高斯公式流量与散度

侧，Σ2取上侧，Σ3取外侧，
于是按三重
积分的计算方法，有
一、高斯公式
图 10-18
一、高斯公式
又由于Σ3上任意一块曲面在xOy面上的投影为零，所以
一、高斯公式
因此
如果穿过Ω内部且平行于x轴的直线以及平行于y轴的直线与Ω 的边界曲面Σ的交点也都恰好是两个，那么类似地可得 这些结果相加便得高斯公式.
二、向量场的流量与散度
其中
则
即
二、向量场的流量与散度
引入向量微分算子
A的散度div A也可以
表达为Δ·A，即div A=Δ·A.
散度具有下列性质：
(1)Δ·(CA)=CΔ·A(C为常数).
(2)Δ·(A+B)=Δ·A+Δ·B.
(3)Δ·(uA)=uΔ·A+Δu·A(u为数量函数).
Байду номын сангаас、向量场的流量与散度
一、高斯公式
注意
对于一般的空间有界闭区域高斯公式均成立.若曲面 Σ与平行于坐标轴的直线的交点多于两个，则用有限个 光滑的曲面将Ω分为有限个满足条件的小闭区域来讨论.
一、高斯公式
【例1】
求 及半球面
闭区域Ω的整个边界曲面的外侧. 解 由题意知P=x,Q=y,R=z,则
其中Σ为锥面 所围成的空间
利用高斯公式，得
高斯公式流量 与散度
一、高斯公式
平面上封闭曲线的曲线积分与其围成的平面区域 上的二重积分之间的关系可用格林公示来表示.下面要 介绍的高斯公式则揭示了封闭曲面上的曲面积分与其 所围成的空间闭区域上的三重积分之间的关系.可以认 为高斯公式是格林公式在三维空间中的推广.
一、高斯公式
定理
设空间区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P （ x,y,z ），Q （ x,y,z ）， R （ x,y,z ），在Ω上具有一阶连 续偏导数，则有
称为向量场A通过曲面Σ向着指定侧的流量（或通量）.如果A是定 常流体（假定密度为1）的速度，则|Q|表示单位时间内穿过Σ流 体的质量.如果Σ是闭曲面，则表示单位时间内通过闭曲面Σ的流体 的质量，它是从Σ流出的流体的质量与流入Σ的流体的质量之差， 表示单位时间内流体从Σ包围的区域Ω内部向外发出的总质量.
二、向量场的流量与散度
设区域的体积为V，则
表示单位时间内区域Ω内单位体积流体的平均发散量,即平均散度. 令Ω收缩到一点M（ x,y,z ），若极限
存在，则称此极限值为向量场A在点M的散度，记为div A(M),即
二、向量场的流量与散度
设有向量场
其中函数P，Q，R均具有一阶连续偏导数，Σ是场内的一片有向 曲面，n是Σ在点x,y,z处的单位法向量，则积分
高斯公式可写成 上述公式表明，向量场A通过闭曲面Σ流向外侧的流量等于 向量场A的散度在闭曲面Σ所围闭区域Ω上的积分.
二、向量场的流量与散度
【例4】
求向量场
穿过曲面
流向外侧的流量.
解设
为Σ上任何一点的切平面的法向量，则由高斯公式知所求的
流量为
谢谢聆听
（10-15） 这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，公式（10 15）称为高斯 公式.
一、高斯公式
证明
先证明 设闭区域Ω在xOy面上的投影区域为Dxy.假设穿过Ω内部 且平行于z轴的直线与Ω的边界曲面Σ的交点恰好是两个，即其 边界曲面Σ由曲面
及以垂直于Dxy边界的柱面Σ3组成（见图10-18），其中Σ1取下
二、向量场的流量与散度
当div A(M)>0时，称点M为源，其值表示源的强度； div A(M)<0时，称点M为洞（或负源），其值表示洞吸收 的强度；当div A (M)=0时，点M既非源又非洞，div A(M)=0的场称为无源场.
散度是一个数量，由向量场A派生出的散度场div A是 数量场.
由高斯公式和积分中值定理得
一、高斯公式
【例2】
求 面z=1－x2－y2(z≥0)的上侧.
解 作辅助平面 平面Σ1与曲面Σ围成空间有界闭区域Ω,故
其中Σ为曲 取Σ1的下侧,则
由高斯公式得
一、高斯公式
而 所以
一、高斯公式
【例3】
求
其中Σ为
的上侧.
解 补充平面
取Σ1的下侧，
则Σ+Σ1构成封闭曲面，设其所围成空间区域为Ω.于是