高斯公式流量与散度
散度定理与高斯公式
散度定理与高斯公式在研究电磁学、流体力学以及热传导等领域时，散度定理和高斯公式是非常重要的数学工具。
它们可以用于描述和解释物质和能量在空间中的流动和分布规律。
本文将深入探讨散度定理和高斯公式的概念、原理和应用，并通过实例展示其在实际问题中的作用。
一、散度定理散度定理又称为高斯散度定理，它是微积分中的一个基本定理。
简单来说，散度定理描述了一个有向闭曲面上向量场的通量与该向量场在该闭曲面所围成的体积之间的关系。
下面我们来详细介绍一下散度定理。
散度定理的数学表述如下：对于向量场F，其连续可微函数，它的定义域为包围体V内的有界区域D，其边界为闭曲面S。
那么散度定理可以表示为：∬S F·dS = ∭V div(F) dV在这里，F·dS表示对于向量场F的通量积分，div(F)表示F的散度。
从散度定理中可以看出，一个向量场的通量积分等于该向量场在体积内的散度的体积分。
散度定理的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1. 流体力学中的应用：通过散度定理可以计算一个流体的流出流量或流入流量，从而在实际应用中可以用于计算管道中的流体流速、流量、压力等参数。
2. 电磁学中的应用：散度定理可以描述电场与磁场的分布规律，并用于计算电场或磁场的总通量。
3. 热传导中的应用：散度定理可以用于描述热流在空间中的传导规律，并用于计算热量的传递率等参数。
二、高斯公式高斯公式又称为高斯定理，它是微积分中的另一个基本定理。
高斯公式是对于散度定理在三维空间中的一种特殊情况，即当闭曲面是一个球面时，散度定理被称为高斯公式。
下面我们来详细介绍一下高斯公式。
高斯公式的数学表述如下：对于向量场F，其连续可微函数，它的定义域为包围体V内的有界区域D，其边界为球面S。
那么高斯公式可以表示为：∬S F·dS = ∭V div(F) dV由高斯公式的形式可知，在计算球面上的通量积分时，等于该向量场在球内的散度的体积分。
高斯公式与散度
第六节
高斯公式与散度
一、高斯(Gauss)公式
二、高斯公式的简单应用
三、物理意义 —— 通量与散度
场论三大公式：
(一) 格林公式
(二)高斯公式
------------------高斯公式
如果不是xy型的空间区域，则可构造几张辅助面， 将分成有限个xy型的空间区域，辅助面上正反两 侧的曲面积分互相抵消，一样可以证得该公式.
由两类曲面积分之间的关系
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
称为向量场 F ( x , y, z )向正侧穿过曲面Σ 的通量 （或
流量）.
2. 散度（或通量密度）的定义: 设向量场 F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k
P Q R 称数量 x y z ( x , y , z ) 为F在点( x , y, z )处的散度(divergence), 记为divF ,
[ P( x, y, z)cos Q( x, y, z)cos R( x, y, z)cos ]dS
由两类曲面积分之间的关系知
P Q R ( )dV x y z ( P cos Q cos R cos )dS .
2 2
32 （答案： ） 3
三、物理意义 —— 通量与散度
1、通量(或流量)的定义:
高斯公式与散度
所以
R Rdx dy z dV .
P 同 理 可 证 Pdy dz dV , x
Q Qdz dx y dV .
故
Pdy dz Qdz dx Rdx dy
P Q R ( )dV . x y z
P Q R z 2z 0 3z. x y z
I (
1 1
)xzdy dz 2 yzdz dx 3 xydx dy
2 y x2 1 4
3 zdV 3
xy dxdy 30 zdz
0 .
注:
（1） Gauss 公式的条件是：封闭、外侧、偏导数连续， 三者缺一不可.
( 2 ) 正确确定P , Q , R 三个函数 , 并注意分别对哪个变 若积分曲面 不 封闭，则添加辅助曲面使之封闭； 量求偏导数; Gauss 公式中的符号应为负号； 当封闭曲面取内侧时，
( 3 ) 令 P x, Q y, R z, 由Gauss 公式得 P Q R Gauss P ,d Q , R , d ,V , 3V ,的 应用 xdy 公式前首先要检验 d z y d z d x z d x y 3 x y z
过有向封闭曲面 外侧的流量 v dS ， 其 中n 为
. ， 所围成的区域为 外 侧的单位法向量
总流量 流出的流量 流入的流量 .
