高考数学 课后作业 23 函数的奇偶性与周期性

高考数学 课后作业 23 函数的奇偶性与周期性

1.(2010·北京西城区抽检)下列各函数中，( )是R 上的偶函数( ) A ．y ＝x 2

－2x B ．y ＝2x

C ．y ＝cos2x

D ．y ＝1

|x |－1

[答案] C

[解析] A 、B 不是偶函数，D 的定义域{x ∈R|x ≠±1}不是R ，故选C.

2．(文)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x

－3，则f (－2)的值等于( )

A ．－1

B.11

4

C ．1

D ．－11

4

[答案] A

[解析] f (2)＝22

－3＝1，又f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)＝－1，故选A.

(理)(2011·浙江杭州月考)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x

＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3 [答案] A

[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，即f (0)＝20

＋m ＝0，解得m ＝－1. ∴f (x )＝2x

＋2x －1，f (1)＝21

＋2×1－1＝3，

f (－1)＝－f (1)＝－3.

3．(文)(2011·济南模拟)函数f (x )(x ∈R)是周期为3的奇函数，且f (－1)＝a ，则f (2011)的值为( )

A ．a

B ．－a

C ．0

D ．2a [答案] B

[解析] ∵f (x )周期为3， ∴f (2011)＝f (670×3＋1)＝f (1)， ∵f (x )为奇函数，f (－1)＝a ， ∴f (1)＝－a ，故选B.

(理)(2011·兰州诊断、河北三校联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋

2)＝－1

f x

，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝( ) A．4.5 B．－4.5

C．0.5 D．－0.5

[答案] D

[解析] ∵f(x＋2)＝－1

f x ，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－

1

f x＋2

＝f(x)，∴f(x)

周期为4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.

4．(文)(2011·北京东城一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象大致为( )

[答案] C

[解析] 函数f(x)＝ln(x＋1)的图象由f(x)＝ln x的图象向左平移1个单位得到，选取x>0的部分，然后作关于y轴的对称图形即得．

(理)

(2011·北京西城模拟)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )

A ．y ＝x 2

＋1

B ．y ＝|x |＋1

C ．y ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2x ＋1，x ≥0x 3

＋1，x <0 D ．y ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

e x

，x ≥0

e －x

，x <0

[答案] C

[解析] ∵f (x )为偶函数，由图象知，f (x )在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3

＋1在(－∞，0)上为增函数．

5．(2011·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (3)＝2－3，且对任意的x 都有

f (x ＋3)＝

1

－f x

，则f (2010)的值为( ) A ．－2－ 3

B ．－2＋ 3

C ．2－ 3

D ．－3－ 3 [答案] A

[解析] 由题意得f (x ＋6)＝f (x ＋3＋3)＝

1－f

x ＋3

＝1－－

1

f x

＝f (x )．∴函

数f (x )的周期为6.

f (2010)＝f (335×6)＝f (6)，而f (6)＝f (3＋3)＝－

1f 3＝－1

2－3

＝－2－ 3. 6．(文)(2011·合肥模拟)设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝

f (

x ＋1

x ＋4

)的所有x 之和为( ) A ．－92

B ．－72

C ．－8

D ．8

[答案] C

[解析] ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f (x ＋1

x ＋4

) ∴f (|2x |)＝f (|

x ＋1

x ＋4

|) 又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝|x ＋1

x ＋4

|， 即2x ＝

x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1

x ＋4

整理得2x 2

＋7x －1＝0或2x 2

＋9x ＋1＝0

设方程2x 2

＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2

＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4. 则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋(－9

2

)＝－8.

(理)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝

f (lo

g 47)，b ＝f (log 12

3)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )

A ．c

B ．b

C ．b

D ．a

[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．

∵log 47＝log 27>1，|log 12 3|＝log 23>log 27，0<0.20.6

<1， ∴|log 12

3|>|log 47|>|0.20.6

|.

又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b

7．(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，

f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.

[答案] 0

[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2

＋1＝0. (理)(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式

f x

g x

<0的解集是________．