D ．8815．短道速滑队6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内）进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，()q r ⌝∧是真命题，则选拔赛的结果为（ ）A ．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名B ．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名C ．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名D ．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名6．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的m 的值为（ ）A ．25B ．45C ．55D ．757．已知等比数列{}n a 的前n 项和与前n 项积分别为n S ，n T ，公比为正数，且316a =，3112S =，则使1n T >成立的n 的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．12D ．13 8．已知函数()()2cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，()01f =．则下列说法正确的是（ ）A ．2πω=B ．()f x 的图象的对称轴方程为()23x k k ππ=-∈Z C ．()1f x ≥的解集为()44,43k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()f x 的单调递减区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z9．在13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64:1，则展开式中的常数项为（ ）A ．540B ．480C ．320D ．16010．已知三棱锥P ABC -中，1AC BC ==，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，PD ⊥平面ABC ，点P ，A ，B ，C 在球心为O 的球面上，若三棱锥P ABC -的体积是16，则球O 的半径为（ ） A ．32 B ．1 C ．12 D ．3411．如图，1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，2POF △是面积为的正三角形，则e 的值是（ ）A．1 B．1 CD．4-12．已知集合(){}0M f αα==，(){}0N g ββ==．若存在M α∈，N β∈，使n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”．若函数()21xf x e -=-与函数()2xg x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．2214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3212,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程为9.49.1y x =+，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为________． 14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin 0C C a b c --=．若ABC △的面积为b c +的最小值为________．15．已知函数()132,1,1x e xfx x x x -⎧<⎪⎨+≥=⎪⎩，则()()2f f x <的解集为________．16．如图，记椭圆221259x y +=，221259y x +=内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到()14,0F -，()24,0F ，()10,4E -，()20,4E 四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线y x =，y x =-均对称； ③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π． 其中正确命题的序号为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知在各项均为正数的等差数列{}n a 中，23421a a a ++=，且21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前3项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 的通项公式为n c =________，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 请在①n n a b ；②()()111n n n b b b +--；③()1nn a n -+这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并完成解答．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，PDC △是边长为2的等边三角形，平面PDC ⊥平面ABCD ，E 为线段PC 上一点．（1）设平面PAB平面PDC l =，证明：l ∥平面ABCD ；（2）是否存在这样的点E ，使平面ADEF 与平面ABCD 所成角为60︒？如果存在，求CE CP的值；如果不存在，请说明理由．19．（12分）如图，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>内切于矩形ABCD ，其中AB ，CD 与x 轴平行，直线AC ，BD 的斜率之积为12-，椭圆的焦距为2．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）椭圆上的点P ，Q 满足直线OP ，OQ 的斜率之积为12-，其中O 为坐标原点．若M 为线段PQ 的中点，则22MO MQ +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．20．（12分）为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．减排器等级分布如表．（1）若从这100件甲型号减排器中按等级用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望()E ξ． 21．（12分）已知函数()()2l 122n f x x x a b =+++，a ，b ∈R ． （1）当0a =时，设函数()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g b ，求(){}max g b ； （2）设1b =，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()12520x f x -<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=． （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，PQ 的中点为M ，()1,0A ，求AP AQ AM+的值．23．（10分）已知a ，b ，c 为正实数且235a b c ++=． （1）求222a b c ++的最小值； （2）当5≥时，求a b c ++的值．2023年陕西省高三教学质量检测试题（二）理科数学参考答案1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D （ 7．C 8．C 9．A 10．D 11．B 12．A 13．3914．15．(),1ln 2-∞- 16．②③17．（1）因为数列{}n a 为各项均为正数的等差数列， 所以2343321a a a a ++==，得37a =，设公差为d ，则有23116a a d d -=--=-，318a +=，433314a a a d a d +=++=+， 又21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前3项， 所以()()()2324311a a a a +=-+， 即()()64614d d =-+， 解得2d =或10d =-（舍去），所以132743a a d =-=-=，则数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列， 故21n a n =+，且由题意可得，1214b a =-=，2318b a =+=，所以数列{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列， 故11422n n n b -+=⋅=．（2）若选①，则()1212n n n n c a b n +==+⋅，则()()2341325272212212n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅，①在上式两边同时乘以2可得，()()341223252212212n n n S n n ++=⋅+⋅++-⋅++⋅，②①-②可得，()()234122322222(21)24122n n n n S n n +++-=⋅++++-+⋅=-+-⋅．即()22124n n S n +=-⋅+．若选②，则()()111nn n n b c b b +=--()()11222121n n n +++=-- 12112121n n ++=---，则12211111111377152121321n n n n S +++=-+-++-=----． 若选③，则()()()1121nnn n c a n n n =-+=-++，则()()31527394121nn S n n =-+++-+++++-++所以当n 为偶数时，()()()()()()()13579121121123n nn S n n n -⎡⎤=-++-+++-⋅-+-++++++⎣⎦()2132222n n nn n ++=⨯+=； 由上可得，当n 为奇数时，()()21421232122n n n n S n n ---=⨯+++++-+=综上可得，223,24,2n n nn S n n n ⎧+⎪⎪=⎨--⎪⎪⎩为偶数为奇数．18．（1）证明：C ABD ∥，AB ⊂/平面PDC ，DC ⊂平面PDC ，AB ∴∥平面PDC ，又AB ⊂平面P AB ，且平面PAB 平面PDC l =，AB l ∴∥，又l ⊂/平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，l ∴∥平面ABCD ．（2）解：设DC 的中点为O ，连接PO ，OA ，则PO DC ⊥ 平面PDC ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PDC ，平面PDC平面ABCD DC =，PO ∴⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则()1,0,0A ，()0,1,0D -，()0,1,0C，(P ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，假设存在点E 使平面ADEF 与平面ABCD 所成角为60︒，()01CE CP λλ=≤≤，则()0,1E λ-，即()0,2DE λ=-，设平面ADEF 的法向量为(),,n x y z =， 又()1,1,0DA =，则00n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()020y y z x λ+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，有1,n ⎛=- ⎝， cos ,m n m n m n⋅∴=12==， 整理得2440λλ+-=， 解得)[]210,1λ=∈，故存在点E满足条件，且)21CE CP=．19．（1）由题意，得1c =，(),A a b --，(),B a b -，(),C a b ，(),D a b -，22AC b b k a a =∴=，22BD b bk a a==--， 2212AC BDa kb k =-=-∴⋅，结合222a b c =+，解得a =1b =，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）解法一：设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭．当直线PQ 的斜率存在时， 设直线PQ 的方程为y kx t =+，由2212y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222124220kxktx t +++-=，()()()222222221641222821021k t k t k t t k ∆=-+-=-+>⇒<+，则12221224122212kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 由12OP OQ k k =-⋅，得()()2212121212212220x x y y k x x kt x x t +=++++=， 代入化简得22212t k =+．2222121222x x y y MO MQ ++⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222212121212222222x x y y x x y y x y ++++⎛⎫⎛⎫+-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 点P ，Q 在椭圆上，221112x y ∴+=，222212x y +=，即22221212142x x y y +++=， ()222221212122242222222kt t x x x x x t t x --⎛⎫+=+-=-⋅= ⎪⎝⎭ 2212142x x +∴=， 2222222212121234242x x y y x x MO MQ ⎛⎫++++=++= ⎪⎝⎭∴， 即2232MO MQ +=； 当直线PQ 的斜率不存在时，易知2232MO MQ +=． 综上， 2232MO MQ +=，为定值． 解法二：由P ，Q 是椭圆C 上的点，可得221122222222x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 把12122x x y y =-代入上式，化简得22122x y =，得22121y y +=，22122x x +=， 则22222212123222x x y y MO MQ +++=+=为定值． 20．（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.0850.0450.6⨯+⨯=， 用分层抽样的方法抽取10件，则抽取一级品为100.66⨯=（件），则至少有2件一级品的概率22314646464103742C C C C C P C ++==． （2）由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为710，二级品的概率为14，三级品的概率为120， 若从乙型号减排器中随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且13,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭~，所以()3003312704464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()21133********P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()122331924464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()033331134464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以ξ的分布列为所以数学期望()279130123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，或()13344E ξ=⨯=． 21．（1）当0a =时，函数()()21202ln f x x b x x =++>，则()b fx x x'=+． ①当0b ≥时，()0f x '>，()f x 在区间[]1,2上单调递增，所以()()()min 512f x fg b ===． ②当0b <时，令()0f x '=，解得1x =，2x =（i）当1，即[)1,0b∈-时，()f x 在区间[]1,2上单调递增，由上知，此时()52g b =． （ii ）当12<<，即()4,1b ∈--时，()f x 在区间⎡⎣上单调递减，在区间⎤⎦上单调递增， 所以()()min ln 222b b f x f b ==-+-+． （iii ）当2≥，即(],4b ∈-∞-时，()f x 在区间[]1,2上单调递减，此时，()()min 2ln 24f x f b ==+．综上，()()5,12ln 2,4122ln 24,4b b b g b b b b b ⎧≥-⎪⎪⎪=-+-+-<<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩，易知(){}5max 2g b =．（2）证明：原式转化为求证()2152f x x >， 当1b =时，()211x ax f x x a x x++'=++=， 所以1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，所以12x x a +=-，121x x =．因为12x x <且10x >，20x >，所以21x >，221a x x =--， 所以()()22222221221212212ln ln x a f x x x x x x x x +++==++ 令()()ln 1212g x x x x x x=++>， 则()23l 0n 12g x x x '=-++>， 所以()g x 在区间()1,+∞上单调递增，所以()()512g x g >=，即()2152f x x >． 所以()12520x f x -<．22．（1）由212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得1x y +=，即直线l 的普通方程为10x y +-=，由()2213sin 4ρθ+=可得2223sin 4ρρθ+=，所以22234x y y ++=，即2214x y +=． 所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=．（2）直线l的参数方程也可表示为122t x t y ⎧'⎪⎪⎨⎪'+=-⎩=⎪．（t '为参数）， 将其代入2214x y +=可得2560t ''+-=， 设该方程的根为1t '，2t '，则12t t ''+=，1265t t ''=-， 所以12AP AQ t t ''+=-=5==，1225t t AM ''=+=， 所以8AP AQAM +=．23．（1）由柯西不等式得()()()22222221232325a b ca b c +++++=≥+， 所以2222514a b c ++≥，当且仅当123a b c ==，即514a =，57b =，1514c =时，等号成立． 因此当514a =，57b =，1514c =时，222a b c ++的最小值为2514．（2）由基本不等式得2a b +≥3a c +≥23b c +≥以上三个式子相加得()223a b c ++≥5≤，5≥时，当且仅当23235a b c a b c ==⎧⎨++=⎩， 即53a =，56b =，59c =时成立， 故5518a b c ++=．。