（1） 0 ，流出大于流入，表明 内 有“源” ；
（2） 0 ，流出小于流入，表明 内 有“洞” ；
1
0 6z(1 z )dz
1
2 y x 2 1 z 4
高斯公式通量与散度课件
通过高斯公式，可以对流体的能量进 行分析，了解流体在某一区域的能量 分布情况。
流速场分析
结合高斯公式和压力场，可以对流速 场进行分析，了解流体在某一区域的 流速大小和方向。
04
高斯公式通量与散度的推导
推导高斯公式通量部分
推导过程
利用微分几何中的高斯定理，将三维 空间中的通量转化为曲面上的积分， 再通过坐标变换和代数运算，得到通 量的高斯公式。
详细描述
高斯公式也称为高斯-奥斯特罗格 拉德斯基公式，它表示一个封闭 曲面内的体积等于该曲面所包围 的三维空间的体积的积分。
高斯公式的应用领域
总结词
高斯公式的应用领域包括物理学、工程学和统计学等。
详细描述
在物理学中，高斯公式被广泛应用于电磁学、流体动力学和量子力学等领域。在工程学中，高斯公式被用于解决 各种实际问题，如流体流动、热传导和结构分析等。在统计学中，高斯公式用于概率论和数理统计中的随机变量 和概率分布的计算。
实例三：流体流动的高斯公式应用
总结词
流体流动的特性
详细描述
流体流动具有连续性和不可压缩性，其流线 呈现出特定的规律。高斯公式在流体流动中 的应用，可以用来计算流速和流量。
06
高斯公式通量与散度的扩展思考
高斯公式的推广与应用
推广到多维空间
高斯公式在三维空间中得到了广泛应用，但其实它也可以推广到 更高维度的空间，为解决更复杂的问题提供工具。
总结词
散度是描述矢量场在某一点的发散程度。
详细描述
散度是矢量场的一个重要性质，它描述了矢量场在某一点的发散程度。对于标 量场，散度等于标量场在某一点的梯度的散度；对于矢量场，散度等于矢量场 在某一点的三个分量的散度的和。
通量与散度在物理中的意义
高斯定理的内容及公式
高斯定理的内容及公式高斯定理高斯定理（也称为散度定理）是微积分中重要的定理之一，它描述了向外流过封闭曲面的矢量场的总流量与该矢量场在曲面内部的散度之间的关系。
高斯定理在物理学、工程学和数学中具有广泛的应用。
定理表述高斯定理可以用数学公式来表示如下：∮F S ⋅n dA=∭∇V⋅F dV其中， - ∮S表示对封闭曲面S进行的积分； - F表示矢量场；- n表示曲面元素dA的外向单位法向量； - dA表示曲面S上的面积元素； - ∭V表示对体积V进行的积分； - ∇⋅F表示矢量场F的散度； - dV表示空间中的体积元素。
该定理表述了一个关键的观察结果：向外流过曲面S的总流量等于该矢量场在曲面内部的散度的体积积分。
例子解释下面通过一个例子来解释高斯定理的应用。
假设有一个电场E，我们想计算通过一个封闭曲面S的电场流量。
根据高斯定理，电场流量可以通过计算电场的散度来得到。
假设电场在空间中的散度为∇⋅E=ρ，其中ρ是电荷密度。
根据高斯定理，我们可以得到以下等式：∮E S ⋅n dA=∭∇V⋅E dV左边表示通过封闭曲面S的电场流量，右边表示电场散度的体积积分。
假设曲面S是一个球面，且电场在球内是均匀的。
此时，由于电场的散度是常数，我们可以简化上述公式为：E⋅4πr2=ρ⋅43πr3其中E表示电场强度，r表示球面的半径。
通过这个例子，我们可以看到高斯定理的应用。
它提供了一种计算封闭曲面内部矢量场的性质（如流量、散度等）的方法，从而使我们能够更好地理解和分析物理现象和数学问题。
总结高斯定理是微积分中的重要定理，它描述了向外流过封闭曲面的矢量场的总流量与该矢量场在曲面内部的散度之间的关系。
通过高斯定理，我们能够更好地理解和计算各种物理场的性质。
其应用范围广泛，包括物理学、工程学和数学等领域。
公式的推导高斯定理的推导过程如下：首先，我们考虑一个封闭曲面S，并给曲面上每一个点选取一个面积元素dA，它的法向量记为n。
我们将n⋅dA称为面积元素dA的矢量，它是法向量乘以面积元素的结果。
11.6高斯公式
3 ：母线平行于z 轴的柱面
R dv { z2( x,y) R dz}dxdy
z
z z1 ( x , y )
Dxy
x
2
3
o 1
y
D 1 xy
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy.
