几种高程异常曲面拟合方法的应用比较
几种高程拟合方法的精度分析
几种高程拟合方法的精度分析高程拟合方法是地理信息系统（GIS）中的重要内容，在数字地形模型（DTM）生成、地形分析和地貌描述等领域具有广泛应用。
不同的高程拟合方法会影响到地形模型的精度，因此对于不同高程拟合方法的精度进行分析是很有意义的。
以下是几种常见的高程拟合方法及其精度分析：1.插值法插值法是一种常见的高程拟合方法，在实际应用中被广泛使用。
常见的插值方法包括反距离加权插值法、克里金插值法以及样条插值法等。
插值法的精度受到原始高程数据的密度和分布情况的影响。
如果原始高程数据密度较高且分布均匀，插值法可以获得较高的精度。
然而，在原始高程数据密度较低或分布不均匀的情况下，插值法可能会出现插值误差较大的问题，拟合结果的准确性会受到一定的限制。
2.拟合曲面法拟合曲面法是一种通过拟合曲线或曲面来估计高程的方法。
常见的拟合曲面方法包括最小二乘法、多项式拟合、平滑拟合以及基于回归分析的方法等。
拟合曲面法的精度取决于所选择的拟合函数和选择的拟合点。
如果使用复杂的拟合函数和足够多的拟合点，可以获得较高的精度。
然而，过度复杂的拟合函数可能导致过度拟合的问题，而拟合点过少可能会导致低精度。
3.网格法网格法是一种将区域划分成网格并在每个网格上估计高程的方法。
常见的网格法包拟合方法包括反距离加权平均法、泰森多边形法以及贝叶斯方法等。
网格法的精度取决于网格的大小和形状，以及对于每个网格所采用的高程估计方法。
如果网格足够小且形状合理，并选择合适的高程估计方法，可以获得较高的精度。
然而，网格法可能会导致插值误差在网格边界处积累的问题，从而影响到拟合结果的准确性。
4.三角形不规则网法三角形不规则网法是一种通过构建不规则三角形网格来估计高程的方法。
该方法通过对于不规则三角形内插值来估计高程。
三角形不规则网法的精度取决于网格的划分方法和插值方法。
如果网格的划分合理且插值方法准确，可以获得较高的精度。
然而，三角形不规则网法可能会导致网格形状不规则或者包含过多狭长的三角形，从而影响到拟合结果的精度。
高程异常拟合参数 曲面
高程异常拟合参数曲面高程异常拟合参数是指将采集到的地面高程数据与理论或预测的地形曲面进行比较，并通过拟合参数的方法来描述地面的高程异常情况。
高程异常拟合参数对于地质、地理、工程等领域的研究都具有很重要的意义。
在地理信息系统（GIS）中，常用的高程模型有数字高程模型（DEM）和数字地面模型（DSM）。
DEM是描述地面地形的数学模型，而DSM包含了地面和地面上的物体，如建筑物、树木等。
在进行高程异常拟合参数的研究中，通常使用DEM 作为基础数据进行分析。
高程异常拟合参数可以用来研究地壳运动、地形演化、构造和地质变形等。
常用的拟合参数有坡度、曲率、凹凸性等。
1. 坡度：坡度是指地面高程变化的一种度量，可以用来研究地形的陡峭程度。
常见的坡度计算方法有斜度法和两点法。
斜度法是根据相邻格点之间的高程差来计算坡度，两点法是通过将地块分割成多个小三角形来计算坡度。
2. 曲率：曲率是描述地面变化率的一个参数，可以用来研究地形的平滑程度。
曲率可以分为主曲率和副曲率两种，主曲率描述地面的最大和最小曲率变化，副曲率描述地表曲率变化的方向。
3. 凹凸性：凹凸性是描述地面形态突出和凹陷的程度。
凹凸性可以通过计算地表高程值的方差、标准差等统计指标来衡量。
凹凸性参数可以用来研究地质构造的形态特征，如断裂带、褶皱等。
除了上述常用的拟合参数外，还有一些其他的高程异常拟合参数可供参考，如最小二乘法、曲面拟合法、自适应拟合法等。
这些方法主要是通过数学模型或统计分析来拟合地面的高程异常，以求得与实际观测数据最接近的结果。
在研究中，可以先对采集到的DEM数据进行预处理，如降采样、滤波等，以减少数据的噪声和误差，然后利用相应的拟合参数进行分析。
分析结果可以通过绘制等高线图、三维地形图等方式展示出来，以便分析变化规律和特征。
总而言之，高程异常拟合参数是地理学、地质学等相关领域研究中的一种重要方法，通过与理论模型的拟合来描述地面的高程异常情况。
GPS高程拟合方法的比较分析
GPS高程拟合方法的比较分析GPS 高程拟合法的比较分析(机械工业勘察设计研究院测量公司)摘要：工程中需要把GPS 高程测量的大地高转换为正常高。
通常的做法是采用拟合法建立研究区域的似大地水准面。
本文介绍了两种不同的拟合方法：二次曲面拟合法、多面函数拟合法。
并结合某区域一定数量已知GPS 高程异常点来内插和外推研究区域内的任一点的高程异常。
通过比较发现多面函数拟合法拟合的精度要比二次曲面拟合的精度高。
关键词：高程转换；二次曲面拟合法；多面函数拟合法The elevation of GPS fitting to the comparison and analysis （Machinery industry survey and design institute of measuring company ）Abstract: GPS height measurement of the earth should be converted to normal high in engineering. It is usually to establish the quasi-geoid of the research area by the fitting method. This article introduces two different fitting methods: quadratic surface