陕西省汉中市某校2022-2023学年高三上学期第三次质量检测理科数学试题

陕西省汉中市某校2022-2023学年高三上学期第三次质量检测理科数学试题

陕西省汉中市某校2022-2023学年高三上学期第三次质量检测理科数学一、单选题（共60分）1.已知集合{}2,M x x n n Z ==∈，{}2,N x x n n Z ==+∈，则M N = （）A.∅ B.MC.ND.R 2.在复平面内，复数z 的对应点为()1,1-，则2z =（）A. B. C.2i D.2i-3.若偶函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x +=且[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是（）A.2个 B.3个 C.4个 D.多于4个4.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”，此即3V kD =，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解，他们将体积公式3V kD =中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”.类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体也可利用公式3V kD =求体积（在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长）.假设运用此体积公式求得球（直径为a ），等边圆柱（底面圆的直径为a ），正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为1k 、2k 、3k ，那么123::k k k =）A.::232ππ B.::264ππ C.::132ππ D.::164ππ5.设函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上为增函数，在,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，则ω的可能取值为（）A.362k +，k Z ∈ B.32 C.364k +，k Z ∈ D.346.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且212cos 7sin 240αα+-=，若tan()3αβ+=，则tan β=（）A.113- B.711-或1 C.1 D.113-或－77.设两个独立事件A ，B 都不发生的概率为19.则A 与B 都发生的概率值可能为（）A.89 B.23 C.59 D.298.若x ，y 满足条件202602x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数22z x y =+的最小值是（）A. B.2 C.4 D.6899.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20190S >，20200S <，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为（）A.1009 B.1010 C.1011 D.101210.如图，已知1F ，2F 是双曲线C ：()22221,0y b a bx a -=>的上、下焦点，直线12l F F ⊥且l 与双曲线C 交于A ，B 两点，若2F AB △是正三角形且点1F 是2F AB △的内心，则双曲线C 的离心率是（） A.312+B.+C. D.6211.设2021ln 2019a =，2020b =，2019ln 2021c =，则（）A.a b c >> B.c b a >> C.a c b >> D.b a c>>12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是11B D 上的动点，则下列说法不正确的是（）A.直线DP 与1BC 是异面直线B.CP ∥平面1A BDC.1A P PB +的最小值是2D.当P 与1B 重合时，三棱锥1P A BD -的外接球半径为32二、填空题（共20分）13.已知非零向量a ，b 满足a b a b +=- ，且a b = ，则a 和b a - 的夹角为_________.14.52(31)1x x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________.15.如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进米后到点E 后，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为_________米.16.若关于x 的不等式ln x a e x a -≥+对一切正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题（共70分）（一）必考题：共60分.17.（本题12分）某研究机构为了研究华为公司由于技术创新对订单产生的影响，调查了技术创新前、后华为（1）是否有95%的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单？（2）现从技术创新前、后华为在欧洲的订单数中，采用分层抽样的方法抽取5个进行调查，若从抽得的5个订单中随机抽取2个进行调查结果的比较，求这2个订单中恰好有一个是技术创新后的订单的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d +++-+=，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.1000.0500.0100.0010k 2.706 3.841 6.63510.82818.（本题12分）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-.19.（本题12分）已知抛物线C ：23y x =的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .（1）若4AF BF +=，求l 的方程；（2）若3AP PB = ，求AB .20.（本题12分）已知AB 是圆O 的直径，且长为4，C 是圆O 上异于A 、B 的一点，点P 到A ，B ，C 的距离均为.设二面角P AC B --与二面角P BC A --的大小分别为α，β.（1）求2211tan tan αβ+的值；（2）若tan βα=，求二面角A PC B --的余弦值.21.（本题12分）已知函数()(0)x f x ae a ≠，21()2g x x =.（1）当2a =-时，求曲线()f x 与()g x 的公切线方程；（2）若()()y f x g x =-有两个极值点1x ，2x ，且213x x ≥，求实数a 的取值范围.（二）选考题：10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设射线(0)6πθρ=->与直线l 交于点A ，点B 在曲线C 上，且3AOB π∠=，求AB .23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2g x x =-，()f x x a =-.（1）当1a =时，解不等式1()()02g x f x -->；（2）若正数a ，b ，c ，d 满足22(4)a b g +=，221c d +=，求ac bd +的最大值.第三次质量检测数学参数答案题号123456789101112答案B DCD D A D B B A A C 13．135°14．3115．1516．]1，（∞-11．设211ln ln (),()+1(1)x x x f x f x x x +-'==+，当2[e ,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '<在2[,)e +∞上单调递减，(2019)(2020)f f >，即ln 2019ln 202020202021>，2021ln 20192020ln 2020>，所以a b >；设211ln ln (),()1(1)x x x g x g x x x --'==--，当2[e ,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '<在2[,)e +∞上单调递减，(2020)(2021)g g >，即ln 2020ln 202120192020>，2020ln 20202019ln 2021>，所以b c >，所以a b c >>.故选：A.12．C C 选项，延长1BB 到2B ，使得1211B B B D ==21B D ，在21B D 上取点M ，使得11111D M A D ==，则111A D P MD P ≅ ，有1MP PA =.故1A P PB MP PB BM +=+≥.过点M 作12MN B B ⊥，交12B B 于点N ，在121B B D 中，因为1211B B B D ==，所以212B D =，又111D M =，所以2MN=，1B N ，1BN =BM ==所以1A P PB +，故选项C 错误；16解：设()(0)x a f x e lnx a x -=-->，则()0f x 对一切正实数x 恒成立，即()0min f x ，由1()x a f x e x -'=-，令1()x a h x e x -=-，则21()0x a h x e x -'=+>恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上为增函数，当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()h x →+∞，则在(0,)+∞上，存在0x 使得0()0h x =，当00x x <<时，()0h x <，当0x x >时，()0h x >，故函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(x ，)+∞上单调递增，所以函数()f x 在0x x =处取得最小值为000()0x a f x e lnx a -=-- ，因为001x a e x -=，即00x a lnx -=-，所以0010x a a x +-- 恒成立，即0012a x x + ，又0012x x += ，当且仅当001x x =，即01x =时取等号，故22a ，所以1a ．故选：C ．17．（1）有95%的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单；（2）35.（1）由题意知，22150(20403060) 5.357 3.841708050100K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单.（2）由题意知，从技术创新前､后的订单数中应分别抽取的订单数为2个和3个.将来自技术创新前的订单分别记作12,A A ，来自技术创新后的订单分别记作123B B B ，，.则从这5个订单中抽取2个订单的所有结果有()()()()()()121112132122,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B ，()()()()23121323,,,,,,,A B B B B B B B ，共10种，其中恰有一个是来自技术后的订单的结果有()()()()()()111213212223,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B ，共6种，故所求概率63105P ==.19．（1）2n n a =；（2）2382(1)55n n +--（1）设等比数列{}n a 的公比为q （q >1），则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩，整理可得：22520q q -+=，11,2,2q q a >== ，数列的通项公式为：1222n n n a -=⋅=.（2）由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512n n n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----.20．（1）12870x y --=；（2（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++=1252x x ∴+=联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+=则()2212121440m m ∆=-->12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --=（2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --=则4120t ∆=+>13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3A P P B = 123y y ∴=-21y ∴=-，13y =123y y ∴=-则AB ==21．（1）12；（2）（1）连结PO ，OC ．因为PA PB =，O 为AB 的中点，所以PO AB ⊥．因为C 是圆O 上异于A ，B 的一点，AB 是圆O 的直径，所以AC BC ⊥，从而AO CO =．又因为PA PC =，PO PO =，所以 ≌PAO PCO ，所以∠=∠POC POA ，即PO AC ⊥．因为,AO CO ⊂平面ABC ，AO CO O = ，所以PO ⊥平面ABC ．分别取AC ，BC 的中点M ，N ，连接PM ，OM ，PN ，ON ，则在圆O 中，OM AC ⊥．由PO ⊥平面ABC ，得PO AC ⊥．又PO OM O = ，故AC ⊥平面PMO ，所以AC PM ⊥．所以∠=PMO α．同理，∠=PNO β．于是22222222111tan tan 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭OM ON OC OC OP OP OP AP OA αβ．（2）因为tan βα，所以BC ==在圆O 中，CA CB ⊥，以点C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系C xyz -．则(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，(0,B ．又因为PO ⊥平面ABC，所以OP//z轴，从而P ．则(2,0,0)CA =，=CB，= CP ．设平面PAC 的法向量为(,,)m x y z = ，则00m CA m CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200x x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，不妨取y =0x =，z =，此时(0,m = ．同理，平面PBC的一个法向量n = ．所以cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅ A PC B --为钝二面角，所以二面角A PC B --的余弦值为22．（1）22y x =--；（2）ln 3]解：（1）2a =-时，()2x f x e =-，设曲线()f x 上的切点为11(,2)x x e -，则切线方程为11122()x x y e e x x +=--，设曲线()g x 上的切点为2221(,)2x x ，则切线方程为22221()2y x x x x -=-由两条切线重合得112212212(1)2x x e x e x x ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩，则1202x x =⎧⎨=-⎩，所以，公切线方程为22y x =--；（2）21()()2x y f x g x ae x =-=-，x y ae x '=-，设其零点为1x ，2x ，1212x x ae x ae x -=- ，1212x x x x a e e ∴==，令21(3)x kx k =≥，可得1111x kx x kx e e =，则1ln 1k x k =-令ln ()(3)1x h x x x =≥-，211ln ()(1)x x h x x --'=-，又令1()1ln (3)t x x x x =--≥，21()0x t x x -'=<，则()t x 单调递减，2()(3)ln 303t x t ≤=-<，()0h x '∴<，()h x 单调递减，ln 3()2h x ≤，易知()0h x >，1ln 3(0,2x ∴∈，令()x x x e ϕ=，1()x x x e ϕ-'=，则()ϕx 在(,1]-∞上递增，113]x xa e ∴=∈23．（1）4sin ρθ=，0x -=；（2）2.（1）曲线C 的普通方程22(2)4x y +-=，所以极坐标方程为4sin ρθ=.由cos 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(cos cos sin sin )33ππρθθ-=即cos sin ρθθ=l的直角坐标方程为0x -=.（2）由,6cos 3πθπρθ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩得2,,6A π⎛⎫- ⎪⎝⎭射线OB 的极坐标方程为63ππθ=-+，即6πθ=.由,64sin ,πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,3AOB AOB π∠=∴ 为等边三角形，2AB ∴=24．（1）5|4x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；（2.（1）当1a =时，()()102g x f x -->，即1212x x --->，当1x ≤时，()1212x x --->，即112>恒成立，故1x ≤，当12x <<时，()()1212x x ---->，即1322x ->，解得：514x <<，当2x ≥时，()()1212x x --->，112->不成立，不等式无解，综上，不等式的解集是5|4x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.（2）由题意得：()224422a b g +==-=，且221c d +=，()()()2222ac bd ac abcd bd ∴+=++()()()()2222ac bd ad bc ≤+++()()22222a b c d =++=，ac bd ∴+≤a ，b ，c ，d 都是正数，∴当且仅当1a b ==，c d ==“=”，ac bd +。

2023届广西玉林市北流市高三下学期5月教学质量检测数学(理)试题(PDF版)

2023届广西玉林市北流市高三下学期5月教学质量检测数学(理)试题(PDF版)

北流市2023届高三下学期5月教学质量检测数学试题（理科）注意事项1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3{|1A x Z x =∈-≤≤，2{|}30B x x x =-<，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}|03x x <<C ．{}1,2,3D ．{}2,32．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若3a ii-+为实数，则a =（ ） A ．3B ．13 C ．3-D ．13-3．已知平面向量()1,3a =，2b =，且||10a b -=，(2)()a b a b +-=（ ）A ．14B ．1C ．D 4．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则这个数列的第20项为（ ） A ．204B ．202C ．200D ．1985．已知抛物线C ：()²20y px p =>焦点为F ，准线为l ，点(A 在C 上，直线AF 与l 交于点B ，则AF BF=（ ）A ．BC ．2D ．16．执行如图的程序框图，输出的S 值是（ ）A ．0B ．1-C ．12D ．12-7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别为所在棱的中点，P 为下底面的中心，则下列结论中错误的是（ ）A ．平面1EFC ⊥平面11AAC CB ．1MP AC ∥ C ．1MP CD ⊥D ．EF ∥平面11AD B8．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若3564a a =，且5628a a +=，则6S =（ ） A ．125B ．126C ．127D ．1289．已知四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球面O 上，底面ABCD 是边长为4的正方形，平面PAD ⊥面ABCD ，且PA PD ==，则球面O 的表面积为（ ）A ．41πB ．39πC ．40πD ．42π10．为弘扬传统文化，某校进行了书法大赛，同学们踊跃报名，在成绩公布之前，可以确定甲、乙、丙、丁、戊5名从小就练习书法的同学锁定了第1至5名．甲和乙去询问成绩，组委会对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是五人中最差的．”则最终丙和丁获得前两名的概率为（ ） A ．29B ．49C ．827D ．42711．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和虚轴的一个端点分别为F ，A ，点P 为C 右支上一动点，若APF △周长的最小值为4b ，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()1f x +是奇函数，且()()12f x g x -+=，()()32f x g x +-=，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()g x 为奇函数C ．201()40k f k ==∑D ．201()40k g k ==∑第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2022年卡塔尔世界杯期间，3男3女共6位球迷赛后在比赛场地站成一排合影留念，则男、女球迷相间排列的概率为________．14．写出一个半径为1且与圆O ：221x y +=及直线l ：1x =-都相切的圆的方程________．15．已知()s i n (3)(||)2f x x πϕϕ=+<为奇函数，若对任意2,99ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，存在,9a πβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦满足()0()f f αβ+=，则实数a 的取值范围是________．16．已知函数()22ln f x x ax x =-+（a 为常数）有两个极值点：1x ，()212x x x <，若()12f x mx >恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=． （1）求角A 的值；（2）已知D 在边BC 上，且3BD DC =，3AD =，求ABC △的面积的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △为等边三角形，AD BC ∥，AB BC ⊥，且222PC AD AB BC ====，平面PAD ⊥底面ABCD ．（1）证明：AB ⊥平面PAD ；（2）点M 为棱PC 的中点，求二面角M AB P --的正弦值．19．（12分）随着蓉城生态公园绿道全环贯通，环城绿道骑行成为最热门的户外休闲方式之一．环城绿道全程约100公里，不仅可以绕蓉城一圈，更能360度无死角欣赏蓉城这座城市的发展与魅力．某位同学近半年来骑行了5次，各次骑行期间的身体综合指标评分x 与对应用时y （单位：小时）如下表：（1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于x 的回归方程． 参考数据和参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-84≈． 20．（12分）已知椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，1F 、2F 分别是其左、右焦点，若P 是椭圆上的右顶点，且121PF PF ⋅=． （1）求椭圆的方程；（2）设直线1x ky =-与椭圆交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为M （M 与B 不重合），问直线MB 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数()()ln ()1f x x a x a =+≤，2()e xg x x -=，且曲线()y f x =在点()(),x f x 处的切线斜率均不小于2． （1）求a 的值；（2）求证：函数()()()h x f x g x =-在区间()1,2内存在唯一的零点．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），在极坐标系中，曲线2C 是以1,2π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心且过极点O 的圆． （1）分别写出曲线1C 普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （2）直线l ：()4R πθρ=∈与曲线1C 、2C 分别交于M 、N 两点（异于极点O ），求MN ． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()f x x t x t =-++，t R ∈． （1）若1t =，求不等式()28f x x ≤-的解集；（2）已知4m n +=，若对任意x R ∈，都存在0m >，0n >使得24()m nf x mn+=，求实数t 的取值范围．北流市2023届高三下学期5月教学质量检测数学参考答案（理科）1-5：ACACD 6-10：CCBAD11-12：BD13．【答案】11014．【答案】22(2)1x y +-=，22(2)1x y ++=，22(2)1x y ++= （答案不唯一，写出一个即可）． 15．【答案】,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16．【答案】(],3-∞-17．（12分）解：（1）在ABC △中因为cos cos 2cos b A a B c A +=， 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=， 1分所以sin()2sin cos A B C A +=2分因为A B C π++=，所以sin()sin A B C +=．故sin 2sin cos C C A = 3分 又C 是ABC △的内角，所以sin 0C ≠．从而1cos 2A =． 4分 而A 为ABC △的内角，所以3A π=． 5分（2）因为3BC DC =，所以3()AD AB AC AD -=-所以1344AD AB AC =+ 6分 从而22221931939916168161616AB AC AB AC c b bc =++⋅⇒=++8分由基本不等式可得：339981616bc bc bc ≥+=， 9分16bc ∴≤， 10分当且仅当3b =，c = 11分故ABC △的面积的最大值为1162⨯= 12分 18．解：（1）AD BC ∥，AB BC ⊥，AD AB ∴⊥，1分又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，AB ⊂平面ABCD ，3分AB ∴⊥平面PAD （4分）（2）取AD 的中点O ，连接OC ，OP ，PAD △为等边三角形，且O 是AD 的中点， PO AD ∴⊥sin 60PO AP ∴=︒=又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，112AO AD BC ===，AO BC ∥，AB BC ⊥∴四边形ABCO 为矩形，又PO ⊥平面ABCD PO ∴，OD ，OC 两两垂直，故以O 为坐标原点，OC ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，6分(0,1,0)A -，(1,1,0)B -，(1,0,0)C，P ，1,0,22M ⎛ ⎝⎭， 则(1,0,0)AB=，12BM ⎛=-⎝⎭，AP =． 设平面ABM 的法向量为()111,,n x yz =11110102n AB x n BM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令12z =，得(0,3,2)n =-9分设平面ABP 的法向量为()222,,m x y z =，则22200m AB x m AP y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21z =，得(0,m = 10分设二面角M AB P --的大小为θ，由图可知θ为锐角，则|||0cos 14||n m n m θ⋅⨯===‖ 11分sin 14θ∴==∴二面角M AB P --的正弦值为． 12分19．解：（1）1234535x ++++==，9.58.67.87 6.17.85y ++++==， 2分()52110ii x x =-=∑，()5217.06i i y y =-=∑，()()518.4i i i x x y y =--=-∑，4分()()51iix x y y r --∴==≈-∑，6分相关系数近似为1-，说明y 与x 的相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；7分（2）由（1）中数据，()()()1218.4ˆ0.8410niii nii x x y y bx x ==---===--∑∑， 9分ˆˆ7.8(0.843)10.32ay bx =-=--⨯=， 11分 y∴关于x 的回归方程为ˆ0.8410.32yx =-+．12分20．解：设椭圆的焦距为2c ，因为椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，所以c e a ==2243c a =， 1分因为(,0)P a ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，1(,0)PF c a =--，2(,0)PF c a =- 2分所以22121PF PF a c ⋅=-=，因为222b c a +=，所以，21b =，23c =，24a =．3分所以，椭圆的方程为2214x y += 4分【2】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,M x y -，所以，联立方程22114x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230k y ky +--=，216480k ∆=+>， 所以12224k y y k +=+，12234y y k -=+， 6分因为直线1x ky =-与椭圆交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为M 与B 不重合， 所以，0k ≠，即12x x ≠， 所以，2121MB y y k x x +=-，直线MB 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--，7分令0y =得()221211222121y x x x y x y x x y y y y -+=-=++， 8分又因为111x ky =-，221x ky =-，所以()()2121221121221121223211241131424k y ky ky y x y x y ky y k x k y y y y y y k -⋅-+-++===-=-=--=-++++11分所以，直线MB 与x 轴交于点(4,0)-12分21．【1】()()ln (1)f x x a x a =+≤，则()ln 1(0)af x x x x'=++>， 1分因为曲线()y f x =在(,())x f x 处的切线斜率均不小于2， 所以()ln 12af x x x'=++≥， 2分得ln a x x x ≥-，设()ln (0)u x x x x x =->），则()ln u x x '=-，令()001u x x '>⇒<<，令()01u x x '<⇒>， 4分 所以函数()u x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1u x u ==，所以1a ≥，又1a ≤，所以1a =；5分【2】由（1）知，()(1)ln f x x x =+，所以2()()()(1)ln ex x h x f x g x x x =-=+-，则1(2)()ln 1(12)e x x x h x x x x -'=+++<<．6分 设1()ln 1(12)F x x x x =+-<<，则22111()0x F x x x x-'=-=>在(1,2)上恒成立，所以函数()F x 在(1,2)上单调递增，得()(1)0F x F >=，即1ln 10x x +->在(1,2)上恒成立，即1ln 1x x +>在(1,2)上恒成立， 所以1ln 12x x++>．① 9分设()e 1x G x x =--，则()e 10xG x '=->在(1,2)上恒成立， 所以函数()G x 在(1,2)上单调递增，得()(1)e 20G x G >=->， 即e 1xx >+，得11e 1x x <+， 当(1,2)x ∈时，(2)0x x -<，所以(2)(2)e 1xx x x x x -->+②． 11分由①②得，21(2)(2)2()ln 120e 11xx x x x x h x x x x x --+'=+++>+=>++在()1,2上恒成立， 则函数()h x 在(1,2)上单调递增． 又1(1)0e h =-<，2244(2)3ln 2ln80e eh =-=->， 得(1)(2)0h h <，所以函数()h x 在(1,2)内有唯一的零点．即证．12分22．（1）由曲线1C ：22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈，消去参数θ，得2222(2)4cos 4sin 4x y θθ-+=+=1分所以曲线1C 的直角坐标方程为22(2)4(02)x y y -+=≤≤ 3分（不写出y 具体范围，扣1分）因为曲线2C 是以1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心的圆，且过极点O ，所以圆心为()0,1，半径为1， 故2C 的直角坐标方程为：22(1)1x y +-=，4分 即2220x y y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可得：圆2C 的极坐标方程为2sin ρθ= 5分 （2）因为曲线1C 的直角坐标方程为22(2)4(02)x y y -+=≤≤．即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入化简可得1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=0,2πθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 所以1C 的极坐标方程为4cos 02πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭； 6分 2C 的极坐标方程为2sin ρθ=；7分 因为M 、N 是直线l ：(R)4πθρ=∈与曲线1C 、2C 的两个交点， 不妨设1,4M πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4N πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由于1C ：4cos 02πρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2C ：2sin ρθ=，所以14cos4πρ==22sin 4πρ== 9分从而12||MN ρρ=-=10分 23．（1）解：当1t =时，2(1)()|1||1|2(11)2(1)x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-≤<⎨⎪-<-⎩1分2()8f x x ≤- 当1x ≥时，即2281x x x ⎧≤-⎨≥⎩， 12x ∴≤≤； 2分当11x -≤<时，即22811x x ⎧≤-⎨-≤<⎩，11x ∴-≤<； 3分当1x <-时，即2281x x x ⎧-≤-⎨<-⎩，21x ∴-≤<-， 4分综上可得不等式的解集为[]2,2-． 5分（2）解：()|||||()()|2||f x x t x t x t x t t =-++≥--+=， 当且仅当()()0x t x t -+≤时取等号，min ()2||f x t ∴= 6分又0m >，0n >且4m n +=，2441419444m n m m m n mn n m n m ++∴=+=+≥+=8分 当且仅当44m nn m =，即45m =，165n =时等号成立，9分 所以249,4m nmn +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ 10分．。

