17.1第三课时 分式的优化练习
人教版八年级上册第十五章 《分式》培优训练
《分式》培优训练一．选择题1．要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x＝0 B．x＝1 C．x≠0 D．x≠12．计算：的结果是（）A．B．C．D．3．如果a﹣b＝4，且a≠0，b≠0，那么代数式（﹣b）÷（）的值是（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣24．分式方程﹣＝0的解是（）A．x＝4 B．x＝C．x＝﹣6 D．x＝﹣5．如图，在数轴上，表示的值的点可以是（）A．P点B．Q点C．M点D．N点6．抗击“新冠肺炎”疫情中，某呼吸机厂家接到一份生产300台呼吸机的订单，在生产完成一半时，应客户要求，需提前供货，每天比原来多生产20台呼吸机，结果提前2天完成任务．设原来每天生产x台呼吸机，下列列出的方程中正确的是（）A．+＝+2 B．+＝+2C．＝﹣2 D．＝﹣27．若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜6 B．m＞6 C．m＞6且m≠8 D．m＜6且m≠0 8．已知x﹣＝1，则x2+等于（）A．3 B．2 C．1 D．09．根据如图所示的框图，若输入x＝（）﹣1，y＝，则输出的m的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣0.510．若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．7 B．8 C．14 D．15二．填空题11．分式和的最简公分母为．12．使代数式有意义的x的取值范围是．13．若a2﹣4a+1＝0，那么＝．14．已知（ab≠0），则代数式的值为．15．若关于x的分式方程﹣＝1的解为正数，且关于y的一元一次不等式组的解集为无解，则符合条件的所有整数a的和为．三．解答题16．化简：（1）x﹣y+；（2）×．17．解方程：（1）＝；（2）+2＝．18．先化简，再求值：，其中x＝﹣6．19．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：（1）甲、乙两公司各有多少人？（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．20．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A 种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B 种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？参考答案一．选择题1．解：由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1，故选：D．2．解：原式＝÷＝•＝．故选：A．3．解：（﹣b）÷（）＝•＝•＝a﹣b，∵a﹣b＝4，∴原式＝4．故选：B．4．解：分式方程﹣＝0，去分母得：2（x+2）﹣3x＝0，去括号得：2x+4﹣3x＝0，解得：x＝4，经检验x＝4是分式方程的解．故选：A．5．解：＝+＝+＝＝1．故选：C．6．解：设原来每天生产x台呼吸机，根据题意可列方程：+＝﹣2，整理，得：＝﹣2，故选：D．7．解：原方程化为整式方程得：2﹣x﹣m＝2（x﹣2），解得：x＝2﹣，因为关于x的方程+＝2的解为正数，所以2﹣＞0，解得：m＜6，因为x＝2时原方程无解，所以可得2﹣≠2，解得：m≠0．故选：D．8．解：∵x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，即x2﹣2+＝1，则x2+＝3，故选：A．9．解：∵x＝（）﹣1＝2，y＝，∴x≠y，∴m＝y＝．故选：C．10．解：解不等式组，得，∵不等式组无解，∴a﹣1≤6，∴a≤7．解分式方程，得y＝，∵y＝为非负整数，a≤7，∴a＝﹣1或1或3或5或7，∵a＝1时，y＝1，原分式方程无解，故将a＝1舍去，∴符合条件的所有整数a的和是﹣1+3+5+7＝14，故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：分式和的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n）．则它们的最简公分母是2（m﹣n）．故答案是：2（m﹣n）．12．解：由题意，得．解得x≠±3且x≠﹣4．故答案是：x≠±3且x≠﹣4．13．解：∵a2﹣4a+1＝0，∴a﹣4+＝0，则a+＝4，∴原式＝4﹣2＝2，故答案为：2．14．解：∵（ab≠0），∴，∴（a2+b2）2＝4a2b2，∴（a2﹣b2）2＝0，∴a2＝b2，∴a＝±b，当a＝b时，＝12019﹣12020＝1﹣1＝0；当a＝﹣b时，＝（﹣1）2019﹣（﹣1）2020＝（﹣1）﹣1＝﹣2；故答案为：0或﹣2．15．解：分式方程﹣＝1的解为x＝且x≠，∵关于x的分式方程﹣＝1的解为正数，∴＞0且≠，∴a＞0且a≠1．，解不等式①得：y＞3；解不等式②得：y＜a．∵关于y的一元一次不等式组的解集为无解，∴a≤3．∴0＜a≤3且a≠1．∵a为整数，∴a＝2、3，整数a的和为：2+3＝5．故答案为5．三．解答题（共5小题）16．解：（1）原式＝+＝＝；（2）原式＝×＝．17．解：（1）两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：3（x﹣1）＝6，解得x＝3，检验：x＝3时，（x+1）（x﹣1）＝8≠0，∴分式方程的解为x＝3；（2）两边都乘以x﹣4，得：﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，解得x＝4，检验：当x＝4时，x﹣4＝0，∴x＝4是分式方程的增根，∴原分式方程无解．18．解：原式＝×＝﹣＝，当x＝﹣6时，原式＝＝2．19．解：（1）设甲公司有x人，则乙公司有（x+30）人，依题意，得：×＝，解得：x＝150，经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，∴x+30＝180．答：甲公司有150人，乙公司有180人．（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，依题意，得：15000m+12000n＝100000+140000，∴m＝16﹣n．又∵n≥10，且m，n均为正整数，∴，，∴有2种购买方案，方案1：购买8箱A种防疫物资，10箱B种防疫物资；方案2：购买4箱A种防疫物资，15箱B种防疫物资．20．解：（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴1.4x＝280．答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．（2）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，依题意，得：（300﹣200）×+（300×0.7﹣200）×+（400﹣280）×+（400×0.7﹣280）×＝5800，解得：m＝40，∴100﹣m＝60．答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．。