fitting and multiple-surface function fitting. Combined with a certain number of a region known GPS elevation anomaly points to the interpolation and extrapolation of the height anomaly at any point within the study area. By comparison, the multiple-surface function fitting to the precision is higher than the quadratic surface fitting.Key words ：Elevation conversion; Quadratic surface fitting; Multiple-surface function fitting1.引言传统的几何水准测量虽然精度高，但耗时长、耗费多、工作效率低。
多项式曲面高程拟合方法探讨
多项式曲面高程拟合方法探讨作者：吴扬扬来源：《名城绘》2019年第02期摘要：本文主要介绍了多项式曲面法的基本原理，然后分别采用一次、二次、三次多项式曲面法对具体区域的高程数据进行计算，通过对高程拟合的精度进行对比和分析，总结多项式曲面高程拟合方法的应用特点。
关键词：多项式曲面；高程拟合；精度GPS高程拟合是大地水准面精化的主要内容，是大地测量学研究的基本内容。
GPS高程拟合涉及到三类高程系统，分别为正高系统、正常高系统和大地高系统。
正高是以大地准面为基准的高程，正常高是以似大地水准面为基准的高程，大地高是以参考椭球面为基准的高程[1]。
我国通常采用正常高系统。
正常高和大地高之间的差距叫做高程异常。
大地高H、正常高h和高程异常之间的关系为：H=h+ε（1）本文主要结合具体算例，分别采用一次、二次、三次多项式曲面法进行高程拟合，总结多项式曲面拟合方法的特点。
1 多项式曲面拟合法多项式曲面拟合的数学模型为：（2）式中εi为i点的高程异常值，其坐标为（），（）為模型参数。
式（2）对应的误差方程为：（3）其中为已知联测点i的高程异常值。
如果有n个已知点，那么m次多项式可以改写成矩阵形式：（4）其中m，n需满足条件，令，在式（3.12）中，，，，根据最小二乘原理可得：（5）根据式（5）求出模型参数后即可确定模型式（2），然后根据式（2）即可求出待求点的高程异常。
有时实际计算中为了保证计算的稳定性，我们采用区域中心点的坐标（x0，y0）作为原点，用坐标差来代替原始坐标参与计算，即将模型表示成（△xi，△yi）的函数，其中，。
常用的多项式曲面拟合方法有一次曲面拟合（平面拟合）、二次曲面拟合、三次曲面拟合。
2 算例分析某区域大约50km2，该区域联测了21个控制点，其正常高和大地高都是通过观测计算获得的，那么该区域的高程异常数据可以通过计算获得。
采用多项式曲面拟合法（一次，二次，三次）拟合该区域的控制点，针对区域内的9个点，10个点，11个点，12个点，13个点作为参加拟合的已知的控制点，其余的点作为检核点，计算各自的内符合精度和外符合精度，因为三次曲面模型的必要条件是10个点，所以三次曲面模型不参与9个点和10个点的拟合，如表1，表2，表3，表4，表5所示。
GPS高程拟合方法及其应用
GPS高程拟合方法及其应用论文介绍了GPS高程拟合的原理。
介绍了多种拟合模型的拟合原理、模型参数的优化选择，给出了利用地表拟合求解较高精度高程异常的方法，将各种模型进行应用对比。
标签：大地高GPS水准高程异常拟合模型1 GPS高程异常当前GPS技术在平面控制测量工作中已经得到了广泛的应用，但在高程控制测量中却未能得到广泛应用。
原因是GPS高程测量得到的是建立在WGS-84坐标系上的大地高H，而我国测量工作中采用的是正常高H。
GPS高程测量可以获得厘米级精度的大地高，但在GPS大地高转换为正常高过程中，由于未能获得同等精度的高程异常ζ，导致转换所得的GPS正常高达不到精度要求。
2高程拟合常用方法拟合法是对GPS观测点进行几何水准联测，同一点的大地高减去正常高得到该点的高程异常，再把测区的似大地水准面假定为多项式曲面或者其他数学曲面去拟合已知高程异常的点，根据拟合的曲面内插其他GPS点的高程异常值。
拟合法进行GPS高程转换的数学模型很多，如多项式曲线拟合、最小二乘平面拟合、二次多项式曲面拟合等，归纳起来可以分为线状拟合模型、平面拟合模型和曲面线状拟合模型三类。
3高程拟合实例分析一测区，选取其中32个GPS水准高程点进行拟合，将32个水准点的X与Y值通过AutoCAD一个简短的VB加载程序展绘成图：方案一：16个起算点均匀分布选取点2，4，8，10，11，13，16，17，19，20，24，25，26，30，31，32十六个点均匀分布于分布已知水准点，经由GPS拟合程序拟合后，计算成果中得拟合高程与水准成果的互差中误差为11.820480毫米。
方案二：16个起算点分布在一侧（非均匀分布）选取点位集中于右下侧，分别为1，2，3，5，9，10，11，14，18，21，22，23，25，27，28，29十六个点。
经由GPS拟合程序拟合后，计算成果中得拟合高程与水准成果的互差中误差为14.631518毫米。
方案三：16个起算点分布在边缘（非均匀分布）选取十六点3，5，6，8，11，12，14，16，17，18，19，20，23，25，28，29分布于网形边缘，经由GPS拟合程序拟合后，计算成果中得拟合高程与水准成果的互差中误差为14.810417毫米。