甘肃省定西市2022-2023学年高三下学期教学质量检测考试理科数学试题(3)

甘肃省定西市2022-2023学年高三下学期教学质量检测考试理科数学试题(3)

一、单选题二、多选题1. ，则A ．R<Q<PB ．P<R<QC ．Q<R<PD ．R<P<Q 2.已知正项数列的前n项和为，且，设，数列的前n项和为，则满足的n 的最小正整数解为（ ）A ．15B ．16C ．3D ．43. 一个圆台的正视图如图所示，则其体积等于（）A．B．C．D ．4.已知集合，则（ ）A．B．C．D．5. 已知命题，则为（ ）A．B．C．D．6. 以，为直径的圆的方程是A．B．C．D．7. 已知非零向量，，则“与共线”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件8. 设a ＝log 20.4，b ＝0.42，c ＝20.4，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a9. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为和的中点，是截面上的一个动点（不包含边界），若，则下列结论正确的是（）A ．的最小值为B ．三棱锥的体积为定值C ．有且仅有一个点，使得平面D．的最小值为甘肃省定西市2022-2023学年高三下学期教学质量检测考试理科数学试题(3)甘肃省定西市2022-2023学年高三下学期教学质量检测考试理科数学试题(3)三、填空题四、解答题10. 已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过的焦点的直线交于两点，则下列选项正确的是（ ）A．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条B．当时，C ．为钝角三角形D ．的最小值为11.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ）A．B．关于对称C ．在区间上有644个零点D ．若在上是增函数，则的最大值为12. 某校举行演讲比赛，6位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0则下列说法正确的是（ ）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.813. 已知是抛物线的焦点，，为抛物线上任意一点，当取最小值时，__________．14. 正方体的棱长为，设为中点，为线段上的动点，，过点，，的平面截该正方体所得截面记为以下结论正确的有___________填上所有正确的说法的序号①不可能是菱形；②可能是五边形；③时，的面积为；④时，将棱截成长度比为的两部分.15.已知随机变量，且，则的最小值为________.16. 设函数，.(1)若，当时，单调递增，求a 的取值范围；(2)若是的一个极大值点.（i ）当，求b 的取值范围；（ii ）当a 是给定的实常数，设，，是的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到，使得，，，的某种排列，，，（其中{，，，}={1，2，3，4}依次成等差数列？若存在，求所有的b 及相应的；若不存在，说明理由.17.已知（1）求的最大值，及当取最大值时x 的取值集合．（2）在三角形中，分别是角所对的边，对定义域内任意，有,若 ,求的最大值.18. 如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，点是棱的中点.(1)求证：；(2)若，，求三棱锥的体积.（参考公式：锥体体积公式，其中为低面面积，为高.）19. 设函数，其中.（I）当时，求的单调区间与极值；（II）若是非负实数，且函数在上有唯一零点求的值.20. 正项数列的前项和为，满足(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.21. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，到直线的距离为，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，椭圆的左、右顶点分别为，，证明：直线与的交点在定直线上.。

2023届陕西省渭南市高三下学期教学质量检测(Ⅰ)理科数学试题(解析版)

2023届陕西省渭南市高三下学期教学质量检测(Ⅰ)理科数学试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据线线平行可得 或其补角是异面直线 与 所成的角，利用三角形三边关系，由余弦定理即可求解.
【详解】如图，在棱 上取一点 ，使得 ，取 的中点 ，连接 , ，
由于 分别是棱 的中点，所以 ，故四边形 为平行四边形，进而 ,
又因为 是 的中点，所以 ,所以 ，则 或其补角是异面直线 与 所成的角.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设人交谈时的声强为 ，从而得到 ，求出火箭发射时的声强为 ，代入解析式求出答案.
【详解】设人交谈时的声强为 ，则火箭发射时的声强为 ，
则 ，解得： ，
则火箭发射时的声强为 ，将其代入 中，得：
，故火箭发射时的声强级约为 .
故选：B
6.如图，在直三棱柱 中， ，且 分别是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（）
【详解】对②：由 ，可得 ，则 （ 与 为常数），
令 ，则 ，所以 ，则 ，
故 关于直线 对称，②正确；
对①：∵ 为偶函数，则 ，
∴ ，则 为奇函数，
故 ，即 ，则 是以4为周期的周期函数，
由 ，令 ，则 ，可得 ，
故 ，①正确；
由 ，令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
故 ，则 ，
对③：由 ，即 ，则 ，
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证四边形CDNM为平行四边形，进而可得CM//DN，又中位线定理得GF//DN，则GF//CM，再由线面平行的判定定理即可证结论.
（2）过B作BH⊥AC交AC于H，由多面体ABCDE体积最大得BH最大，可知 ， 为 的中点，从而建立空间直角坐标系，求面ABE与面DBE的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示即可求二面角A BE D的正弦值.

陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高三上学期教学质量检测(四)理科数学试题(解析版)

陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高三上学期教学质量检测(四)理科数学试题(解析版)
17.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，且 的外接圆的半径为 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理角化边可证；
（2）先求得 ，再根据 计算面积．
【小问1详解】
证明：∵外接圆半径为 ，且 ，
∴ ，
由正弦定理得
，
；
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
故等比数列 的公比q＝3，
令n＝1，得 ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
由题可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
19.已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）不等式 的最小值为 ，若 ， 为正数，且 ，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，由此求得不等式 的解集.
【答案】
【解析】
【分析】设出 ， ， ，结合题干条件得到 ， ，从而求出四棱台的体积和外接球的体积，得到比值.
【详解】设 ， ， ，
因为以 为球心， 为半径的球与平面 相切，所以 ，
因为 是该四棱台的外接球球心，所以 ，即 ，
所以四棱台的体积 ，
且外接球 体积 ，则 .
故答案为： .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
由上知 ，有 （当且仅当 时取等号），
又有 ，（当且仅当 时取等号），
故有 .
【点睛】基本不等式的运用，常见的有 ，也即 ，要注意等号成立的条件.
20.如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， 底面AB ，且 分别为 中点.