Dxy
Q y
R z
=3
（2） Pdydz Qdzdx Rdxdy
divAdv 3dv 108
练习题
1. 设∑是球面x2 + y2 + z2 = a2 的外侧，则向量场
A
{3 xy 2 ,2
y3,
z}
通过∑的通量为
__43___a_3___
dydz cosdS,
曲面Σ：f(x,y,z)=z2+y2-1=0,
dzdx cosdS,
fx=0, fy=2y, fz=2z, 法向量：n (0, y, z),
dxdy cos dS
cos
|
ny
, |
z cos | n |
( y2z z3 )dS zdS
求单位时间内流过曲面Σ 的流量。
在Σ 上任取一小曲面dS,
在dS上任一点处的单位法向
量为：n0 {cos,cos,cos }
dS
则单位时间内流过dS的流量： d
(
A
n0
)dS
[P( x, y, z)cos Q( x, y, z)cos R( x, y, z)cos ]dS
高斯公式通量与散度课件
测市场趋势等。
03
历史发展
高斯公式的起源可以追溯到19世纪初，经过多位数学家的努力，最终由
德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯完善并命名。
高斯公式的未来研究方向
多维高斯公式
目前对高斯公式的讨论主要集中在二 维和三维的情况，对于更高维度的推 广和应用仍需进一步研究。
数值计算方法
与其他数学定理的结合
探索高斯公式与其他数学定理（如格 林公式、斯托克斯公式等）的内在联 系，有助于更深入地理解数学的本质 。
金融预测
在金融领域，高斯公式可以用于预 测市场趋势和风险评估，为投资者 提供决策依据。
THANKS
感谢观看
高斯公式的应用场景
总结词
高斯公式的应用场景包括计算几何形状的体积、解决物理问题以及在科学和工程领域中 的应用。
详细描述
高斯公式在计算几何形状的体积方面有着广泛的应用，例如计算球体、圆柱体和圆锥体 的体积等。此外，高斯公式在解决物理问题中也有着重要的应用，例如计算电场和磁场 的分布以及解决流体动力学问题等。在科学和工程领域中，高斯公式也被广泛应用于各
04
实例分析
实例一：二维平面上的高斯公式应用
总结词
二维平面上的高斯公式应用
详细描述
在二维平面上，高斯公式可以用来计算通量或散度。例如，在电磁学中，高斯公式可以用来计算电场 或磁场通过某个区域的通量。在流体动力学中，高斯公式可以用来计算流体的散度。
实例二：三维空间中的高斯公式应用
总结词
三维空间中的高斯公式应用
判断流动方向
通过高斯公式计算出的散度，可以判 断矢量场的流动方向，对于流体动力 学和气象学等领域具有重要意义。
高斯公式在通量与散度中的综合应用
高数 高斯公式 通量与散度
P d y d z Q d z d x R d x d y
13
v v v , Q u , R u , 由高斯公式得 证 令P u x y z 2v 2v 2v x2 y 2 z 2 v v v x y z
9.4 高斯公式 通量与散度
推广
Green 公式 1.高斯公式
Gauss 公式
Hale Waihona Puke 2.通量与散度1一、高斯公式
定理1 设空间闭区域Ω 是由分片光滑的闭曲面Σ 所 围成，函数P(x，y ，z)、Q(x，y ，z) 、R(x，y ，z) 在Ω 上具有一阶连续偏导数，则有 P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy, (1)
I (
1
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
1
2
xy
8
2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y
I 2 ( x y z ) d xdydz
1
1
封
6
例1 用Gauss公式计算 其中为柱面 及平面z = 0,z = 3所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
Dx y
h d xd y
z
2
利用重心公式, 注意 x y 0
4 2 z d x d ydz h
1 h h
o x
高斯定理的公式
高斯定理的公式高斯定理，又称为高斯散度定理，是微积分中的重要定理之一。
它是由德国数学家高斯于19世纪提出的，用于描述向量场通过封闭曲面的流量与该曲面内部的源和汇的关系。
在物理学和工程学中，高斯定理被广泛应用于电磁学、流体力学、热力学等领域。
高斯定理的公式可以表达为：∮S F·dA = ∭V ∇·F dV，其中S为封闭曲面，F为向量场，dA为面元矢量，∮表示曲面积分，V为曲面所围成的空间，∇·F表示F的散度。
根据高斯定理，当向量场F通过封闭曲面S时，曲面上的流量等于空间内源的总量。
这意味着，如果向量场F在某一点的散度为正，则该点是流出的源，如果散度为负，则该点是流入的汇。
举个例子来说明高斯定理的应用。
假设有一个电荷位于空间中的某一点，那么该电荷产生的电场可以用向量场F来表示。
如果我们将一个球面围绕该电荷，根据高斯定理，球面上的电场流量等于球内电荷的总量。
这意味着，通过球面的电场线越多，球内的电荷量就越大。
在流体力学中，高斯定理的应用也非常重要。