GPS 水准中三种曲面拟合模型的对比分析
GPS水准中三种曲面拟合模型的对比分析崔卫磊∗ (贵阳市测绘院,贵州贵阳 550002)【摘要】摘要:在详细论述了GPS水准中平面相关、曲面样条、多面函数三种曲面拟合方法之上,编写了GPS高程拟合系统软件。
最后利用四川省某地区的实测数据,对以上几种拟合方法进行比较和分析,得到了一些有用的结论,对类似测量项目有一定的借鉴意义。
【期刊名称】城市勘测【年(卷),期】2015(000)001【总页数】4【关键词】关键词:GPS;水准;多面函数;平面相关;曲面样条;对比分析1 引言GPS是近些年发展起来的先进导航定位技术,但在使用GPS进行控制测量时GPS的平面坐标可以达到毫米级,而高程精度却由于常常无法满足施工的需要而只能采取其他方法获取,这使得GPS测量技术的优势大打折扣。
究其原因是GPS所测高程为以参考椭球面为基准的大地高,传统测量却是以似大地水准面为基准的正常高。
因此寻求求解大地高于正常高之间的差异,即高程异常的方法就变得尤为重要。
求解高程异常的方法有重力法、GPS水准法、GPS三角高程方法、联合平差法、转换参数法、神经网络法等方法。
其中GPS水准方法是普遍,也是最容易实现的采用的一种方法。
2 GPS水准方法GPS水准方法是眼下正常高的求取中最常用的一种方法,具体做法为:利用测区内已知高程异常的已知点,采用比较适宜的模型对该测区的似大地水准面进行拟合,然后求出待定点的高程异常值,进而确定整个测区的正常高。
它的优点是算法相对来讲还算简单,不受中、长波项及高程系统差异等的影响,无须地球重力场方面的专门知识或数据。
缺点是在山区精度会严重受损。
目前,比较常用的GPS水准方法除了绘等直线图法以外主要分为曲线拟合法和曲面拟合法。
曲线拟合法主要有,多项式曲线、三次样条曲线、阿克玛法等方法。
曲面拟合法有相关平面、斜平面、多项式曲面、多面函数、曲面样条、移动曲面等。
本文将详细论述相关平面法,多面函数法以及曲面样条拟合法,并应用实测数据对这三种方法进行对比分析。
曲面模型在GPS高程拟合中的应用
曲面模型在GPS高程拟合中的应用摘要本文主要论述了曲面模型在GPS高程拟合中的应用，对两种曲面模型进行了较为细致的讨论，结合实测数据对两种方法进行了深入的比较分析。
关键词GPS高程拟合；高程异常；曲面模型0引言在传统的测量中，获取高程的方法主要有水准测量法和三角高程测量法。
但水准测量法在山区实测困难，劳动强度大；三角测量视距要求不能太远，受气候影响大。
GPS技术的广泛应用，为确定大地水准面高提供了新的途径。
GPS测量具有全天候、经济、快速等诸多优点。
但GPS测量的直接成果为椭球面大地高，而工程中常用的高程基准为正常高，如何精确的求的高程异常值，实现两者的精确转换成为关键问题。
GPS高程拟合方法可归纳为重力法和几何法。
对于一般工程单位而言，无法获得所需的重力数据，故重力方法难于普及。
常用几何法，即对一定量的GPS 点进行水准联测，选取一定数量已联测水准的GPS点，通过函数拟合，求得该区域GPS点位坐标和高程异常值的函数关系，由此确定区域似大地水准面，即可求得该区域内其余GPS点的正常高。
本文主要研究常用的曲面模型，并通过实例计算对其精度进行了分析。
1 两种常用的曲面拟合模型当测区地势起伏较大，高程异常值变化较复杂时，可采用曲面拟合模型。
曲面拟合中最常用的模型为多项式曲面拟合模型和多面函数拟合模型。
1.1多项式曲面拟合模型GPS点的高程异常与平面坐标有如下关系：（1）式中，为误差。
一般情况下取多项式曲面的函数为如下形式：（2）用矩阵形式表示已测点的高程异常值与其平面坐标的关系如下：（3）当已测点个数与多项式所取的项数相等时，可用高斯消元法求解系数；当已测点个数多于多项式所取的项数时，产生了多余观测量，为提高多项式系数的解算精度，一般采用最小二乘法，对系数矩阵进行求解可得：（4）其中二次曲面模型稳定性较好，最为常用。
1.2多面函数拟合模型多面函数拟合模型认为“任何数学表面和不规则的圆滑表面，总可以利用一系列的有规则的数学表面的总和，以任意精度逼近”。
高程异常拟合参数 曲面
高程异常拟合参数曲面高程异常拟合参数的曲面是指对地球表面上的高程异常进行参数拟合所得到的曲面。
高程异常是指相对于大地水准面（通常选择平均海平面）的地形起伏情况，它反映了地壳运动、地球内部结构以及地形起伏等因素对地球表面高程的影响。
为了对高程异常进行分析和研究，我们需要对其进行参数化描述。
常用的拟合参数包括线性、二次、三次等多项式拟合，以及径向基函数（Radial Basis Function, RBF）拟合等方法。
本文将重点介绍常用的二次多项式拟合参数和RBF拟合参数两种方法。
二次多项式拟合参数是一种基于二次多项式函数的拟合方法。
该方法假设高程异常曲面可以近似表示为一个二次函数，在空间上呈现为抛物面的形式。
通过最小二乘法，可以确定出二次多项式的系数，从而得到拟合曲面。
二次多项式拟合参数相对简单且易于理解，但对局部起伏较大的地形会有一定的拟合误差。
RBF拟合参数是一种基于径向基函数的拟合方法。
径向基函数是一种以某个中心点为基准，距离该中心点的距离作为自变量的函数。
在RBF拟合参数方法中，我们首先选取一组中心点，然后根据这些中心点计算出一组基函数。
通过最小二乘法，可以确定基函数的权重系数，进而得到拟合曲面。
RBF拟合参数方法可以较好地逼近地形起伏较大的区域，但对于局部起伏较小的区域会有一定的过拟合现象。
在进行高程异常拟合参数曲面的计算过程中，需要注意以下几个关键步骤。
