输入 输出反馈线性化
一种新的PWM整流器电流解耦控制策略
（ 13 ）
76
电 工 技 术 学 报
∗ f d、 fq 分别为电流的有功电流指令 i d 和无功电流
2005 年 8 月
∗ ∗ 指令 iq 。有功电流指令值 id 与负载电流成正比，用
个动态过程中维持为零，几乎没有变化，表明有功 电流变化对无功电流无影响，反映了优良的解耦性 能；图 4d 为一相输入电压、电流波形，在 2 ～2.05s 期间电压电流同相，PWM 整流器工作在整流状态， 2.05s 后电压电流反相，此时 PWM 整流器工作在逆 变状态。
其中
2 cos θ 3 sin θ cos(θ − 2π 2π ) cos(θ + ) 3 3 （3 ） 2π 2π sin(θ − ) sin(θ + ) 3 3
1 1 1 Ri + u − u + kisq = kf q （ 10） Ls s sq Ls sq Ls cq
F ig.2
输入输出 变量反馈
图2
电流的解耦控制策略
Current fecoupling control strategy
由式（ 7 ） 、式（8 ） ，电流控制器为一阶惯性环 节，性能由系数 k 决定。传递函数为 I sd ( s) I sq (s ) k = = Fd (s ) Fq ( s ) s + k
2
基于输入输出反馈的电流解耦控制策 略
三相电压型 PWM 整流器的拓扑结构如图 1 所 示。主电路采用 IGBT 与二极管反并联的方式， Ls 和 Rs 为电感的等效参数， C 为直流滤波电容，RL 为直流侧负载。 uca、 ucb 、 ucc 为整流桥三相控制电压。 PWM 整流器的基本工作原理为：通过对六个开关 管的适当控制，可以改变桥中点电压 uc a 、ucb 、 ucc 的波形和相位，从而改变输入电流的相位，达到改 变功率因数的目的。
6反馈线性化
的特性，以便进行鲁棒设计、自适应设计或仿真。模型不确定性 是模型和实际物理系统之间的差距。
（2）反馈和前馈
反馈在非线性系统控制器设计中也起着基本作用 和线性控制相比，前馈在非线性控制中的重要性更加明显
前馈用来抵消已知干扰的影响，提供预期的动作
全局微分同胚很少，经常使用局部微分同胚。
给定一个非线性映射，如何判断出它是否是局部微分同胚?
光滑映射 ( x)定义在R n中的一个区域上，如果雅可比矩阵 在中的一点x x0上是非奇异的，则(x)是定义在x0的一个邻域
上的局部微分同胚
判断\phi(x)是否局部微分同胚？
z1
z2
(x)
2
x1 3
注：如果控制目标是驱使状态到达某个非零点x_{d}，我们可以将 x-x_{d} 看作状态，将问题化为零点调节问题。
••
例：倒立摆镇定问题 J mgl sin
任务是将摆从 \theta 较大的角度控制到垂直的位置
•
可以选择镇定器为 kd k p mgl sin
••
•
得到全局稳定的闭环系统J kd k p 0
➢ 线性控制系统中，期望性态包括时域情形和频域情形
时域：上升时间、超调量、调节时间 频域：传递函数的低频和高频特性等
➢ 对非线性系统的规定没这么系统化、明显
非线性系统对一个指令的响应不能反映对其它指令的响应；
对其频域描述是不可能的
期望性态通常考虑下面性质： ① 稳定性 ② 响应的精度和速度
③ 鲁棒性（系统工作时，应当能够抵挡一些被忽略因素的影响） ④ 代价
代数变换把系统转变为能控标准形
自动控制原理第九章非线性控制系统PPT课件
非线性系统的数学描述
01
02
04
非线性微分方程
非线性微分方程是描述非线性系统动态行为的数学模型之一。
它通常表示为自变量和因变量的函数，其中包含未知函数的导数。
非线性微分方程的解可以描述系统的输出响应与输入信号之间的关系。
解决非线性微分方程的方法通常包括数值解法和解析解法。
03
非线性传递函数是描述非线性系统的另一种数学模型。
非线性系统的特点
研究非线性系统的方法包括解析法、数值法和实验法等。
总结词
解析法是通过数学推导和求解方程来研究非线性系统的行为和特性。数值法则是通过数值计算和模拟来研究非线性系统的行为和特性。实验法则是通过实际实验来研究非线性系统的行为和特性，通常需要设计和构建实验装置和测试系统。
详细描述
非线性系统的研究方法
它类似于线性系统的传递函数，但包含非线性项和饱和项。
非线性传递函数可以表示系统的输入输出关系，并用于分析系统的性能和稳定性。
分析非线性传递函数的方法包括根轨迹法和相平面法等。
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04
非线性传递函数
非线性状态方程是描述非线性系统动态行为的另一种数学模型。
非线性状态方程可以用于分析系统的稳定性和动态行为，并用于控制系统设计。
非线性系统仿真软件
非线性系统仿真实例是通过计算机仿真技术对实际非线性系统进行模拟和分析的实例，它可以帮助用户更好地理解非线性系统的特性和行为，并验证仿真模型的正确性和有效性。
常见的非线性系统仿真实例包括电机控制系统、飞行器控制系统、机器人控制系统等，这些实例可以帮助用户更好地了解非线性系统的控制方法和优化策略。
飞行器控制系统
化工过程控制系统
6反馈线性化解析
2
1 非线性控制问题
如果控制系统的任务涉及大范围或高速运动,动力学中的非线性
影响很重要.