假设有一个液体通过一个封闭表面的流动，我们可以用向量场F表示液体的流速。
根据高斯定理，表面上的流量等于液体在表面内部的源和汇的总量。
这可以帮助我们分析液体流动的特性，比如流速的分布、流动的稳定性等。
除了电磁学和流体力学，高斯定理还在其他领域有着广泛的应用。
在热力学中，高斯定理可以用来描述热流通过封闭表面的传递；在数学中，高斯定理可以用来计算曲面的面积和体积等。
总结一下，高斯定理是微积分中的一项重要定理，可以用于描述向量场通过封闭曲面的流量与该曲面内部的源和汇的关系。
它在电磁学、流体力学、热力学等领域有着广泛的应用。
通过高斯定理，我们可以更好地理解和分析各种物理现象，从而推动科学技术的发展。
高数 高斯公式 通量与散度(正式)
P d y d z Q d z d x Rdx d y
由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为
P cos Q cos R cos d S
v n d S
设有向量场
定义:A(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
Rdxdy,
(1)
或
(P x
Q y
R)dv z
( P
cos
Q cos
Rcos )dS, （1′）
这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、
cosγ是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦。
公式（1）或（1′）叫做高斯公式。
证明:
1 2 3, 1 : z z1(x, y), 2 : z z2 (x, y),
I 用柱坐标
用极坐标 1 1
1 1
o
d
xdydz(1)( Dxy
x
2
)
d
x
d
y
x
1y
2
d
0
1
dr
0
2 cos2 d 0
13
12
例6.设函数
在闭区域 上具有一阶和
二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式
v
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
x
d
y
d
z
P u x Q u v
第四节
第八章
高斯公式 通量与散度
推广
Green 公式
Gauss 公式
一、高斯公式 二 、通量与散度
9.4 高斯公式 通量与散度
div A
散度为一数量，
∂P ∂Q ∂R + + G 内任意点处的散度为 div A = ∂x ∂ y ∂z
表示 场 中一 点 处通 量 对体 积 的 变化 率
r u divA
∂ P ∂Q ∂ R ⋅ ∫∫∫ d v ∂ x + ∂ y + ∂z Ω (ξ ,η ,ζ ) = lim 其中(ξ , η , ζ ) ∈ Ω Ω→ M V
2
4
取上侧, 例3 设Σ为曲面 z = 2 − x − y , 1≤ z ≤ 2取上侧, 求
2 2
I = ∫∫ (x z + x) d y d z − x yz d z d x − x z d x d y. Σ z 3 2 2 2 解 P = x z + x , Q = − x yz , R = − x z 2 ∂P ∂ Q ∂ R Σ + + = 1 作取下侧的辅助面 ∂x ∂y ∂z 1 Σ1 2 2 Σ1 : z =1 (x, y) ∈Dxy : x + y ≤1 o 1y I = ∫∫ − ∫∫ 用柱坐标 用极坐标 x
其中P, 具有连续一阶偏导数, 其中 Q, R 具有连续一阶偏导数 M(x, y, z)是场中任意一 是场中任意一 点，Σ是场内包含该点的一个分片光滑的封闭曲面, 它所围区域 Ω 的体积为V。如果当 Ω 以任意方式向点M 收缩 时，极限 都存在， 都存在，则称此极限为向量场A在点M的散度(divergence)。 ) 记作
2 2 2
则表面 x 2 + y 2 + z 2 = 4取外侧 x 2 + y 2 + z 2 = 1取 内 侧
光滑或分片光滑， （2）高斯公式成立的条件： Σ光滑或分片光滑， 高斯公式成立的条件： P、Q、R在Ω上一阶偏导连续。 上一阶偏导连续。 不闭合时，采取“补面”的方法： （3）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1 封 闭，所围区域Ω。
高等数学 10-6高斯公式 通量与散度
第六节 高斯(Gauss)公式通量与散度
高 斯 公 式 通量与散度
内 容 提 要
利用高斯公式计算曲面积分 重 点 分 析
高斯公式使用的条件及方法 难 点 分 析
习 题 布 置
P213
1（单） 、2（单）
备 注
1
教
一、高 斯 公 式
学
内
容
设 空 间 闭 区 域 Ω 由 分 片 光 滑 的 闭 曲 面 Σ 围 成 , 函 数 P ( x, y , z ) 、 Q ( x, y , z ) 、
Σ Σ Σ
r
r
r
r
r r r r Φ = ∫∫ A ⋅ dS = ∫∫ A ⋅ n 0 dS = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
r 称为向量场 A( x, y, z ) 向正侧穿过曲面Σ的通量.