分式等式优化专题训练
分式等式优化专题训练引言本文将介绍分式等式优化的相关知识并提供专题训练题目，帮助读者加深对该知识点的理解和应用。
分式等式优化分式等式优化是数学中的一个重要概念，主要涉及到求解分式等式的最简形式。
在进行优化之前，我们需要将分式等式化简为最简形式，以便更好地应用于数学推导和问题求解。
优化方法下面是几种常见的分式等式优化方法：1. 化简法：根据等式的性质和规律，通过合理的化简步骤，将分式等式化简为最简形式。
例如，使用最大公约数化简法、分子分母同乘法等方法。
2. 去分母法：通过将等式两边的分母约去，得到去分母后的等式，并确定去分母的限制条件。
然后解决分式去分母后的等式，得出解。
3. 变量替换法：通过引入新的变量，将分式等式转化为一般等式或代数方程，从而简化问题的求解过程。
4. 等号两侧通分法：对于有分式等式的加减法运算，可通过等号两侧通分的方式，将分式等式中的分母约掉，并进行运算。
专题训练题目下面是一些分式等式优化的专题训练题目，供读者练和巩固所学知识：1. 求解下列等式：$\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = c$2. 化简下列分式等式：$\frac{3a}{12} + \frac{4b}{12}$3. 已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$，求解$x$和$y$4. 如果$\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$，且$\frac{x}{y} =\frac{m}{n}$，求解$a$、$b$、$m$和$n$5. 求解下列等式的解：$\frac{3x}{5} + 1 = \frac{4x-1}{5}$结论分式等式优化是数学中的一个重要内容，通过本文的介绍，读者可以了解到一些常见的优化方法，并通过专题训练题目加深对该知识点的理解和应用。
希望本文能够对读者在数学研究中有所帮助。
分式培优练习题(完整标准答案)
分式培优练习题(完整标准答案)分式（一）选择1.下列运算正确的是（）。
A。
-4=1 B。
(-3)-1=1 C。
(-2m-n)2=4m-n D。
(a+b)-1=a-1+b-12.分式 y-z/x+z+x-y 的最简公分母是（）。
A。
2 B。
C。
D。
23.用科学计数法表示的数-3.6×10-4写成小数是（）。
A。
0. B。
-0.0036 C。
-0. D。
-0.若分式 x-2/x-5x+6 的值为 k，则 x 的值为（）。
A。
2 B。
-2 C。
2或-2 D。
2或35.计算 |1+(1/x-1)/(x-1)| 的结果是（）。
A。
1 B。
x+1 C。
x+1/x-1 D。
x/(x-1)6.工地调来 72 人参加挖土和运土，已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派 x 人挖土，其它的人运土，列方程①72-x=3x+72④=3.上述所列方程，正确的有（）个。
A。
1 B。
2 C。
3 D。
47.在分式a/(x^2+2πx+y)+m/(x-2) 中，分式的个数是（）。
A。
2 B。
3 C。
4 D。
58.若分式方程 (1-a)/(x-2)+(a+x)/(x-1)=3 有增根，则 a 的值是（）。
A。
-1 B。
C。
1 D。
29.若 1/(11-ba)=1/(ab+ba)=-3，则 (a-b)/(a+b) 的值是（）。
A。
-2 B。
2 C。
3 D。
-310.已知 b0，且ab≠0，其中第 7 个式子是 1/(a+7b)，一组按规律排列的式子：-b^2/a，-b^5/a^2，-b^8/a^3，-b^11/a^4，……，其中第 n 个式子是 -b^(3n-2)/a^n。
若 7m=3，7n=5，则 72m-n=（）。
A。
-1 B。
1 C。
2 D。
311.化简 (a^2-ab+b^2)/(a-b)^2.2.若 0<x<1，且 x+1/x=6，求 x-1/x 的值。
人教版八年级上册课时练：第15章《分式》实际应用提优(三)
课时练：第15章《分式》实际应用提优（三）1．“垃圾分一分，环境美十分”某中学为更好地进行垃圾分类，特购进A，B两种品牌的垃圾桶，购买A品牌垃圾桶花费了4000元，购买B品牌垃圾桶花费了3000元，且购买A品牌垃圾桶数量是购买B品牌垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B品牌垃圾桶比购买一个A品牌垃圾桶多花50元．（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？（2）该中学决定再次购进A，B两种品牌垃圾桶共20个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整，A品牌垃圾桶按第一次购买时售价的九折出售，B品牌垃圾桶售价比第一次购买时售价提高了10%，如果这所中学此次购买A，B两种品牌垃圾桶的总费用不超过2550元，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？2．某周日，珂铭和小雪从新天地小区门口同时出发，沿同一条路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应节能环保，绿色出行的号召，两人步行，已知珂铭的速度是小雪的速度的1.2倍，结果珂铭比小雪早6分钟到达．（1）求小雪的速度；（2）活动结束后返回，珂铭与小雪的速度均与原来相同，若小雪计划比珂铭至少提前6分钟回到小区，则小雪至少要比珂铭提前多长时间出发？3．超市老板大宝第一次用1000元购进某种商品，由于畅销，这批商品很快售完，第二次去进货时发现批发价上涨了5元，购买与第一次相同数量的这种商品需要1250元．（1）求第一次购买这种商品的进货价是多少元？（2）若这两批商品的售价均为32元，问这两次购进的商品全部售完（不考虑其它因素）能赚多少元钱？4．某中学购买A、B品牌篮球分别花费了2400元、1950元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花50元．（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？（2）该学校决定再次购进A、B两种品牌篮球共30个，恰逢百货商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了10%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3200元，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌篮球？5．在“旅游示范公路”建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一条长1200m的步行道．