微积分基本公式与基本定理2011

第二节 微积分基本公式与基本定理
1.微积分基本公式 定义2.1 (原函数） 如果在区间I上，F( x), f ( x)有定义并且满足 F ( x) f ( x),那么称F是f在I上的一个原函数..
定理2.1(Newton-Leibniz公式)
设f R[a,b], 且f在区间[a, b]上有一个原函数F , 则
b
f
( x)
dx
F (b)
记
F(a)
F( x)
b
a
a
此公式称为微积分基本公式
例1
1 x ndx x n1 1 1
0
n1 n1
0
n N
例 2
1 1 dx arctanx 1
-1 1 x 2
1
arctan1 arctan(1)
2
例3 一 汽 车 正 以32km/h 的 速 度 行 驶 ， 发 现 前 方 有 障 碍 物 ， 汽 车 以等 加 速 度
a 1.8m / s 2刹 车 。 问 从 开 始 刹 车 到停 车 ， 汽车走了多少距离？
解：
t
0时, v0
32km/h
32 1000 m/s 3600
8.9m
刹车后汽车减速行驶，速 度 为
v(t ) v0 at 8.9 1.8t
当汽车停住时, 速度 v(t ) 8.9 1.8 t 0
t 8.9 4.9s 1.8
于 是 ， 这 段 时 间 内, 汽 车 所 走 过 的 距 离 为
4.9
4.9
S 0 v(t)dt 0 (8.9 1.8t)dt
8.9t
1.8 t 2 2
4.9 0
22米
什么样的函数有原函数？如何求？
2. 微积分基本定理
设f R[a,b]
x
x
( x) a f ( x) dx a f (t ) dt x [a, b]
称为变上限积分
( x) C[a,b]
定理2.2 (微积分第一基本定理）
设 f ( x) C[a, b]， 则 ( x) 在 [a, b] 上可导 ，且
( x) d x f (t) dt f ( x)
dx a
x a,b
其 中 ， 若x为 区 间[a, b]的端点 时，则( x)是 单 侧
导数。
推论2.1
设f C[a, b]，则f在区间[a, b]上必有原函数， 且变上限积分( x)就是它的一个原函数。
变限求导公式：
x
b
(a f ( x)dx) f ( x) (x f ( x)dx) f ( x)
(x)
(a f ( x)dx) f ((x)) ( x)
b
( f ( x)dx) f ( ( x)) ( x) (x)
(x)
( f ( x)dx) f (( x)) ( x) f ( ( x)) ( x) (x)
例4 (1) 求 d ( x ln(1 t 2 )dt) dx 0
解：d ( x ln(1 t 2 )dt) ln(1 x)( x )
dx 0 ln(1 x) 1 2x
(2) 求 d ( x2 e t2 dt) dx x
解 : d ( x2 e t 2 dt ) e x4 2 x e x2 (1)
dx x 2 xe x4 e x2
(3)
求d
(
x3
(
x
t
)
sin(t
2
)dt )
dx x2
解 :
d
(
x3
(
x
t
)
sin(t
2
)dt
)
dx x2
d dx
x
x
3
s
in
t
2
dt
x2
x3 x2
t
s
in
t
2
dt
x3
sin t
2dt
x
3x2
sin
x6
2x
sin
x4
x2
x 3 sin x6 3x 2 x 2 sin x4 2x
例 5. 求 lim x
x
f (t) dt
xa x a a
( f (t)连续)
解 : lim x
x
f (t) dt
xa x a a
x
lim xa f (t ) dt
xa x a
lim
xa
x a
f (t )dt
xf ( x)
af (a)
原函数有多少？ 定理2.3(微积分第二基本定理）
设F( x)是f ( x)在区间I上的一个原函数， C为任意常数，则F( x) C就是f在I上的 所 有 原 函 数。
例6 设f ( x) sin2x,求f ( x)的所有的原函数。
在区间[a,b]上分段连续的函数一定没有原函数， 但 f 可积，怎么求积分？
例7
设
f (x)
sin x
cos x
0 x
2
x
,
求
f ( x) dx
0
2
解 :
f ( x)dx
2 sin xdx cos xdx
0
0
2
cos x 2
sin
x
11 0
0
2
例8 利用定积分求极限
lim[
n
n
2
1 12
n2
2 22
n2
n n2 ]
3.不定积分
定义2.2(不定积分）
函数f ( x)在区间I 上的所有原函数的一 般 表 达 式 称 为f在 区 间I上 的不 定 积 分，
记作 f ( x)dx，其中f称为被积函数， f ( x)dx称为被积式， 为积分号。
若F( x)是f ( x)在I上的一个原函数,即有
F'(x) f (x)
则 f ( x)dx F( x) C 积分常数
基本积分公式:
(1) kdx kx C (k是 常 数), (2) x dx x1 C ( 1)
1
(3)
dx x
ln x
C
,
(4) a xdx a x C ,
ln a
(5) e xdx e x C ，
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C ,
( 8)
dx cos 2
x
sec2
xdx
tan x C,
(9)
dx
sin2 x
csc2
xdx
cot x C,
(10) secx tan xdx secx C,
(11) csc x cot xdx csc x C,
dx
dx
(12)
arcsin x C 1 x2
(13) 1 x 2 arctan x C,
(14) shxdx chx C, (15) chxdx shx C.
注: 这些基本积分公式,是不定积分的基础,应熟记。
例9
求
dx x3 x
解
dx
x3 x
x
4 3
dx
x 4 1 3
4 3
1
C
3
x
1 3
C
3
C
3x
注: 1. 检验积分结果的正确性,只须对所得
结果求导, 看其导数是否等于被积函数
即可。 2. 积分中的任意常数“C” 反映原函数全体.
例10 设曲线通过点(1,2) ，且其上任一点处的
切线斜率等于该点横坐标的两倍，求 该曲线方程。
解 设曲线 方程为y f ( x),由 题 设,曲 线 上 ( x, y)处的切 线斜 率 为 dy 2x dx
即f ( x)是2x的一个原函数
2xdx x2 C f ( x) x2 C
又 曲线过(1,2),即f (1) 2 2 1 C C 1
于是所求曲线方程为 y x2 1
y y x2 1
2
y x2
.
01
x
函数 f(x) 的原函数的图形 y=F(x)称为 f(x) 的 积分曲线。所有的积分曲线可由其中的一条 在 y 轴方向平移而得.积分曲线的全体成员 y=F(x)+C 成为积分曲线族。
不定积分的性质：
性质2.1(与导数（微分）运算的可逆性)
d dx
[
f ( x)dx]
f (x),
或
d[ f ( x)dx] f ( x)dx;
f ( x)dx f ( x) C, 或 df ( x) f ( x) C.
性质2.2(线性性质)
设f与g在 区 间I上 的 原 函 数 存 在 ， 则
[f ( x) g( x)]dx f ( x)dx k g( x)dx
其中 , 为任意常数。
例11
(1) 求
( x 1)3 dx
x2
解：原式 ( x 3 3 1 )dx
x x2
dx dx
xdx 3 dx 3 x x 2
x2
1
3x 3 ln x C
2
x
1 x x 2
x (1 x 2 )
(2) x(1 x 2 ) dx
x(1 x 2 ) dx
(
1
1 x
2
1 )dx
x
arctan
x
ln
x
C
(3) tan2 xdx (sec2 x 1)dx
tan x x C
（4）
1
dx
sin2 x cos2 x
习题3.2 P.162-164 2.(2) 3.(2)(3) 4. 5. 6. 7.(2) 8.(3)(4)(7) 9.(3)(5)(7) 10. 12. 13.