任意角 说课稿 教案

任意角和弧度制

●三维目标

1．知识与技能

(1)理解任意角(正角、负角、零角)的概念、象限角与区间角的概念．

(2)掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角．

2．过程与方法

借助于角、直角坐标系和单位圆等工具来引导学生了解任意角的概念，引导学生用数形结合的思想方法来认识问题．

3．情感、态度与价值观

(1)通过对角的概念的探究提高学生的推理能力．(2)通过本节学习和运用实践，培养学生应用意识，体会数学的应用价值．

将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？

【提示】有顺时针和逆时针两种旋转方向．

1．定义

角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．分类

正角、负角与零角

正角：按逆时针方向旋转形成的角；

负角：按顺时针方向旋转形成的角；

零角：一条射线没有作任何旋转形成的角．

知识2象限角

【问题导思】

把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？

【提示】终边可能落在坐标轴上或四个象限内．

在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．

象限角：终边在第几象限就是第几象限角；

轴线角：终边落在坐标轴上的角．

知识3终边相同的角

【问题导思】

30°，390°，750°，…，30°＋k·360°(k∈Z)的角的终边有什么关系？

【提示】相同．

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

类型1角的基本概念

例1下列命题

①第一象限角一定不是负角；

②第二象限角大于第一象限角；

③第二象限角是钝角；

其中不正确的序号为________．

【思路探究】解答本题可根据角的大小特征，位置特征进行判断．

【自主解答】①－330°角是第一象限角，但它是负角，所以①不正确．

②120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，显然390°＞120°，所以②不正确．

③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确．

④0°角是小于180°角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．

【答案】①②③④

1．解决此类问题关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．

2．判断结论正确与否时，若要说明结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可．

下列说法正确的是()

A．锐角是第一象限角

B．钝角比第三象限角小

C．三角形的内角必为第一、二象限角

D．小于90°的角都是锐角

【解析】－100°是第三象限角，但－100°<90°，故B错；90°角是直角三角形的内角，但它既不在第一象限，也不在第二象限，故C错；－30°小于90°，不是锐角，故D错．【答案】 A

类型2终边相同的角

例2已知角α＝2 010°

(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.

【思路探究】先求出β，判断角α所在的象限，用终边相同的角表示θ满足的不等关系，求出k和θ.

【自主解答】(1)由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°.

∴取k＝5，β＝210°，

α＝5×360°＋210°.

又β＝210°是第三象限角，

∴α为第三象限角．

k·360°＋2 010°(k∈Z)．

令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)，

解得－67

12≤k<－37

12(k∈Z)．

所以k＝－6，－5，－4.

将k的值代入k·360°＋2 010°中，

得角θ的值为－150°，210°，570°.

1．把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)也可用除法．

2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．

若将例题中“角α＝2 010°”，改为“α＝－315°”，其他条件不变，结果如何？ 【解】 (1)用－315°除以360°商为－1，余数为45°， ∴k ＝－1，β＝45°， 因此α＝－360°＋45°， ∴α是第一象限角．

(2)与－315°终边相同的角：k ·360°－315°(k ∈Z )， 令－360°≤k ·360°－315°<720°(k ∈Z )， 解得－18≤k <23

8(k ∈Z )，

所以k ＝0,1,2.

将k 值代入k ·360°－315°中， 得所求角为－315°，45°和405°.

类型3

象限角与区域角的表示

例3如图1－1－1，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )

图1－1－1

A ．{α|k ·360°＋30°<α

B ．{α|k ·180°＋150°<α

C ．{α|k ·360°＋150°<α

D ．{α|k ·360°＋30°<α

【思路探究】 找出0°～360°内阴

影部分的角的集合――→＋k ·360°

(k ∈Z )适合题意的角的集合

【自主解答】 在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以在终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k ·360°＋150°<α

【答案】 C

1．先在－360°～360°范围内确定区域角起止边界处角，再把端点处加上360°的整数倍即得．

2．区域角的表示问题，遵循先从特殊再到一般的规律写出，即先选择一个合适的角度为360°区间，写出落在阴影部分的角的集合，然后再在端点处加上周角的整数倍表示终边落在阴影区域内的角的集合．注意结果尽量表示为一个连续区间．

写出下图1－1－2中阴影部分(不含边界)表示的角的集合．

图1－1－2

【解】 在－180°～180°内落在阴影部分角集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角集合为{α|－45°＋k ·360°<α<45°＋k ·360°，k ∈Z }．

忽视象限角范围致误

若α是第二象限角，试确定2α、α

2

是第几象限角．

【错解】 由题意得90°<α<180°， 所以有180°<2α<360°， 45°<α2

<90°.