2. 散度的定义: 设有向量场 A( x, y, z ) ,在场内作包围点 M 的闭曲面 Σ , Σ 包围的区域为 V ,记体积
∫∫ ( x
D xy
2
cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS = 2 ∫∫∫ ( x + y + z )dv
Ω
= 2 ∫∫ dxdy ∫
h x2 + y2
( x + y + z )dz ,
其中Dxy = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ h 2 }.
Q
∫∫ dxdy ∫
Ω ∑
∂P
∂Q
∂R
这里 ∑ 是 Ω 的整个边界曲面的外侧，cosα , cos β , cos γ 是 ∑ 上点 ( x, y, z ) 处的法 向量的方向余弦.
10.5 高斯公式
Ω 2π
0
D xy
dθ ∫ 0dr
1
−∫
2 π 0
cos2θ dθ
13 π = 12
在闭区域 Ω上具有一阶和 例4. 设函数 ∂v 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公 P=u 式 ∂x ∂2v ∂2v ∂2v ∂v ∫∫∫Ωu ∂x2 +∂y2 +∂z2 dxd ydz Q= u ∂y ∂v ∂v ∂v ∂v = ∫∫ u cosα + cos β + cosγ dS R=u Σ ∂y ∂z ∂x ∂z ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v + + ) dxd ydz −∫∫∫ ( Ω ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 其中 ∑ 是整个 Ω 边界面的外侧. ∂P ∂Q ∂R 分析: 分析 高斯公式 ∫∫∫Ω( ∂x + ∂y + ∂z )dxd ydz = ∫∫ Pd yd z +Qdzd x + Rdxd y
=∫
2 π
Ω
o 1 x
y
0
9 π dθ∫ rdr∫ (rsinθ − z) dz = − 0 0 2
1 3
例2. 利用Gauss 公式计算积分
z
其中 ∑ 为锥面 x2 + y2 = z2 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
∑h 1h
o x
∑
y
(x, y)∈Dxy : x2 + y2 ≤ h2, 取上侧 ∑ : z = h, 1
移项即得所证公式.
高斯(1777 – 1855) 高斯 德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 恪守这样的 原则: “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.
第六节 高斯公式与散度解析
4.若Σ不是闭曲面，可采用补上若干块曲面
后使之成为闭曲面，补上的曲面要与原曲面 构成外侧或内侧.
例4 计算 I x(8 y 1)dydz 2(1 y2 )dzdx 4 yzdxdy
其中
是由曲线
z
y1,1 y 3绕 y轴
x 0
z
设向量场 F(x, y,z)
P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
称数量 P Q R
x y z ( x, y,z)
为F在点( x, y, z)处的散度(divergence),记为divF ,
即
divF
P
Q
R
x y z
高斯公式可写成 divF dV F dS
其中 为 x2 y2 z2 1的内侧 .
解 记 所围立体区域为 , 则
原积分 [3( x2 y2 z2 ) 6]dxdydz
2
30
d
0
sind
1
0 r
4dr
6
4
3
13
3 2 2 1 8 52 .
5
5
使用Guass公式时应注意:
1. P,Q,R 是对什么变量求偏导数;
设 有向量场
F ( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一定向曲面Σ的第二类曲面积分为
F dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
称为向量场F ( x, y, z)向正侧穿过曲面Σ的通量.
