对总体参数单侧检验问题的讨论

第２８卷第４期Ｖｏｌ．２８，Ｎｏ．４

２００７年８月Ａｕｇ．２００７江西理工大学学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＪＩＡＮＧＸＩＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＳＣＩＥＮＣＥＡＮＤＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ

收稿日期：２００６－０７－１７

作者简介：张师贤（１９７８－），男，讲师．

文章编号：１００７－１２２９（２００７）０４－００６１－０２

对总体参数单侧检验问题的讨论

张师贤

（江西理工大学理学院，江西赣州３４１０００）

摘要：通过总体参数单侧检验的具体实例，分析和讨论了单侧检验中容易出现的问题，以及在实际应用中，对总体参数进行单侧检验时如何提出假设．

关键词：假设检验；单侧检验；小概率事件原理；原假设；备择假设

中图分类号：Ｏ２１２．１文献标识码：Ａ

ＤｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｎｔｈｅＯｎｅ－ｓｉｄｅｄＴｅｓｔｏｆＰｏｐｕｌａｔｉｏｎＰａｒａｍｅｔｅｒ

ＺＨＡＮＧＳｈｉ－ｘｉａｎ

（ＦａｃｕｌｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＪｉａｎｇｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇａｎｚｈｏｕ３４１０００，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｏｍｅｐｒｏｂｌｅｍｓｌｉａｂｌｅｔｏａｒｉｓｅｄｕｒｉｎｇｏｎｅ－ｓｉｄｅｄｔｅｓｔｓｗｅｒｅａｎａｌｙｚｅｄｗｉｔｈｃｏｎｃｒｅｔｅｅｘａｍｐｌｅｓｏｆｏｎｅ－ｓｉｄｅｄｔｅｓｔｓｏｆｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒ．Ｈｏｗｔｏｐｒｏｐｏｓｅａｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓｗａｓａｌｓｏｄｉｓｃｕｓｓｅｄｄｕｒｉｎｇａｏｎｅ－ｓｉｄｅｄｔｅｓｔｏｆｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓｔｅｓｔ；ｏｎｅ－ｓｉｄｅｄｔｅｓｔ；ｍｉｎｏｒｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｐｒｉｎｃｉｐｌｅ；ｏｒｉｇｉｎａｌｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ；ｃｈｅｃｋｉｎｇｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ１问题的提出

随着人类社会的发展及科学技术的进步，一些以定性分析为主的学科领域正逐渐向定量分析的方向发展，这就使得数理统计作为收集和分析数据的有力工具，起着越来越重要的作用．统计学的应用领域小至每个人的日常生活，大到科学技术的发展和人类社会的进步等方方面面，可谓是无处不在，应用所获得的成就也是举不胜收．而在统计学中［１］，假设检验又是一种重要的方法．但是，在对总体参数进行单侧检验时，如何提出假设Ｈ１一直以来都是教学中的一个难点问题，人们通常是按照题目的提问，直接提出假设．请看以下两个例子：

例１某厂对废水进行处理，要求某种有毒物质的浓度小于１９ｍｇ／Ｌ３，抽取１０个样品，得其样本均值

ｘ!＝１７．１，假设有毒物质的浓度Ｘ服从正态分布，且方差σ２＝４．５２，问在显著性水平α＝０．１下处理后废水是

否合格．

解作假设Ｈ０"μ≤μ０＝１９；Ｈ１"μ＞μ０

∵

σ２已知，故选检验统计量Ｕ＝Ｘ#－μ０σ／ｎ$￣Ｎ（０，１）（Ｈ０为真）∵α＝０．１%ｚα＝ｚ０．１＝１．２８，即拒绝域为：（１．２８，＋∞）

而Ｕ的观察值ｕ０＝ｘ!－μ０σ／ｎ"＝１７．１－１９４．５／１０"≈－１．３３５＜１．２８∴不能拒绝原假设，即认为处理后的废水合格．

例２某厂生产小型马达，其说明书上写着：这种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会超过０．８Ａ．现随机抽取１６台马达试验，求得平均消耗电流为０．９２Ａ，消耗电流的标准差为０．３２Ａ．假设马达所消耗的电流服从正态分布，取显著性水平为α＝０．０５，问根据这个样本，能否否定厂方的断言？