河南省信阳市普通高中2022-2023学年高三第二次教学质量检测试题(1月) 数学(理)含答案

河南省信阳市普通高中2022-2023学年高三第二次教学质量检测试题(1月) 数学(理)含答案

★2023 年1月 16日2022-2023学年普通高中高三第二次教学质量检测数学（理科）（答案在最后）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必将本人的姓名､准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B 铅笔将准考证号填涂在相应位置.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第I 卷一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(2)(1)0}A x x x =+-=∣，{} 2,1,0,1,2B =--，那么 B A 等于（ ）A.{-2,0,1}B.{-1,0,2}C.{-2,-1,0}D.{0,1,2}2.下列命题中，错误的命题有（ ）A.函数f （x ）=x 与2()g x =不是同一个函数B.命题“0[0,1]x ∃∈，2001x x +≥”的否定为“[0,1]x ∀∈，21x x +<”C.设函数22,0()2,0x x x f x x +<⎧=⎨≥⎩，则f (x )在R 上单调递增 D.设x ，y R ∈，则“x <y ”是“2()0x y y -<”的必要不充分条件3.已知角α的终边在直线3x -4y =0上，则2cos 2sin 2αα+等于（ ） A.6425 B.4825 C.1 D.16254.在等差数列{}n a 中，38a =，712a =，则12a 等于（ ） A.19 B.18 C.17 D.205.如图所示的程序框图，输入3个数，0.12a =，0.23b -=，41log 2c =则输出的a 为（ ）A.0B.0.12C.0.23-D.41log 26.源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中,A B 两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ）A.18种B.36种C.72种D.108种7.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ､B 两点，且8AB =，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A.1B.4C.3D.78.已知函数y =f （x ）对任意实数x 都有f （x +6）+f （x ）=2f （3）且f （1-x ）+f （x -1）=0，则f （2022）等于（ ）A.-3B.0C.3D.69.已知函数22()2sin cos sin (0)24x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅--> ⎪⎝⎭在区间25,56ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ） A.15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.某车间加工同一型号零件，第一､二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i 台车床加工(1,2)i =”为事件i A ，“任取一个零件是次品”为事件B ，则（ ） ①()0.054=P B ①()20.03=P A B ①()10.06P B A = ①()259P A B =A.①①①B.①①①C.①①D.①①①① 11.设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m ）满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是（ ）B.12 12.已知关于x 的不等式e ax x b ≥+对任意x R ∈恒成立，则b a 的最大值为（ ） A.12 B.1 C.2e D.e 第Ⅱ卷二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置 13.若复数(1-2i )(a +i )是纯虚数，则实数a 的值为______.14.()()24211x x +-的展开式中4x 的系数为_____________.15.已知D 是ABC 内部（不含边界）一点，若::5:4:3ABD BCD CAD S S S =△△△，AD x AB y AC =+，则x y +=__________.16.剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一.如图，一圆形纸片，直径20cm AB =，需要剪去菱形EFGH ，可以经过两次对折､沿EF 裁剪､展开后得到.若CF EF =，要使镂空的菱形EFGH 面积最大，则菱形的边长EF =______cm.三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2b A a c +=. （1）求角B 的大小；（2）若c =a +b =2，求①ABC 的面积.18.2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生､女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的27，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.（1）完成上面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？（2）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，设X 表示选出的2人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望. 附：22()()()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.19.在数列{}n a 中，()1244N*n n a a n n ++=-∈，123a =-.（1）求n a ；（2）设n S 为{}n a 的前n 项和，求n S 的最小值.20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）P 为椭圆C 上异于A ，B 的动点，直线AP ，PB 分别交直线x =-6于M ，N 两点，连接NA 并延长交椭圆C 于点Q .（i ）求证：直线AP ，AN 的斜率之积为定值；（ii ）判断M ，B ，Q 三点是否共线，并说明理由.21.已知函数()e sin cos xf x x x ax =+--. （1）若函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）设函数()()()ln 1g x f x x =--，若()0g x ≥，求a 的值. 选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）（选修4-4：极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：3x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）写出曲线C 的普通方程，并判断点P 与曲线C 的位置关系；（2）设直线:3l πθ=与曲线C 交于M ､N 两点，求11||||PM PN +的值. 23.（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知a ，b ，c 为正数（1）求24a a +的最小值； （2）求证：bc ac ab a b c a b c ++≥++.2022-2023 学年普通高中高三第二次教学质量检测数学理科参考答案一、选择题1.B2.C3.A4.C5.D6.B7.C8.B9.D 10.B 11.A 12.C二、填空题13.2- 14.9 15.23 16.203三､解答题17.（1）因为cos b A c +=，由正弦定理可得sin cos sin B A A C +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin cos A A B =，因为(0,)A π∈，则sin A >0，所以cos 2B =，因为(0,)B π∈，所以6B π=（2）因为6B π=，c =由余弦定理可得22cos2B ==，整理得2233a b a -+=， 又a +b =2，解得a =b =1，所以111sin 12224ABC S ac B ==⨯=△ 18.（1）解：依题意对冰壶运动有兴趣的人数为()2720020027040⨯+=人， 则女生中对冰壶运动有兴趣的有20080120-=人，男生中对冰壶运动有兴趣的有270120150-=人，所以男生中对冰壶运动无兴趣的有20015050-=人，所以22⨯列联表：全科免费下载公众号《高中僧课堂》2400(1508050120)40010.256 6.63527013020020039K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.（2）解：从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，抽到的男生人数､女生人数分别为：15095270⨯=（人)，12094270⨯=（人)，则X的所有可能取值为0，1，2，所以2529C105(0)C3618P X====，114529C C205(1)C369P X====，4292C61(2)C366P X====，故X的分布列是：故5518()01218969E X=⨯+⨯+⨯=.19.（1）由题意，1244n na a n++=-，则()212144n na a n+++=+-，两式相减得：22n na a+-=.又211244,23a a a+=-=-，则219a=-.于是，135,,a a a，…是以a1为首项，2为公差的等差数列，246,,a a a，…是以a2为首项，2为公差的等差数列.当n为奇数时，1232242nna n-=-+⨯=-，当n为偶数时，2192212nna n-=-+⨯=-.于是24,,21,.n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数 （2）当n 为偶数时，()()()()()()12341214423442144n n n S a a a a a a n -⎡⎤=++++++=⨯-+⨯-++--⎣⎦()()2212131442222242222n n n n n =+++--⨯=-=--⎡⎤⎣⎦， 故当n =22时，n S 的最小值为-242.当n 为奇数时，()()221132212422222n n n n n S S a n n n --=+=--+-=--，对应函数的对称轴为n =22，故当n =21或n =23时，n S 取得最小值2213222124322-⨯-=-. 于是，当n 为偶数时，n S 取得最小值为-242；当n 为奇数时，n S 取最小值为-243. 综上：最小值为-243.20.解：（1）由题意得a =2，c e a ==，所以c =2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）（i ）证明：设()00,P x y ，因为P 在椭圆C 上，所以220014x y +=. 因为002AP y k x =+，002BP y k x =-， 所以直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--. 所以N 点的坐标为0086,2y N x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭.①000AN 0822622y x y k x --==-+-. ①20200022000021422122442AP ANx y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---. （ii ）M ，B ，Q 三点共线.设AP k k =，易得M （-6，-4k ）. 由（i ）12AN k k =-，所以直线AN 的方程为1(2)2y x k=-+. 联立2244022x y x ky ⎧+-=⎨=--⎩，可得()224480k y ky ++=. 解得Q 点的纵坐标为221k k -+， 所以Q 点的坐标为222222,11k k Q k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭所以，22220122221BQ k k k k k k --+==--+，40622BM k k k --==--. 由于BQ BM k k =， 所以M ，B ，Q 三点共线.21.（1）由题意知()e cos sin xf x x x a '=++- 因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()e cos sin 0x f x x x a '=++-≥， 即e cos sin x a x x ≤++对[)0,x ∈+∞恒成立设()e cos sin x h x x x =++，则()e sin cos 4x x h x x x e x π⎛⎫'=-+=- ⎪⎝⎭当02x π≤<时，()e 1104x h x x π⎛⎫'=->-= ⎪⎝⎭当2x π≥时，()2e e 0h x π'>>>所以函数()e cos sin x h x x x =++在[)0,∞+上单调递增所以()()min 02a h x h ≤==（2）由题知()()()()()ln 1e sin cos ln 11xg x f x x x x ax x x =--=+----< 所以()1e cos sin 1x g x x x a x'=++-+-，()00g = 因为()0g x ≥，所以(),1x ∀∈-∞，()()0g x g ≥即()0g 为()g x 的最小值，0x =为()g x 的一个极小值点， 所以()010e cos0sin 0010g a '=++-+=-，解得3a = 当3a =时，()()()e sin cos 3ln 11xg x x x x x x =+----< 所以()11e cos sin 3e 3141x x g x x x x x x π⎛⎫'=++-+=+-+ ⎪--⎝⎭ ①当01x ≤<时，()11310g x '≥+-+=（当且仅当0x =时等号成立） 所以()g x 在[)0,1上单调递增①当0x <时，若02x π-≤<，()11310g x '<+-+=； 若2x π<-，()22132e 3302222g x πππ-'<+<+-+<++ 所以()g x 在(),0∞-上单调递减综上，()g x 在(),0∞-上单调递减，在[)0,1上单调递增所以当3a =时，()()00g x g ≥=22.解：（1）曲线C的参数方程为：3x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），①消去参数α可得，()2238x y -+=， ①点P 的极坐标为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且cos x ρθ=，sin y ρθ=， ①点P的直角坐标为(P ，将P 代入曲线C的普通方程的左边得22(13)78-+=<， 故P 在曲线C 内部.（2）直线:3l πθ=的极坐标方程对应的普通方程为：y =，①P 在直线上，故可设直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），与曲线C 的普通方程22(3)8x y -+=联立，化简整理可得，210t t +-=，50∆=>，设两根为1t ，2t ， 由韦达定理可得，121211t t t t +=-⎧⎨=-⎩， 故121111||||PM PN t t +=+== 注意：本题用圆的极坐标方程来解同样给分!23.（1）解：因为2244322a a a a a +=++≥=，当且仅当“2a =”时等号成立， 所以当2a =时，24a a +的最小值为3. （2）证明：因为2bc ac c a b +≥=，同理2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥， 所以三式相加得22()bc ac ab a b c a b c ⎛⎫++≥++⎪⎝⎭， 所以bc ac ab a b c a b c ++≥++，当且仅当“a b c ==”时等号成立.。

安徽省合肥市2020年高三第三次教学质量检测数学(理科)试卷文字版含答案

安徽省合肥市2020年高三第三次教学质量检测数学(理科)试卷文字版含答案

合肥市2020年高三第三次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间:120分钟 满分:150 分）注意事项:1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知R 为实数集，集合{}20<<=x x A ，{}3<=x x B 则B A C R I )(=A ．{}32<<x xB ．{}32<≤x xC ．{}320<≤<x x x 或D ．{}320<≤≤x x x 或2．若复数21,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，i z +=11，则21z z ⋅=A ．2-B ．i 2-C ．2D ．i 23．某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好管理和宣传工作．若每个小区安排2人，则每位志愿者不安排在自已居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为A ．95B ．94C ．454D ．1352 4．已知双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的顶点到渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为 A ．32 B ．2 C ．23 D ．332 5．“关于x 的方程x x a 2)12(=+有实数解”的一个充分不必要条件是A ．131<<aB ．21≥aC ．132<<aD ．121<≤a 6．已知23)3tan(=+πα，则ααααsin cos 3cos sin 3-+= A ．91 B ．93 C ．31 D ．33 7．公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题:“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗?”在上述问题中，第一人分得玉米A ．18870109-⨯斗B ．10101078810-⨯斗C ．1010978810-⨯斗D ．1010878810-⨯斗 8．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若B c b a cos 2=+，则2)(bc a b +的最小值为 A ．22 B ．3 C ．32 D ．49．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，该激光测速仪工作原理是：激光器发出的光平均分成两束后射出，并在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移λϕsin 2v f p =，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，入为激光波长，ϕ为两束探测光线夹角的一半，如图．若该激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm （1nm=9-10m ） ，测得某时刻频移为）（h /110030.99⨯，则该时刻高铁的速度约等于A ．h km /320B ．h km /330C ．h km /340D ．h km /35010．在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=AD=6，AA 1=2，M 为棱BC 的中点，动点P 满足∠APD=∠CPM ，则点P 的轨迹与长方体的面DCC 1D 1的交线长等于A ．32πB ．πC ．34π D ．π2 11．已知不等式)]1ln([1+->--x x m x e x 对一切正数x 都成立，则实数m 的取值范围是A ．]3,(e -∞B ．]2,(e -∞ C ．]1,(-∞ D ．],(e -∞12．在矩形ABCD 中，AB=4，BC=34，点G ，H 分别是直线BC ，CD 上的动点，AH 交DG 于点P ．若）（，10212<<==λλλCB CG DC DH ，矩形ABCD 的对称中心M 关于直线AD 的对称点是N ，则△PMN 的周长为A ．12B ．16C ．λ24D ．λ32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡上的相应位置．13．某高中各年级男女生人数统计如下表:性别人数年级高一 高二 高三男生592 563 520 女生 528 517 a 按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则上表中a= .14．5)44(x x +-的展开式中2x 的系数为 .15．已知数列{}n a 中n a n =．数列{}n b 的前n 项和12-=n n S ．若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 的前n 项和M T n <对于*N n ∈∀都成立，则实数M 的最小值等于 .16．已知三棱锥A —BCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直．其长度分别为a ，b ，c ．点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为S A ，S B ，S C ，S D ，在下列所给的命题中，正确的有 （请写出所有正确命题的编号）。

陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测理科数学试题(含答案解析)

陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测理科数学试题(含答案解析)

（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．函数 f x 2 x3 x e x 的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．m，n 为空间中两条不重合直线， 为空间中一平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 m // n ， n ，则 m / /
B．若 m ， m // n ，则 n
7．A 【分析】先将原函数用诱导公式变形为正弦函数表示，再根据“左加右减”的原则判断即可.
【详解】
y
cos
2x
3
cos
2x
5 6
2
sin
2x
5 6
sin
2
x
5 12
故可由
y
sin2x 的图象向左平移
5 12
个单位长度得到.
故选：A.
8．C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
三、解答题
17．已知 a,b, c 分别为 ABC 内角 A, B,C 的对边，且 2b a cosC c cosA
(1)求角 C ； (2)若 c2 2ab,ABC 的面积为 3 ，求 a b 的值. 18．如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形， ABB FA 2ED 2 .
A．
1 3
B． 2 5
C．
1 2
D． 3 5
11．若双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的实轴的两个端点与抛物线
x2
8by
的焦点是一个直
角三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（ ）

陕西省汉中市2024届高三一模数学(理)试题(教师版)

陕西省汉中市2024届高三一模数学(理)试题(教师版)

汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学（理科）本试卷共23小题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合{}{}1,0,1,2,023A B x x =-=<-<，则A B = （）A.{0,1}B.{1,0}- C.{1,0,1}- D.{0,1,2}【答案】A 【解析】【分析】将集合B 化简，再结合集合的交集运算即可得到结果.【详解】将集合B 化简可得{}12B x x =-<<，则{}0,1A B = 故选:A2.已知()2i 1z +=，则复数z 的虚部为（）A.15-B.15 C.1i5- D.1i 5【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算及定义计算即可.【详解】由()2i 1z +=可得12i 21i 2i 555z -===-+，即虚部为15-.故选：A3.已知向量(2,)m λ= ，(2,4)n λ=-- ，若m与n共线且同向，则实数λ的值为（）A.2B.4C.2- D.2-或4【答案】C 【解析】【分析】通过向量共线且同向，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(2,)m λ= ，(2,4)n λ=--，∵m 与n共线且同向∴(2)80λλ-+=，解得2λ=-或4λ=，当4λ=时，m与n共线且反向，舍去，故选：C ．4.已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如图，则该截得几何体的体积为（）A.67.5πB.πC.πD.【答案】A 【解析】【分析】将两个几何体合并成一个完整的圆柱，再计算体积即可.【详解】将两个几何体可以合并成一个完整的圆柱，则体积为()21π310567.5π2V =⨯⨯⨯+=.故选：A 5.已知2tan 3α=，则sin 2cos(2)απα--=（）A.713B.1113C.73D.1713【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合二倍角公式与同角的三角函数关系，构造齐次式即可求解.【详解】2222222sin cos cos sin 2tan 1tan 17sin 2cos(2)sin cos tan 113αααααααπαααα+-+---==++．故选：D.6.将数据1,3,5,7,9这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（）A.15B.310C.25D.12【答案】C 【解析】【分析】计算出所有的随机删去两个数的方法，再求出剩下数据的平均数大于5的删去方法，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】从5个数中随机删去两个数有(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,5),(3,7),(3,9),(5,7),(5,9),(7,9)共10种方法，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是(1,3),(1,5),(1,7),(3,5)共有4种，所以剩下数据的平均数大于5的概率为42105P ==，故选：C7.下列说法正确的是（）A.“a b ≥”是“22am bm ≥”的充要条件B.“,4k x k π=∈Z ”是“tan 1x =”的必要不充分条件C.命题“0001,2x x x ∃∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”D.“1xy=”是“lg lg 0x y +=”的充分不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A 的正误，利用正切函数的性质判断B 的正误，利用命题的否定形式判断C 的正误，利用对数的定义判断D 的正误.【详解】对A ，若22am bm ≥中，0m =时a b <也成立，故A 错；对B ，当34x π=时，tan 1x =-，故tan 1x ≠，若tan 1x =，则(41)4k x π+=，故B 对；对C ，存在量词命题的否定是1,2x x x∀∈+<R ，故C 错；对D ，若1,,xy x y =均为负数，则lg ,lg x y 无意义，故D 错.8.已知双曲线221mx y +=的一条渐近线的斜率为2，则m =（）A .－4B.4C.14-D.14【答案】A 【解析】【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出m 的值.【详解】根据221mx y +=,得到2211x y m-=-,则焦点在y轴，故渐近线为y =，2=，故4m =-.故选：A9.下列函数中，既是偶函数，又在(),0∞-上是增函数的是（）A.()22x x f x -=- B.()23f x x =- C.()2ln =-f x xD.()cos3=f x x x【答案】C 【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，判断AD 错误，结合常见基本初等函数的单调性判断B 错误，C 正确即可.【详解】选项A 中，()22xxf x -=-，定义域R ，()()()2222xx x x f x f x ---=-=--=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项D 中，()cos3=f x x x ，定义域R ，()()()cos 3cos3f x x x x x f x -=--=-=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项B 中，()23f x x =-，定义域R ，()()()2233f x x x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数，但二次函数()23f x x =-在(),0∞-上是减函数，在()0,∞+上是增函数，故不符合题意；选项C 中，()2ln =-f x x ，定义域为(),0∞-()0,+∞ ，()()2ln 2ln f x x x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数.当()0,x ∈+∞时，()2ln f x x =-是减函数，所以由偶函数图象关于y 轴对称可知，()f x 在(),0∞-上是增函数，故符合题意.故选：C.【点睛】方法点睛：定义法判断函数()f x 奇偶性的方法：（1）确定定义域关于原点对称；（2）计算()f x -；（3）判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=，则()f x 是偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数；若两者均不成立，则()f x 是非奇非偶函数.10.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数4sin()y x ωϕ=+π0,||2ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象上，且图象过点π,224⎛⎫ ⎪⎝⎭，相邻最大值与最小值之间的水平距离为π2，则使得函数单调递增的区间的是（）A.ππ,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.π5π,824⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.5π3π,248⎡⎤⎢⎣⎦ D.5π3π,84⎡⎤⎢⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据已知得出函数的周期，求出ω，根据点的坐标，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值.然后得出函数的单调区间，即可得出答案.【详解】由已知可得，π22T =，所以πT =，2π2Tω==，()4sin 2y x ϕ=+.又图象过点π,224⎛⎫⎪⎝⎭，所以有π4sin 212ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，π1sin 122ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为π2ϕ<，所以5ππ7π121212ϕ-<+<，所以ππ126ϕ+=，所以π12ϕ=，π4sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π,2122k x k k -+≤+≤+∈Z 可得，7π5πππ,2424k x k k -+≤≤+∈Z ，所以，函数的单调递增区间为7π5ππ,π,2424k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .当1k =-时，单调递增区间为31π19π,2424⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；当0k =时，单调递增区间为7π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当1k =时，单调递增区间为17π29π,2424⎡⎤⎢⎣⎦；对于A 项，19ππ7π24324-<-<-，故A 项错误；对于B 项，因为7ππ5π24824-<<，故B 项正确；对于C 项，因为5π3π17π24824<<，故C 项错误；对于D 项，因为5π5π17π24824<<，故D 项错误.故选：B.11.如图，已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN y ⊥轴于点N .若四边形OCMN 的面积等于8，则E 的方程为（）A.22y x =B.24y x =C.23y =D.28y x=【答案】B 【解析】【分析】根据1AB k =求出M 的坐标，然后得MC 的方程，令0y =，得C 的坐标，利用直角梯形的面积求出p ，可得抛物线方程.【详解】易知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p y x =-，四边形OCMN 为直角梯形，且//FC NM .设()11,A x y ，()22,B x y ，00(,)M x y ，则1212221212122122AB y y y y pk y y x x y y p p--====-+-，所以122y y p +=，所以0y p =，00322p p x y =+=，∴3,2p M p ⎛⎫⎪⎝⎭.所以MC 直线方程为32p y p x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭，∴令0y =，∴52p x =，∴5,02p C ⎛⎫⎪⎝⎭.所以四边形OCMN 的面积为1538222p p p ⎛⎫⨯+⨯= ⎪⎝⎭，∴2p =.故抛物线E 的方程为24y x =.故选：B.12.已知函数2e ()2x k f x x kx x =+-，若1x =是()f x 在区间(0,)+∞上的唯一的极值点，则实数k 的取值范围是（）A.2e ,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.3e ,9⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C.2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.3e ,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】求出函数导数221()(e )x x f x kx x-'=+⨯，由题可知需使得()2e x h x kx =+在(0,)+∞上没有变号零点，因此分离参数2e x k x -=，令2e ()(0)x g x x x =>，利用导数求得其最小值，则可得2e 4k -≤，即可求得答案.【详解】由题意得2222e e e 1()()(1)(e )x x x x x xf x kx k k x kx x x x--'=+-=+-=+⨯，由题意可得1x =是函数()f x '在区间(0,)+∞上唯一变号的零点，令()2e xh x kx =+，则需满足()h x 在(0,)+∞上没有变号零点；令()2e 0xh x kx =+=，得2e x k x -=，令2e ()(0)x g x x x =>，则3(2)()e xx g x x'-=，当2x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当02x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，故当2x =时()g x 取得最小值2e(2)4g =，其大致图象如图：要使()h x 没有变号零点，则需2e 4k -≤，即2e4k ≥-，即实数k 的取值范围是2e ,)4[-+∞.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查的时根据函数在区间(0,)+∞上有唯一的极值点，求参数的范围，那么要满足这一点，解答的关键在于求出导数221()(e )xx f x kx x-'=+⨯后，需使得()2e x h x kx =+在(0,)+∞上没有变号零点，由此转化为函数的最值问题解决.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(13)n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.【答案】4【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1rn =ð（3x ）r ＝3r rn ðx r ．∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴223n =ð54，可得2n =ð6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则2(3)(log 3)f f -+=__________.【答案】11【解析】【分析】根据分段函数解析式，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】依题意2(3)(log 3)f f -+=()2222log 32log 3log 32222log 134log 22222311++=+=+=+=.故答案为：11【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查对数运算，属于基础题.15.已知ABC 中，=3AB ，=2AC ，60A ∠=︒，则ABC 的外接圆面积为___________.【答案】7π3【解析】【分析】利用余弦定理求解边长BC ，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.【详解】解：根据题意，由余弦定理可得2222cos 7BC AB AC AB AC A BC =+-⨯⨯=⇒=，该ABC 的外接圆的半径为r ，则由正弦定理得：2221217π2πsin 333BCr r S r A===⇒=⇒==.故答案为：7π3.16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.【答案】163##153【解析】【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为2464V R ππ==球，所以正三棱锥外接球半径4R =，如图所示，设外接球圆心为O ，过PO 向底面作垂线垂足为D ，(04)OD a a =≤<，要使正三棱锥体积最大，则底面ABC 与P 在圆心的异侧，因为-P ABC 是正三棱锥，所以D 是ABC 的中心，所以4,OP OA AD ====，又因为23ADB π∠=，所以AB BC AC ===⨯，()2133sin 16234ABC S AB AC a π=⨯⨯⨯=-△，所以()()232116(4)41664344P ABC ABC V S PD a a a a a -=⨯⨯=⨯-⨯+=--++△，令32()41664,(04)f a a a a a =--++≤<，2()3816(34)(4)0f a a a a a =--+=--+='解得4a =-或43，当40,3a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()0f a '>；当4,43a ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，()0f a '<，所以()f a 在40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭递增，在4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故当43a =时，正三棱锥的体积P ABC V -最大，此时正三棱锥的高为416433a OP +=+=，故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为163.故答案为：163三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足38a =，572S a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()112nn n n b a +=-+，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）31n a n =-（2）1344n n ++-【解析】【分析】（1）由等差数列前n 项和以及通项公式结合已知联立方程组，求出基本量1,a d 即可.（2）由分组求和法以及等比数列公式法即可求解.【小问1详解】设{}n a 公差为d ，依题意得()11154526228a d a d a d ⨯⎧+=+⎪⎨⎪+=⎩,解得123a d =⎧⎨=⎩,所以()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-，()*Nn ∈．【小问2详解】因为()112n n n n b a +=-+，()*N n ∈，所以()()()()232122143221222n n n n T a a a a a a +-=-+-+⋯+-+++⋯+()22221212332434412n n n n n n ++-=⨯+=+⨯-=+--．18.佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度2018201920202021年度序号x1234不戴头盔人数y 125010501000900（1）请利用所给数据求不戴头盔人数y 与年度序号x 之间的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；（2）交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,n n i i i i i i n n i i i i x y nxyx x y y b ay bx xnx xx ====---===---∑∑∑∑()2P K k ≥0.100.050.0250.0100.005k2.7063.841 5.024 6.6357.879()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++【答案】（1）ˆ1101325yx =-+，775（2）能有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，理由见解析.【解析】【分析】（1）先求出x 与y ，代入公式后求出ˆb ，ˆa ，得到回归直线方程；（2）代入公式求出2 4.6875K =，与3.841比较，显然有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.【小问1详解】1234542x +++==，12501050100090010504y +++==，1222151250210030003600410502ˆ11051491642n i i i n i i x y nxy b xnx ==-+++-⨯⨯===-⎛⎫-+++-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，5ˆˆ105011013252a y bx =-=+⨯=，回归直线方程为ˆ1101325yx =-+5x =时，ˆ5501325775=-+=y【小问2详解】2250(727313)10402030 4.6875 3.841K ⨯⨯-⨯=>⨯⨯=⨯，故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，19.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为4的正三角形，侧棱1AA =1A 在平面ABC 上的射影为BC 边的中点O.（1）求证：平面1AOA ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角11C A B O --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）13.【解析】【分析】（1）先证明出BC ⊥面1AOA ，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）以O 为原点，1,,OA OB OA 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.【小问1详解】因为ABC 是边长为4的正三角形，BC 边的中点O ，所以BC OA ⊥.因为顶点1A 在平面ABC 上的射影为O ，所以1OA ⊥平面ABC ,1OA BC ⊥.因为1OA Ì面1AOA ，OA ⊂面1AOA ，1OA OA O = ,所以BC ⊥面1AOA .所以BC ⊂面11BCC B ，所以平面1AOA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】以O 为原点，1,,OA OB OA 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.因为ABC 是边长为4的正三角形，O 为BC 边的中点，所以3sin 6042OA AB =︒=⨯=.在直角三角形1OAA中，16OA ==.所以()0,0,0O ，()A ，()0,2,0B ，()0,2,0C-，()10,0,6A .所以()AB =- ,()2,0AC =-- .在三棱柱111ABC A B C -中，由11AB A B =，()10,0,6A 可求得：()12,6B -.同理求得：()12,6C --.所以()11A B =- ，()10,2,6CA = ,()10,0,6OA = .设(),,m x y z = 为平面11OA B 的一个法向量，n 为平面11CA B 的一个法向量.因为11100A B m OA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2000060y z ⎧-++=⎪⎨++=⎪⎩，不妨设1x =，则()m = .同理可求：33n ⎛=- ⎝⎭ .设θ为二面角11C A B O --的平面角，由图可知：θ为锐角，所以,239cos cos ,13m n m n m n θ===⨯ .即二面角11C A B O --.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2A ⎛ ⎪⎝⎭，点()1,0F 为椭圆C 的右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0F 作两条斜率都存在且不为0的互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与椭圆相交1A 、1B ，直线2l 与椭圆相交2A 、2B 两点，求四边形1212A A B B 的面积S 的最小值.【答案】（1）2212x y +=（2）169【解析】【分析】（1）根据已知条件列式求出,a b 可得椭圆C 的方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出11||A B 和22||A B ，求出S 后，根据基本不等式求出最值可得解.【小问1详解】由题意可得2222212141a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为2212x y +=.【小问2详解】设直线1l 的方程为()10x ty t =+≠，联立22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222210t y ty ++-=，22244(2)8(1)0t t t ∆=++=+>,设()111,A x y ，()122,B x y ，则12222t y y t +=-+，12212y y t =-+，所以11A B =====)2212tt+=+，同理可得)2222221111212t tA Btt⎫⎛⎫-+⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫-+⎪⎝⎭，则()()()()22221122222224141116||||292212212t tS A B A Bt t t t++=⋅=≥=++⎛⎫+++⎪⎝⎭，当且仅当22212t t+=+，即1t=±时取等号.所以四边形1212A AB B的面积S的最小值为169.21.已知函数()lnf x x x=，()()21f xg x xx x=-+．（1）求函数()g x的单调区间；（2）若方程()f x m=的根为1x、2x，且21x x>，求证：211ex x m->+．【答案】（1）单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()g x的解析，从而求出导函数，即可得到函数的单调区间；（2）求导分析()f x的单调性，()1lnf x x'=+，推出()f x x<-，设直线y x=-与y m=的交点的横坐标为3x，则13x x m<=-，证明当1,1ex⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e1f x x<--，即可得证．【小问1详解】解：因为()lnf x x x=，()()21f xg x xx x=-+，所以()l1n2xg x xx=-+定义域为()0,∞+，()()222221212110xx xg x xx x x---+-'=--==≤，所以()g x在()0,∞+上单调递减，即()g x的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；【小问2详解】证明：()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，当10e x <<时()0f x '<，当1ex >时()0f x ¢>所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则()min 11e e f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，当01x <<时，()ln 0f x x x =<，所以12101x x e <<<<，且10em -<<，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，ln 1x <-，所以ln x x x <-，即()f x x <-，设直线y x =-与y m =的交点的横坐标为3x ，则1311ln x x m x x <=-=-，下面证明当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e 1f x x <--，设l e 111()ln (1)(n )11e ()e 1h x x x x x x x =--=-+---，11()ln 1e (1e )m x x x=-+--，则22e 11(1)1(e )(1))e (1x m x x x x --'=-=--，当11e e 1x <<-时，()0m x '<，当11e 1x <<-时，()0m x '>，所以()m x 在11,e e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是减函数，在1,1e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上增函数，又因为10e m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10m =，所以当11ex <<时，()0m x <，()0h x <，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1(1)e 1f x x <--，设直线1(1)1y x e =--与y m =的交点的横坐标为4x ，则241(e 1)x x m >=+-，所以21431e x x x x m ->-=+，得证．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系：xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足3OP OM = ，P 点的轨迹为曲线2C ．（Ⅰ）求2C 的参数方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线3y x =与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，将曲线1C 、2C 的方程转化为极坐标方程后，求AB ．【答案】（Ⅰ）3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．（Ⅱ）2【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程和直角坐标方程进行转换．（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【详解】解：（Ⅰ）设(),P x y 由于P 点满足3OP OM = ，所以,33x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于点M 在1C 上，所以cos 31sin 3x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得2C 的参数方程3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．（Ⅱ）曲线1C 的参数方程转换为极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程转换为极坐标方程为6sin ρθ=，直线3y x =转换为极坐标方程为π6θ=．所以2sin π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1A ρ=，同理6sin π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3B ρ=，故312A B AB ρρ=-=-=．【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用，其中涉及到轨迹方程的求解、极坐标中两点间的距离求解，难度一般.极坐标系中，极角相同的两点间的距离等于极径差的绝对值.[选修4－5：不等式选讲]23.设函数()|21|||,f x x x a a R=-++∈（1）当1a =时，解不等式()3f x ≥；（2）若存在x R ∈，使得()1f x a ≤-成立，求a 的取值范围.【答案】（1）1x ≥或1x ≤-；（2）14a .【解析】【分析】（1）当1a =时，利用零点法进行分类，求出不等式()3f x ≥的解集；（2）若存在x R ∈，使得()1f x a ≤-成立，即min |1|()a f x - ，根据1,2a -之间的大小关系，进行分类，最后求出a 的取值范围.【详解】解：（1）当1a =时，1()211322113x f x x x x x ⎧⎪=-++⇔⎨⎪-++⎩ ，或1121123x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-⎩ 或11213x x x -⎧⎨---⎩ ，即121x x ⎧⎪⎨⎪⎩ ，或1121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-⎩ ，或11x x -⎧⎨-⎩ ，即1x ≥或1x ≤-.（2）即min |1|()a f x - ，当12a =-时，min 1(),()|1|2f x f f x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 恒成立；当12a >-时，31,1()1,2131,2x a x a f x x a a x x a x ⎧⎪-+--⎪⎪=-++-<<⎨⎪⎪+-⎪⎩，可知min 11()22f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，得1142a >- ；当12a <-时，131,21()1,231,x a x f x x a x a x a x a ⎧-+-⎪⎪⎪=--<<-⎨⎪+--⎪⎪⎩，同理min 11()22f x f a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，得12a <-.综上，a 的取值范围为14a .【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了不等式存在性问题，正确的分类是解题的关键.21。

