推导两条平行线间距离公式的若干方法

Ａ ｜Ｂ｜
ｃｏｓ-＝－ ｓｉｎ.＝－ ｔｇ/ ＝ Ｂ
＝ －Ａ
√１＋ｔｇ２0 √Ａ２＋Ｂ２ √Ａ２＋Ｂ２
ｓｉｎ1＝ｃｏｓ2＝ １ ＝ ｜Ｂ｜ ＝ － Ｂ √１＋ｔｇ２3 √Ａ２＋Ｂ２ √Ａ２＋Ｂ２
（ ２） 当 4 为 钝 角 时（ ｔｇ5＝－ Ａ ＜ ０ 不妨设 Ａ＞ Ｂ
０， Ｂ＞ ０） 有 6＝7－ ９０°（ 图 ３） 得到的结果和上述形
观察、反思、总结， 发现问题， 解决问题， 从而达到
培养学者的自学能力， 思维能力， 应用能力和创
新 能 力 的 目 的 。 对 培 养 学 者 勇 于 探 索 、善 于 研 究
的精神， 挖掘其非智力因素资源， 起到无足轻重
的作用。
参考文献： ［１］于 琛．数 学 问 题 的 解 决［Ｍ］．长 春 ： 东 北 师 范 大 学 出 版社， ２０００． ［２］董 培 仁．一 个 最 优 化 问 题 的 多 角 度 探 求 ［Ｊ］．数 学 通 报， ２００５（ ２） ． ［３］周 华 生 ， 夏 国 良．转 换 与 化 归 ［Ｊ］．数 理 化 学 习（ 高 中 版） ， ２００４（ １１） ． ［４］张 惠 良 ． 一 道 课 本 例 题 的 教 学 设 计 ［Ｊ］． 数 学 通 报 ， ２００４（ ０１） ． ［５］李 盘 喜 ， 祝 承 亮 ， 隋 福 林．高 中 数 学 解 题 题 典［Ｍ］．长 春： 东北师范大学出版社， １９９９． ［６］陈天雄．一道高考解析几 何 试 题 的 引 申 及 推 广［Ｊ］． 数学通报， ２００２（ ０６） ．
关键词：参数方程 转化 距离 函数 数学思想
１ 引言 研究两条平行线间距离的一个重要公式
是点到直线的距离公式。推导此公式不仅完善 了两条直线的位置关系这一知识体系， 而且也 为将来用代数方法研究曲线的几何性质奠定 了基础。而更重要的是， 通过不同方法推导此 公式， 能使学者在探索过程中深刻地领悟到蕴 涵于公式推导中的重要的数学思想和方法， 学 会利用数学思想和不同方法， 由浅入深， 举一 反三， 由特殊到一般地研究数学问题， 培养学 者浓厚的数学兴趣。 ２ 分析
快速提高数学素质的有效途径有：（ １） 要善于概 括和总结， 使零乱的知识系统化、条理化。（ ２） 要善于 联想， 举一反三， 培养发散思维。学会从不同的角度 发现和思考问题， 加强知识间的联系， 提高了运用知 识分析问题解决问题的能力。下面从不同角度思考 两条平行线间的距离问题， 得到几种用初等数学知 识推导两条平行线间的距离公式的方法。
式相同， 将此结果代入①得：
｜ｔ｜＝
｜Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ｜
Ａ２
Ｂ２
｜
＋
＝ ｜Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ｜ ｜ √Ａ２＋Ｂ２
√Ａ２＋Ｂ２ √Ａ２＋Ｂ２
４ 结束语
通过两条平行线间距离公式的不同推导， 领
会渗透于公式推导中的数学思想（如化归思想、数
形结合、分类讨论等数学思想）， 掌握用数学思想
来研究数学问题的方法。是学者在实践中探索、
∴｜ＰＱ｜＝｜ＰＭ｜ｃｏｓ∠ＭＰＱ＝｜ Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ ·｜ ｜Ｂ｜
Ｂ
√Ａ２＋Ｂ２
＝ ｜Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ｜ √Ａ２＋Ｂ２
３．３ 函数法
点 Ｐ 到直线 ｌ 上任意一点的距离的最小值
就是点 Ｐ 到直线 ｌ 的距离。在 ｌ 上取任意点 Ｑ（ ｘ， ｙ） ， 用两点的距离公式有 ｜ＰＱ｜２＝（ ｘ－ ｘ０） ２＋（ ｙ－ ｙ０） ２。
第 １７ 卷第 １ 期 Ｖｏｌ．１７．１
青海师范大学民族师范学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｉｎｏｒｉｔｉｅｓ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｑｉｎｇｈａｉ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