由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求计划平均每天修建步行道的长度．6．“一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，某公司生产A，B两种机械设备，每台B种设备的成本是A种设备的1.5倍，公司若投入16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，则可生产两种设备共10台．请解答下列问题：（1）A、B两种设备每台的成本分别是多少万元？（2）若A，B两种设备每台的售价分别是6万元，10万元，公司决定生产两种设备共60台，计划销售后获利不低于126万元，且A种设备至少生产53台，求该公司有几种生产方案．7．某市文化宫学习十九大有关优先发展交于的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．（1）求文化宫第一批购进书包的单价是多少？（2）商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？8．小明元旦前到文具超市用15元买了若干练习本，元旦这一天，该超市开展优惠活动，同样的练习本比元旦前便宜0.2元，小明又用20.7元钱买练习本，所买练习本的数量比上一次多50%，小明元旦前在该超市买了多少本练习本？9．从泰州乘“K”字头列车A、“T”字头列车B都可直达南京，已知A车的平均速度为80km/h，B车的平均速度为A车的1.5倍，且行完全程B车所需时间比A车少40分钟．（1）求泰州至南京的铁路里程；（2）若两车以各自的平均速度分别从泰州、南京同时相向而行，问经过多少时间两车相距40km？10．骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．A，B两种型号车的进货和销售价格表：A型车B型车进货价格（元/辆）1100 1400销售价格（元/辆）今年的销售价格2400（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元；（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？参考答案1．解：（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需（x+50）元，依题意，得：＝2×，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，∴x+50＝150．答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元．（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买（20﹣m）个A品牌垃圾桶，依题意，得：100×0.9（20﹣m）+150×（1+10%）m≤2550，解得：m≤10．答：该学校此次最多可购买10个B品牌垃圾桶．2．解：设小雪的速度是x米/分钟，则珂铭速度是1.2x米/分钟，依题意得：，解得：x＝50，经检验x＝50是原方程的解，答：小雪的速度是50米/分钟．（2）1.2×50＝60（米/分钟），1800÷50＝36（分钟），1800÷60＝30（分钟），设小雪比珂铭提前a分钟出发，根据题意得，a+30﹣36≥6，解得a≥12，答：小雪至少要比珂铭提前出发12分钟．3．解：（1）设第一次购买这种商品的进货价为x元，依题意得．解之得：x＝20．经检验x＝20是原方程的解．答：第一次购买这种商品的进货价为20元；（2）每次购买的商品数量是（件）所以，（32﹣20）×50+（32﹣25）×50＝950（元）答：这两次购进的商品全部售完能赚950元．4．解：（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+50）元，由题意得＝×2，解得：x＝80，经检验x＝80是原方程的解，x+50＝130．答：购买一个A品牌的篮球需80元，购买一个B品牌的篮球需130元．（2）设此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（30﹣a）个，由题意得80×（1+10%）（30﹣a）+130×0.9a≤3200，解得a≤19，∵a是整数，∴a最大等于19，答：该学校此次最多可购买19个B品牌蓝球．5．解：设计划平均每天修建步行道的长度为xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5xm，依题意，得：﹣＝5，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．答：计划平均每天修建步行道的长度为80m．6．解：（1）设A种设备每台的成本是x万元，B种设备每台的成本是1.5x万元，根据题意得：，解得：x＝4，经检验x＝4是分式方程的解，∴1.5x＝6．答：A种设备每台的成本是4万元，B种设备每台的成本是6万元；（2）设A种设备生产a台，则B种设备生产（60﹣a）台，根根据题意得：，解得：53≤a≤57．∵a为整数，∴a＝53，54，55，56，57，∴该公司有5种生产方案．7．解：（1）设第一批购进书包的单价为x元．依题意，得，整理，得20（x+4）＝21x，解得x＝80．检验：当x＝80时，x（x+4）≠0，∴x＝80是原分式方程的解．答：第一批购进书包的单价为80元，（2）＝300+1050＝1350答：商店共盈利1350元．8．解：设小明元旦前在该超市买了x本练习本，则元旦这一天在该超市买了1.5x本练习本，根据题意得：﹣＝0.2，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．答：小明元旦前在该超市买了6本练习本．9．解：（1）设泰州至南京的铁路里程是xkm，则，解得：x＝160．答：泰州至南京的铁路里程是160 km；（2）设经过th两车相距40 km．①当相遇前两车相距40 km时，80t+1.5×80t+40＝160，解得t＝0.6；②当相遇后两车相距40 km时，80t+1.5×80t﹣40＝160．解得t＝1．综上所述，经过0.6h或1h两车相距40km．答：经过0.6h或1h两车相距40km．10．解：（1）设去年6月份A型车每辆销售价x元，那么今年6月份A型车每辆销售（x+400）元，根据题意得＝，解得：x＝1600，经检验，x＝1600是方程的解．x＝1600时，x+400═2000．答：今年6月份A型车每辆销售价2000元．（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，根据题意得50﹣m≤2m，解得：m≥16，∵y＝（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）＝﹣100m+50000，∴y随m的增大而减小，∴当m＝17时，可以获得最大利润．答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．。
分式化简练习题精选及答案