设计问题：对于给定的被控物理系统，构造反馈控制规律，使得 闭环系统呈现出期望的性态。 控制系统的任务可分为两类: 镇定(或调节)和跟踪(或伺服) 镇定问题中,控制器称为镇定器(或调节器)使闭环系统的状态被 镇定到平衡点附近.如冰箱温度控制，飞行器高度控制 跟踪问题中，设计的目标是构造控制器（跟踪器），是系统的输 出跟上一个给定的时变轨线。如飞机沿指定的路线飞行
s 2 2s 2 u yd s 1
系统有一个极点恰好等于原系统的不稳定零点，造成u指数发散 即非最小相位系统的完全跟踪只能通过无穷大输入来实现。
所以，非最小相位系统的控制设计目标不应该是完全跟踪或渐
近跟踪，而应该满足于有界误差跟踪
6
2 期望性态的规定
线性控制系统中，期望性态包括时域情形和频域情形 时域：上升时间、超调量、调节时间 频域：传递函数的低频和高频特性等 对非线性系统的规定没这么系统化、明显 非线性系统对一个指令的响应不能反映对其它指令的响应；
12
6.1 直观概念
6.1.1 反馈线性化及其标准形
基本思想：消去一个非线性系统中的非线性部分，使闭环系统成 为一个线性系统。
例：控制水槽液位
考查控制一个水槽液面的高度h到一个特 定高度h_{d}.控制输入是水槽的输入流 量u,初始高度为h_{0}
水槽的系统模型为：
其中，A_{h}是水槽的横截面，a是出水管横截面
将被控对象动态 方程修改为所期 望的形式。
4
1.2 跟踪问题
给定非线性动力系统 x f ( x, u , t )， y h( x ) 和期望的输出轨线 yd , 寻找控制规律 u，使得系统从 中某个区域内的任意点 出发， 整个状态保持有界的同 时，跟踪误差 y (t ) yd (t )趋于零
第4章-非线性系统线性化(1)
其中 xd 为模型的状态向量；Ad
0
0
1
，bd
0
，
C 1 0 0 为常数。
1
2
n
单变量输入输出反馈线性化直接方法及 鲁棒设计
根据动平衡状态理论，我们可以将xd 作为被控系统的动平衡状态，通过设
计合适的控制律，使所构成的控制系统中被控状态x 对动平衡状态xd 在大范围 内渐近稳定。从而实x现 x对d ，亦y即 yd对 的渐近逼近，使被控系统具有所希
非线性系统反馈线性化绪论
为此，控制系统的设计可分为两步：首先，设计控制律使系统的平衡状态 按预定的方式运动。然后，按某一指标设计系统，使其状态按最佳方式向平衡 状态收敛，从而实现对状态的控制。这一方法很好地解决了将仅适用于自由动 态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲 突，将稳定性问题（调节问题）与跟踪问题统一起来。为控制系统的分析与设 计提供了一条新的思路。
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
按上述方法，基本设计过程如下：
考虑一般的非线性系统
x f (x,u,t)
（1.1）
其中，x Rn 为状态向量，u Rm 为控制向量，f 为向量函数。
设希望的线性系统动态特性为
xd Ad xd Bd v
（1.2）
其中 xd Rn为状态向量，v Rm 为控制向量，Ad Rnn ,Bd Rnm 为常数矩 阵，并且 Ad 的所有特征值均具有负实部。则下述基于李雅普诺夫第二方法的设
按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线 性化的直接方法：
《典型非线性环节》课件
在机器人控制系统中的应用
机器人控制系统中引入非线性环节，可以增强机器人的适应性和灵活性。
在机器人控制系统中，非线性环节如弹性非线性、摩擦非线性等被引入以增强机器人的适应性和灵活 性。弹性非线性可以使机器人在受到外力时产生弹性形变，提高机器人的抗冲击能力；摩擦非线性可 以使机器人在运动过程中考虑摩擦力的影响，提高机器人的定位精度和轨迹跟踪能力。
典型非线性环节
• 非线性环节概述 • 典型非线性环节介绍 • 非线性环节对系统性能的影响 • 非线性环节的应用案例
目录
Part
01
非线性环节概述
定义与特点
定义
非线性环节是指系统中输出与输入不 成正比关系的环节，其特性不能用线 性关系描述。
特点
非线性环节具有饱和、死区、回环等 特性，其行为与输入信号的大小、方 向和偏置状态等有关，表现出高度的 非线性。
常见非线性环节类型
饱和非线性环节
当输入信号超过一定阈值时，输出信号达到饱和状态，不再随输入 信号增大而增大。
死区非线性环节
当输入信号在一定范围内时，输出信号为零，只有当输入信号超过 某一阈值时，输出信号才会发生变化。
回环非线性环节
当输入信号在某一范围内时，输出信号与输入信号呈正比关系，但当 输入信号超过某一阈值时，输出信号开始减小，形成回节介绍
典型非线性环节介绍
• 请输入您的内容
Part
03
非线性环节对系统性能的影响
对系统稳定性的影响
稳定性分析
非线性环节可能导致系统 在某些条件下变得不稳定 ，如饱和非线性或死区非 线性。
动态响应
非线性环节可能导致系统 在受到扰动时产生不稳定 动态响应，如振荡或发散 。
非线性环节可能影响系统 的响应时间，使系统在达 到稳态时需要更长的时间 。
应用数学方向,动力系统第三章非线性微分方程动力系统的简化
第三章 非线性微分方程动力系统的简化在非线性微分方程动力系统研究中，很自然地期望有一些有效的方法使原系统降阶或简化，井能保持原系统的动态特性。
目前，现有的知识主要有中心流形、范式、奇异摄动与精确线性化等。
本章将简要地叙述相关方面的基本内容3.1中心流形3.1.1中心流形的基本定理本节考虑以下形式非线性微分方程系统(,)(,)x Ax f x y y By g x y '=+⎧⎨'=+⎩Equation Section 3(3.1) 其中,m n x R y R ∈∈，假定A 和B 是具有相应维数的常数矩阵，并且A 的所有特征值具有零实部，B 的所有特征值具有负实部。