２００６ 年 ５ 月 Ｍａｙ．２００６
推导两条平行线间距离公式的若干方法
辛金伟 １ 曹玉林 ２
已知点 Ｐ （ ｘ０， ｙ０） ， 直线 ｌ： Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０，（ Ａ≠０， Ｂ ≠０ ） ， 求点 Ｐ 到直线（ 一般直线） ｌ 的距离。
收稿日期： ２００５－ ０６－ ２４ 作者简介： 辛金伟（１９７３－ ）， 男， 土族， 青海民和县人， 青海省民和县中川学区二级教师。
曹玉林（１９７０－ ）， 男， 土族， 青海化隆县人， 青海师范大学民族师范学院计算机系讲师， 硕士研究生。
７１
辛金伟、曹玉林： 推导两条平行线间距离公式的若干方法
３．１ 定义法 根据定义， 点 Ｐ 到直线 ｌ 的距离是点 Ｐ 到直
线 ｌ 的垂线段的长， 如图 １， 设点 Ｐ 到直线 ｌ 的垂 线为 ｌ， 垂足为 Ｑ， 由 ｌ＇⊥ｌ 可知 ｌ＇ 的斜率为 Ｂ 。
Ａ
ｙ▲ Ｐ
Ｑ
ｌ
ｌ＇ ｘ!
图１
Ｂ ∴ｌ＇ 的方程： ｙ－ ｙ０＝ （ｘ－ ｘ０）与 ｌ 联立方程组。
Ａ
解得交点 Ｑ（ Ｂ２ｘ０－ ＡＢｙ０－ ＡＣ ， Ａ２ｙ０－ ＡＢｘ０－ ＢＣ ）
Ａ２＋Ｂ２
Ａ２＋Ｂ２
｜ＰＱ｜２＝（
Ｂ２ｘ０－ ＡＢｙ０－ ＡＣ Ａ２＋Ｂ２
－ ｘ０）
２＋（
Ａ２ｙ０－ ＡＢｘ０－ ＢＣ Ａ２＋Ｂ２
－
ｙ０）
２
＝（ － Ａ２ｘ０－ ＡＢｙ０－ ＡＣ ） ２＋（ － Ｂ２ｙ０－ ＡＢｘ０－ ＢＣ ） ２
计出有利于学者参与教学的内容组织形式和方法。 因此， 没有像教材中的那样直接作辅助线， 而是对教 学内容进行剪裁、重组和铺垫， 构建出在探索结论过 程中侧重于学者能力培养的一系列教学环节， 采用 将一般转化到特殊等的方法， 引导学者通过对特殊 的 直观图形的 观 察 、研 究 ， 自 己 发 现 隐 藏 其 中 的 Ｒｔ △， 从而解出 ｜ＰＱ｜。在此基础上进一步将特殊问题还 原到一般， 学者便十分自然地想在坐标系中探寻含 ＰＱ 的 Ｒｔ△， 找不到， 自然想构造， 此时再过 Ｐ 点作 ｘ 轴或 ｙ 轴的平行线就显得“瓜熟蒂落， 水到渠成”了。 本文力求以启迪思维为核心， 给出能启发学者思维 的几种方法来推导公式。 ３ 推导方法
∴｜ＰＭ｜＝｜ｙ０＋ Ａｘ０＋Ｃ ｜＝｜ Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ ｜
Ｂ
Ｂ
易得∠ＭＰＱ＝"（ 图 ２） 或∠ＭＰＱ＝１８０°－ #（ 图 ３）
在两种情况下都有 ｔｇ２∠ＭＰＱ＝ｔｇ２$＝ Ａ２ ， 所以 Ｂ２
ｙ▲ Ｐ
·
ｌ
ｌ ｙ▲ Ｐ
ＭＱ !ｘ
ＱＭ ! ｘ
图２
图３
ｃｏｓ∠ＭＰＱ＝ １ ＝ ｜Ｂ｜ √１＋ｔｇ２ √Ａ２＋Ｂ２
重点是“公式 的推导和应 用”， 难点是“公 式的推导”， 关键是“怎样想到利用坐标系中的 ｘ 轴或 ｙ 轴构造 Ｒｔ△， 从而推出公式”。对于这 个问题， 教材中的处理方法是： 直接作辅助线。 这样做， 无法展现为什么会想到要构造 Ｒｔ△这 一最需要学者探索的过程， 不利于学者完整地 理解公式的推导和掌握与之相应的丰富的数 学思想方法。若照本宣科， 则不能摆脱在客观 上对学者进行灌注式教学。事实上， 为了真正 实现以学者为主体的教学， 起关键作用的是设
（ １．青海民和县中川学区 青海民和 ８１００１８ ２．青海师范大学民族师范学院 青海西宁 ８１０００８） 摘 要：通过不同方法推导两条平行线间的距离公式， 能使学者在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要 的 数 学 思 想
和方法， 学会利用数学思想和推导方法， 由浅入深， 单一反三， 由特殊到一般地研究和解决数学问题， 从而达到培养学者的自学能力， 思 维能力， 应用能力和创新能力的目的。