分式化简练习题精选及答案分式是数学中的基本概念，它在数学中起到了非常重要的作用。
在分式化简练习中，我们需要掌握基本的分式化简原理，并且需要广泛练习各种类型的分式化简题目。
下面是一些常见的分式化简练习题目以及解答方法，希望对大家的学习有所帮助。
一、简单的分式化简题目1. 将 $\frac{2x+4}{x+2}$ 化简为最简分式。
解：这个分式可以化简为 $\frac{2(x+2)}{x+2}$，然后可以简化为 $2$。
2. 将 $\frac{x^2-4}{x+2}$ 化简为最简分式。
解：这个分式可以化简为 $\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}$，然后可以简化为 $x-2$。
3. 将 $\frac{x^2+4x+4}{x^2-4x+3}$ 化简为最简分式。
解：这个分式可以化简为 $\frac{(x+2)^2}{(x-1)(x-3)}$，然后可以简化为 $\frac{(x+2)^2}{(x-1)(x-3)}$。
二、含有多项式的分式化简题目1. 将 $\frac{x^3+8}{x^2-2x-24}$ 化简为最简分式。
解：这个分式可以化简为$\frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{(x-6)(x+4)}$，然后可以简化为 $\frac{x^2-2x+4}{x-6}$。
2. 将 $\frac{x^3-4x^2-7x+10}{x^2+4x+4}$ 化简为最简分式。
解：这个分式可以化简为 $\frac{(x-2)(x+1)^2}{(x+2)^2}$，然后可以简化为 $\frac{x-2}{x+2}$。
三、复杂的分式化简题目1. 将$\frac{1}{x^2+4x+3}+\frac{1}{x^2+2x}$ 化简为最简分式。
解：首先找到这两个分式的公共分母，它是$(x+1)(x+3)x(x+2)$。
然后将每个分式乘以合适的因数得到通分式，最后将通分式加起来得到最简分式。
2. 将 $\frac{x+1}{x^3-1}-\frac{1}{x^2-x}$ 化简为最简分式。
分式练习计算练习题(超全)
分式练习题一 填空题1.下列有理式中是分式的有 (1)－3x ；(2)y x ；(3)22732xy y x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7)－π-12m ； (8)5.023+m ； 2.（1）当a 时，分式321+-a a 有意义；（2）当_____时,分式4312-+x x 无意义； （3）当______时,分式68-x x 有意义；（4）当_______时,分式534-+x x 的值为1； （5）当______时,分式51+-x 的值为正；（6）当______时分式142+-x 的值为负. （7）分式36122--x x 有意义，则x (8)当x = 3时，分式b x a x +-无意义，则b ______ 3．（1）若分式0)1x )(3x (1|x |=-+-，则x 的值为_________________； （2）若分式33x x --的值为零，则x = ； （3）如果75)13(7)13(5=++a a 成立,则a 的取值范围是__________； （4）若)0(54≠=y y x ,则222y y x -的值等于________； （5）分式392--x x 当x __________时分式的值为零； （6）当x __________时分式xx 2121-+有意义； （7）当ｘ=＿＿＿时，分式22943x x x --+的值为0； （8）当x______时,分式11x x +-有意义； （10）当a=_______时,分式2232a a a -++ 的值为零； （11）当分式44x x --=-1时,则x__________；（12）若分式11x x -+的值为零，则x 的值为 （13）当x________时,1x x x -- 有意义. 4.①())0(,10 53≠=a axy xy a ②()1422=-+a a 。
5.约分：①=ba ab 2205__________，②=+--96922x x x __________。
八年级数学下册 (16.1.1 从分数到分式) 课时同步优化习题(含答案)
第十六章 分 式 16.1 分 式16.1.1 从分数到分式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列各式:①312-x ;②x x 22;③21x;④πv .其中分式有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案:B2.(2010浙江模拟,2)已知分式11+-x x 的值是零,那么x 的值是( ) A.-1 B.0 C.1 D.±1答案:C3.当x____________________时,分式)2)(1(--x x x 有意义. 解析：分式有意义必须其分母不等于0,即(x-1)(x-2)≠0,即x≠1且x≠2.答案：≠1且x≠24.当x=____________________时,分式2)2(--x x x 无意义. 解析：分式无意义,其分母为零.由x-2=0,得x=2答案：210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列说法中正确的是( )A.如果A 、B 是整式，那么BA 就叫做分式 B.分式都是有理式，有理式都是分式C.只要分式的分子为零，分式的值就为零D.只要分式的分母为零，分式就无意义解析：B 中不一定含有字母，BA 就不一定是分式，故A 不对.有理式可能是分式，也可能是整式，故B 不对.分式的分子为零时，分母要为零，分式就无意义了，故C 不对.所以，本题选D.答案:D2.下列各式中，不论字母x 取何值时分式都有意义的是( ) A.121+x B.15.01+x C.231x x - D.12352++x x 解析：A.当分母2x+1≠0即x≠21-时，分式121+x 有意义.B.当分母0.5x+1≠0即x≠-2时，分式15.01+x 有意义.C.当分母x 2≠0即x≠0时，分式231xx -有意义.D.因为x 2≥0，所以2x 2+1≥1，所以不论x 取何值，分母2x 2+1≠0，所以不论字母x 取何值时，分式12352++x x 都有意义. 答案:D3.当x=____________时,分式xx x -2的值为0. 解析：分式B A 的值为零的条件是A=0且B≠0,根据题意,得⎩⎨⎧≠=-.0,02x x x 解得x=1. 答案：14.当m____________时，分式mm 4127-+有意义. 解析：要使分式有意义必使分式的分母不等于零.当1-4m≠0，即m≠41时，分式m m 4127-+有意义. 答案:≠41 5.当x______________时，3223-+x x 的值为1. 解析：要使分式的值为1，必须同时满足两个条件:(1)分子与分母相等；(2)分母不等于零.由3x+2=2x-3得x=-5，把x=-5代入分母，得2x-3=2×(-5)-3≠0，所以当x=-5时，3223-+x x 的值为1. 答案:=-56.若分式)3)(1(|1|--+x x x 的值为零,求x 的值. 