函数f 和g 关于其变元皆二阶连续可微，且(0,0)0,(0,0)0f g ==；(0,0)0,(0,0)0f g ''==(注： f '和g '是它们各自的雅可比矩阵)。
定义3.1 一个集合（流形）m n S R R ⊂⨯被称为系统(3.1)的局部不变流形(Local invariant manifold)是指，对任何的00(,)x y S ∈系统(3.1)的初值为00((0),(0))(,)x y x y =的解()x t 始终在集合S 内，其中||t T <，T 为某正数。
进而，如果，T =∞，那么S 就称为不变流形(invariant manifold)。
定义3.2 如果()y h x =是系统(3.1)的一个不变流形，并且()h x 为光滑函数，(0)0h =，(0)0h '=，那么它被称为中心流形（centre manifold ）。
对于系统(3.1)，我们有，定理3.1 对系统(3.1)而言，若A ，B ，和g 满足假设条件，那么存在一个中心流形()y h x =，其中||x δ< (δ为某一个正数)，且2h C ∈。
证今:[0,1]n R ψ→为C ∞函数，取值为1,||1,0,|| 2.x x ψ≤⎧=⎨≥⎩又设(,)((),),(,)((),)x xF x y f x yG x y g x y εεψψ==其中0ε>。
功率放大器的线性化技术
02 功率放大器线性化的技术 分类
前馈线性化技术
前馈线性化技术通过引入一个额外的反馈环路，将功率放 大器的输出信号反馈到输入端，与原始输入信号进行比较 和调整，以消除非线性失真。
前馈线性化技术具有较高的线性化效果，但需要精确的信 号匹配和调整，因此实现难度较大。
反馈线性化技术
01
反馈线性化技术通过将功率放大 器的输出信号反馈到输入端，并 利用负反馈原理对输入信号进行 修正，以减小非线性失真。
多项式预失真技术通过使用多项式函数来描述功率放大器的非线性特性。预失真器通过 调整多项式的系数来产生补偿信号，以抵消功率放大器的非线性。这种方法的优点是精
度高、计算复杂度低，但需要实时计算多项式函数，可能影响实时性能。
预失真线性化技术的优缺点
优点
预失真线性化技术具有较高的线性度和较低 的成本，适用于各种类型的功率放大器。此 外，由于预失真器位于功率放大器之前，因 此可以避免功率放大器内部的热损耗和可靠 性问题。
。
模拟预失真
适用于对实时性要求较高的系 统，能够快速响应信号的变化 ，但线性化效果可能略逊于数 字预失真。
前馈线性化
通过引入额外的反馈环路，降 低功率放大器的非线性失真， 适用于对噪声和失真性能要求 高的系统。
基带扩展
通过在基带信号上添加适当的 调制，改善功率放大器的线性 范围，适用于宽带信号传输系
多载波技术
通过将信号分割成多个子载波，降 低单个载波的幅度，减小非线性失 真。
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感谢您的观看
复合反馈技术则是结合前馈和反馈技术的优点， 通过引入前馈和反馈两个环节来进一步改善功率 放大器的线性度。
反馈线性化技术的优缺点
第六章非线性系统的反馈线性化
第六章非线性系统的反馈线性化反馈线性化方法的基本思想是用反馈的方法，将非线性被控对象补偿成为一个具有线性特性的系统，然后利用线性系统理论进行控制系统设计。
基于微分几何的反馈线性化方法是一种精确线性化方法。
6.1 反馈线性化基本概念反馈线性化设计步骤是：（1）通过反馈的方法将非线性系统转化为线性系统，这个过程可以微分几何方法；（2）经过线性化处理后的系统进行设计。
与泰勒级数展开的近视线性化方法不同，它是建立在系统状态变换与非线性反馈基础上的一种精确方法。
它是大范围有效的，而不是仅仅局限于工作点附近。
1水槽的系统模型为()()2h d A h dhu t a ⎡⎤=−∫4()f B =+ xx u 考虑如下系统x是系统状态，f(x)是光滑向量场，u是控制输入，B是输入矩阵且可逆。
设跟踪轨迹为x d 。
=d e x x−定义跟踪误差=f()B d ex x u −− 主要思路是设计如下的补偿控制算法1=(f())d u Bxx ke −−+ =-eke 补偿后的误差动态方程为稳定例2 两关节机械手111212121112122212220H H qhq hqhq q g H H qhq qg ττ−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&&&（6.1）5其中，[]12,Tq q =q 为关节角，[]12,Tττ=τ为关节输入。
12222221222221111211222222221212122221211122122122122cos cos sin cos cos()cos cos()c c c c c c c c c c H m l I m l l l l q I H m l I H H m l l q m l I h m l l q g m l g q m g l q q l q g m l g q q ⎡⎤=+++++⎣⎦=+==++=⎡⎤=+++⎣⎦=+表示成向量形式()(,)()H q qC q q q g q τ++=&&&&两边同乘以1H −，可变成仿射非线性系统（6.1）。
华东师范大学系统分析与集成博士研究生课程
华东师范大学系统分析与集成博士研究生课程专业名称：系统分析与集成课程编号：B0112010711003 课程名称：非线性控制系统理论与应用课程英文名称：Nonlinear Control-System Theory and Application学分: 3 周学时总学时：54课程性质：博士学位专业课适用专业：系统理论、系统分析与集成教学内容及基本要求:教学内容：1. 反馈系统分析（包括绝对稳定性，小增益定理，描写函数方法）2. 反馈线性化（包括输入-状态线性化，输入-输出线性化，状态反馈控制）、3. 微分几何方法（包括微分几何工具，输入-输出线性化，输入-状态线性化4. Lyapunov设计方法5. Backstepping方法6. 滑模控制7. 自适应控制。