为 了 利 用 条 件 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０ 上 式 变 形 一 下 ，
配凑系数处理得： （ Ａ２＋Ｂ２） （［ ｘ－ ｘ０） ２＋（ ｙ－ ｙ０） ２］ ＝Ａ（２ ｘ－ ｘ０） ２＋Ｂ（２ ｙ－ ｙ０） ２＋Ａ（２ ｙ－ ｙ０） ２＋Ｂ（２ ｘ－ ｘ０） ２ ＝［Ａ（ ｘ－ ｘ０） ＋Ｂ（ ｙ－ ｙ０） ］２＋［Ａ（ ｙ－ ｙ０） － Ｂ（ ｘ－ ｘ０） ］２
（ 责任编辑： 马建萍）
７３wk.baidu.com
Ａｘ０＋Ａｔｃｏｓ#＋Ｂｙ０＋Ｂｔｓｉｎ$＋Ｃ＝０ 整理后得 ｜ｔ｜＝ Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ …………①
－ Ａｃｏｓ%－ Ｂｓｉｎ&
当 ｌ ＇⊥ｌ 时， 我们讨论 ’ 与 ｌ 的倾斜角 ( 的关
系：
（ １） 当 ) 为锐角时（ ｔｇ*＝－ Ａ ＞ ０ 不妨设 Ａ＞ ０， Ｂ
Ｂ＜ ０） 有 +＝９０°＋,（ 图 ２）
#［Ａ（ ｘ－ ｘ０） ＋Ｂ（ ｙ－ ｙ） ］２＝（ Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ） ２ ∵Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０
∴√（ ｘ－ ｘ０） ２＋（ ｙ－ ｙ０） ２ $ ｜Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ｜ ， 当且仅当 √Ａ２＋Ｂ２
Ａ（ ｙ－ ｙ０） － Ｂ（ ｘ－ ｘ０） ＝０ 时取等号。
所以最小值就是 ｄ＝ ｜Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ｜ √Ａ２＋Ｂ２
３．４ 三角形法
过点 Ｐ 作 ＰＭ∥ｙ 轴， 交 ｌ 于 Ｍ， 过点 Ｐ 作
ＰＮ∥ｘ 轴， 交 ｌ 于 Ｎ（ 图 ４）
图４
７２
辛金伟、曹玉林： 推导两条平行线间距离公式的若干方法
由解法 ３．２ 知 ｜ＰＭ｜＝｜ Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ ｜ Ｂ
同理得
｜ＰＮ｜＝｜ Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ ｜ Ａ
在 Ｒｔ△ＭＰＮ 中， ＰＱ 是斜边上的高
∴｜ＰＱ｜＝ ｜ＰＭ·｜ ｜ＰＮ｜ ＝ ｜Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ｜ √｜ＰＭ｜２＋｜ＰＮ｜ ２ √Ａ２＋Ｂ２
３．５ 参数方程法
!ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓ!
过点 Ｐ（ ｘ０， ｙ０） 作直线 ｌ ＇：
交直线 ｌ
ｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎ"
于点 Ｑ （ 图 １） 。由直线参 数 方 程 的 几 何 意 义 知
｜ｔ｜＝｜ＰＱ｜， 将 ｌ ＇ 代入 ｌ 得：
Ａ２＋Ｂ２
Ａ２＋Ｂ２
Ａ（２ ＝
Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ） ２＋Ｂ（２
Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ） ２
（ Ａ２＋Ｂ２） ２
＝（ Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ） ２ Ａ２＋Ｂ２
∴｜ＰＱ｜＝ ｜Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ｜ √Ａ２＋Ｂ２
３．２ 转化法
设直线 ｌ 的倾角为 !， 过点 Ｐ 作 ＰＭ∥ｙ 轴交 ｌ
于 Ｍ（ ｘ１， ｙ１） 显然 ｘ１＝ｘ０， 所以 ｙ１＝－ Ａｘ０＋Ｃ Ｂ