解：由已知条件,得⎩⎨⎧≠--=+,0)3)(1(,0|1|x x x 得x=-1.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在代数式m 1,41,xy y x 22,y x +2,32a a +中，分式的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5解析：在m1、xy y x 22、y x +2中，分母含有字母，所以是分式.故选B. 答案:B2.若分式34922+--x x x 的值为零，则x 的值为( ) A.3 B.3或-3 C.-3 D.0解析：要使分式的值为零，必须同时满足两个条件:(1)分子等于零；(2)分母不等于零.由分子x 2-9=0得x=±3，把x=3代入分母,得x 2-4x+3=32-4×3+3=0，所以x=3不满足条件(2)；把x=-3代入分母,得x 2-4x+3=(-3)2-4×(-3)+3≠0，所以x=-3满足条件(1)和条件(2).所以当x=-3时，分式34922+--x x x 的值为零. 答案:C3.如果代数式1-x x 有意义，那么x 的取值为( )A.x≥0B.x≠0C.x ＞0D.x≥0且x≠1 解析：要使代数式有意义，必须满足两个条件:(1)分子中被开方数大于等于零；(2)分母不等于零.也就是x≥0且x-1≠0，即x≥0且x≠1.答案:D4.若分式23xx -的值为负，则x 的取值是( ) A.x ＜3且x≠0 B.x ＞3C.x ＜3D.x ＞-3且x≠0解析：由题意可得，分母x 2≠0，即x≠0，则x 2＞0，显然分母为正数，要使分式的值为负必使分子为负.由x-3＜0得x ＜3，所以x 的取值为x ＜3且x≠0.答案:A5.若分式112++x x 无意义，则x 的取值为_____________. 解析：分式的分母等于零时分式无意义.当x+1=0即x=-1时，分式112++x x 无意义. 答案:-16.应用题:一项工程，甲队独做需a 天完成，乙队独做需b 天完成，问甲、乙两队合作，需________天完成. 解析：这项工程可以看作是“1”，甲一天做a 1，乙一天做b 1，甲、乙合作一天做ba 11+，所以，两队合作需要的天数为 1÷(b a 11+)=ba ab +. 答案:b a ab + 7.当x=__________________时，分式232--x x 的值为1. 解析：要使分式的值为1，必须同时满足两个条件:(1)分子与分母相等；(2)分母不等于零.由2x-3=x-2得x=1，把x=1代入分母,得x-2=1-2=-1≠0，所以，当x=1时，分式232--x x 的值为1. 答案:18.(2010福建南平模拟,2)当x_______________时,分式11+x 有意义. 解析：分式有意义,分母不为0,x+1≠0,x≠-1.答案：≠-19.(2010浙江绍兴模拟,11)当x=_____________时,分式1+x x 的值为0. 解析：分式值为零⇔⎩⎨⎧,分母不为零分子为零所以x=0. 答案：0 10.已知34=y x ,求2222532253yxy x y xy x -++-的值.解：设x=4k,y=3k,则236236)3(5)34(3)4(2)3(2)34(5)4(35322532222222222==-⨯++⨯-=-++-k k k k k k k k k k y xy x y xy x .。
分式的加减专项练习20题答案
考点：
分式的加减法．
分析：
根据异分母分式相加减，先通分，再加减，可得答案．
解答：
解：原式= ﹣ +
=
=
=
= ．
点评：
本题考查了分式的加减，先通分花成同分母分时，再加减．
13．）已知： ，求A、B的值．
考点：
分式的加减法；解二元一次方程组．
专题：
计算题等，从而求出A、B的值．
点评：
归纳提炼：分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
9．按要求化简： ．
考点：
分式的加减法．
分析：
首先通分，把分母化为（a+1）（a﹣1），再根据同分母分数相加减，分母不变，分子相加减进行计算，注意最后结果要化简．
解答：
解：原式=
=
= ．
点评：
注意：m﹣n=﹣（n﹣m）．分式运算的最后结果应化成最简分式或整式．
5．计算： ．
考点：
分式的加减法．
分析：
首先把分子分解因式，再约分，合并同类项即可．
解答：
解：原式= ，
=a﹣2+a+2，
=2a．
点评：
此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握计算方法，做题时先注意观察，找准方法再计算．
分式的加减专项练习20题答案
分式的加减专项练习20题答案
1．化简： ．
考点：
分式的加减法．
分析：
首先将原分式化为同分母的分式，然后再利用同分母的分式的加减运算法则求解即可求得答案．
解答：
解： = = = =x﹣2．
分式练习题(附答案)
分式单元复习一、选择题1．下列各式中，不是分式方程的是（ ）111..(1)1111.1.[(1)1]110232x A B x x x x x xxC D x x x -=-+=-+=--=+-2．如果分式2||55x x x -+的值为0，那么x 的值是（ ）A ．0B ．5C ．－5D ．±53．把分式22x yx y +-中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（ ）A ．不变B ．扩大2倍C ．扩大4倍D ．缩小2倍4．下列分式中，最简分式有（ ）322222222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b -++-++----A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．分式方程2114339x x x +=-+-的解是（ ）A ．x=±2B ．x=2C ．x=－2D ．无解6．若2x+y=0，则2222x xy y xy x ++-的值为（ ）A ．－13.55B - C ．1 D ．无法确定7．关于x 的方程233x kx x =+--化为整式方程后，会产生一个解使得原分式方程的最简公分母为0，则k 的值为（）A ．3B ．0C ．±3D ．无法确定8．使分式224x x +-等于0的x 值为（ ）A ．2B ．－2C ．±2D ．不存在9．下列各式中正确的是（ ）....a b a b a ba bA B a b a b a b a ba b a ba b a b C D a b a b a b b a-++--==-----++--+-+-==-+-+-10．下列计算结果正确的是（ ）22222211..()223..()955b a a b A B a ab a b ab a a m n n xy xy C D xy x x m a a --=-÷-=-÷=÷= 二、填空题1．若分式||55y y--的值等于0，则y= __________ ． 2．在比例式9:5=4:3x 中，x=_________________ ．3．计算:1111b a b a a b a b++---=_________________ ． 4．