基本要求：要求掌握解决问题的思想方法和技巧。
考核方式及要求：笔试。
学习本课程的前期课程要求：线性系统教材及主要参考书目、文献与资料：1. Hassan K. Khalil：《Nonlinear System (Second edition)》。
填写人：陈树中教授审核人：顾国庆教授课程编号：B0112010711004 课程名称：分布计算与分布式系统课程英文名称：Systems and Architecture of Distributed Databases学分: 3 周学时总学时：54课程性质：博士学位专业课适用专业：系统理论、系统分析与集成教学内容及基本要求:教学内容：本课程主要讨论分布式数据库系统的原理，技术和系统结构。
在第一部分，介绍DBMS的主要成分。
第二部分介绍经典的分布数据库系统理论和系统。
第三部分主要讨论Internet/Intranet时代的分布数据库理论和系统。
基本要求：学生在理解讲课内容的基础上，阅读大量相关论文，从而对基本知识有深入理解和对前沿技术有全面的了解。
考核方式及要求：考试。
学习本课程的前期课程要求：数据库系统基础，计算机网络基础教材及主要参考书目、文献与资料：1.周龙骧等：《分布式数据库管理系统实现技术》，科学出版社，1998。
13. 反馈线性化 (
全状态反馈线性化正式应用于形如 （13.4） 的非线性 ODE 控制系统模型， 不需要特别指定输出 y (t) 。
2
如上小节一样， 找到反馈变换（13.6）和具有非奇异行列式的状态变换
z (t) = ψ (x(t)) (13.10)
就可以简化系统。这需要等同于
z ˙ (t) = Az (t) + Bv (t)) ， (13.11)
u(t) = M (q (t))(v (t) + F (q (t), q ˙(t))) (13.2)
就可以把（13.1）变换为线性二重积分模型
q ¨(t) = v (t) 。 (13.3)
从（13.1）到（13.3）的变换就是使用强控制权简化系统方程的反馈线性 化典型例子。例如，当（13.1）是欠驱动模型时，也就是，当 u(t) 在 Rk 的给 定子空间时， （13.2）的变换是无效的。同样， 如果 u(t) 必须满足一个预界定， 那么一般不能根据（13.2）得到 v 到 u 的变换。 另外， 反馈线性化基于使用激励信息， 在刚才的例子中就是函数 M 、 F 的精确信息， 和坐标 q (t) 与速度 q ˙(t) 的准确测量。 在某些情况 （包括 （13.1） ） 我们可以将反馈线性化的应用扩展到大致已知和不完全可观的模型，但是信 息流约束仍然是应用反馈线性化的严重障碍。
讲座13： 反馈线性化1
使用控制权将非线性模型转变为线性是实用非线性控制设计中非常普遍 的设计思想。 通常， 这个窍门能帮助我们认出 “简单” 非线性反馈设计任务。
13.1 激励和结果
这一节，我们给出一个有激励的例子，并说明反馈线性化理论的技术目 标。
13.1.1 例： 全驱动机械系统
非线性系统线性化综述翻译
⾮线性系统线性化综述翻译┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊⾮线性系统线性化综述程代展，李志强(中国科学院数学与系统科学研究院，北京100190)摘要：⾮线性系统的线性化是设计⾮线性系统控制的强有⼒⼯具。
这⼀⽅法已经在飞⾏器控制、电⼒系统的安全控制、化学反应器控制、经济系统、⽣物学系统和机器⼈控制等领域得到⼴泛应⽤。
本⽂阐述了⾮线性系统线性化的发展历史以及有深刻意义的结果。
⾸先回顾从⾮线性系统的近似线性化到精确线性化的发展。
主要内容Poincare线性化、系统能通过状态反馈线性化的充要条件和算法。
然后介绍各种不同的线性化⽅法：动态反馈线性化，近似线性化，Cralema3/l线性化等。
本⽂主要⽬的是对⾮线性系统线性化的历史，现状和⼀些重要问题进⾏⼀个较完整全⾯的介绍，从⽽提供从事线性化理论与应⽤研究的基础。
关键词：线性化；Poincare定理；状态反馈；⾮正则；部分线性化1 介绍⾮线性系统线性化处理与⾮线性（控制）系统是最有效的⽅法之⼀. 它已被⼴泛⽤于研究很长⼀段时间, 已获得许多有价值的理论成果. 线性化也已被⼴泛⽤于各种⼯程问题。
例如，飞机控制，动⼒系统，化学反应，经济系统，⽣物系统，神经⽹络，空调系统，⽣态系统，机器⼈控制系统等。
垂直起降飞⾏器模型不是静态状态反馈线性化⽽是动态状态反馈线性化。
双旋翼直升机模型的飞⾏控制器的设计。
局部线性化的设计⽅法主要运⽤静态反馈线性和较低的⼦系统层次实现。
输⼊输出反馈线性化⽅法被⽤来设计⼀个分散的⼤型电⼒系统的⾮线性控制器，事实证明，输⼊输出线性化类型的反馈可以接近反应器任意设定点的运动轨迹，即使有参数的不确定性。
状态空间精确线性化⽅法应⽤于Kaldor和Bonhoeffer-Van Der Pohl⾮线性控制系统的⾮线性反馈控制律的设计。
线性化的应⽤分别列举了⽣物系统和物理系统这两个系统的综合分析。
作为多输⼊多输出双线性系统的⼀个V AV AC电⼚的动态模型推导和制定。
压电定位平台Hammerstein 建模与反馈线性化控制
第30卷第14期2022年7月Vol.30No.14Jul.2022光学精密工程Optics and Precision Engineering压电定位平台Hammerstein建模与反馈线性化控制黄涛1，罗治洪1，陶桂宝1*，凌明祥2*（1.重庆大学机械与运载工程学院，重庆400044；2.中国工程物理研究院总体工程研究所，四川绵阳621999）摘要：压电定位平台以压电陶瓷、柔性铰链作为驱动及放大机构，具有高定位精度和快响应速度，被广泛应用于各种精密/超精密定位领域。
压电定位平台面临的主要挑战是压电陶瓷的固有迟滞非线性特性，这严重影响平台的定位和跟踪精度。
针对此问题，提出一种基于Hammerstein结构的迟滞建模方法及基于此模型的输入-输出反馈线性化控制策略。
首先，建立Hammerstein结构的迟滞模型，并进行模型参数估计。