首先，需要选择合适的拟合函数和拟合方法，根据地形起伏的特点来确定最适合的拟合参数。
其次，需要通过采样或获取高程数据，并对数据进行预处理，如去除异常值和噪声。
然后，对预处理后的数据进行参数拟合，并评估拟合性能，如计算残差和均方根误差等指标。
最后，根据拟合结果绘制高程异常拟合参数曲面，以便于直观地观察和分析地形起伏情况。
高程异常拟合参数曲面在地质、地学和地理信息系统等领域具有广泛的应用价值。
它可以用于地形分析、地质构造研究、地震活动预测等方面。
测绘技术中的高程平差与曲面拟合方法
测绘技术中的高程平差与曲面拟合方法一、引言测绘技术在现代社会中发挥着重要的作用，它为土地规划、城市建设、交通规划等领域提供了基础性的数据支持。
其中，高程数据是衡量地表形态和地势变化的重要指标。
然而，地球表面并非完全平坦，因此在测绘中需要使用高程平差与曲面拟合方法来提高测量精度和准确性。
二、高程平差方法1.精确水准测量精确水准测量是基于重复测量和差值法进行高程平差的一种方法。
它通过在不同测点之间布设水准线，并采用水准仪进行高程观测，再根据观测数据进行差值计算和平差，得到精确的高程数值。
这种方法具有测量精度高、稳定性好等特点，但需要耗费大量时间和人力。
2.数学模型平差法数学模型平差法是一种通过构建数学模型，利用数学方法对测量数据进行处理的高程平差方法。
常见的数学模型包括线性模型、非线性模型等。
通过最小二乘法来求解模型参数，进而实现测量数据的平差处理。
这种方法相对于精确水准测量而言，计算量较小，同时适用于大范围、综合性的测量工作。
三、曲面拟合方法1.三角网格法三角网格法是一种常用的曲面拟合方法，它通过将测量点连接成三角形网格，利用插值算法来估计测量点之外的高程数值。
这种方法在实践中应用广泛，具有计算效率高、适用于不规则形状等优点。
然而，在山区等复杂地形中，由于点密度不均匀，三角网格法的准确性会受到一定程度的影响。
2.反距离权重法反距离权重法是一种基于距离加权的曲面拟合方法。
它假设测量点之间的高程变化是由距离远近产生的，并根据距离权重来插值测量点之外的高程数值。
这种方法对于点密度不均匀、地形变化剧烈的地区具有较好的适应性。
但需要注意的是，反距离权重法对于边缘效应的处理有一定的局限性。
四、案例分析为了更好地理解和应用高程平差与曲面拟合方法，下面以某区域地形测量为例进行案例分析。
通过精确水准测量和数学模型平差法，得到该区域一系列高程点的精确测量值。
然后，采用三角网格法和反距离权重法对这些测量点进行曲面拟合，对比分析两种方法的拟合效果和计算效率。
几种高程拟合方法的精度分析
总结与分析
二
对于多面函数法拟合 核函数的选取，以及 平滑 因子都会对精度 产生较大影响一定要 多次尝试。
三
已知点的选取 一定要均匀， 并非已知点越多 精度就越高。
LOGO
实例分析
❖ 当核函数为锥面函数时C取1，当核函数为到双曲面时 2 取10000，以下是
这三种拟合模型的残差图。
实例分析
❖ 当选取1、7、9、10、11、13、19、20、22、26、28、33、34、36这 14个点作为已知点进行二次曲面拟合时其精度如下表：
序号
2 3 4 5 6 8 12 14 15
测量等级 三等几何水准测量 四等几何水准测量 普通几何水准测量
水准限差
允许的最大限差（mm）
12 L 20 L 30 L
注：L为已知点与检核点的距离（单位：公里）
实例分析
❖ 右图为某中型城 市的城市控制网，图 中共有37个GPS—E 级控制点。为了研究 GPS拟合原理，对以 上所有控制点都进行 了三等水准测量，并 应用稳健估计进行粗 差探测，未发现粗差。
二次曲面拟合残差（14点）
-0.050 0.002 -0.062 0.016 0.061 0.018 0.135 0.011 -0.055
二次曲面拟合残差（20点）
-0.031 -0.047 -0.140 0.052 0.080 0.028 0.002 0.061 0.037
总结
一
对于地势比较平坦， 或者高程变化比较 平缓时，二次曲面 法拟合可以满足其 精度要求
❖ 为了保证试验数 据的可靠性，其具体 数据见下表。
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
X坐标 -9230.899 -10589.011 -8775.220 -7666.317 -11649.851 -8129.317 -4334.088 295.107 3802.651 -11790.336 -7892.980
几种不同GPS高程拟合方案的比较
几种不同GPS高程拟合方案的比较陈智尧;胡文礼【摘要】在GPS高程测量中，通过应用多面函数与二元多项式拟合模型的对比，说明仅用内、外符合精度来评估拟合高程的精度，仍存在一定的风险。
结合实例指出，GPS水准点在项目区分布的重要性及应注意的事项。
【期刊名称】《地理空间信息》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】3页(P87-88,92)【关键词】多面函数;二元多项式;GPS水准【作者】陈智尧;胡文礼【作者单位】湖北省测绘成果档案馆，湖北武汉 430071;中南勘察设计院湖北有限责任公司，湖北武汉 430071【正文语种】中文【中图分类】P216在精度允许的情况下，GPS高程测量因其省时省工已广泛应用于工程测绘项目中，替代传统的水准测量、三角高程测量解决高程控制问题。
特别是在一些利用传统水准测量传递高程困难地区，如山地、湖泊河流阻隔区域都不利于水准测量，起算控制点稀少或偏离项目区域不利于高程的传递。