当x> __________时，分式213x--的值为正数． 5．计算:1111x x ++-=_______________ ． 6．当分式2223211x x x x x +++--与分式的值相等时，x 须满足_______________ ． 7．已知x+1x =3，则x 2+21x = ________ ． 8．已知分式212x x +-:当x= _ 时，分式没有意义；当x= _______时，分式的值为0；当x=－2时，分式的值为_______． 9．当a=____________时，关于x 的方程23ax a x +-=54的解是x=1． 10．一辆汽车往返于相距akm 的甲、乙两地，去时每小时行mkm ，•返回时每小时行nkm ，则往返一次所用的时间是_____________．三、解答题1．计算题:2222444(1)(4);282a a a a a a a --+÷-+--222132(2)(1).441x x x x x x x --+÷+-+-2．化简求值．（1）（1+11x -）÷（1－11x -），其中x=－12；（2）213(2)22x x x x x -÷-+-++，其中x=12．3．解方程:（1）1052112x x +--=2； （2）2233111x x x x +-=-+-．4．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x=3，5－，时，求代数式22212211x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？•请你写出具体的解题过程．5．对于试题：“先化简，再求值：23111x x x----，其中x=2．”小亮写出了如下解答过程： ∵ 2313111(1)(1)1x x x x x x x ---=----+- ① 31(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+--+-+ ② =x －3－（x+1）=2x －2， ③∴当x=2时，原式=2×2－2=2． ④（1）小亮的解答在哪一步开始出现错误： ① （直接填序号）；（2）从②到③是否正确： 不正确 ；若不正确，错误的原因是 把分母去掉了 ；（3）请你写出正确的解答过程．6．小亮在购物中心用12.5元买了若干盒饼干，但他在一分利超市发现，同样的饼干，这里要比购物中心每盒便宜0.5元．因此当他第二次买饼干时，便到一分利超市去买，如果用去14元，买的饼干盒数比第一次买的盒数多25，•问他第一次在购物中心买了几盒饼干？分式单元复习题及答案一、选择题1．下列各式中，不是分式方程的是（D ）111..(1)1111.1.[(1)1]110232x A B x x x xx x x C D x x x -=-+=-+=--=+- 2．如果分式2||55x x x-+的值为0，那么x 的值是（B ） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．±53．把分式22x y x y+-中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（A ） A ．不变 B ．扩大2倍 C ．扩大4倍 D ．缩小2倍4．下列分式中，最简分式有（C ）322222222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b-++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个5．分式方程2114339x x x +=-+-的解是（B ） A ．x=±2 B ．x=2 C ．x=－2 D ．无解6．若2x+y=0，则2222x xy y xy x++-的值为（B ） A ．－13.55B -C ．1D ．无法确定 7．关于x 的方程233x k x x =+--化为整式方程后，会产生一个解使得原分式方程的最简公分母为0，则k 的值为（A ） A ．3 B ．0 C ．±3 D ．无法确定8．使分式224x x +-等于0的x 值为（D ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不存在9．下列各式中正确的是（C ）....a b a b a b a bA B a ba b a b a b a ba ba b a b C D a b a b a b b a -++--==-----++--+-+-==-+-+-10．下列计算结果正确的是（B ）22222211..()223..()955b a a b A B a ab a b ab a a m n n xy xy C D xy x x m a a --=-÷-=-÷=÷= 二、填空题1．若分式||55y y--的值等于0，则y= －5 ． 2．在比例式9：5=4：3x 中，x= 2027． 3．1111b a b a a b a b ++---的值是 2()a b ab+ ． 4．当x> 13 时，分式213x--的值为正数． 5．1111x x ++-= 221x - ． 6．当分式2223211x x x x x +++--与分式的值相等时，x 须满足 x ≠±1 ． 7．已知x+1x =3，则x 2+21x= 7 ． 8．已知分式212x x +-，当x= 2 时，分式没有意义；当x= －12 时，分式的值为0；当x=－2时，分式的值为 34． 9．当a= －173 时，关于x 的方程23ax a x +-=54的解是x=1． 10．一辆汽车往返于相距akm 的甲、乙两地，去时每小时行mkm ，•返回时每小时行nkm ，则往返一次所用的时间是 （a a m n+）h ． 三、解答题1．计算题．2222222444(1)(4);28241(2)1.(2)(4)424a a a a a a a a a a a a a a --+÷-+----==-+--+解:原式 2222132(2)(1).441(1)(1)1(1)(2)1.(2)112x x x x x x x x x x x x x x x x --+÷+-+-+----==-+--解:原式 2．化简求值．（1）（1+11x -）÷（1－11x -），其中x=－12； 解：原式=1111111122x x x x x x x x x x -+---÷==-----． 当x=－12时，原式=15． （2）213(2)22x x x x x -÷-+-++，其中x=12． 解：原式=22(1)(2)(2)3121(2)(1)2211x x x x x x x x x x ---+++÷=-=-+-++--． 当x=12时，原式=43． 3．解方程．（1）1052112x x+--=2； 解：x=74． （2）2233111x x x x +-=-+-． 解：用（x+1）（x －1）同时乘以方程的两边得，2（x+1）－3（x －1）=x+3．解得 x=1．经检验，x=1是增根．所以原方程无解．4．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x=3，5－，时，求代数式22212211x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？