接着，以基于Hammerstein模型的输入-输出反馈线性化控制策略设计跟踪控制器。
最后，在压电定位平台上对建立的模型和设计的跟踪控制器进行实验验证。
模型辨识实验结果表明：提出的Hammerstein模型能有效地拟合压电定位平台输入量与输出量之间的迟滞非线性特性，其均方根误差小于0.5μm。
轨迹跟踪实验结果表明：设计的跟踪控制器对期望信号（幅值60μm，频率100Hz）的跟踪均方根误差为0.9266μm，相较于基于改进的速率相关PI（Modified Rate-dependent Prandtl-Ishlinskii，MRPI）模型的前馈补偿跟踪控制、基于MRPI模型的前馈补偿与PID反馈复合跟踪控制，精度分别提高81.22%、46.25%。
关键词：压电陶瓷；压电定位平台；迟滞非线性；Hammerstein模型；反馈线性化控制中图分类号：TP391.4；TH691.9文献标识码：A doi：10.37188/OPE.20223014.1716 Hammerstein modeling and feedback linearization control forpiezoelectric positioning stageHUANG Tao1，LUO Zhihong1，TAO Guibao1*，LING Mingxiang2*（1.College of Mechanical and Vehicle Engineering，Chongqing University，Chongqing400044，China；2.Institute of Systems Engineering，China Academy of Engineering Physics，Mianyang621999，China）*Corresponding author，E-mail：ling_mx@，gbtao@Abstract：A piezoelectric positioning stage is driven and amplified by piezoelectric ceramic and flexible hinges，which can provide high positioning accuracies and response speeds.Thus，it is widely used in vari⁃ous precision/ultra-precision positioning fields.However，the primary challenge presented by the piezo⁃electric positioning stage is the inherent hysteresis nonlinear characteristics of piezoelectric ceramics，which significantly affects the positioning and tracking accuracy of the piezoelectric positioning stage.Hence，a hysteresis modeling method based on the Hammerstein structure and an input-output feedback linearization control strategy is proposed herein.First，hysteresis modeling based on the Hammerstein structure is pro⁃posed，and the parameters are estimated.Subsequently，based on the Hammerstein model，a tracking controller is designed via an input–output feedback linearization control strategy.Finally，the proposed 文章编号1004-924X（2022）14-1716-09收稿日期：2022-04-07；修订日期：2022-05-10.基金项目：国家重点研发计划项目（No.2018YFB1701203）；国家自然科学基金项目（No.52075179）第14期黄涛，等：压电定位平台Hammerstein建模与反馈线性化控制Hammerstein model and the designed tracking controller are experimentally verified on a piezoelectric posi⁃tioning stage.The experimental results of model identification reveal that the proposed Hammerstein mod⁃el can effectively fit the hysteresis nonlinearity between the input and output of the piezoelectric positioning stage and that its root mean square error is less than0.5μm.Meanwhile，the experimental results of tra⁃jectory tracking indicate that the designed tracking controller can track the desired signal（amplitude60μm；frequency100Hz）with a root mean square error of0.9266μpared with the feedforward compensation tracking control based on