河南省豫南名校2022-2023学年高三上学期9月质量检测试题数学理科试卷

河南省豫南名校2022-2023学年高三上学期9月质量检测试题数学理科试卷
3
(2) 2 3 + 6
【18 题答案】
【答案】(1)0, 2 ；
(2){m∣m 11}.
【19 题答案】
【答案】(1)
f
(x)
=
2sin
2x
+
3
(2) a − 2 3 【20 题答案】
【答案】(1) f ( x) (0, 2) 上单调递增,在 (2, +) 上单调递减；
(2)
0,
1 2
(1)若 x = 1 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 的单调区间；
(2)若关于 x 的方程 f (x) =1+ ln a 恰有一个解,求 a 的取值范围.
22.已知函数 f ( x) = sin x cos 2x , g ( x) = a + cos x sin 2x .
(1)求 g ( x) 在 (0, π) 上的极小值点；
0
称#所以)'#/3(/(''!%#(=0'%0! /'!
!-!+!设经过# 天后#%进步%的值是%退步&的值的!---倍#则!---='!%-!#(#'!!###即'-!! !# ((#'!---#所以
#')7>!-!!#(!---'))>>!! --! !-# (-')>$$# ')>$$%)>#*-!!$:/!*!:!
的外部#所以%& 在%"$' 的外部&是%%"$' 为钝角三角形&的充要条件!
"!,!设点 &'#-#(-(#因为)'#(' !$#$%(#%.#所以)*'#('##%(#由##-%('!##-&-#得#-'%$#又

陕西省渭南市2022年高三第二次教学质量检测 理科数学试题

陕西省渭南市2022年高三第二次教学质量检测 理科数学试题
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6.下列说法中，正确的个数为（）
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个线性同归方程 ，变量x增加1个单位时， 平均增加5个单位；
【9题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图还原为几何体的直观图，利用割补法和锥体的体积公式计算即可求出几何体的体积.
【详解】根据三视图可知，该多面体为正方体中的四棱锥 ，如图，
正方体棱长为2，所以该多面体的体积为 .
故选：C
10.若圆O： 上存在点P，直线 上存在点Q，使得 ，则实数k的取值范围为（）
∴ 为等边三角形，
设△APD外接圆半径为r，则根据正弦定理得， ，
如图所示，将四棱锥补为直三棱柱，则该直三棱柱的外接球即为四棱锥的外接球.
设直三棱柱ADP－BCE上下底面外接圆圆心为 、 ，
则 ＝AB＝3为直三棱柱的高，
则 中点O即为外接球球心，设外接球半径为R，
则如图在Rt△ 中， ，
∴四棱锥P—ABCD外接球的表面积为 .
显然夏至到大雪的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首项为1.5尺，末项为12.5尺，共12项，
所以一年中夏至到大雪的日晷长的和为 (尺).
故答案为：84
15.写出一个同时满足以下三个条件的函数 ___________.
① 是偶函数；② 的值域为 ；③ 在 上递增
【15题答案】
【答案】 （答案不唯一）
【详解】设椭圆方程为 （ ）

2023年甘肃省定西市高考数学质检试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年甘肃省定西市高考数学质检试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年甘肃省定西市高考数学质检试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则( )A. B. C. D.3. 已知向量，满足，则( )A. 0B. 2C.D. 54. 攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖.通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面过圆锥旋转轴的截面是底边长为6m，腰长为5m的等腰三角形，则该屋顶的体积约为( )A. B. C. D.5. 已知抛物线C：的焦点为F，过点作x轴的垂线交抛物线C于点B，且满足，则p的值为( )A. 1B. 2C. 4D. 86. 某程序框图如图所示，则输出的S的值为( )A. B. C. D.7. 已知等比数列的前n项和为，若，，则公比( )A. 3B. 2C. 3或D. 2或8. 已知双曲线的右焦点为，过F和两点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为( )A. B. C. D.9. 如图，在正方体中，P为线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是( )A.B.C.D.10. 古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字作画，题字作画的部分多为扇环，如图在长为50cm、宽为20cm的矩形白纸中做一个扇环形扇面，扇面的外环弧线长为45cm，内弧线长为15cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为外环半径与内环半径之差，若从矩形中任意取一点，则该点落在扇面中的概率为( )A. B. C. D.11. 若P是圆C：上任一点，则点P到直线的距离的值不可能等于( )A. 2B. 3C.D.12. 定义在R上的函数满足，当时，，则不等式的解集为( )A. B.C. D.13. 若x，y满足约束条件则的最小值是______ .14. 写出同时满足下面两个条件的数列的一个通项公式______ .①是递增的等差数列；②15. 已知函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是______ .16. 已知函数，若不等式的解集中恰有两个非负整数，则实数k的取值范围为______ .17. 为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度，某调查小组在A，B两所大学各随机抽取10名毕业生进行问卷计分调查满分100分，打分如下所示：A校：64，72，79，78，78，75，86，85，92，91B校：62，67，78，79，70，85，84，87，93，95分别估计A，B两所大学毕业生问卷计分调查的平均值；若规定打分在86分及以上的为满意，86分以下的为不满意，从上述满意的毕业生中任取2人，求这2人来自同一所大学的概率.18. 在中，角A，B，C所对的边分别为证明：；若，求的面积.19. 如图，在正四棱锥中，，点M，N分别为PA，BD的中点.求证：平面PBC；求平面PMN与平面PBC所成角的正弦值.20. 已知椭圆的右焦点为，短轴长是长轴长的求椭圆的方程；是椭圆C上的动点，过点P作椭圆C的切线l，l与直线交于点Q，若为坐标原点的面积为，求点P的坐标.21. 已知函数当时，求函数的图象在处的切线方程；若恒成立，求实数a的最小值.22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求曲线C的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于M，N两点，求23. 已知函数求不等式的解集；若的最小值为，求的最小值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，，，，，因此选项B正确，选项A，C，D错误；故选：由数轴法得出集合A，B的包含关系，结合选项逐一检验．本题考查集合间的关系，考查集合的交并补运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：复数z对应的点的坐标是，则，故故选：根据已知条件，结合复数的四则运算以及复数的几何意义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为故选：利用数量积垂直的坐标表示，即可求解．本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：如图，由题意可知，，，则，该圆锥屋顶的体积约为，故选：由已知求得圆锥的底面半径与高，再由圆锥的体积公式求解．本题考查圆锥体积的求法，是基础题．5.【答案】C【解析】解：抛物线C：的焦点为F，过点作x轴的垂线交抛物线C 于点B，且满足，，可得，故选：根据已知条件得到A在准线上，进而求解结论．本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由题意可知，该程序的作用是求解的值，故选：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】D【解析】解：等比数列中，，，则公比，所以，解得或故选：由已知结合等比数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：因为双曲线的右焦点为，所以，因为双曲线，所以渐近线方程为，又因为，所以直线PF的斜率为，因为直线PF与双曲线的一条渐近线垂直，所以，解得所以，所以该双曲线的方程为故选：由焦点坐标得，由双曲线方程可知其渐近线方程为，求得直线PF的斜率，由垂直关系求得b，从而求得的值，即可得双曲线的方程．本题考查了双曲线的方程和性质的应用，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：如图，连接，由正方体的性质易知：平面，直线与平面所成角为，设，设正方体的棱长为2，则正方体的面对角线长为，，又易知，，，故选：连接，由正方体的性质易知：平面，从而可得直线与平面所成角为，设，设正方体的棱长为2，从而可得，再利用函数思想，化归转化思想，即可求解．本题考查线面角的概念，线面角的范围问题，函数思想，化归转化思想，属中档题．10.【答案】C【解析】解：由题意可知，弧AB的长为45cm，弧CD的长为15cm，则，，，该扇形的中心角的弧度数为，扇面的面积为：，从矩形中任意取一点，则该点落在扇面中的概率为：故选：根据已知条件，先求出小圆弧的半径，再求出扇面的面积，进而求解结论．本题主要考查扇形面积公式的应用以及概率的求解，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：因为直线恒过定点点，当直线与AC 垂直时，点P到直线距离最大，等于，又因为圆心坐标为：，半径为，所以距离最大为，当直线与圆有交点时距离最小为，所以点P到直线距离的范围是：，故选：由题意最远距离为圆心到直线的距离加半径，当圆心与定点的连线与直线垂直时最大，求出最大值，直线与圆有交点时距离最小，由此求出距离的范围．本题考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系应用问题，是基础题．12.【答案】B【解析】解：由，令，可得，，由于函数的定义域为R，令，可得，所以，则函数为奇函数，任取，，且，则，，所以，所以，则函数在R上为减函数，由可得，则，整理得，解得，则不等式的解集为故选：令，可得，再令，可得为奇函数，再利用定义判断的单调性，即可求解不等式本题考查抽象函数的奇偶性，单调性，属于中档题．13.【答案】【解析】解：作出可行域，如图所示：由此可得z在A处取得最小值，由，可得，所以，所以故答案为：作出可行域，结合线性规知识求解即可．本题考查了简单线性规划，属于基础题．14.【答案】答案不唯一【解析】解：由条件①得公差，取，，，解得，同时满足下面两个条件的数列的一个通项公式，故答案为：答案不唯一由条件①得公差，取，根据条件②得，求出，即可得出答案．本题考查等差数列的通项公式和性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：，当时，，若在区间上有且仅有两个零点，则在上有且仅有两个实根，所以，所以，所以的取值范围是故答案为：先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求．本题主要考查了辅助角公式及正弦函数性质的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：等价于，设，，则上面不等式可化为，直线恒过定点，因为的解集中恰有两个整数，所以的图像在的图像上方所对应的x的取值范围恰好有两个整数解，因为，所以时，，单调递增，时，，单调递减，所以，且，当时，；时，，根据上述结论作出函数的图像如图所示：当时，作出，的图像如图所示：从图中可以看出，当时，的图像恒在的图像上方，所以恒成立，所有的整数解有无穷多个，不合题意，当时，作出，的图像如图所示：从图像可知，要使得的图像在的图像上方所对应的x的取值范围中恰有两个非负整数解，只需满足得，所以，解得，综上所述k的取值范围为故答案为：由不等式，可得，设，，不等式可化为，结合图像，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，函数与方程之间的关系，解题中需要理清思路，属中档题．17.【答案】解：校大学毕业生问卷计分调查的平均值为，B校大学毕业生问卷计分调查的平均值为；校大学生打分在86分及以上的有3人，B校大学生打分在86分及以上的有3人，故任取2人，这2人来自同一所大学的概率为【解析】分别根据平均数的定义计算求解；利用古典概型的概率公式列方程计算．本题考查平均数的计算，考查古典概型的概率公式，属于基础题．18.【答案】证明：角A，B，C所对的边分别为，则，即，故，，，，由正弦定理可得，；解：，则【解析】根据已知条件，结合正弦定理，推得，再结合三角函数的两角和公式，以及正弦定理，即可求解；根据已知条件，结合的结论，再结合三角形的面积公式，即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．19.【答案】证明：连接AC，因为四边形ABCD为正方形，N是BD中点，则N是AC与BD 的交点，所以N是AC的中点，又M是PA中点，所以，又平面PBC，平面PBC，所以平面解：由知，点N是底面中心，所以平面ABCD，又NA，平面ABCD，所以，，由正方形ABCD，得以，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，则，，设平面PMN的法向量为则，取，，，；，，设平面PBC的法向量为，则，取，，，；所以，，设平面PMN与平面PBC所成的二面角为，则，所以平面PMN与平面PBC所成角的正弦值为【解析】证明即可；分别把平面PMN与平面PBC的法向量求出即可．本题考查线面平行，二面角，属于中档题．20.【答案】解：由题意可得：，，解得，，椭圆的方程为设，则过点P的椭圆的切线方程为：，令，解得，即又，，原点O到切线的距离，为坐标原点的面积，化为：，解得或，时，解得；，解得点P的坐标为或【解析】由题意可得：，，联立解得，，即可得出椭圆的方程．设，可得过点P的椭圆的切线方程为：，由，利用两点之间的距离公式可得，利用点到直线的距离公式可得原点O到切线的距离d，利用为坐标原点的面积，即可得出点P的坐标．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：当时，，所以，，所以函数图象在处的切线方程为，即；恒成立，即恒成立，于是恒成立，即恒成立，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且时，，当时，，由可得恒成立，即对恒成立，于是恒成立，设；当时，，单调递增，当时，，单调递减，，所以的最小值是【解析】当时，，根据，，得到切点的纵坐标和切线的斜率，利用点斜式方程即可求解；恒成立，即恒成立，即恒成立，通过二次构造函数，利用函数的单调性即可求解．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．22.【答案】解：，，，，故曲线C的直角坐标方程为；设M，N对应的参数为，，将直线l的参数方程代入，化简整理可得，，由韦达定理可得，，，故【解析】根据已知条件，结合极坐标的公式，即可求解；将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，再结合韦达定理，以及参数方程的几何意义，即可求解．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于基础题．23.【答案】解：，即，当时，不等式，可化为，解得；当时，不等式，可化为，即，恒成立；当时，不等式，可化为，解得；综上，不等式的解集为；，当且仅当时等号成立，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为【解析】分，以及讨论即可得解；由绝对值不等式的性质可得，再由基本不等式即可得解．本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于基础题．。

贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学(理)试题含答案

贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学(理)试题含答案

铜仁市2022~2023学年度第一学期期末质量监测试卷高三数学（理科）本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2,},{9,6}P x x y Q =+=，且P Q =，则整数x ，y 分别为（）A.6，3B.6，3或93,22C.3，6D.3，6或93,222.若复数(512i)(cos isin )()z θθθ=-+∈R （其中i 是虚数单位），则||z =（）A.5B.12C.13D.173.在三维空间中，三个非零向量,,OA OB OC 满足,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥，则ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角或锐角三角形4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤5.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A B ，是抛物线C 上不同两点，且A B ，中点的横坐标为3，则||||+=AF BF （）A .4B.5C.6D.86.已知实数x ，y 满足|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=，则2x y +的取值范围是（）A.[3,3]- B.[3,4]- C.[4,4]- D.[6,6]-7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（）A.111A CB D ⊥B.若E 是棱BC 的中点，则//BD 平面11EB D C.正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为3π D.1ACD △的面积是348.已知等比数列{}n a 的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为n T ，且354a a a =，则使得1n T >的n 的最小值为（）A.5B.6C.7D.89.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面CBD ，6AB BC CD AD BD =====，点M 在AC 上，2AM MC =，过点M 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（）A.12πB.10πC.8πD.10.已知p ，q 是方程()()2254560t t t t -+-+=的根，则函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数的概率是（）A.34B.712 C.716D.91611.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若12AF a =，则（）A .2||AB AF > B.2||AB AF = C.2||AB AF < D.22||AB AF =12.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A.(,1)(0,1)-∞-⋃B.(1,0)(1,)-⋃+∞C.(,1)(1,0)-∞-⋃- D.(0,1)(1,)⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为42的样本，那么应抽取女运动员人数是____________．14.过点(1,1)P 的直线l 将圆22:(2)4M x y -+=分成两段弧，当劣弧所对圆心角最小时，直线l 的斜率k =__________．15.已知函数cos (02π)y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积是ω，则函数cos sin y x x ωω=-的一个单调递减区间是_____________．16.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()[]f x x x =-（符号[]x 表示不超过x 的最大整数），若方程()log ||(0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，则a 的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ．且有关系式：2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+．（1）求C ；（2）求证：2c ≥．18.如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠= ，30BAC ∠= ，114A A AC AC ===，E ，F 分别是11,AC A B 的中点．（1）证明：EF BC ⊥；（2）求二面角11C A C B --的正弦值．19.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.A 市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：消费金额（单位：百元）[]0,5(]5,10(]10,15(]15,20(]20,25(]25,30频数2035251055()1由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z （单位：元）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μx （每组数据取区间的中点值，660σ=）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X ，求X 的数学期望；()2A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格.棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是12，其中01P =），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k 到2k +）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第n 格的概率为n P ，求证：当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<+= ，()330.9973P μσξμσ-<+= .20.已知点()0,1F ，直线l ：y =4，P 为曲线C 上的任意一点，且PF 是P 到l 的距离的12.（1）求曲线C 的方程；（2）若经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线交曲线C 于点M ､N ，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点H ，求证：FH MN为定值.21.已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R ．（1）讨论函数的单调性及极值，并判断方程e 2ln 0x x x ---=的实根个数；（2）证明：454e 4ln x x x x x +≥+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是11,2112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）．（1）求直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）求直线l 被曲线C 截得弦AB 的长．[选修4—5：不等式选讲]23.设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．（1）求证：115236a b -<；（2）试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．铜仁市2022~2023学年度第一学期期末质量监测试卷高三数学（理科）本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2,},{9,6}P x x y Q =+=，且P Q =，则整数x ，y 分别为（）A.6，3B.6，3或93,22C.3，6D.3，6或93,22【答案】C 【解析】【分析】由集合相等元素对应相同解方程组.【详解】由集合相等的定义，有296x x y =⎧⎨+=⎩，解得9232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不合题意舍去，或269x x y =⎧⎨+=⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩，满足题意．故选：C ．2.若复数(512i)(cos isin )()z θθθ=-+∈R （其中i 是虚数单位），则||z =（）A.5B.12C.13D.17【答案】C 【解析】【分析】根据复数的模的性质、模长公式和共轭复数的模的性质可求出结果.【详解】因为|||(512i)(cos isin )||512i ||cos isin |z θθθθ=-+=-⋅+=13=，所以||||13z z ==．故选：C ．3.在三维空间中，三个非零向量,,OA OB OC满足,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥ ，则ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角或锐角三角形【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件推出0AC AB ⋅>，得CAB ∠为锐角．同理可得,ABC BCA ∠∠也为锐角．由此可得答案.【详解】因为,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥，所以0,0,0OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅==，()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅- 22||0OB OC OA OB OC OA OA OA =⋅-⋅-⋅+=> ，所以cos 0||||AB ACCAB AB AC ⋅∠=>⋅，即知CAB ∠为锐角．同理可知,ABC BCA ∠∠也为锐角．故ABC 是锐角三角形．故选：A ．4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤【答案】A 【解析】【详解】由题意得，金箠的每一尺的重量依次成等差数列，从细的一端开始，第一段重2斤，第五段重4斤，由等差中项性质可知，第三段重3斤，第二段加第四段重326⨯=斤.5.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A B ，是抛物线C 上不同两点，且A B ，中点的横坐标为3，则||||+=AF BF （）A .4B.5C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线焦半径公式求解即可.【详解】解：由题知24p =，即2p =，设()()1122,,,A x y B x y ，因为A B ，中点的横坐标为3，所以126x x +=，所以，由抛物线焦半径公式得12||||628AF BF x x p +=++=+=故选：D ．6.已知实数x ，y 满足|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=，则2x y +的取值范围是（）A.[3,3]-B.[3,4]- C.[4,4]- D.[6,6]-【答案】C 【解析】【分析】根据绝对值三角不等式取等号的条件，将|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-≥转化为11x -≤≤且22y -≤≤，再根据不等式的性质可求出结果.【详解】因为|1||1||(1)(1)|2x x x x ++-≥+--=，当且仅当(1)(1)0x x +-≤，即11x -≤≤时，等号成立，|2||2||(2)(2)|4y y y y ++-≥+--=，当且仅当(2)(2)0y y +-≤，即22y -≤≤时，等号成立，所以|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-≥，当且仅当11x -≤≤且22y -≤≤时，等号成立，所以|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=等价于11x -≤≤且22y -≤≤，所以222x -≤≤，所以424x y -≤+≤.故选：C7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（）A.111A CB D ⊥B.若E 是棱BC 的中点，则//BD 平面11EB D C.正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为3π D.1ACD △的面积是34【答案】D 【解析】【分析】对于A,连接11A C ，利用线面垂直的判定定理可得11B D ⊥平面11A CC ，即可判断；对于B ，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C ，利用正方体外接球的直径长度为体对角线长度即可判断；对于D ，1ACD △为等边三角形，利用面积公式即可【详解】对于A ，连接11A C ，由正方体可得1CC ⊥平面111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111CC B D ⊥，在正方形1111B A 中，1111AC B D ⊥，因为1111CC A C C ⋂=，111,A C C C ⊂平面11A CC ，所以11B D ⊥平面11A CC ，因为1AC ⊂平面11A CC ，所以111A C B D ⊥，故A 正确；对于B ，因为11//BB DD ，11=BB DD ，所以四边形11BDD B 是平行四边形，所以11//BD B D ，因为BD ⊄平面11EB D ，11B D ⊂平面11EB D ，所以//BD 平面11EB D ，故B 正确；对于C,正方体1111ABCD A B C D -，所以外接球的表面积为234π3π2⎛⨯= ⎝⎭，故正确，对于D ，因为1ACD △是正三角形，其边长为，所以它的面积为213sin 6022⨯⨯︒=，即D 错误．故选：D ．8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为n T ，且354a a a =，则使得1n T >的n 的最小值为（）A.5 B.6C.7D.8【答案】D 【解析】【分析】设公比为q ，则1q >，由23544a a a a ==，得41a =，根据{}n a 为递增数列，推出1234567801a a a a a a a a <<<<=<<<<< ，再推出11T <，21T <，31T <，41T <，51T <，61T <，71T =，81T >可得结果.【详解】设公比为q ，则1q >，由23544a a a a ==，得41a =，因为1n n n a a q a +=>，所以{}n a 为递增数列，所以1234567801a a a a a a a a <<<<=<<<<< ，所以111T a =<，2121T a a =<，31231T a a a =<，412343431T a a a a T a T ==⋅=<，512345T a a a a a =121a a =<，6123456T a a a a a a =21261411a a a a a a ===<，71234567T a a a a a a a =717263544()()()1a a a a a a a a ===，8123456787881T a a a a a a a a T a a ==⋅=>，所以n 的最小为8.故选：D ．9.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面CBD ，6AB BC CD AD BD =====，点M 在AC 上，2AM MC =，过点M 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（）A.12πB.10πC.8πD.【答案】D 【解析】【分析】根据特设求出外接球的半径，再根据圆心到平面距离最大时，截面面积最小即可求解.【详解】由题意知，ABD △和BCD 为等边三角形，如图所示，取BD 中点为E ，连接,AE CE ，则AE BD ⊥，由平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，故⊥AE 平面CBD ，AE ===，球心O 在平面BCD 的投影为BCD △的外心1O ，过O 作OH AE ⊥于H ，易得11,OH O E OO HE ∥∥，则在Rt OHA △中，OH AH ==，所以外接球半径R ==OM ，因为2,,2AH HE OH CE AM MC ==∥，所以H ，O ，M 三点共线，所以23MH CE OM MH OH ===-=，当M 为截面圆圆心时，截面圆的周长最小，此时，截面圆半径r ==，所以截面圆周长的最小值为2C r π==，故选:D ．10.已知p ，q 是方程()()2254560t t t t -+-+=的根，则函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数的概率是（）A.34B.712 C.716D.916【答案】D 【解析】【分析】求出方程的解集，得出p ，q 的所有取值，再得到所求事件所需条件的p ，q 取值，即可得到所求事件的概率.【详解】因为方程()()2254560t t t t -+-+=的根的集合为{1,2,3,4}，所以有{1,2,3,4},{1,2,3,4}p q ∈∈．记事件A 为“函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数”．对函数32()1g x px qx x =++-求导，得2()321g x px qx +'=+．由题意，知2()3210g x px qx '=++≥在(,)-∞+∞上恒成立，有0p >，且()2221(2)434303q p q p p q ∆=-⨯=-≤⇒≥．当1q =时，有13p ≥，所以p 可以取到1，2，3，4这4个值；当2q =时，有43p ≥，所以p 可以取到2，3，4这3个值；当3q =时，有3p ≥，所以p 可以取到3，4这2个值；当4q =时，有163p ≥，所以p 的值不存在．综合以上，事件A 包含的基本事件共有4329++=种．因为{1,2,3,4},{1,2,3,4}p q ∈∈，所以所有的基本事件共有4416⨯=种．则所求事件的概率为9()16P A =．故选：D ．11.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若12AF a =，则（）A.2||AB AF > B.2||AB AF = C.2||AB AF < D.22||AB AF =【答案】B 【解析】【分析】由已知条件和双曲线的定义可得12AF a =，24AF a =，12F F =，2BF AB =，由122cos cos 0F AF BAF ∠+∠=，应用余弦定理，化简可得2AB AF =【详解】由双曲线定义和题设条件，得212AF AF a -=，c =，12F F =．如图所示，因为12AF a =，所以24AF a =．又由双曲线定义，得122BF BF a -=,因为112BF AF AB a AB =+=+，所以212BF BF a AB =-=．在12AF F △和2ABF △中，122πF AF BAF ∠+∠=，有122cos cos 0F AF BAF ∠+∠=，应用余弦定理，得222222121222122022AF AF F F AB AF BF AF AF AB AF +-+-+=，得222222224162802242AB AF AB a a a a a AB AF +-+-+=⋅⋅，化简得2122AF AB =，所以2AB AF =．故选：B ．12.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A.(,1)(0,1)-∞-⋃B.(1,0)(1,)-⋃+∞C.(,1)(1,0)-∞-⋃-D.(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】构函数函数()()f x F x x=，根据()f x 为奇函数，得()F x 为偶函数.求导并利用已知得到()F x 在(0,)+∞上单调递增，再根据()F x 为偶函数得到()F x 在(,0)-∞上单调递减，利用()F x 的单调性可求出结果.【详解】设()()f x F x x=，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()f x f x F x F x x x---===--，所以()F x 为偶函数，对()F x 求导得2()()()xf x f x F x x''-=，因为当0x >时，()()0xf x f x '->，所以()0F x '>，则()F x 在(0,)+∞上单调递增，又因为()F x 为偶函数，则()F x 在(,0)-∞上单调递减，因为(1)(1)(1)(1)011f f F F ---====，所以当0x >时，()()00()0(1)1f x f x F x F x x>⇒>⇒>=⇒>，当0x <时，()()00f x f x x>⇒<()0(1)F x F ⇒<=-10⇒-<<x ，所以使得()0f x >成立的x 的取值范围是(1,0)(1,)-⋃+∞.故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为42的样本，那么应抽取女运动员人数是____________．【答案】18【解析】【分析】求出男女运动员的比例，从而求出答案.【详解】女运动员的人数为985642-=，故男女运动员的人数比例为56:424:3=，所以女生应抽取3421843⨯=+人．故答案为：1814.过点(1,1)P 的直线l 将圆22:(2)4M x y -+=分成两段弧，当劣弧所对圆心角最小时，直线l 的斜率k =__________．【答案】1【解析】【分析】转化为PM l ⊥可求出结果.【详解】劣弧所对的圆心角最小时，劣弧所对的弦长最短，此时，PM l ⊥，因为(2,0)M ，所以1111012PMk k =-=-=--．故答案为：1.15.已知函数cos (02π)y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积是ω，则函数cos sin y x x ωω=-的一个单调递减区间是_____________．【答案】711,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）【解析】【分析】由割补法求出所围区域的面积得到ω，函数解析式化简后利用整体代入法求单调递减区间.【详解】如图所示，区域1S 与2S ，区域3S 与4S 组成的图形是中心对称图形，面积分别对应相等，故函数cos (0y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积等于矩形OABC 的面积，由2πOA =，1OC =，矩形OABC 的面积为2π，所以2πω=．于是πcos sin cos 2πsin 2π2π4y x x x x x ωω⎛⎫=-=-=+ ⎪⎝⎭．由()π2π2π2ππZ 4k x k k ≤+≤+∈，解得()13Z 88k x k k -≤≤+∈．函数cos sin y x x ωω=-的单调递减区间是()13,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦令1k =，其中一个单调递减区间是711,88⎡⎤⎢⎣⎦.故答案为：711,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()[]f x x x =-（符号[]x 表示不超过x 的最大整数），若方程()log ||(0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，则a 的取值范围是__________．【答案】(2,3]【解析】【分析】当01a <<时，不符合题意；当1a >时，根据方程()log (0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，结合图象可知函数[]y x x =-与log (0,1)a y x a a =>≠图象有6个交点，即可求解.【详解】由题意知，()log (0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，即为函数[]y x x =-与log (0,1)a y x a a =>≠图象有6个交点.当01a <<时，显然不成立；当1a >时，如图所示，只需log 21log 31a a<⎧⎨≥⎩，解得23a <≤.故答案为：(]2,3.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ．且有关系式：2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+．（1）求C ；（2）求证：2c ≥．【答案】（1）2π3C =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及正弦定理和余弦定理得到1cos 2C =，再根据C 的范围可求出结果；（2）利用三角形的面积公式可得3ab =，再根据余弦定理以及不等式知识可证不等式成立.【小问1详解】因为2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+，所以()22212sin 12sin 21sin 2sin sin A B C A B -+-=-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +=-，由正弦定理得222a b c ab +-=-，所以2221cos 22a b c C ab +-==-，又因为0πC <<，所以2π3C =．【小问2详解】因为12πsin 323ab ab ==，由余弦定理，得2222π2cos3c a b ab =+-22a b ab =++23ab ab ab ≥+=，当且仅当a b =时等号成立，所以2c ≥．18.如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠= ，30BAC ∠= ，114A A AC AC ===，E ，F 分别是11,AC A B 的中点．（1）证明：EF BC ⊥；（2）求二面角11C A C B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接1A E ，根据题意得1A E AC ⊥，根据面面垂直的性质定理得1A E ⊥平面ABC ，1A E BC ⊥，根据线面垂直的判定定理得到BC ⊥平面1A EF ，再得到EF BC ⊥；（2）以E 为原点，在平面ABC 中，过点E 作AC 的垂线为x 轴，1,EC EA 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求出结果.【小问1详解】连接1A E ，∵E 是AC 的中点，11A A A C AC ==，∴1A E AC ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，1A E ⊂平面11A ACC ，∴1A E ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，∴1A E BC ⊥，又1,A F AB AB BC ⊥//，∴1BC A F ⊥，因为1A E ⊂平面1A EF ，1A F ⊂平面1A EF ，111A E A F A ⋂=，∴BC ⊥平面1A EF ，因为EF ⊂平面1A EF ，∴EF BC ⊥．【小问2详解】以E 为原点，在平面ABC 中，过点E 作AC 的垂线为x 轴，1,EC EA 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，1(0,2,0),(0,2,0)A B A C -，∴1((BA BC =-=，易知平面11ACC A 的法向量为(1,0,0)m =，设平面1A CB 的法向量为(,,)n x y z =，则100n BA y n BC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,令x =，∴3,y z ==，∴n =，5cos ,5||m n m n m n ⋅<>==⋅∣，所以25sin ,5m n <>== .∴二面角11C A C B --的正弦值为255.19.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.A 市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：消费金额（单位：百元）[]0,5(]5,10(]10,15(]15,20(]20,25(]25,30频数2035251055()1由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z （单位：元）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值，660σ=）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X ，求X 的数学期望；()2A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格.棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是12，其中01P =），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k 到2k +）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第n 格的概率为n P ，求证：当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<+= ，()330.9973P μσξμσ-<+= .【答案】()116.372；()2①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.【解析】【分析】()1根据数据算出1050x =，由Z服从正态分布()21050,660N ，算出概率，即()20,0.8186X B ，进而算出X 的数学期望；()2①棋子开始在第0格为必然事件，01P =.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即112P =.棋子移到第()259n n ≤≤格的情况是下列两种，即棋子先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -；棋子先到第n 1-格，又掷出正面，其概率为112n P -.所以211122n n n P P P --=+.即112(1)2n n n n P P P P ----=--，进而求证当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②由①知1112P -=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，L ，112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得21111222n nP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21111222nn P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()12110,1,2,,5932n n +⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，算出相应概率判断出闯关成功的概率大于闯关失败的概率.【详解】解：()12500.27500.3512500.2517500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯22500.05+⨯+27500.051050⨯=，因为Z 服从正态分布()21050,660N ，所以()()0.95450.6827390237020.95450.81862P Z P Z μσμσ-<≤=-<≤+=-.所以()20,0.8186X B ，所以X 的数学期望为()200.818616.372E X =⨯=.()2①棋子开始在第0格为必然事件，01P =.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即112P =.棋子移到第()259n n ≤≤格的情况是下列两种，而且也只有两种：棋子先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -；棋子先到第n 1-格，又掷出正面，其概率为112n P -，所以211122n n n P P P --=+，即112(1)2n n n n P P P P ----=--，且1012P P -=-，所以当159n ≤≤时，数列{}1n n P P --是首项1012P P -=-，公比为12-的等比数列.②由①知1112P -=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，L ，112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，以上各式相加，得21111222n nP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21111222nn P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()12110,1,2,,5932n n +⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.所以闯关成功的概率为6060592121113232P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，闯关失败的概率为5959605811211111223232P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.60595859602111111110323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.【点睛】本题考查了根据已知数据求平均数，正态分布求概率，等比数列的证明以及数学期望的求法，题目较为综合，属于难题.20.已知点()0,1F ，直线l ：y =4，P 为曲线C 上的任意一点，且PF 是P 到l 的距离的12.（1）求曲线C 的方程；（2）若经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线交曲线C 于点M ､N ，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点H ，求证：FH MN为定值.【答案】（1）22134x y +=（2）见解析【解析】【分析】（1）设(),P x y ,根据题意列出方程整理即得；（2）直线的方程为1y kx =+,与曲线C 方程联立消去y 整理得：()2243690k xkx ++-=,检验判别式并利用弦长公式求得()2212143k MN k+=+，利用韦达定理和中点坐标公式及直线垂直时的斜率关系得到中垂线的方程，进而求得H 的坐标，得到()223143k FH k +=+,从而证得结论.【小问1详解】设(),P x y142y =-,整理得：22134x y +=,此即为曲线C 的方程；【小问2详解】经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线的方程为1y kx =+,与曲线C 方程联立得：221134y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得：()2243690k x kx ++-=,()()22236494314410k k k ∆=+⨯⨯+=+>恒成立,设()()1122,,,M x y N x y,则()212221214343k MN x k k+=-==++,122643kx x k +=-+，设线段MN 的中点为()00,T x y ,则12023243x x k x k +==-+，0024143y kx k =+=+，线段MN 的中垂线的斜率为1k-，方程为224134343ky x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭,令0x =,解得2143y k =+，即为点H 的纵坐标，∴()22231114343k FH k k+=-=++,∴()()222231143412143k FHk MN k k ++==++（为定值）21.已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R ．（1）讨论函数的单调性及极值，并判断方程e 2ln 0x x x ---=的实根个数；（2）证明：454e 4ln x x x x x +≥+．【答案】（1）单调性及极值见解析，原方程有唯一实根（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数分类讨论函数的单调性，求解极值，结合单调性的结论判断方程的实根个数；（2）不等式变形为4ln 4e ln 1(0)x x x x x -≥-+>，换元后即证e 1≥+t t ，构造函数利用导数求解函数最值即可得证.【小问1详解】()ln (R)f x x a x a =-∈，函数定义域为(0,)+∞，()1a x af x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；当0a >时，(0,)x a ∈时，()0f x '<，(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，有极小值()(1ln )f a a a =-．方程e 2ln 0x x x ---=可变形为e ln x x x x --=+，即e ln e ln x x x x --+=+，当1a =-时，()ln f x x x =+，有()e()xf f x -=，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则有e xx -=，函数e x y -=和y x =的图像只有一个交点，且交点位于第一象限，所以e x x -=在()0,∞+上有唯一实根，故原方程有唯一实根．【小问2详解】证明：由0x >知，所要证的不等式等价于44e ln 1(0)xx x x x+≥+>，等价于4ln 4e ln 1(0)x x x x x -≥-+>．（*）令4ln t x x =-，则不等式（*）等价于e 1≥+t t （**）．构造函数()e 1()t f t t t =--∈R ，求导，得()e 1t f t =-'．当0t <时，()0f t '<，函数()f t 是减函数；当0t >时，()0f t '>，函数()f t 是增函数．所以min ()()(0)0f t f t f ≥==．即（**）成立．故原不等式成立．【点睛】1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是11,2112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）．（1）求直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）求直线l 被曲线C 截得弦AB 的长．【答案】（1）230x y --=，221x y -=；（2.【解析】【分析】（1）根据给定方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式和消去参数方程中参数求解作答.（2）联立直线l 与曲线C 的直角坐标方程，利用弦长公式求解作答.【小问1详解】因为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则22cos sin cos 322θθρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即2cos sin 3ρθρθ-=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入得，230x y --=，所以直线l 的直角坐标方程是230x y --=；由112112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩变形得，22222211241124x t t y t t ⎧⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，则有221x y -=，所以曲线C 的直角坐标方程是221x y -=．【小问2详解】把直线l 的方程23y x =-，代入曲线C 的方程：221x y -=，得22(23)1x x --=，即2312100x x -+=，2Δ12120240=-=>，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212104,3x x x x +==，于是AB ===所以直线l 被曲线C 截得弦AB.[选修4—5：不等式选讲]23.设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．（1）求证：115236a b -<；（2）试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）|2||2|a b ab -<-，理由见解析【解析】【分析】（1）分11112222、、≤--<<≥x x x 讨论去绝对值求出集合M ，再利用绝对值三。