在精度评估方面，通常由残差的极值与残差计算出的中误差2项来评估拟合模型的精度。
残差＝已知值－拟合值式中，n为残差的个数。
已知值由经过水准联测的GPS点求得。
这些具有水准高程的GPS点又称为GPS 水准点。
GPS水准点在拟合计算中，一部分作为拟合使用称之为控制点，另一部分作为外部检测称之为检测点。
由控制点计算的精度评估值称之为内符合精度，由检测点计算的评估值称之为外符合精度。
2.1 基本原理GPS高程主要是解决GPS测量中的高程异常（ζ）的问题。
我国采用的是正常高（h）系统，GPS测量中能直接获得的是大地高（H），3者之间的关系为：当前解决高程异常最常见的方法是重力法与GPS水准法。
重力法在精度上虽低于GPS水准法，但在山区及水准测量传递困难地区仍然是首选。
本文主要讨论GPS 水准法。
GPS水准法是在项目区内测定一定数量的GPS水准点，根据水准点上的高程异常值，选择一个曲面拟合模型，建立GPS点坐标值与高程异常值之间的关系，再求出其他GPS点上的正常高。
几种高程异常曲面拟合方法的应用比较
几种高程异常曲面拟合方法的应用比较韦献强【摘要】简单介绍了高程异常多项式曲面拟合方法的数学模型,以25 km2测区为实例,选取4种已知拟合点布点方案,分别采用四、五、六参数的曲面拟合法与移动曲面拟合法对高程异常进行拟合,并将拟合成果与四等水准测量成果进行比较、分析,得出一些具有实用意义的结论。
%The article briefly introduces the method to the maths model of height anomaly surface fitting. Taking one about 25 km^2 survey area as an example, it selects the distribution scheme known fitting points,respectively adopts 4,5, 6 parameter surface fitting legitimate and mobile surface fitting method to fit the height anomaly, then compares and analyzes the fitting results with fourth level measured results, and finally draw some oractical and significant conclusions.【期刊名称】《城市勘测》【年(卷),期】2012(000)004【总页数】4页(P115-117,120)【关键词】高程异常;曲面拟合方法;移动曲面拟合方法【作者】韦献强【作者单位】柳州市勘察测绘研究院,广西柳州545006【正文语种】中文【中图分类】P228.31 引言GPS测量技术的出现改变了以往传统控制测量模式，通过GPS相对定位可同时获得高精度平面坐标与大地高，但在实际应用中GPS提供的是WGS－84大地坐标系的大地高程H84，而我国高程系统采用的是相对于似大地水准面的正常高系统Hr，因此需要把GPS提供的大地高H84转化为正常高Hr，公式如下式:ζ为似大地水准面至椭球面间的高差，称为高程异常。
三种高程异常拟合模型比较
接， 隐 含 层 可 以 有 一 个 或 多 个 。 理 论 上 已 经 证
明， 一个 三层 的 Ｂ Ｐ神 经 网络 可 以 以任 意 精 度 逼 近任 意连 续 函数 ， 因此 ， Ｂ Ｐ神 经 网络 广 泛应 用 于
函数估计 问题 可 以描 述为求 解如下 公式 ：
ｍｉ ｎ Ｊ
… ”
根 据公 式 （ ３ —１ ０ ） ， 求解 得 ： 、
）一 １（ Ｕ 叫 ＋ｙ １ ∑８ 。 ｉ ｌ ］ ＝ ［ ｏ ］
一
一
㈣
Ｋ（ ｘ 女 ， ｚ ）
约 束条 件 ： Ｙ 一 （ ｚ ）×叫＋ ｂ ＋ ８， ｉ ；１ ， ２ ， …， ｌ
［ 收 稿 日期 ］ ２ ０ １ ４ —０ ６ —１ ［ 作者简介］ 邹明普（ １ ９ ７ ７ 一） ， 男， 汉族 ， 云南腾冲人 ， 工程师 ， 主 要从 事 城镇 地籍 测 绘 管理 与工 程 测 量 管 理 等 工 作 。
２ ０ １ ４ 年第 ６ 期
・ 北京测绘 ・
据， ｌ 为训 练样本 个数 。
本 文分 别采 用 上 述 三种 模 型 ， 进 行 了 某 区 域
常值 ∈ 作 为 目标 向量 进行 建模 。
内高程 异常 的拟 合 ， 并对结 果做 了比较分 析 。
将 测试 集 中平 面坐标 （ Ｘ１ ， Ｙ１ ） 代 入训 练好 的
模型 ， 输 出 即得 对应 的高 程异 常值 。
非线 性建 模 ， 函数 逼近 等 。
基于 Ｂ Ｐ神 经 网 络模 型 对 高 程 异 常 拟 合 时 ， 将 学 习集数 据分 为训 练集 和验 证 集 ， 利 用 训 练 集 中平 面坐标 （ Ｘ， Ｙ） 作 为输 入 向量 ， 对 应 的高 程 异
几种高程拟合方法的精度分析
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
X坐标 -9230.899 -10589.011 -8775.220 -7666.317 -11649.851 -8129.317 -4334.088 295.107 3802.651 -11790.336 -7892.980
(x, y)
u
(x, y) a jQ(x, y, xi , yi ) j 1