the modified rate-dependent Prandtl-Ishlinskii（MRPI）model and the compound tracking control of feedforward compensation based on the MRPI model and proportional-in⁃tegral-derivative feedback，the proposed model offers an accuracy improvement of81.22%and46.25%，respectively.Key words：piezoelectric ceramic；piezoelectric positioning stage；hysteresis nonlinearity；hammerstein model；feedback linearization control1引言以压电陶瓷作为驱动元件，以柔性铰链作为导向放大机构的压电定位平台能够提供高定位精度和快响应速度，已广泛应用于微机械制造、微型零件的操作与装配、超精密加工、生物工程、生命与医疗科学、光学调整、原子力显微镜、扫描隧道显微镜、半导体制造设备以及光电等领域［1］。
高超声速飞行器控制方法概述
高超声速飞行器控制方法概述经过近三十年的努力，人们对非线性系统控制问题的研究取得突破性的进展，形成一系列有效的设计方法。
对于高超声速飞行器机身发动机一体化结构所具有的高非线性、强藕合性以及复杂的飞行环境所带来的不确定性，几乎所有的先进控制方法都或多或少的在高超声速器的飞行控制系统设计中有所应用。
通常采用的控制方法主要包括增益预置、反馈线性化方法、变结构控制、鲁棒自适应控制、模糊自适应控制等方法。
(1) 增益预置。
增益预置（Gain Scheduling）作为一种有效且经济的非线性控制方法被广泛的运用于各种工程实践中，它的核心思想是用线性控制器的设计方法来解决非线性控制问题，其理论基础在于光滑非线性系统可在局部点由一个线性系统逼近，因此利用方法设计控制器要求被控对象的动力学特性随着某些操作条件的变化而改变，并且两者之间的关系可知。
目前，国内外常规飞行器飞行控制系统控制律的设计大多数采用传统的增益预置控制方法，它是一种开环自适应控制，通过监测过程的运行条件来改变控制器的参数，在补偿参数变化或对象已知非线性方面，增益预置控制是一种行之有效的方法。
飞行器处在低动压飞行环境下，系统对控制器的鲁棒性能要求不是特别高的时候，可以采用增益预置的方法。
因为该方法技术比较成熟，且不受计算机速度的限制，在工程上已被广泛采用。
该方法的设计思路为采用多个线性控制器来近似替代所要求的非线性控制器，在需要设计增益预置控制器的飞行包络线内选取多个设计点，采用小扰动原理，在每一个设计点上，将其非线性模型转化成近似的线性模型，然后在每一个设计点上采用传统的控制器设计方法分别设计出一个线性控制器，于是非线性的影响可以通过在这些线性控制器间的切换来克服。
最终通过预定程序在这些线性控制器之间插值，得到一个完整的非线性控制律。
增益预置控制方法的局限性在于控制器参数是按开环方式改变的，没有来自闭环系统性能的反馈作用，当过程动态特性和扰动特性过于显著，此方法就得不到满意的控制效果。
《现代控制理论》课程教案
《现代控制理论》课程教案第一章：绪论1.1 课程简介介绍《现代控制理论》的课程背景、意义和目的。
解释控制理论在工程、科学和工业领域中的应用。
1.2 控制系统的基本概念定义控制系统的基本术语，如系统、输入、输出、反馈等。
解释开环系统和闭环系统的区别。
1.3 控制理论的发展历程概述控制理论的发展历程，包括经典控制理论和现代控制理论。
介绍一些重要的控制理论家和他们的贡献。
第二章：数学基础2.1 线性代数基础复习向量、矩阵和行列式的基本运算。
介绍矩阵的特殊类型，如单位矩阵、对角矩阵和反对称矩阵。
2.2 微积分基础复习微积分的基本概念，如极限、导数和积分。
介绍微分方程和微分方程的解法。
2.3 复数基础介绍复数的基本概念，如复数代数表示、几何表示和复数运算。
解释复数的极坐标表示和欧拉公式。
第三章：控制系统的基本性质3.1 系统的稳定性定义系统的稳定性，并介绍判断稳定性的方法。
解释李雅普诺夫理论在判断系统稳定性中的应用。
3.2 系统的可控性定义系统的可控性，并介绍判断可控性的方法。
解释可达集和可观集的概念。
3.3 系统的可观性定义系统的可观性，并介绍判断可观性的方法。
解释观测器和状态估计的概念。
第四章：线性系统的控制设计4.1 状态反馈控制介绍状态反馈控制的基本概念和设计方法。
解释状态观测器和状态估计在控制中的应用。
4.2 输出反馈控制介绍输出反馈控制的基本概念和设计方法。
解释输出反馈控制对系统稳定性和性能的影响。
4.3 比例积分微分控制介绍比例积分微分控制的基本概念和设计方法。
解释PID控制在工业控制系统中的应用。
第五章：非线性控制理论简介5.1 非线性系统的特点解释非线性系统的定义和特点。
介绍非线性系统的常见类型和特点。
5.2 非线性控制理论的方法介绍非线性控制理论的基本方法，如反馈线性化和滑模控制。
解释非线性控制理论在实际应用中的挑战和限制。
5.3 案例研究：倒立摆控制介绍倒立摆控制系统的特点和挑战。
解释如何应用非线性控制理论设计倒立摆控制策略。
船舶航迹控制研究综述_戚爱春
船舶航迹控制研究综述 江苏镇江比太系统工程有限公司 戚爱春 庄肖波【摘要】航迹跟踪控制是指在控制系统的驱动下，船舶从任意初始位置驶入预先规划好的航线，并沿此航线最终抵达目的地。
本文主要研究了船舶航迹控制问题中的轨迹跟踪、路径跟踪、直线航迹跟踪等问题，所得到的结果对于研究船舶航迹控制问题具有一定指导意义。
【关键词】航迹控制；直线航迹1.船舶航迹控制概述航迹跟踪控制是指在控制系统的驱动下，船舶从任意初始位置驶入预先规划好的航线，并沿此航线最终抵达目的地。
近年来，船舶航迹控制问题引起了学术界的广泛关注，并取得了较多的理论研究成果。