2. 散度的定义:
则有公式
(
P x
Q y
R )dV z
高数之高斯公式通量与散度
高数之高斯公式通量与散度高斯公式，也称为高斯定理或高斯‐斯托克斯定理，是矢量分析中的一个重要定理，用于计算矢量场的通量与散度之间的关系。
它是高等数学课程中的一个重要知识点，也是理解物理学、电磁学等领域中的许多现象的基础。
首先，让我们先来了解一下通量和散度的概念。
通量可以理解为矢量场通过一些封闭曲面的流量，即场的一些属性通过单位面积的流量。
通量的计算可以用于解释许多自然现象，比如液体或气体的流动、电场的分布等等。
散度则是矢量场在其中一点上的变化率，表示场在该点的流入流出程度。
散度可以用于描述场的源和汇。
高斯公式则是描述通量和散度之间关系的数学公式，它的数学表达如下：∬S F·dS = ∭V(nabla·F)dV其中，∬S表示对曲面S的积分，F表示矢量场，dS表示曲面S上的面积元素，∭V表示对体积V的积分，nabla·F表示矢量场F的散度。
从公式中可以看出，高斯公式表示了一个重要的等式：其中一矢量场通过其中一封闭曲面的通量等于该场在该曲面所包围的体积中的散度的积分。
也就是说，一个矢量场通过一个封闭曲面的总流量与该场在该曲面所包围的体积中的散度的总和是相等的。
这个公式的物理意义非常重要。
比如，在电磁学中，我们可以将电场看作矢量场，通过高斯公式可以得到一个非常重要的结论：电场通过一个封闭曲面的总通量等于该曲面所包围的电荷的总电荷量的1/ε0倍，其中ε0为真空中的电介质常数。
这就是著名的高斯定律，它是电磁学的基础之一高斯公式也可以应用于流体力学中，用于计算液体或气体通过其中一曲面的流量。
在这种情况下，矢量场就是流速场，而散度就是流速场的变化率，可以描述液体或气体在其中一点上的流入流出程度。
总结起来，高斯公式是描述通量和散度之间关系的重要工具，适用于解释许多自然现象，包括电磁学、流体力学等多个领域。
通过应用高斯公式，我们可以定量地描述和计算矢量场的通量和散度之间的关系，从而更好地理解和解释现象。
10、6高斯公式通量与散度
10、6高斯公式通量与散度§10.6 高斯公式通量与散度一、高斯公式格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，这个关系可陈述如下：【定理】设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有Ω∑++=??+??+??Rdxdy Qdzdx Pdydz dv Z R y Q x P )((1) 或Ω∑γ+β+α=??+??+??dS R Q P dv z R y Q x P )cos cos cos ()((1') 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，}γ是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦,公式(１)或(1'证：由两类曲面积分的关系，公式(1)与(1')的右端是相等的，因此这里只要证明公式(1)就可以了。
设闭区域Ω在xoy 面上的投影区域为xy D ，假定穿过Ω内部且平行z 轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点恰好是两个。
这样，可设∑由1∑，2∑和3∑三部分组成，其中1∑和2∑分别由方程),(1y x z z =和),(2y x z z =给定，这里),(),(21y x z y x z ≤，1∑取下侧，2∑取上侧；3∑是以xy D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面上的一部分，取外侧。
根据三重积分的计算法，有[]Ω-=??=??y x y x D D y x z y x z y x z y x R y x z y x R dxdy dz zRdv z R )],(,,[)],(,,[12),(),(21 (2) ∑-=1)],(,,[),,(1xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R∑=2)],(,,[),,(2xyD dxdy y x zy x R dxdy z y x R因为3∑上任意一块曲面在xoy 面上的投影为零，所以直接根据对坐标的曲面积分的定义可知∑=30),,(dxdy z y x R把以上三式相加，得∑-=xyD dxdy y x z y x R y x zy x R dxdy z y x R )]},(,,[)],(,,[{),,(12(3)比较(2)、(3)两式，得Ω∑=??dxdy z y x R dv z R),,( 如果穿过Ω内部且平行于x 轴的直线以及平行于y 轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点恰好有两点，那么类似地可得Ω∑=??dydz z y x P dv x P),,( Ω∑=??dzdx z y x Q dv y Q),,( 把以上三式两端分别相加，即得高斯公式(1)。
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一、高斯公式
证明
先证明 设闭区域Ω在xOy面上的投影区域为Dxy.假设穿过Ω内部 且平行于z轴的直线与Ω的边界曲面Σ的交点恰好是两个，即其 边界曲面Σ由曲面
及以垂直于Dxy边界的柱面Σ3组成（见图10-18），其中Σ1取下
高斯公式可写成 上述公式表明，向量场A通过闭曲面Σ流向外侧的流量等于 向量场A的散度在闭曲面Σ所围闭区域Ω上的积分.