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Q(x, y, xi , yi )
V AQ 0
A (QT Q)1QT 0
1
Q [( x xi )2 ( y yi )2 ]2
Q
[(
x
xi
)2
(
y
yi
)2
1
]2
(xi , yi )
xi , yi
大地高
12.097 11.931
11.467 11.579 13.403 12.377 11.381 11.250 11.366
正常高
4.173 3.925
3.421 3.884 5.835 4.852 3.906 2.822 3.332
高程异常
7.925 8.005
8.046 7.695 7.569 7.525 7.475 8.428 8.034
拟合值
残差值
二次曲面 锥面 倒双曲面 二次 锥面 倒双曲面
2 8.580
3 8.673
4 8.866
5 8.161
6 8.210
8 8.225
12 7.899
14
8.046
15
7.695
外符合精度
8.549 8.536 8.624 -0.031 -0.043 0.045 8.626 8.759 8.773 -0.047 0.086 0.100 8.726 9.559 8.380 -0.140 0.693 -0.487 8.213 8.048 8.198 0.052 -0.114 0.037 8.290 8.177 8.279 0.080 -0.033 0.069 8.253 8.174 8.359 0.028 -0.051 0.134 7.901 8.551 7.568 0.002 0.627 -0.357
两种GPS高程拟合方法的对比与探讨
两种GPS高程拟合方法的对比与探讨【摘要】GPS技术已日趋成熟，而GPS高程拟合对传统高程拟合方法提出了挑战。
不同的GPS高程拟合方法对于提高城市控制网精度也有所不同，本文着重通过对多项式曲线拟合与样条曲线拟合这两种方法的对比来阐释GPS高程拟合相对于传统测量的必要性。
【关键词】GPS高程拟合，多项式曲线拟合法，样条曲线拟合法0.引言众所周知，高程测量是工程测量中一项重要的测量数据。
目前，高程的测量方法主要有以下四种：几何水准测量、三角高程测量、重力高程测量、GPS高程测量。
几何水准测量和三角高程测量是传统的高程测量方法，目前仍然是建立高程控制的主要方法，并且得到的高程数据也有可靠的保证。
但是，这两种方法都有一定的局限性，而且工作地点、时间等，都会受到较大的外界条件的影响。
还有一点，就是这种传统的测量方法，费时费力。
重力高程测量需要足够的重力测量数据。
重力高程测量可以直接测量出高程异常，可以直接将测得的高程异常值用于高程拟合的计算中。
但是，重力高程测量的数据获取过程比较麻烦，而且很难普及，不是一种经济适用的方法，还有待进一步提高。
就在这样的情况下由于GPS技术的发展，GPS高程测量及其拟合方法的出现大大提高了测量高程数据的精度和准确度。
1.三种高程系统及其关系1.1大地高系统以参考椭球面为高程基准面的高程系统，称为大地高系统。
这个系统的高程，是地面点沿法线方向到参考椭球面的距离，称为大地高，通常用表示。
大地高系统只有几何意义，不具有物理意义，同一个点在不同的参考椭球下，具有不同的大地高，这个系统的高差，是两地面点大地高之差，称为大地高高差。
大地高可由GPS技术直接测定，也可由几何和物理大地测量相结合的方法来测定。
1.2正高系统大地测量学所研究的是在整体上非常接近于地球自然表面的水准面，设想与平均海水面相重合，不受潮汐、风浪及大气压变化的影响，并延伸到大陆下面与铅垂线相垂直的水准面称为大地水准面，它是一个没有褶皱、无菱角的连续封闭曲面。
几种GPS高程拟合方法的分析与比较
几种GPS高程拟合方法的分析与比较文章论述了几种常用的GPS高程拟合的方法，并在MATLAB中编制了相应的程序，建立了相应的GPS高程拟合模型，并通过实例数据进行建模分析，对比各方法的拟合结果的精度高低，得出了一些有益结论。
标签：GPS；高程拟合；高程异常1 概述GPS高程测量具有劳动强度小、工作效率高、高程误差不累积等优点，但测得的高程不能直接用于生产实践中，对于GPS高程应用的不便性，国内外学者给予了普遍的关注。
GPS高程转换是GPS应用研究领域的一个难点问题，也是GPS应用研究的热点问题。
为了提高GPS高程转换的精度，国内外许多学者在GPS高程转换方法上进行了深入的研究，提出了很多种拟合方法[1-2]，以便使GPS高程能够更广泛的应用到测量领域，充分发挥GPS高程测量的优越性。
文章主要探讨多项式曲线拟合法、样条曲线拟合、平面函数拟合法、二次曲面拟合法、多面函数法等方法[3]在GPS高程拟合中的运用，并通过实例数据进行分析比较，对比各方法的精度高低，得出了一些有益结论。
2 GPS高程拟合方法2.1 多项式曲线拟合若将坐标系转换成与测线x方向重合，与测线y方向垂直，则设高程异常值和坐标x间存在下列函数关系：（1）已知点的高程异常和拟合得到的高程异常之差：；根据最小二乘原理，在？撞Ri2=min条件下求解各参数ai，然后利用（1）式求出各点的高程异常，从而求出各点的正常高。
2.2 二次曲面拟合法二次曲面拟合法的数学模型为：（2）式中，x，y分别为点的纵、横坐标；a0，a1…a5为拟合系数。
由（2）式可知，二次曲面方程有6个待定系数a0，a1…a5，至少需要6个已知点才能进行计算。
若已知点的个数为6个，可求出系数a0，a1…a5；若已知点的个数大于6个，系数a0，a1…a5由已知点通过最小二乘原理VTPV=min求得。