解根据题意待检假设可设为Ｈ０#μ≤０．８；Ｈ１$μ＞０．８

∵σ未知，故选检验统计量：Ｔ＝Ｘ%－μ０Ｓ／１６&￣ｔ（１５）（Ｈ０为真）查表得ｔ０．０５（１５）＝１．７５３，故拒绝域为（１．７５３，＋∞）．而Ｔ的观察值ｔ０＝ｘ!－μ０ｓ／１６&＝０．９２－０．８０．３２／１６&＝１．５＜１．７５３∴不能拒绝原假设，即不能否定厂方的断言．

但是，在教学过程中，学生会问到：为什么要这样假设？下面就从另一方面来考虑，得到了如下的结果：对例１，若作假设

Ｈ０$μ≥μ０＝１９；Ｈ１$μ＜μ０，拒绝域就变为：（－∞，－１．２８），故拒绝原假设，即认为处理后的废水合格．

对例２，若作假设

Ｈ０$μ≥０．８；Ｈ１$μ＜０．８，拒绝域就变为：（－∞，－１．７５３），故不能拒绝原假设，即否定厂方的断言．

人们不禁要问：这样假设可行吗？如果行的话为什么例１得到的结论是一致的，而例２则不然？２假设检验原理叙述及问题分析

不妨先从假设检验的原理来看，假设检验的基本原理是建立在“小概率事件在一次试验中不可能发生”的原理上的．根据这一原理，要判断备择假设Ｈ１是否成立，就要从原假设Ｈ０出发，在一定的显著水平α下，从总体中抽取一个子样并对其进行检验，在Ｈ０成立的条件下，若发现这个子样统计量的值是一个小概率事件（表现为统计量的值落入了拒绝域），这表示小概率事件在一次试验中发生了，与小概率事件在一次试验中不可能发生的原理矛盾，因此，就拒绝Ｈ０，接受Ｈ１；反之，若发现这个子样的统计量的值不是一个小概率事件（表现为统计量的值落入了接受域），则就只有被迫接受Ｈ０，而拒绝Ｈ１．

假设检验的依据既然是“小概率事件在一次试验中不可能发生”这一原理，然而小概率事件并非不可能事件，并不能完全排斥它发生的可能性，因而假设检验的结果就有可能出现错误，这种错误可以分为两类：

第一类：原假设正确，在检验过程中被拒绝，即弃真错误，显然

Ｐ｛犯第一类错误｝＝Ｐ｛拒绝Ｈ０│Ｈ０为真｝＝α（又称显著性水平），

α的大小是研究者根据研究问题的需要而设置的，也是确定小概率事件的标准，不同研究领域里这个标准是不相同的；

第二类：原假设不正确，在检验过程中却错误的接受了它，称为取伪错误，若令犯第二类错误的概率为β

，则有Ｐ｛犯第二类错误｝＝Ｐ｛接受Ｈ０│Ｈ０为假｝＝β．

人们自然希望犯这两类错误的概率α与β同时都很小，但是当容量ｎ一定时，欲使α、β

都小是做不到的．因为若α小，则拒绝域的范围小，于是接受域的范围就大，从而β增大；反之若β小，则接受域的范围小，于是拒绝域的范围就大，从而α增大．理论上可证，只有当样本容量ｎ增大时才能使犯两类错误的概率都减少．基于这种情况，统计学家奈曼（Ｎｅｙｍａｎ）［２］与皮尔逊（Ｐｅａｒｓｏｎ）［３］提出了一个原则，即在控制犯第一类错

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江西理工大学学报２００７年８月６２