二、向量场的流量与散度
【例4】
求向量场
穿过曲面
流向外侧的流量.
解设
为Σ上任何一点的切平面的法向量，则由高斯公式知所求的
流量为
谢谢聆听
二、向量场的流量与散度
设区域的体积为V，则
表示单位时间内区域Ω内单位体积流体的平均发散量,即平均散度. 令Ω收缩到一点M（ x,y,z ），若极限
存在，则称此极限值为向量场A在点M的散度，记为di有向量场
其中函数P，Q，R均具有一阶连续偏导数，Σ是场内的一片有向 曲面，n是Σ在点x,y,z处的单位法向量，则积分
称为向量场A通过曲面Σ向着指定侧的流量（或通量）.如果A是定 常流体（假定密度为1）的速度，则|Q|表示单位时间内穿过Σ流 体的质量.如果Σ是闭曲面，则表示单位时间内通过闭曲面Σ的流体 的质量，它是从Σ流出的流体的质量与流入Σ的流体的质量之差， 表示单位时间内流体从Σ包围的区域Ω内部向外发出的总质量.
一、高斯公式
注意
对于一般的空间有界闭区域高斯公式均成立.若曲面 Σ与平行于坐标轴的直线的交点多于两个，则用有限个 光滑的曲面将Ω分为有限个满足条件的小闭区域来讨论.
一、高斯公式
【例1】
求 及半球面
闭区域Ω的整个边界曲面的外侧. 解 由题意知P=x,Q=y,R=z,则
其中Σ为锥面 所围成的空间
利用高斯公式，得
一、高斯公式
【例2】
求 面z=1－x2－y2(z≥0)的上侧.
解 作辅助平面 平面Σ1与曲面Σ围成空间有界闭区域Ω,故
其中Σ为曲 取Σ1的下侧,则
由高斯公式得
一、高斯公式
而 所以
一、高斯公式
【例3】
求
其中Σ为
的上侧.
解 补充平面
取Σ1的下侧，
则Σ+Σ1构成封闭曲面，设其所围成空间区域为Ω.于是
二、向量场的流量与散度
当div A(M)>0时，称点M为源，其值表示源的强度； div A(M)<0时，称点M为洞（或负源），其值表示洞吸收 的强度；当div A (M)=0时，点M既非源又非洞，div A(M)=0的场称为无源场.
散度是一个数量，由向量场A派生出的散度场div A是 数量场.
由高斯公式和积分中值定理得
侧，Σ2取上侧，Σ3取外侧，
于是按三重
积分的计算方法，有
一、高斯公式
图 10-18
一、高斯公式
又由于Σ3上任意一块曲面在xOy面上的投影为零，所以
一、高斯公式
因此
如果穿过Ω内部且平行于x轴的直线以及平行于y轴的直线与Ω 的边界曲面Σ的交点也都恰好是两个，那么类似地可得 这些结果相加便得高斯公式.
二、向量场的流量与散度
其中
则
即
二、向量场的流量与散度
引入向量微分算子
A的散度div A也可以
表达为Δ·A，即div A=Δ·A.
散度具有下列性质：
(1)Δ·(CA)=CΔ·A(C为常数).
(2)Δ·(A+B)=Δ·A+Δ·B.
(3)Δ·(uA)=uΔ·A+Δu·A(u为数量函数).
二、向量场的流量与散度
高斯公式流量 与散度
一、高斯公式
平面上封闭曲线的曲线积分与其围成的平面区域 上的二重积分之间的关系可用格林公示来表示.下面要 介绍的高斯公式则揭示了封闭曲面上的曲面积分与其 所围成的空间闭区域上的三重积分之间的关系.可以认 为高斯公式是格林公式在三维空间中的推广.
一、高斯公式
定理
设空间区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P （ x,y,z ），Q （ x,y,z ）， R （ x,y,z ），在Ω上具有一阶连 续偏导数，则有