•请你写出具体的解题过程．解：原式=2(1)1(1)(1)2(1)x x x x x -++--=12． 由于化简后的代数中不含字母x ，故不论x 取任何值，所求的代数式的值始终不变．所以当x=3，5－，时，代数式的值都是12． 5．对于试题：“先化简，再求值：23111x x x----，其中x=2．”小亮写出了如下解答过程： ∵ 2313111(1)(1)1x x x x x x x ---=----+- ①31(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+--+-+ ② =x －3－（x+1）=2x －2， ③∴当x=2时，原式=2×2－2=2． ④（1）小亮的解答在哪一步开始出现错误： ① （直接填序号）；（2）从②到③是否正确： 不正确 ；若不正确，错误的原因是 把分母去掉了 ；（3）请你写出正确的解答过程．解：正确的应是：23111x x x ----=312(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x -++=-+-++ 当x=2时，原式=23． 6．小亮在购物中心用12.5元买了若干盒饼干，但他在一分利超市发现，同样的饼干，这里要比购物中心每盒便宜0.5元．因此当他第二次买饼干时，便到一分利超市去买，如果用去14元，买的饼干盒数比第一次买的盒数多25，•问他第一次在购物中心买了几盒饼干？解：设他第一次在购物中心买了x 盒，则他在一分利超市买了75x 盒． 由题意得：12.51475x x -=0.5 解得 x=5．经检验，x=5是原方程的根．答：他第一次在购物中心买了5盒饼干．。
分式培优训练含答案
分式培优训练含答案专训一：分式求值的方法分式的求值是数学方法运用的考查，既要突出式子的化简计算，又要灵活选用方法。
常见的分式求值方法有设参数求值、活用公式求值、整体代入法求值、巧变形法求值等。
直接代入法求值需要先化简，再代入参数求值，例如题目a＋2a÷(a＋1)(a－1)+2/(a－1)，其中a＝5.活用公式求值需要熟悉公式，例如题目x2－5x＋1＝(x2＋3xy＋y2)/(2xy)，求x4＋(x4)/(x2＋3xy＋y2)的值。
整体代入法求值需要将分式整体代入，/(x2y2z2)+4/(x+y+z)＝1，且x＋y＋z≠0，求(x+y)/(z+x)+y/(z+y)的值。
巧变形法求值需要巧妙变形，例如题目4x2－4x＋1＝1/(2x)，求2x＋(2x)/(4x2－4x＋1)的值。
设参数求值需要设定参数，例如题目x2－y2＋/(xy＋yz＋xz)＝2/3，y＋z/x＋z＋x＋y＝4/3，求x/y的值。
专训二：六种常见的高频考点本章主要考查分式的概念、分式有意义的条件、分式的性质及运算，考试中题型以选择题、填空题为主，分式的化简求值主要以解答题的形式出现。
分式方程是中考必考内容之一，一般考查解分式方程，并要求会用增根的意义解题。
考题常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中。
分式的概念是指由两个整式相除得到的表达式，分式有意义的条件是分母不能为0.选择题和填空题常考查分式的有、无意义条件。
分式的基本性质包括分式的加减乘除和约分，考试中常以选择题和填空题的形式出现。
1.4x^2 - 2x + 12.分式的有关运算3.下列运算中，正确的个数是(2)4.m^4n^4m^2/n^3 = mnx-y/11 ÷(y-x)/22 = -2mn/(m-n) = n/(m-n)a-b)/(a-2) = 1/25.a-21/2 + 34/a-16.10.计算：(a+1)/(a-2) ÷ 1/(a-1) 的结果是 (B) a-1/a+111.计算：-1/(a+2) + 2/(a^2+2a+2) = -a^2+1/a^2+2a+212.化简：1/(m+1) - 1/(m+2) = -1/(m^2+3m+2)13.(1) (2a^2+2a)/(a-1)^2 + (a-4a^4)/(a-1+a) = (2a^2-2a)/(a-1)2) x^2+2x(1-1/x)/(x-1) = (x+1)/(x-1)选x=3，原式的值为 10/314.先化简：(x^2-1)/(x-1) = x+1整数指数幂15.下列计算正确的是 (B) x^2/x^6 = x^-416.下列说法正确的是 (A) -1/2 + 2 = 3/217.计算(π-3) + (-2)^3 = -1+8 = 718.由2×10^5个直径为5×10^-5cm的圆球体细胞排成的细胞链的长是 5cm19.分式方程 (x+2a)/(x-13) = x-3/(x-3)20.若关于x的方程 (x-1)/(x-2) = 1/a+1 的解为x=3，则a 等于 (C) -221.解分式方程：(x-2)/(x-1) + 1/(x-2) = 1/x，得到 x=322.2x+1/x-3 = 1，得到 x=11.解：原式 = [a/(a+1) + 2/(a-1) - 12/(a+1)(a-1)]，化简后得到 (3a+1)/(a+1)，再代入a=5，得到原式的值为 2/3.2.解：由 x^2 - 5x + 1 = 0，解出x = (5 + √21)/2，代入 x + 1/x = 5，得到 x^2 + 1/x^2 = 23，代入原式，化简得到 (x^2 + 3)/(x^4 + 1) - 2 = 527/4.3.解：将分子化简得到 xy(x+y)/(x+y)^3，代入 x+y=12，xy=9，得到原式的值为 1/8.4.解：将等式两边同时乘以 (x+y+z)，化简得到(xy+yz+zx)/(xyz) + 1 = (x+y+z)/(x+y)(y+z)(z+x)，代入已知条件，化简得到 (x+y+z)/(xy+yz+zx) = 0，所以原式的值为 0.5.解：将等式移项得到 4x^2 - 4x + 1 = 0，化简得到 (2x-1)^2 = 0，解得 x = 1/2，代入原式得到 2.6.解：设k ≠ 0，代入已知条件，解出 x = 2k，y = 3k，z = 4k，代入原式化简得到 2.1.B2.A3.A4.B2.(答案不唯一) a+1/(x+y+z) + y(x+y+z)/(z+x) =(a(x+y+z)+y(x+y+z))/(z+x) = (ax+ay+yz+y^2+z^2)/(z+x)3.26.D4.删除此段落5.解：(1) 原式 = (a+2)(a-2)a+2/[(a-2)(2a-2)] = (a+2)/2(a-2) - 1/(a-2) = (a^2-2)/2(a-2) = -3/2 (a=0) (2) 原式 = (x-11)/[(x-1)(2x-1)] = -1/(2x-1) + 3/(x-1) = (4x-3)/(2x-1)(x-1)6.删除此段落7.解：(1) 最简公分母是15m^2n^2.840n/39m * 2/5mn^2 = -8/13m^2n (2) 最简公分母是(a+1)^2(a-1)。
分式的化简求值经典练习题(带答案)