假设已知点点数为n，由（2）式可列误差方程：（3）表示成总误差方程形式：V=BX-L （4）式中，V=[v1，v2…vn]T；；X=[a0，a1，a2，a3，a4，a5]T；L=[？孜1，？孜2，…，？孜n]T。
GPS高程拟合中多面函数及二次曲面函数的比较与分析
GPS高程拟合中多面函数及二次曲面函数的比较与分析摘要：结合某区域的gps和水准测量数据，用多面函数法、二次曲面函数法分别进行高程拟合，结果表明，在高程异常变化较大的区域用多面函数拟合gps高程异常时，精度较高。
关键词：gps 测量；水准测量；高程拟合；多面函数；二次曲面函数引言随着卫星定位技术的发展，gps以其独特的优势在测量领域扮演着越来越重的角色。
众所周知使用gps测量得出的点，其平面精度相当高，但是高程精度不是很高。
对于工程建设而言，保证高程控制基准的准确是必须的。
那么有没有一种处理方法使得用gps测量得出来的高程达到我们的要求呢？下面我们将结合一些实例来探究这个问题。
我们知道gps测量实在wgs-84地心坐标系中进行的，所提供的高程为相对于wgs-84椭球的大地高。
而我们要得到是海拔高。
在某一区域内，如果有一定数量的已知水准点（正常高已知），则可以在这些水准点上进行gps观测，各点的高程异常值就可根据计算得出。
根据已知点的高程异常值及其位置关系建立函数模型来模拟该区域似大地水准面的高度，再用数学内插的方法求解区域内任一点的高程异常值，进而求得该点的正常高。
本研究应用多面函数方法对某控制网gps点的高程异常进行拟合，并与水准高程进行了对比分析。
原理多面函数法是从几何观点出发，解决根据数据点形成一个平差的数学曲面问题。
其理论根据是认为“任何一个圆滑的数学表面总可以用一系列规则的数学表面总和以任意的精度逼近”。
二次曲面拟合法是认为高程异常在一定范围内变化平缓的前提下，将高程异常近似地看作是一定范围内各点坐标的曲面函数，用这一拟合函数来计算其它gps点的高程异常和正常高。
对于每一个已知点都可以列出方程，从而求出检核点的正常高。
实际运用中，如果把测区的似大地水准面假定为平面，则为平面拟合模型，要求测区面积很小且地形十分平坦，计算出来的高程异常与检核点的正常高，精度一般不高。
如果把测区的似大地水准面看成一个二次曲面，则相对符合对似大地水准面的描述。
GNSS高程拟合方法及其应用研究
GNSS高程拟合方法及其应用研究摘要：随着科学技术的发展，我国的GNSS技术有了很大进展，GNSS定位技术具有速度快、精度高、操作简单等优点。
当前GNSS技术在平面控制测量工作中已经得到了广泛的应用，但在高程控制测量中却未能得到长足发展。
文章首先分析GNSS高程拟合的原理与方法，其次探讨高程拟合的一般模型，最后就GNSS高程测量数据处理及拟合模型的优选进行研究，对相关类工程高程拟合具有更好的实践效果。
关键词：大地高；GNSS水准；高程异常；拟合模型引言目前，工程项目中的平面测量精度已经能够达到毫米级，因此影响工程质量的主要因素就是高程测量。
常用的高程异常拟合方法主要有多面函数法、多项式曲面法等。
近年来，随着人工智能、机器学习等技术的不断发展及在多领域应用，在此基础上发展起来的神经网络高程拟合方法也受到了广泛关注与研究。
该类高程拟合方法具有收敛速度快、精度高等优点，最为典型的网络高程拟合方法为BP神经网络模型。
1原理与方法工程测量中，GNSS测量获得的大地高H，而工程中我们用的是正常高H正，两者之差为高程异常ζ(ζ=H－H正)。
GNSS高程拟合就是采用一定的数学方法求取测区一定分辨率的高程异常格网，格网的精度高低决定正常高求取精度。
移动曲面拟合是一种分区拟合逼近算法，利用中心点周边一定距离范围的数据点，建立相应的数学函数内插该点的最优值。
在以指定半径Ｒ范围内，以内插点为中心，与周围数据点建立起一个拟合曲面，曲面内插中心点上的值即为所求最优值，拟合曲面随着中心点的变化而移动。
EGM2008重力场模型利用了GＲACE卫星跟踪重力数据、全球重力异常数据、卫星测高数据及地面地形数据等。
地球重力场模型展开到一定的阶次，会达到一定的空间分辨率，EGM2008模型阶次高达2190，可以很好地拟合高程异常的长波项。
2高程拟合的一般模型2.1多项式曲线拟合线状模型主要是通过一元函数建立的拟合模型，而多项式曲线拟合函数建立高程异常的数学模型是在一元函数基础上增加n的阶次来提高模型的精度。
拟合高程异常方法的比较
拟合高程异常方法的比较
高玉平
【期刊名称】《测绘科技通讯》
【年(卷),期】1998(021)001
【摘要】本文通过具体算例，比较了几种常用的由大地高推算正学高拟合内差法的特点，对ＧＰＳ水准提出了一些算法和建议。
【总页数】3页(P24-26)
【作者】高玉平
【作者单位】中煤航测遥感局
【正文语种】中文
【中图分类】P226
【相关文献】
1.几种高程异常曲面拟合方法的应用比较 [J], 韦献强
2.三种高程异常拟合模型比较 [J], 邹明普;叶芬
3.基于二次曲面的高程异常拟合方法比较研究 [J], 陈晓阳
4.小区域GNSS高程异常拟合方法研究 [J], 谢萌丽;姜永涛;刘国仕
5.插值和拟合方法在高程异常模型建立中的应用 [J], 周伟
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（ ＝ ， ， …ｎ ｉ １２３ ）
（） ５
经 常采用 的是 四参数 拟合 ：
＝０ ＋ ＋ａ ｙ ０ Ⅱ１ ｘ ２ ＋ａ３ ｙ ｘ
对 于 ／个选 取点数 据建 立下 列误差 方程 ： ７ ，
ｉ ａ＋ １ｉ。Ｙ＋ ５ｉ 一 ＝ ０ 。 ＋ ２ｉ０ Ｙ （＝１ ２ ３ ｉ ， ，…ｎ ６ ）（ ）