河南省濮阳市第一高级中学2023届高三高考模拟质量检测理科数学试题(3)

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一、单选题二、多选题三、填空题1.已知函数的最大值为，最小值为．两个对称轴间最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为（ ）A．B．C．D．2. 已知向量，满足，，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于（ ）A．B．C．D．3. 在中，角的对边分别为，已知则（ ）A．B．C．D．或4.已知，则的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D．5. 19世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波纳契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列满足，若其前项和为，则（ ）A．B．C．D．6. 如图，已知，是双曲线C：的左､右焦点，P ，Q 为双曲线C 上两点，满足，且，则双曲线C 的离心率为（）（A．B．C．D．7. 已知向量，满足，，且，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．或D．与的夹角为45°8.记为正项数列的前项和，为正项数列的前项积，则（ ）A．若数列是等比数列，则数列是等差数列B ．若数列是等比数列，则数列是等比数列C．若数列是等差数列，则数列是等比数列D．若数列是等比数列，则数列是等比数列9. 函数的单调递增区间是___________.10.函数的定义域为________．河南省濮阳市第一高级中学2023届高三高考模拟质量检测理科数学试题(3)河南省濮阳市第一高级中学2023届高三高考模拟质量检测理科数学试题(3)四、解答题11. 已知扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的周长是_____________．12.已知函数有唯一零点，则实数__________.13. 在如图所示几何体中，四边形ABCD 与ABEF 均为直角梯形，，，，，且平面平面．已知，．(1)证明：；(2)求直线EF 与平面BEC 所成角的正弦值．14. 某地区实行社会主义新农村建设后，农村的经济收入明显增加，根据统计得到从2015年至2021年农村居民家庭收入y （单位：万元）的数据，其数据如下表：年份2015201620172018201920202021年份代号t 1234567农村居民家庭收入y3.94.34.65.45.86.26.9(1)求y 关于t 的线性回归方程；(2)根据（1）中的回归方程，分析2015年至2021年该地区农村居民家庭收入的变化情况，并预测该地区2024年农村居民家庭收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为参考数据：15. 已知函数，（1）求函数的定义域和最小正周期；（2）若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向右平移()个单位长度，所得函数的图象关于轴对称，求的最小值.16. 已知椭圆经过点，离心率为，为坐标原点.(1)求椭圆的方程.(2)若点为椭圆上一动点，点与点的垂直平分线交轴于点，求的最小值.。

陕西省汉中市2022届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题(2)

陕西省汉中市2022届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题(2)

一、单选题二、多选题1. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．2. 已知函数，，则（ ）A ．2B ．0C ．-5D ．-63. 复数（i 为虚数单位）的模是（ ）A ．1B ．i C．D ．24.如图，正四棱柱满足，点E 在线段上移动，F点在线段上移动，并且满足.则下列结论中正确的是（）A ．直线与直线可能异面B．直线与直线所成角随着E 点位置的变化而变化C．三角形可能是钝角三角形D．四棱锥的体积保持不变5. 已知实数分别满足，，，那么（ ）A．B．C．D．6. 中，三内角、、所对的边分别为、、，已知，则（ ）A．B．C．D．7. “角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”．“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1．对任意正整数．记按照述规则实施第n 次运算的结果为，若，且均不为1，则（ ）A ．5或16B ．5或32C ．3或8D ．7或328.已知，则的值为A．B．C．D．9.已知，，且，则（ ）A．B．C．D．10. 随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（ ）A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为陕西省汉中市2022届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题(2)陕西省汉中市2022届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题(2)三、填空题四、解答题B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为11. 已知符号函数，偶函数满足，当时，，则下列结论不正确的是（ ）A．B．C．D．12. 一个球与正方体的各个面相切，过球心作截面，则截面的可能图形是（ ）A． B．C． D．13.已知圆，点，若上存在两点满足，则实数的取值范围___________14.在四面体中，，，向量与的夹角为，若，则该四面体外接球的表面积为_____________．15.已知数列的前项和为，满足，且对任意都有，函数，方程的根从小到大组成数列，则的取值范围是__________．16.已知为抛物线：（）上一点，点到的焦点的距离为5，到直线的距离为6．（1）求的方程；（2）设，是上关于轴对称的两点，且直线不过点，是的准线与轴的交点，直线与交于另一点，求证：，，三点共线．17. 已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：.18. 已知的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，．(1)求B ；(2)若点D 在AC上，且，求．19. 已知，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．20. 记为数列的前项和，已知，．(1)求{a n}的通项公式；(2)证明：．21. 已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为.满足，且恰为等比数列的前三项.(1)求数列的通项公式；(2)设是数列的前项和.是否存在，使得等式成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.。

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!1!&!&分% 某商场举行优惠促销活动#顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种! 方案一+每满!%%元减&%元. 方案二+满!%%元可抽奖一次!具体规则是从装有&个红球(&个白球的箱子随机取出'个 球&逐个有放回地抽取%#所得结果和享受的优惠如下表+&注+所有小球仅颜色有区别%
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1!中国古代数学著作)算法统宗*中有这样一个问题+,三百七十八里关#初行健步不为难#次日 脚痛减一半#六朝才得到其关#要见次日行里数#请公仔细算相还!-意思为有一个人要走'67 里路#第一天健步行走#从第二天起脚痛#每天走的路程为前一天的一半#走了六天恰好到达
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第卷
二填空题本大题共"小题每小题$分共&%分!把答案填在答题卡中的横线上!
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&%!&!&分% 椭圆7+#%&&/&'&&)!&%)&)!%的左(右焦点分别为/!#/&#椭圆7 上两动点1#2 使得四边形 1/!2/& 为平行四边形#且平行四边形1/!2/& 的周长和最大面积分别为7和&槡'! &!%求椭圆7 的标准方程. &&%设直线1/& 与椭圆7 的另一交点为. #当点/! 在以线段1. 为直径的圆上时#求直线 1/& 的方程!
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&!!&!&分% 已知函数)&#%)%:#*#&! &!%若曲线)&#%存在与' 轴垂直的切线#求%的取值范围! &&%当%#!时#证明+)&#%#!/#*' &#&!
二选考题共!%分!请考生在第&&&'两题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题 计分!
&&!$选修"*"+坐标系与参数方程'&!%分% 在直角坐标系#3' 中#曲线* 的标准方程为#"&/'&)!!以原点3 为极点## 轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系#直线0的极坐标方程为槡&203&/"%)'槡$! &!%求直线0的直角坐标方程. &&%若点1 在曲线* 上#点2 在直线0上#求"12"的最小值!
7!如图这是某校高三年级甲乙两班在上学期的$次数学测试的班级平均分的茎叶图则下列
说法不正确的是
+!甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班 ,!甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定 -!甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班 .!甲乙两班这$次数学测试的总平均分是!%'




恒成立#则% 的取值范围为
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/! 且与0垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于1#2#若满足3+*1)!&3+/*!/!&3+*2#则该
高三质量检测数学试卷(理科)
!!考生注意
!#本试卷分第卷选择题和第卷非选择题两部分共!$%分考试时间!&%分钟 &#请将各题答案填写在答题卡上 '#本试卷主要考试内容高考全部内容#
第卷
一选择题本大题共!&小题每小题$分共(%分#在每小题给出的四个选项中只有一项是
符合题目要求的#
.!向右平移(个单位长度
(!在长方体"$*+*"!$!*!+! 中"+)'""!)"$)"则异面直线 "!$ 与"* 所成角的余
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