2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组C卷)

2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛

决赛试卷（小高组C卷）

一、填空题（每小题6分，共48分）

1．（6分）计算：+=．

2．（6分）某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第1日是星期．

3．（6分）大于且小于的真分数有个．

4．（6分）哥哥和弟弟各买了若干个苹果，哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果，咱俩的苹果个数一样多”．弟弟想了想，对哥哥说：“若我给你一个苹果，你的苹果数将是我的2倍”，则哥哥与弟弟共买了个苹果．

5．（6分）图中，AB=AD，∠DBC=21°，∠ACB=39°，则∠ABC=度．

6．（6分）已知抽水机甲和抽水机乙的工作效率比是3：4，如两台抽水机同时抽取某水池，15小时抽干水池，现在，乙抽水机抽水9小时后关闭，再将甲抽水机打开，要抽干水池还需要小时．

7．（6分）n为正整数，形式为2n﹣1的质数称为梅森数，例如：22﹣1=3，23﹣1=7是梅森数．最近，美国学者刷新了最大梅森数，n=74207281，这个梅森数也是目前已知的最大的质数，它的个位数是．

8．（6分）图中，ABCD是直角梯形，上底AD=2，下底BC=6，E是DC上一点，三角形ABE的面积是15.6，三角形AED的面积是4.8，则梯形ABCD的面积是．

二、解答题（共4小题，满分22分）

9．（5分）甲、乙两人，在一圆形跑道上同时同地出发，反向跑步，已知甲的速度是每分钟180m，乙的速度是每分钟240m，在30分钟内，它们相遇了24次，问跑道的长度最多是多少米？

10．（5分）一筐苹果分成甲乙两份，甲的个数和乙的苹果个数比是27：25，甲多乙少，若从甲中至少取出4个，加入乙中，则乙多甲少，问这筐苹果有多少个？

11．（6分）如图是一个等边三角形，等分为4个小的等边三角形，用红和黄两种颜色涂染它们的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能涂一种颜色．涂完后，如果经过旋转，等边三角形的涂色相同，则认为是相同的涂色，则共有多少种不同的涂法？

12．（6分）三台车床A，B，C各以一定的工作效率加工同一种标准件，A车床比C车床早开机10分钟，C车床比B车床早开机5分钟，B车床开机10分钟后，B，C车床加工的标准件的数量相同，C车床开机30分钟后，A，C两车床加工的标准件个数相同，B车床开机多少分钟后就能与A车床加工的标准件的个数相同？

三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）

13．（15分）黑板上先写下一串数：1，2，3，…，100，如果每次都擦去最前面的6个，并在这串数的最后再写上擦去的6个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不足6个．问：

（1）最后黑板上剩下的这些数的和是多少？

（2）最后所写的那个数是多少？

14．（15分）数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题6道，答对1道，得7分，未答对，得0分，参赛人数400人，至少有多少人的总分相同？

2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛

决赛试卷（小高组C卷）

参考答案与试题解析

一、填空题（每小题6分，共48分）

1．（6分）计算：+=．

【分析】可以先将原式化简，将分子分母分别计算出结果，然后最后求得结果．【解答】解：根据分析，原式=+

==

=

=

=

=；

故答案是：．

【点评】本题考查了繁分数，突破点是：可以先将原式化简，将分子分母分别计算出结果，然后最后求得结果．

2．（6分）某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第1日是星期五．

【分析】首先根据1个月最多有31天，可得：1个月最多有4个星期零3天；

然后根据该月星期五、星期六和星期日各有5天，可得：该月的第1日是星期五，据此解答即可．

【解答】解：因为31÷7=4（个）…3（天），

所以1个月最多有4个星期零3天，

因为该月星期五、星期六和星期日各有5天，

所以该月的第1日是星期五．

答：该月的第1日是星期五．

故答案为：五．

【点评】此题主要考查了年、月、日的特征和判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一年中，1个月最多有31天．

3．（6分）大于且小于的真分数有无穷多个．

【分析】比较两个分数大小时，要么分子和相同，要么分母相同，才可比较．所以针对此题中的两个分数，先要通分变成分母相同的两个分数再进行比较即可．

【解答】解：=，=；

比2015大且小于2016的数有无数个，这无数个数都比2015×2016小．以这无数个数中的任何一个数做分子，2015×2016做分母组成的所有分数都是真分数．

故：大于且小于的真分数有无穷多个．

【点评】只要遇到比较分数大小的题，都要使其分子或分母相同，再做比较．

4．（6分）哥哥和弟弟各买了若干个苹果，哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果，咱俩的苹果个数一样多”．弟弟想了想，对哥哥说：“若我给你一个苹果，你的苹果数将是我的2倍”，则哥哥与弟弟共买了12个苹果．

【分析】首先分析哥哥比弟弟多几个苹果，同时找到第二次的数量差即可求出一

份量．问题解决．

【解答】解：依题意可知：

哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果，咱俩的苹果个数一样多”．说明哥哥比弟弟多2个苹果．

弟弟若给哥哥一个苹果，哥哥的苹果数将是弟弟的2倍”，那么弟弟比哥哥少了4个苹果．

此时4÷（2﹣1）=4（个）．

弟弟此时4个，哥哥8个共4+8=12个．

故答案为：12

【点评】本题考查对和差倍问题的理解和运用，关键问题是找到一份量的数量，问题解决．

5．（6分）图中，AB=AD，∠DBC=21°，∠ACB=39°，则∠ABC=81度．

【分析】如果想求出∠ABC的度数，那么需要求出∠ABD度数，根据AB=AD可知底角相等．再根据外角即可求解．

【解答】解：依题意可知：

∠DBC=21°，∠ACB=39°

根据外角等于不相邻的内角和可知∠ADB=∠C+∠DBC=21°+39°=60°．

∵AB=AD．∴∠ADB=∠ABD=60°．

∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°+21°=81°．

故答案为：81

【点评】本题考查对长度和角度的立即和运用，关键是找到角之间的等量关系．问题解决．

6．（6分）已知抽水机甲和抽水机乙的工作效率比是3：4，如两台抽水机同时抽取某水池，15小时抽干水池，现在，乙抽水机抽水9小时后关闭，再将甲抽