任意角 说课稿 教案

任意角和弧度制

●三维目标

1．知识与技能

(1)理解任意角(正角、负角、零角)的概念、象限角与区间角的概念．

(2)掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角．

2．过程与方法

借助于角、直角坐标系和单位圆等工具来引导学生了解任意角的概念，引导学生用数形结合的思想方法来认识问题．

3．情感、态度与价值观

(1)通过对角的概念的探究提高学生的推理能力．(2)通过本节学习和运用实践，培养学生应用意识，体会数学的应用价值．

将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？

【提示】有顺时针和逆时针两种旋转方向．

1．定义

角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．分类

正角、负角与零角

正角：按逆时针方向旋转形成的角；

负角：按顺时针方向旋转形成的角；

零角：一条射线没有作任何旋转形成的角．

知识2象限角

【问题导思】

把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？

【提示】终边可能落在坐标轴上或四个象限内．

在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．

象限角：终边在第几象限就是第几象限角；

轴线角：终边落在坐标轴上的角．

知识3终边相同的角

【问题导思】

30°，390°，750°，…，30°＋k·360°(k∈Z)的角的终边有什么关系？

【提示】相同．

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

类型1角的基本概念

例1下列命题

①第一象限角一定不是负角；

②第二象限角大于第一象限角；

③第二象限角是钝角；

其中不正确的序号为________．

【思路探究】解答本题可根据角的大小特征，位置特征进行判断．

【自主解答】①－330°角是第一象限角，但它是负角，所以①不正确．

②120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，显然390°＞120°，所以②不正确．

③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确．

④0°角是小于180°角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．

【答案】①②③④

1．解决此类问题关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．

2．判断结论正确与否时，若要说明结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可．

下列说法正确的是()

A．锐角是第一象限角

B．钝角比第三象限角小

C．三角形的内角必为第一、二象限角

D．小于90°的角都是锐角

【解析】－100°是第三象限角，但－100°<90°，故B错；90°角是直角三角形的内角，但它既不在第一象限，也不在第二象限，故C错；－30°小于90°，不是锐角，故D错．【答案】 A

类型2终边相同的角

例2已知角α＝2 010°

(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.

【思路探究】先求出β，判断角α所在的象限，用终边相同的角表示θ满足的不等关系，求出k和θ.

【自主解答】(1)由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°.

∴取k＝5，β＝210°，

α＝5×360°＋210°.

又β＝210°是第三象限角，

∴α为第三象限角．

k·360°＋2 010°(k∈Z)．

令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)，

解得－67

12≤k<－37

12(k∈Z)．

所以k＝－6，－5，－4.

将k的值代入k·360°＋2 010°中，

得角θ的值为－150°，210°，570°.

1．把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)也可用除法．

2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．

若将例题中“角α＝2 010°”，改为“α＝－315°”，其他条件不变，结果如何？ 【解】 (1)用－315°除以360°商为－1，余数为45°， ∴k ＝－1，β＝45°， 因此α＝－360°＋45°， ∴α是第一象限角．

(2)与－315°终边相同的角：k ·360°－315°(k ∈Z )， 令－360°≤k ·360°－315°<720°(k ∈Z )， 解得－18≤k <23

8(k ∈Z )，

所以k ＝0,1,2.

将k 值代入k ·360°－315°中， 得所求角为－315°，45°和405°.

类型3

象限角与区域角的表示

例3如图1－1－1，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )

图1－1－1

A ．{α|k ·360°＋30°<α

B ．{α|k ·180°＋150°<α

C ．{α|k ·360°＋150°<α

D ．{α|k ·360°＋30°<α

【思路探究】 找出0°～360°内阴

影部分的角的集合――→＋k ·360°

(k ∈Z )适合题意的角的集合

【自主解答】 在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以在终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k ·360°＋150°<α