对总体参数单侧检验问题的讨论

第２８卷第４期Ｖｏｌ．２８，Ｎｏ．４２００７年８月Ａｕｇ．２００７江西理工大学学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＪＩＡＮＧＸＩＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＳＣＩＥＮＣＥＡＮＤＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ收稿日期：２００６－０７－１７作者简介：张师贤（１９７８－），男，讲师．文章编号：１００７－１２２９（２００７）０４－００６１－０２对总体参数单侧检验问题的讨论张师贤（江西理工大学理学院，江西赣州３４１０００）摘要：通过总体参数单侧检验的具体实例，分析和讨论了单侧检验中容易出现的问题，以及在实际应用中，对总体参数进行单侧检验时如何提出假设．关键词：假设检验；单侧检验；小概率事件原理；原假设；备择假设中图分类号：Ｏ２１２．１文献标识码：ＡＤｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｎｔｈｅＯｎｅ－ｓｉｄｅｄＴｅｓｔｏｆＰｏｐｕｌａｔｉｏｎＰａｒａｍｅｔｅｒＺＨＡＮＧＳｈｉ－ｘｉａｎ（ＦａｃｕｌｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＪｉａｎｇｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇａｎｚｈｏｕ３４１０００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｏｍｅｐｒｏｂｌｅｍｓｌｉａｂｌｅｔｏａｒｉｓｅｄｕｒｉｎｇｏｎｅ－ｓｉｄｅｄｔｅｓｔｓｗｅｒｅａｎａｌｙｚｅｄｗｉｔｈｃｏｎｃｒｅｔｅｅｘａｍｐｌｅｓｏｆｏｎｅ－ｓｉｄｅｄｔｅｓｔｓｏｆｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒ．Ｈｏｗｔｏｐｒｏｐｏｓｅａｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓｗａｓａｌｓｏｄｉｓｃｕｓｓｅｄｄｕｒｉｎｇａｏｎｅ－ｓｉｄｅｄｔｅｓｔｏｆｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓｔｅｓｔ；ｏｎｅ－ｓｉｄｅｄｔｅｓｔ；ｍｉｎｏｒｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｐｒｉｎｃｉｐｌｅ；ｏｒｉｇｉｎａｌｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ；ｃｈｅｃｋｉｎｇｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ１问题的提出随着人类社会的发展及科学技术的进步，一些以定性分析为主的学科领域正逐渐向定量分析的方向发展，这就使得数理统计作为收集和分析数据的有力工具，起着越来越重要的作用．统计学的应用领域小至每个人的日常生活，大到科学技术的发展和人类社会的进步等方方面面，可谓是无处不在，应用所获得的成就也是举不胜收．而在统计学中［１］，假设检验又是一种重要的方法．但是，在对总体参数进行单侧检验时，如何提出假设Ｈ１一直以来都是教学中的一个难点问题，人们通常是按照题目的提问，直接提出假设．请看以下两个例子：例１某厂对废水进行处理，要求某种有毒物质的浓度小于１９ｍｇ／Ｌ３，抽取１０个样品，得其样本均值ｘ!＝１７．１，假设有毒物质的浓度Ｘ服从正态分布，且方差σ２＝４．５２，问在显著性水平α＝０．１下处理后废水是否合格．解作假设Ｈ０"μ≤μ０＝１９；Ｈ１"μ＞μ０∵σ２已知，故选检验统计量Ｕ＝Ｘ#－μ０σ／ｎ$￣Ｎ（０，１）（Ｈ０为真）∵α＝０．１%ｚα＝ｚ０．１＝１．２８，即拒绝域为：（１．２８，＋∞）而Ｕ的观察值ｕ０＝ｘ!－μ０σ／ｎ"＝１７．１－１９４．５／１０"≈－１．３３５＜１．２８∴不能拒绝原假设，即认为处理后的废水合格．例２某厂生产小型马达，其说明书上写着：这种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会超过０．