空间两直线的位置关系

L0 L0
公垂线 可以看作由过点 M1 ，以 v1, v1 v2 为方位矢量 的平面及过点 M 2 ，以 v2 , v1 v2 为方位矢量的平面的交
线。 因此，公垂线 的方程为：


x x1 X1

Y1
Z1
y y1
Y1 Z1 X1
z z1
Z1 0 X1 Y1
v1
aa bb cc 1 dd
OM与OM 共线 即 直线 MM 通过原点O。
P。133 9。（1）解：
z
直线1：
z z

5x 4x

6 3

x z

9 39
直线2：z z
2x 4
3y 5
x 3

y3 2

z4 6
M
d M1M 2 (v1 v2 )

4 2
v1 v2
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02 02 22 2

（3）将数据代入公垂线方程，
得

x x1 X1
x 0 y 0 z (1)

Y1
Z1

1
1
0 0 Y2 Z2

0
0
2
x x2
x 1 y 1 z 1
X2
1 1 0 0
Y1 Z1
002
Y2 Z 2
y y1 Y1
Z1 X1 Z2 X2
y y2 Y2
Z1 X1 Z2 X2
z z1 Z1 0
X1 Y1 X 2 Y2
z z2 Z2 0
X1 Y1 X 2 Y2
x y 0
即 x y 0
它也可表示为：
这条公垂线的方程就是z轴。
v1
N1
N2 v2
L0
M1 M2
L1
L2
因此，两异面直线之间的距离
d

N2 N1

M 2M1 (v1 v2 ) v1 v2
x1 x2 y1 y2 z1 z2
X1
Y1
Z1

X2
Y2
Z2
Y1
Z1 2 Z1
X1
2

X1
Y1 2
Y2 Z2 Z2 X 2 X 2 Y2
两直线的公垂线方程
L1 : A1x B1y C1 0
L2 : A2x B2 y C2 0
若两直线相交，那么过交点的所有直线的集合叫做中心直 线束，那个点叫做直线束的中心。
若两直线平行，所有与它们平行的直线的集合叫做平行直 线束，这些直线确定的方向叫做直线束的方向。
方程 l( A1x B1 y C1) m( A2 x B2 y C2 ) 0
:
x 1 1
y 1 1

z 1 0
（1）证明：两直线为异面直线；
（2）求两直线间的距离；（3）求两直线的公垂线方程。
解：（1）
1 0 1 0 1 (1)
1 1 0 4 0,
两直线异面
11
0
（2） v1 v2 {1,1,0}{1,1,0} {0,0,2)
面 即：三矢量的混合积为0。
x2 x1 y2 y1 z2 z1
M2
L2
v2
X1
Y1
Z1 0
X2
Y2
Z2
v1
1。相交： 0, X1 :Y1 : Z1 X 2 :Y2 : Z2 M1
L1
2。平行： 0, X1 :Y1 : Z1 X 2 :Y2 : Z2 x2 x1 : y2 y1 : z2 z1
解： 过直线L的平面束方程为：
l(2x y 2z 1) m(x 2y z 2) 0
即： (2l m)x (l 2m) y (2l m)z (l 2m) 0 （1）
由于所求平面与已知平面垂直，因此
(2l m) (l 2m) (2l m) 0 即 l 2m 0 取 l 2, m 1 代入（1），得 3x 3z 4 0
解： D1 D2 0
作业：P。134 2。
3。8
平面束
定义：有轴平面束
空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴 平面束，并称L那条直线为平面束的轴。
定理：如果两个平面 1 : A1x B1 y C1z D1 0 2 : A2x B2 y C2z D2 0
3。重合： 0, X1 :Y1 : Z1 X 2 :Y2 : Z2 x2 x1 : y2 y1 : z2 z1
x2 x1 4。两直线异面的充要条件是： X1
X2
y2 y1 Y1 Y2
z2 z1
Z1 0
Z2
两直线的夹角： (L1, L2 ) (v1, v2 )或 (v1, v2 )
交于一条直线L， 那么，以L为轴的有轴平面束的方程是：
l( A1x B1 y C1z D1) m( A2x B2 y C2z D2 ) 0
其中 l 和 m 是不全为零的实数（证见P。135~136）。
在求解具体问题时，有轴平面束的方程常写成：
A1x B1y C1z D1 ( A2x B2 y C2z D2 ) 0 ( 1)
因此，所求直线的方程为：
32 6
x9

y

2 9

z
39
8
7
1
P。133
9。（2）解：
L1
:
x

y

2t 3t

3 5,
L2
:
x

y

5t 4t
10 7
z t
z t
设所求直线L与 L1 的交点为P，它所对应的参数为 t1
L与 L2 的交点为Q，它所对应的参数为 t2
x 1 2

y2 1

z 3 4
都相交的直线的方程。
M1
L1
M2
v
p
解： L1 过 M1(0,0,0) ，L2 过 M 2 (1,2,3)
设所求直线的方向矢量为v=(X,Y,Z),
L2
则 M1P {1,1,1}, n1 {1,2,3}, v {X ,Y , Z}共面,
M 2P {0,1,2}, n2 {2,1,4}, v {X ,Y , Z}共面
M 0M1 {x1 x0 , y1 y0 , z1 z0}
d
具体计算公式见P。134
M 0 (x0 , y0 , z0 )
L
v
习题讲解
P。134 1。直线