现存的大部分文献所提出的控制算法都依赖于精确的系统模型，且在建模过程中通常要进行适当的、合理的假设。
在对船舶航迹控制系统建模过程中，如果忽略船舶的横移以及流的干扰，则相应的船舶直线航迹控制问题比较容易解决，且能保证较好的控制性能；如果考虑船舶的横向漂移以及流的干扰，则相应的问题会比较复杂，且现有文献中的研究结果还不是很成熟[2]。
根据跟踪状态偏差与时间的关系，航迹跟踪可分为轨迹跟踪(Trajectory Tracking，TT)和路径跟踪(Path Following，PF)两大类[1]。
在实际航行中，大多数航迹跟踪控制都属于PF 问题，即不关心航速或时间。
TT问题要求系统在指定时间到达指定位置，而PF问题则是不考虑时间的几何位置跟踪。
根据航迹线的几何形状的不同，航迹跟踪控制问题又可以分为直线航迹跟踪控制和曲线航迹跟踪控制两大类。
如图1所示，航迹大体上可分为四种：大洋上的航迹一般属于第一类航迹；当船舶跟踪包括转向点在内的航迹时，属于2、3类航迹；航迹3往往是在浅水区航行时采用；航迹4用于采矿、挖掘等作业。
为确保航行安全，通常在航迹两侧划出一定宽度的偏差带作为航迹跟踪的允许误差。
航迹跟踪问题可分解为三个问题：(1)初始进入时要求快速返回航迹；(2)直线段航迹时要求高精度保持航迹；(3)航迹转向点附近的转向问题。
非线性控制8反馈线性化课件
将非线性模型在某一工作点附近进行线性化，忽略远离该点的输入和输 出值。局部线性化适用于工作点附近的分析和设计。
03
全局线性化
将非线性模型在整个工作范围内进行线性化，考虑所有可能的输入和输
出值。全局线性化适用于全局范围内的分析和设计。
反馈线性化的原理
反馈线性化的基本思想是通过引入适当的反馈控制器 ，使得非线性系统的输出能够跟踪期望的参考轨迹。
线性系统
指系统的输出与输入之间存在线性关 系的系统，即输出量是输入量的线性 组合。
非线性系统的特性
输入与输出关系复
杂
非线性系统的输入与输出关系通 常比较复杂，无法简单地通过线 性方程来描述。
动态行为多样
非线性系统的动态行为多种多样 ，可以表现出混沌、分岔、自激 振荡等复杂行为。
对初始条件敏感
非线性系统的状态对初始条件非 常敏感，即使初始条件只有微小 的变化，也可能导致系统状态的 巨大差异。
馈线性化的应用领域。
研究如何将8反馈线性化与其 他控制方法相结合，以获得更
好的控制效果。
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非线性控制8反馈线性化课 件
目 录
• 非线性系统概述 • 反馈线性化原理 • 非线性系统的8反馈线性化方法 • 8反馈线性化在非线性系统中的应用 • 8反馈线性化的优势与挑战
01 非线性系统概述
非线性系统的定义非线性系统源自指系统的输出与输入之间存在非线性 关系的系统，即系统的输出量与输入 量之间的关系不是线性的。
总结词
利用自适应算法调整反馈增益，实现非线性系统的线性化控制。
详细描述
基于自适应反馈的方法是通过引入自适应控制器，利用自适应算法不断调整反馈增益，使得非线性系 统的状态轨迹能够跟踪期望的线性系统轨迹。这种方法的关键在于设计合适的自适应算法，以保证系 统的稳定性和跟踪性能。
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的特征值在左半开平面，则整个状态反馈控制律为
u
a c
[sin(
x1
)
sin
]
1 c
(k1x1
k2
x2
)
消去非线性项的方法普遍适用吗？显然不能希望每个
非线性系统都能消去非线性项，但一定存在具有某种结构
特性的系统，允许消去非线性项。不难看出，如果通过相 减消去非线性项 (x) ，则控制器 u 和非线性项 (x) 必须以
现在就可以用线性控制理论求解这个跟踪控制问题
了。
上述讨论表明，有时对输入-输出映射进行线性化更有 意义，即使以保留一部分状态方程的非线性为代价。这种
情况称系统为可输入—输出线性化的。注意应用输入-输 出线性化，线性化的输入-输出映射并不能说明系统的全 部动态特性。在前面例子中，整个系统表示为
x1 a sin x2 x2 v y x2 注意，状态变量 x1 和输出 y 没有联系，换句话说就是线性
非线性项可以通过控制
u
x12
a
1 cos
x2
v
消去，当 / 2 x2 / 2 时，上式有明确定义。要求出新
坐标系 (z1, z2 ) 中的状态方程，可通过逆变换，即用 (z1, z2 )
表示 (x1, x2)
x1 z1
x2
sin 1
z2 a
9
非线性控制：输入—输出反馈线性化
上式当 a z2 a 时有定义。变换后的状态方程为
18
非线性控制：输入—输出反馈线性化
y(2)
(Lf h) [ f x
(x)
g(x)u]
L2f h(x)
Lg Lf h(x)u
同样，如果 Lg Lf h(x) 0 ，则 y(2) L2f h(x) ，且与 u 无关。重
复这一过程可看出，如果 h(x) 满足
Lg Lif1h(x) 0 ， i 1, 2,, 1 ； Lg Lf 1h(x) 0 则 u 不会出现在 y, y,, y(1) 的方程中，但出现在 y() 的方程
15
非线性控制：输入—输出反馈线性化
化反馈控制使得 x1 由 y 是不可观测的。在设计跟踪控制 时，应该保证变量 x1 具有良好性能，即在某种意义上是稳 定或有界的。一个仅采用线性输入-输出映射的简单控制 设计，可能会导致信号 x1(t) 不断增长。例如，假设设计一 个线性控制器，使输出 y 稳定在常数值 r 上，则 x1(t) x1(0) ta sin r ，当 sin r 0 时，x1(t) 会变得无界，这 类内部稳定问题可以用零动态概念解释。
用到以下表示：
Lg
Lf
h(x)
(Lf h) x
g ( x),
L2f
h(x)
Lf
Lf
h(x)
(Lf h) x
f
(x),
Lkf
h(x)
Lf
Lkf1h( x)
(
Lk 1 f
h)
x
f
(x),
L0f h(x) h(x)