故有2α为第三象限角、第四象限角或终边在y 轴非正半轴上角，α

2为第一象限角．

【错因分析】 致错原因是把α是第二象限角范围误认为是大于90°而小于180°，而应是{α|90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z }才完整．

【防范措施】 正确理解象限角的含义及范围是避免此类错误的关键． 【正解】 (1)由题意得

90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )， ① ∴180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°(k ∈Z )．

故2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴上的角． (2)由①得45°＋k ·180°<α

2

<90°＋k ·180°(k ∈Z )，

当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得

45°＋n ·360°<α

2

<90°＋n ·360°(n ∈Z )，

故α

2

是第一象限角． 当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )得

45°＋180°＋n ·360°<α

2<90°＋180°＋n ·360°(n ∈Z )，

即225°＋n ·360°<α

2

<270°＋n ·360°(n ∈Z )，

故α

2

为第三象限角． 综上可知α

2

为第一或第三象限角．

课堂小结

1．理解任意角的概念要抓住四个要素：顶点、始边、终边和射线的旋转方向． 2．象限角的确定依赖于角的终边位置的确定，要注意对表达式中的k 进行分类讨论，以确定角的终边的位置．

3．熟练掌握终边相同的角的公式及应用，明确象限角的概念与内涵是解题的依据.

1．将射线OM 绕端点O 按逆时针方向旋转120°所得的角为( ) A ．120° B ．－120° C ．60°

D ．240°

【解析】 由于射线OM 绕O 逆时针旋转，故所得角为正角120°. 【答案】 A

2．(2013·开封高一检测)下列各角中，与角330°的终边相同的角是( ) A ．510° B ．150° C ．－150°

D ．－390°

【解析】 与330°终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝330°＋k ·360°，k ∈Z }， 当k ＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D. 【答案】 D

3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式是________． 【解析】 －885°＝－1080°＋195°＝(－3)×360°＋195°. 【答案】 195°＋(－3)×360°

4．如果θ为小于360°的正角，θ的4倍角的终边与θ的终边重合，求θ的值．

【解】依题意4θ＝k·360°＋θ，且0°<θ<360°，

∴θ＝k·120°.

取k＝1或k＝2，∴θ＝120°或θ＝240°.

一、选择题

1．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C关系是() A．B＝A∩C B．B∪C＝C

C．A C D．A＝B＝C

【解析】锐角大于0°小于90°，故C B，选项B正确．

【答案】 B

2．把－1 485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()

A．45°－4×360°B．－45°－4×360°

C．－45°－5×360°D．315°－5×360°

【解析】B、C选项中α不在0°～360°范围内，A选项的结果不是－1 485°，只有D 正确．

【答案】 D

3．若α是第二象限角，则180°－α是()

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角 D. 第四象限角

【解析】可借助于取特殊值法，取α＝120°，则180°－120°＝60°.

【答案】 A

4．若α与β的终边互为反向延长线，则有()

A．α＝β＋180°

B．α＝β－180°

C．α＝－β

D．α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z

【解析】α与β的终边互为反向延长线，则两角的终边相差180°的奇数倍，可得α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z.

【答案】 D

5．以下命题正确的是()

A．第二象限角比第一象限角大

B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A B

C ．若k ·360°<α

D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 【解析】 A 不正确，如－210°<30°.

在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴A B ，∴B 正确．

又C 中，α为第一或第二象限角，或在y 轴的非负半轴上，∴C 不正确，显然D 不正确． 【答案】 B 二、填空题

6．(2013·哈尔滨高一检测)与－2 002°终边相同的最小正角是________．

【解析】 与－2 002°终边相同的角的集合为{β|β＝－2 002°＋k ·360°，k ∈Z }，与－2 002°终边相同的最小正角是当k ＝6时，β＝－2 002°＋6×360°＝158°.

【答案】 158°

7．若将时钟拨慢5分钟，则分针转了________度，时针转了________度．

【解析】 拨慢时针为逆时针形成正角，分针每分钟转过的度数为360°60＝6°，5分钟转

过30°，时针每分钟转过的度数为30°

60

＝0.5°，5分钟转过2.5°.

【答案】 30 2.5

8．(2013·哈尔滨高一检测)在四个角－20°，－400°，－2 000°，600°中，第四象限的角的个数是________．

【解析】 －20°是第四象限的角；－400°＝－360°－40°，也是第四象限的角；－2000°＝(－6)×360°＋160°，是第二象限的角；600°＝360°＋240°，是第三象限的角．所以第四象限的角的个数是2个．

【答案】 2个 三、解答题

9．若角α的终边和函数y ＝－x 的图象重合，试写出角α的集合． 【解】 在0°～360°范围内所对应的两个角分别为135°和315°，

∴终边为y ＝－x 的角的集合是{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋315°，k ∈Z }

＝{α|α＝2k ·180°＋135°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋135°，k ∈Z } ＝{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z }．