A1x A2 x

B1 y C1z D1 0 B2 y C2z D2 0
通过原点的条件是什么？
P.133 10 作业：P.132 2.(1); 3.(1),(3); 4; 5.(2);
过P（2，1，0）作平面垂直已知直线，其方程为：
3(x 2) 2( y 1) 2(z 0) 0
即： 3x 2y 2z 8 0
3x 2y 2z 8 0
直线和平面的交点M可由联立方程：x 5 y z 25 t
显然，两相交或重合直线的距离为零。两平行直线的距离 等于其中一直线上的任一点到另一直线的距离。
与两异面直线都垂直相交的直线叫做两异面直线的公垂 线。两异面直线的距离就等于它们的公垂线夹于两异面 直线间线段的长。
N2 N1

射影 L0
M 2M1
射影v1v2 M 2M1
M 2M1 (v1 v2 ) v1 v2
x 0

y

0
习题讲解
P。132
1。 解：
X轴的方程为：
y 0 z 0
A1x D1 0
将它代入已知直线的方程，得：

A2
x

D2

0
（*）
（1） 当 A1, A2 不全为0，且 A1 D1 0
A2 D2
此时方程组 （*）中 只有一个独立方程。 因此，方程（*）有唯一解，即x轴与已知直线相交。
其中 l 和 m 是不全为零的实数,且
A1 B1 C1 m （否则左端恒为零）
A2 B2 C2
l
（2）由平面 : Ax By Cz d 0
所决定的平面束的方程是 Ax By Cz 0
其中 为任意实数。（这是常用的形式）
空间“有轴平面束”和“平行平面束”这两个概念，退 化到平面上，有“中心直线束”和“平行直线束”的概 念中：心直线束： 如果给定了平面上的两条直线，
3.6
空间两直线的相关位置
空间两直线的相关位置：
设直线 L1 过点 M1(x1, y1, z1) ，其方向矢量为 v1 {X1,Y1, Z1}
直线 L2 过点 M 2 (x2 , y2 , z2 )，其方向矢量为 v2 {X 2,Y2, Z2}
L1 和 L2 两直线共面的充要条件是： v1, v2 和 M1M 2 三个矢量共
v2
N
L1
vy
o
x
L0
L2
直线2过点N（0，-3，-4），其方向矢量 v2 {3,2,6}
设所求直线的方向矢量为v,因v// L0 ,所以v={8,7,1},它与直线1
的交点设为M（9，b，39）,
9 0 b 3 39 4
注意到NM，v, v2 共面，因此 8
7
1 0
解之，得
b 2 9
直线L： x x0 y y0 z z0
X
Y
Z
与点 M (x1, y1, z1)
（1）点M在直线L上，即点M的坐标满足直线L的方程；
（2）点M在不直线L上，即点M的坐标不满足直线L的方程；
求点M到直线L的距离：
d M 0M1 v 其中：v={X,Y,Z}, v
M1(x1, y1, z1)
当两直线相交时，表示中心直线束，其中 l, m 不全为零；
当两直线平行时，表示平行直线束，其中 A1 B1 C1 m
A2 B2 C2
l
下例用“有轴平面束”概念来求解是非常方便的。
例1：求通过直线L：2xx2
y y

2z 1 0 z20
且与平面
x y z 1 0 相垂直的平面方程。
解出， 得：
3 2 2
t0


57 17
,
x0

86 17
,
y0

114 17
,
z0


311 17
MP为所求直线。 其方向向量为：v {120,131,311}
所求直线方程为： x 2 y 1 z 120 131 311
3.7
空间直线与点的相关位置
空间直线与点的相关位置：
即：
cos
(L1,
L2
)


v1 v2 v1 v2
因此，在直角坐标糸中，
cos(L1, L2 )
X1X 2 Y1Y2 Z1Z2
X
2 1

Y12

Z12
X
2 2
Y22

Z22
两直线垂直的充要条件是：
X1X 2 Y1Y2 Z1Z2 0
两异面直线的距离
空间两直线上点的最短距离叫做两条直线之间的距离。
由 1 1 1 0 1 2
1 2 3 0, 2 1 4 0
XYZ X Y Z
即
X X
2Y 2Y

Z Z

0 0
可得：X：Y：Z=0：1：2 所求直线的方程为：
x 1 y 1 z 1 012
例2。已知两直线
L1 :
x 1

y 1
z 1 0 , L2
平行平面束
空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平 行平面束。
（1）如果两个平面 1 : A1x B1 y C1z D1 0 2 : A2x B2 y C2z D2 0
为平行平面，那么，平行平面束的方程是：
l( A1x B1 y C1z D1) m( A2x B2 y C2z D2 ) 0
（2）当 A1 A2 0 且 D1, D2 不全为0，方程（*）
为矛盾方程，无解。因此，x轴与已知直线平行。
（3）当 A1 A2 D1 D2 =0，方程（*）为恒等式，
方程（*）有无穷多解。因此，x轴与已知直线重合。
P。133 6。
解： cos (OM ,OM ) OM OM OM OM
Y2 Z2 Z2 X 2 X 2 Y2
N1
L1
M1
N2 v2 M2
x x2 X2
y y2 Y2
z z2 Z2 0
L0
L2
Y1 Z1 Z1 X1 X1 Y1
Y2 Z 2 Z 2 X 2 X 2 Y2
例1。求通过点P（1，1，1）且与两直线
L1
:
x 1

y 2

z 3 , L2
:
则交点P的坐标为： (2t1 3,3t1 5,t1)
交点Q的坐标为： (5t2 10,4t2 7,t2 )
QP就是所求直线的方向矢量，即：
2t1 5t2 13 3t1 4t2 12 t1 t2
解之，得：t1
8
25 2
,t2


627 3
1
由此可求出直线L的方程。