８Ａ．现随机抽取１６台马达试验，求得平均消耗电流为０．９２Ａ，消耗电流的标准差为０．３２Ａ．假设马达所消耗的电流服从正态分布，取显著性水平为α＝０．０５，问根据这个样本，能否否定厂方的断言？解根据题意待检假设可设为Ｈ０#μ≤０．８；Ｈ１$μ＞０．８∵σ未知，故选检验统计量：Ｔ＝Ｘ%－μ０Ｓ／１６&￣ｔ（１５）（Ｈ０为真）查表得ｔ０．０５（１５）＝１．７５３，故拒绝域为（１．７５３，＋∞）．而Ｔ的观察值ｔ０＝ｘ!－μ０ｓ／１６&＝０．９２－０．８０．３２／１６&＝１．５＜１．７５３∴不能拒绝原假设，即不能否定厂方的断言．但是，在教学过程中，学生会问到：为什么要这样假设？下面就从另一方面来考虑，得到了如下的结果：对例１，若作假设Ｈ０$μ≥μ０＝１９；Ｈ１$μ＜μ０，拒绝域就变为：（－∞，－１．２８），故拒绝原假设，即认为处理后的废水合格．对例２，若作假设Ｈ０$μ≥０．８；Ｈ１$μ＜０．８，拒绝域就变为：（－∞，－１．７５３），故不能拒绝原假设，即否定厂方的断言．人们不禁要问：这样假设可行吗？如果行的话为什么例１得到的结论是一致的，而例２则不然？２假设检验原理叙述及问题分析不妨先从假设检验的原理来看，假设检验的基本原理是建立在“小概率事件在一次试验中不可能发生”的原理上的．根据这一原理，要判断备择假设Ｈ１是否成立，就要从原假设Ｈ０出发，在一定的显著水平α下，从总体中抽取一个子样并对其进行检验，在Ｈ０成立的条件下，若发现这个子样统计量的值是一个小概率事件（表现为统计量的值落入了拒绝域），这表示小概率事件在一次试验中发生了，与小概率事件在一次试验中不可能发生的原理矛盾，因此，就拒绝Ｈ０，接受Ｈ１；反之，若发现这个子样的统计量的值不是一个小概率事件（表现为统计量的值落入了接受域），则就只有被迫接受Ｈ０，而拒绝Ｈ１．假设检验的依据既然是“小概率事件在一次试验中不可能发生”这一原理，然而小概率事件并非不可能事件，并不能完全排斥它发生的可能性，因而假设检验的结果就有可能出现错误，这种错误可以分为两类：第一类：原假设正确，在检验过程中被拒绝，即弃真错误，显然Ｐ｛犯第一类错误｝＝Ｐ｛拒绝Ｈ０│Ｈ０为真｝＝α（又称显著性水平），α的大小是研究者根据研究问题的需要而设置的，也是确定小概率事件的标准，不同研究领域里这个标准是不相同的；第二类：原假设不正确，在检验过程中却错误的接受了它，称为取伪错误，若令犯第二类错误的概率为β，则有Ｐ｛犯第二类错误｝＝Ｐ｛接受Ｈ０│Ｈ０为假｝＝β．人们自然希望犯这两类错误的概率α与β同时都很小，但是当容量ｎ一定时，欲使α、β都小是做不到的．因为若α小，则拒绝域的范围小，于是接受域的范围就大，从而β增大；反之若β小，则接受域的范围小，于是拒绝域的范围就大，从而α增大．理论上可证，只有当样本容量ｎ增大时才能使犯两类错误的概率都减少．基于这种情况，统计学家奈曼（Ｎｅｙｍａｎ）［２］与皮尔逊（Ｐｅａｒｓｏｎ）［３］提出了一个原则，即在控制犯第一类错（下转第６７页）江西理工大学学报２００７年８月６２且π＊（∧）＝π（∧×Ｅ）＝ｊ∈Ｅ"ｉ∈Ｅ"π（∧×｛ｊ｝）Ｐ｛（Ｚ０＝ｉ）│（Ｘ０，Ｘ－１，…，Ｘ－ｍ）＝#ｘ）（８）因Ｅ是一个有限集合，于是由式（６）、式（７）、式（８）得ｌｉｍｔ→∞ρ－ｔ‖Ｐ（（Ｘｔ，Ｘｔ－１，…，Ｘｔ－ｒ）∈∧│（Ｘ０，Ｘ－１，…，Ｘ－ｍ）＝#ｘ）－π＊（∧）‖τ＝０（９）又由文献［７］中定理１．４．１的证明过程知：π是｛Ｙｔ｝的不变概率测度，从而由π＊的定义易知π＊是｛Ｙｔ｝的不变概率测度，且π＊的唯一性可由π的唯一性导出，于是由π＊具有的性质及式（９）知式（４）成立．参考文献：［１］ＥｎｇｌｅＲＦ．ＡｕｔｏｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅＣｏｎｄｉｔｉｏｎａｌＨｅｔｅｒｏｓｃｅｄａｓｔｉｃｉｔｙｗｉｔｈＥｓｔｉｍａｔｅｓｏｆＶａｒｉａｎｃｅｏｆＵＫＩｎｆｌａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃａ，１９８２，（５０）：９８７－１００７．［２］ＨｗａｎｇＳＹ，Ｍｉ－ＪａＷｏｏ．