究 人员采 用 了多 种 方法 对 高 程 异 常进 行 估 计 ， 常用 方
法 包括 ： 神经 网络 方法 、 曲面 拟合方 法 、 值算 法 、 虑 插 考
大地重 力场 的高 程 异 常估 计 算 法 等 ， 本文 只介 绍 多项
式曲面拟合数学模型的普通 曲面拟合法及移动曲面拟
合法 。 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
五参 数 拟合 ：
＝ｒ ＋。 ｘ ２ ａ３ ＋ Ｙ 上 ０ １ ＋ａ ｙ＋ ４
另外 ， 根据数 据点对 内插 点 的影 响程度 引人 了权 ， （） ３
即内插 点距 数 据 点越 近 影 响越 大 ， 重 也 越 大 ， 之 ， 权 反
收 稿 日期 ：Ｏ ２ １ ９ ２ １—０ —０ 作 者 简 介 ： 献 强 （ ９６ ）， ， 程 师 ， 要 从 事 城 市工程 测 量 技 术 工 作 。 韦 １７ 一 男 工 主
１ 引 言
ＧＳ Ｐ 测量技术的出现改变了以往传统控制测量模
式 ， 过 Ｇ Ｓ相对 定位 可 同时获 得 高精 度 平 面 坐标 与 通 Ｐ 大地 高 ， 在实 际应用 中 Ｇ Ｓ提 供 的是 ＷＧ 一 ４大 地 但 Ｐ Ｓ８
坐标 系 的大地高 程 ， 而我 国高程 系统 采用 的是 相对 于似 大地水 准面 的正 常高 系统 ， 因此 需要 把 Ｇ Ｓ提 Ｐ
对 Ｐ点建 立 相应 的 曲面 。为 计 算 曲面 （ ） 的系 数 ， ２式 需要 选取 Ｐ点周 围 的数 据点 。选 取 的方 法通 常是 以 内
插 点 Ｐ为 中心 ， 尺为半 径 （ Ｒ一 般取 数据 点 平 均 间距 的
２ 曲面 拟 合 数 学模 型
曲面 拟合是将 高 程异 常看做 是一 定范 围 内坐标 的 曲面 函数 ， 为高 程 异 常在 此 范 围 内变 化 是 连续 平 缓 认
２１ ０ ２年 ８月 第 ４期
文 章 编 号 ：６ ２ ８ ６ （０ ２ ０ — １ — ３ １７ — ２ ２ ２ １ ）４ １５ ０
城
市
勘
测
Ａｕｇ ２ ２ ． ０１
ＮＯ ４ ．
Ｕｒ ｎ Ｇｅ ｔｃ ｎｉａ ｎ ｓｉａ ｉｎ ＆ Ｓ ｖｅ ｉ ｇ ｂａ ｏｅ ｈ ｃ ｌＩ ｖｅ ｔｇ ｔｏ ｕｒ ｙ ｎ
２倍 ） 凡是落 在 圆 内 的点 即 被选 用 ， ， 所选 取点 的个 数 大 于等 于 曲面方 程 系数 的个 数 。 当点 数不 够 时 ， 扩 则 大 Ｒ的值 。在计 算 时 ， 所 有 选 取 数 据点 改化 到 以 Ｐ 将
为原点 的局部 坐 标 系 中 ， 现设 Ｐ点 的 坐标 为 （ ， ， Ｙ ） 选 取数 据点 坐标 （ ，ｊ则 有 ： ｉ ） Ｙ
六参数 拟合 ：
：０ ＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ‘ ０ ０ ０ ｘ ａ ｙ ａ ０ Ｙ 十 ５ （ ４）
２ １ 曲面 拟合 法 ．
当有 多个 已知 数据 点 时 ， 于每 个 已 知数 据 点 写 对
成误 差方 程 （ 于式 （ ） 如 下 ： 对 ２）
ｉ ＋ ｌｉ口Ｙ＋ ３ｉ 一 ＝ ０ ０ ＋ ２ｉ口 Ｙ （ ＝１ ２ ３ ／ ｉ ， ，…ｇ ， ）
点上 的值 就是所 求 的内插值 ， 即内插点 高程 异常值 。 设 Ｐ为 内插 点 ， 以 （ ） 四参 数 曲面 方 程 为 例 现 ２式
在工 程测 量 中 ， 常采 用 Ｇ Ｓ水 准方 法 获 取 正 常 通 Ｐ 高 ， 因此 高精 度高 程异 常 的估 计 尤为重 要 ， 目前研
中 图分 类 号 ：２ ８ ３ Ｐ ２．
文 献 标 识 码 ： Ｂ
几种高程异常 曲面拟合方法 的应 用比较
韦献 强
（ 州市勘察测绘研究院 ， 西 柳州 柳 广 ５５ ０ ） ４０ ６
摘 要 ： 简单介绍 了高程异 常多项式 曲面拟合方 法的数 学模型 ， ２ ｍ 测区为实例 ， １ ５ｋ Ｘ ， 选取 ４种 已知 拟合 点布点方案 ， 分别采用四、 、 五 六参数 的曲面拟合 法与移动 曲面拟合 法对 高程异 常进行拟合 ， 并将拟合 成果与四等 水准测量成 果进 行 比较 、 分析 ， 出一些具有实用意义的结论 。 得 关键词 ： 高程异 常； 曲面拟合方法 ； 移动 曲面拟合方法
１６ １
城
市
勘
测
２１ ０ ２年 ８月
距 离越 远影 响越小 ， 重越小 。权 的形式 有多 种 ， 权 本文
供 的大地 高 转 化 为正常 高 日 ， 公式 如下 式 ：
Ｈ Ｈ ４ ＝ ８一 （） １
在 Ｚｗ＝ ｉ ａ ｒ ｎ的条件 下 ， 出各 ｏ ｎ 按式 （ ） 解 ～ 再 ２
求 出待求点的 ， 从而求出 Ｈ 。
２ ２ 移 动 曲面拟合 法 ．
为似大 地 水 准 面 至 椭 球 面 间 的 高 差 ， 为高 程 称
ｉ Ｘ ｉ ｐ —
的， 因此采 用数值 拟 合法拟 合 出测 区似大地 水 准 面 ， 再 内插 出待 求点 的 ， 而 求 出待 求点 的正 常高 。 从
采用 的数 学模 型为 ：
＝ｒ ＋０ ｘ ２ ａ３ ＋０ Ｙ ＋０ ＋… 上 ０ １ ＋ａ ｙ＋ ４ ５
Ｙ ＝ ｉｙ ｉ － 。 （） ２
异常。
移动 曲面拟合 法 是 一 种 局部 逼 近 的方 法 ， 模 型 其 与 曲面拟合 模 型基本相 同。其基 本思想 是 以每一 个 内 插点 为 中心 ， 利用 内插 点周 围数据 点高程 异 常值 ， 用 应 最小 二乘原 理建 立 一个 拟 合 曲面 ， 这个 曲 面在 内插 而