如果的 Lgh(x) 0 ，则 y Lf h(x) ，与 u 无关。如果继续计
算 y 的二阶导数，记为 y(2) ，得
要求T () 和 T 1() 必须连续可微。
具有连续可微逆映射的连续可微映射称为微分同胚。
如果雅可比矩阵 [T / x] 在点 x0 D 是非奇异矩阵，则根
10
非线性控制：输入—输出反馈线性化
据反函数定理①，存在一个 x0 的邻域 N ，使得限定在 N 内
的T 是 N 上的微分同胚。如果映射T 是 Rn 上的微分同胚，
1
x1 x12
,
x2
x1 。
第 13 章 反馈线性化
考虑这样一类非线性系统
1
非线性控制：输入—输出反馈线性化
x f (x) G(x)u y h(x) 是否存在一个状态反馈控制 u (x) (x)v 及变量代换
z T(x) 把非线性系统转换为等效的线性系统。13.1 节通过几个简 单例子引入全状态线性化（full-state linearization）和输 入-输出线性化两个概念，并给出其表示方法。
非线性控制：输入—输出反馈线性化
对于系统（13.1），可以通过状态反馈
u (x) (x)v
(13.2)
将其线性化，其中 (x) 1(x) ，得到线性状态方程：
x Ax Bv
(13.3)
为了实现稳定，可设计 v Kx ，使得 A BK 为 Hurwitz
矩阵。整个非线性稳定状态反馈控制为
13.2 输入-输出线性化
考虑单输入—单输出系统
16
非线性控制：输入—输出反馈线性化
x f (x) g(x)u
(13.7)
y h(x)
(13.8)
其中 f ， g 和 h 在定义域 D Rn 上足够光滑。映射
f : D Rn 和 g : D Rn 称为 D 上的向量场。导数 y 为
其中
中，则可用状态方程和输出方程描述状态模型。对状态方
程线性化，没有必要对输出方程也线性化。例如，如果系
统
x1 a sin x2 x2 x12 u
的输出为 y x2 ，则变量代换和状态反馈控制为
可得
z1
x1
，
z2
a sin
x2
，u
Hale Waihona Puke x12a1 cos
x2
v
13
非线性控制：输入—输出反馈线性化
z1 z2 z2 v y sin 1 z2
控制在 13.4 节讨论，其中涉及到稳定性和跟踪问题。
13.1 引言
为了引入反馈线性化的感念，首先讨论稳定单摆方程
3
非线性控制：输入—输出反馈线性化
x1 x2 x2 a[sin( x1 ) sin ] bx2 cu
的原点问题。通过观察上面的系统状态方程，可以选择
u
a c
sin(
x1
5
非线性控制：输入—输出反馈线性化
乘积形式 (x)u 出现。如果矩阵 (x) 在所讨论的区域是非
奇异矩阵，则可以通过 u (x)v 消去，其中 (x) 1(x)
是矩阵 (x) 的逆矩阵。因此，如果能利用反馈消去非线性
项，就可以将非线性状态方程转变成一个可控的线性状态
方程。
考虑如下结构的非线性状态方程：
a 虽然状态方程是线性的，但由于输出方程是非线性的，因
此求解关于 y 的跟踪控制问题仍然很复杂。观察 x 坐标系
中的状态方程和输出方程可以发现，如果状态反馈控制采
用 u x12 v ，就能够将 u 到 y 的输入-输出映射线性化，此 时线性模型为
x2 v y x2
14
非线性控制：输入—输出反馈线性化
系统在 D0 {x 2 | x2 0}上的相对阶为 1。
21
非线性控制：输入—输出反馈线性化
例 13.2 考虑系统
x1 x1 x2 x2 u y x1
计算 y 的导数，得
y x1 x1 y
因而，对于所有 n 1 ， y(n) y x1 。在这种情况下，系统 不具有符合上述定义的相对阶,因为输出 y(t) x1(t) et x1(0) 与输入 u 无关。
当 lim x T ( x) 时，T 是全局微分同胚映射（证明参见文献[165]
或文献[212]）。 11
非线性控制：输入—输出反馈线性化
滑①。如果存在一个微分同胚映射 T : D Rn ，使得
Dx T (D) 包含原点，且可以通过变量代换 z T (x) 将系统
(13.5)转化为下形式： z Az B (x)[u (x)]
例 13.3 一个场控直流电动机，若忽略轴阻尼，其模型为
22
非线性控制：输入—输出反馈线性化
状态方程（见习题 1.17）：
y
h x
[
f
(x)
g ( x)u ]
Lf
h(x)
Lg h( x)u
Lf h(x)
h x
f (x)
称为 h 关于 f 或沿 f 的 Lie 导数，这种表示方法类似于 h 沿
系统 x f (x) 轨迹的导数。当重复计算关于同一向量场或
17
非线性控制：输入—输出反馈线性化
一新向量场的导数时，这种新表示法较为方便。例如，要
所谓全状态线性化是指把状态方程完全线性化，输入 -输出线性化则是把输入-输出映射线性化，而状态方程只
2
非线性控制：输入—输出反馈线性化
是部分线性化。 13.2 节将研究输入-输出线性化，介绍相对阶、零动态
和最小相位系统。 13.3 节将给出一类可反馈线性化的非线性系统的特
征。 有关可反馈（或可部分反馈）线性化系统的状态反馈
x1 a sin x2 x2 x12 u 不能简单选取 u 消去非线性项 a sin x2 。但是，如果先通过 变换
z1 x1 z2 a sin x2 x1 改变状态变量，则 z1 和 z2 满足
8
非线性控制：输入—输出反馈线性化
z1 z2 z2 a cos x2 (x12 u)
z1 z2
z2
a
cos
sin
1
z2 a
(
z12
u)
当用变量代换 z T (x) 将状态方程从 x 坐标系变换到
z 坐标系时，映射T 必须是可逆的，即必须存在逆映射
T 1() ，使得对于所有 z T (D) ，有 x T 1(z) ，这里 D 是T
的定义域。此外，由于 z 和 x 的导数应该是连续的，因此
且T (Rn ) Rn ，则称T 为全局微分同胚映射②。
至此我们可以给出可反馈线性化系统的定义。
定义 13.1 一个非线性系统 x f (x) G(x)u