ＴｈｒｅｓｈｏｌｄＡＲＣＨ（１）Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ：ＡｓｙｍｐｔｏｔｉｃＩｎｆｅｒｅｎｃｅ［Ｊ］．Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ＆ＰｒｏｂａｂｉｌｉｔｙＬｅｔｔｅｒｓ，２００１，（５３）：１１－２０．［３］ＨａＪ，ＬｅｅＳ．ＣｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔＣｏｎｓｔａｎｃｙＴｅｓｔｉｎＡＲ－ＡＲＣＨＭｏｄｅｌｓ［Ｊ］．Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ＆ＰｒｏｂａｂｉｌｉｔｙＬｅｔｔｅｒｓ，２００２，（５７）：６５－７７．［４］ＨｗａｎｇＳＹ，ＢａｓａｗａＩＶ．ＳｔａｔｉｏｎａｒｉｔｙａｎｄＭｏｍｅｎｔＳｔｒｕｃｔｕｒｅｆｏｒＢｏｘ－ＣｏｘＴｒａｎｓｆｏｒｍｅｄＴｈｒｅｓｈｏｌｄＧＡＲＣＨ（１．１）Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ［Ｊ］．Ｓｔａｔｉｓｔｃｓ＆ＰｒｏｂａｂｉｌｉｔｙＬｅｔｔｅｒｓ，２００４，（６８）：２０９－２２０．［５］ＨｗａｎｇＳＹ，ＴａｅＹｏｏｎＫｉｍ．ＰｏｗｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄＴｈｒｅｓｈｏｌｄＭｏｄｅｌｉｎｇｆｏｒＡＲＣＨＩｎｎｏｖａｔｉｏｎｓｗｉｔｈＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏＴｅｓｔｆｏｒＡＲＣＨＳｔｒｕｃｔｕｒｅ［Ｊ］．ＳｔｏｃｈａｓｔｉｃＰｒｏｃｅｓｓｅｓａｎｄｔｈｅｉｒＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００４，（１１０）：２９５－３１４．［６］安鸿志，陈敏．非线性时间序列分析［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，１９９８．［７］盛昭瀚，王涛，刘德林．非线性时间序列模型的稳定性分析—遍历性理论与应用［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９３．误的概率α的条件下，尽量使犯第二类错误的概率β小．根据这一原则，在假设检验中更倾向于拒绝Ｈ０而不是接受Ｈ０，由此可见，假设检验主要起否定作用，而对于接受原假设Ｈ０的理由是不够充分的．因此，在实际应用中应将研究者希望否定的现象设定为原假设，将研究者希望肯定的现象设定为备择假设，从这种意义上来说，备择假设就是以备选择的假设．另外，原假设和备择假设的选定还要根据具体的实际问题才能确定，这取决于实际问题中提法上的偏好性，像例２那样，站在不同的立场会得到不同的结果．对统计推断的决策者而言，在处理假设检验时总是偏好于保守的，在没有充分证据时不能轻易拒绝原假设Ｈ０．在实际问题中，通常为了通过检验想得到较有说服力的结论，便把要说明的结论选定为备择假设Ｈ１，而把其对立面选定为原假设Ｈ０，因此，人们通常偏好于把具有很大把握成立的假设定为原假设．一般地说，若问题是要决定新提出的方法（新材料、新工艺等）是否比原方法好，则在此假设检验中，通常将原方法取为原假设Ｈ０，以便有足够的理由来说明过去经常发生的事情是否会有所改变．３结论综上所述，在对总体参数进行单侧检验时，原假设与备择假设选取上，应遵循以下原则：（１）将研究者希望否定的现象设定为原假设，将研究者希望肯定的现象设定为备择假设；（２）将具有很大把握成立的假设定为原假设，将没有多大把握成立的假设定为备择假设．参考文献：［１］梁之舜，邓集贤．概率论及数理统计［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８０．［２］朱松涛，宋子兴．概率论与数理统计［Ｍ］．济南：山东大学出版社，１９９７．［３］缪铨生．概率与数理统计［Ｍ］．上海：华东师范大学出版社，１９９７．%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%（上接第６２页）王允艳等：带随机延滞的门限ＡＲＣＨ模型的稳定性第２８卷第４期６７。