第十一章组合变形

知识点11：组合变形
一、组合变形
１．杆件同时发生两种或两种以上的基本变形时，称为组合变形。

２．计算组合变形问题，是以杆件发生“小变形”为前提，在此条件下，不同基本变形所引起的应力和变形，各自独立，互不影响，可以应用叠加原理。

即先根据各内力分量分别计算杆件在每一种基本变形下的应力和变形，再把计算结果叠加，得到杆件在原载荷作用下的应力和变形。

二、 斜弯曲
１．当梁所受到的横向力不在梁的主惯性平面内时，梁将发生斜弯曲。

斜弯曲是梁在其两个主惯性平面内弯曲的组合变形。

2．对于圆形、正方形等截面梁，其截面对两个主惯性轴的惯性矩相等，不会发生斜弯曲。

3．当梁的载荷不通过截面的弯曲中心时，除斜弯曲外，梁还发生扭转变形。

4．图11-1所示矩形截面悬臂梁受横向力Ｆ作用，把力Ｆ沿y 轴和z 轴分解，梁将在xy 和xz 两个主惯性平面内弯曲。

图11-1
xy 平面内的弯曲应力：
y I M z
z
=
'σ xz 平面内的弯曲应力：
z I M y
y =
''σ
组合变形（斜弯曲）的应力： z I M y I M y
y z z
+=''+'=σσσ 5．斜弯曲的中性轴方程
0=+z I M y I M y
y z z
中性轴通过截面形心，但和载荷作用平面不垂直。

距中性轴最远的点处正应力最大。

6．斜弯曲时梁的弯曲平面和载荷作用平面不在同一平面，但弯曲平面和中性轴相垂直。

三、拉伸（压缩）与弯曲的组合
1．杆件受拉伸（压缩）与弯曲组合时，弯曲变形的中性轴位置将偏移。

2. 杆在拉伸（压缩）与弯曲的组合变形时，分别计算拉伸（压缩）正应力和弯曲正应力，叠加后进行强度计算。

3．拉伸（压缩）时，横截面的正应力： A
N
N =σ
弯曲时，横截面的最大拉压正应力：
W
M M ±
=σ 拉伸（压缩）与弯曲的组合，横截面的最大拉压正应力： W
M
A N ±=σ
4．杆件受偏心拉伸（压缩）时，其截面上存在称为截面核心的区域，当偏心轴向力作用在截面核心内时，截面上只产生拉应力（或压应力）。

截面核心在工程上有很大的意义。

四、圆杆的弯曲与扭转组合变形
1．当圆杆发生两面弯曲与扭转的组合变形时，不能求出两个平面弯曲的最大正应力后，进行叠加得到圆杆的最大正应力，而应先求出两平面弯曲的合成弯矩，再求其最大弯曲正应力。

2. 图11-2为受弯曲与扭转组合变形构件危险点的应力状态，图中 弯曲正应力：
W
M
=
σ 扭转切应力： P
W Mz
=τ
图11-2
3．对于弯曲与扭转组合变形构件危险点的应力状态，可得第三强度理论的强度条件和第四强度理论的强度条件：
[]στσσ≤+=2234xd
[]στσσ≤+=2243xd
4．注意到圆杆的ＷＰ＝２Ｗ，可得到圆杆弯曲和扭转组合变形以内力表示的强度条件：
[]σσ≤+=
2231
n xd M M W
[]σσ≤+=224
75.01n xd M M W
五、难题解析
【例1】有一木质拉杆如图11-3所示，截面原为边长a 的正方形，拉力P F 与杆轴重和，后因使用上的需要，在杆长的某一段范围内开一
2
a
宽的切口，如图11-3所示，试求m m -截面上的最大拉应力和最大压应力，以及这最大拉应力是截面削弱前的拉应力值的几倍？
图11-3
解：截面削弱后最大拉应力为
2222max
8262
)2(614a F a F a F a a F a a a
F A F W M p p p p p N =+=⋅+⋅
=+=+σ
截面削弱后的最大压应力为
222max
426a
F a F a F A F W M p p p N =-=-=-
σ
截面削弱前的拉应力为
21a
F A F p N
==
σ 截面削弱前后拉应力之比为：
882
21max
==+
a F a F p p
σσ
【例2】如图11-4所示折杆，AB 段为圆截面，BC AB ⊥，若AB 杆直径
mm d 100=，材料的许用应力MPa 80][=σ。

试按第三强度理论确定许用载荷][F 。

图11-4
解：将外力向AB 杆轴线简化，得到一个力F '和力偶e M ，即
F M F F e '=='1200；
力F '使轴产生弯曲变形，力偶e M 使轴发生扭转变形。

危险截面上的扭矩和弯矩分别为
F M F M n '='=2.12.1；
由
][212002
23σσ≤=+=
z
z n xd W F
W M M
kN N W F z 63.42
120080
10032
21200]
[3=⨯⨯=≤
π
σ
故许用载荷][F 为kN 63.4。