分式的化简求值经典练习题(带答案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（分式的化简求值经典练习题(带答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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分式的化简一、比例的性质：⑴比例的基本性质：，比例的两外项之积等于两内项之积.⑵更比性（交换比例的内项或外项）：⑶反比性（把比例的前项、后项交换）:⑷合比性：,推广：（为任意实数)⑸等比性：如果，那么（） 二、基本运算分式的乘法：分式的除法：乘方：（为正整数)整数指数幂运算性质:⑴（、为整数）a c a dbc bd =⇔= ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项 a c b d b d a c =⇒=a c a b c db d b d±±=⇒=a c a kbc kd b d b d±±=⇒=k ....a c m b d n ===......a c m ab d n b+++=+++...0bdn +++≠a c a cb d b d⋅⋅=⋅a c a d ad b d b c bc⋅÷=⨯=⋅()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b⋅=⋅=⋅个个n 个＝n mnm na a a +⋅=m n 知识点⑵(、为整数）⑶(为整数) ⑷（，、为整数)负整指数幂：一般地，当是正整数时，（)，即()是的倒数分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、分式的化简求值【例1】 先化简再求值：，其中【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南郴州 【解析】原式当时,原式【答案】【例2】 已知：，其中【考点】分式的化简求值【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】()m n m n a a =mn ()n n n a b ab =nmnm na a a -÷=0a ≠m n n 1n na a -=0a ≠na -0a ≠naa b a b c c c+±=a c a d b c a d b cb d b d b d b d±±=±=2111x x x---2x =()()111x x x x x =---()111x x x x -==-2x =112x ==122221()111a a a a a a a ---÷⋅-++3a =222221(1)()4111(1)aa a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-例题精【答案】【例3】 先化简，再求值：，其中【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，安徽省中考【解析】当时，原式【答案】【例4】 先化简，再求值：其中.【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年,湖南省长沙市中考试题 【解析】原式当时,原式【答案】3【例5】 先化简，再求值：，其中.【考点】分式的化简求值【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题【解析】原式当时，原式．【答案】4【例6】 先化简,后求值：，其中．4-22144(1)1a a a a a-+-÷--1a =-()()2221144211122a a aa a aa a a a a a --+-⎛⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭-1a =-112123a a -===---132291333x x x x x ⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭13x =()()()33133x x x x x +-=⋅-+13x =3=211(1)(2)11x x x -÷+-+-x ()()()111121x x x x x+-=⋅+-+-+x 224-=22121(1)24x x x x -++÷--5x =-【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年,广东省肇庆市中考试题【解析】===当时，原式.【答案】【例7】 先化简，再求值：，其中．【考点】分式的化简求值【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省武汉市中考试题析】原式，当时,原式。
分式的乘除优化训练(含答案)
分式的乘除一、课前预习 (5分钟训练)1.下列分式运算，结果正确的是( )A.n m m n n m =∙3454B.bc ad d c b a =∙C. 632x x x = D.33343)43(yx y x = 2.计算)21(22x x x -÷-的结果是( )A.xB.x1- C.x 1 D.x x 2--3.22442bca ab -∙=_________________. 4.若m 等于它的倒数，则分式22444222-+÷-++m mm m m m 的值为_______________. 二、课中强化(10分钟训练) 1.下列计算正确的是( )A.a÷b·b 1=a B.a·b÷a·b=1 C.m 1÷m·m÷m 1=1 D.m 3÷m1÷m 3=1 2.化简y x y x +-÷(y －x)·yx -1的结果是( ) A.221y x - B.y x x y +- C.221xy - D.y x y x +- 3.计算24462x x x +--÷(x+3)·xx x --+362的结果为( )A.22--xB.x -21C.2)2(2-x D.24--x4.已知a －b≠0，且2a －3b=0，则代数式ba ba --2的值是( ) A.－12 B.0 C.4 D.4或－125.计算:41441222--÷+--a a a a a .三、课后巩固(30分钟训练)1.在分式x a 3，y x xy 226+，222)(y x y x +-，2)(y x x y --，22)(y x y x -+中，不能进行约分的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 2.下列各式正确的是( )A.y x yx y x y x +-=+-2222 B.222)11(1212-+-=--++x x x x x x C.b b a b a 2+= D.2222)(b a c b a c +=+3.已知2a －b≠0,且5a －6b=0,那么代数式ba ba -+262的值是( )A.－12B.0C.6D.8或－12 4.判断正误:(1)y x xy x x y y x y x y y x x +=÷+=+∙+÷+2122.( ) (2)33632)(z y x z y x +=+.( ) (3)246223)(z y x z y x =.( ) (4)n nn a b a b 2422)(-=-(n 为正整数).( ) (5)69323278)32(a b a b -=-.( )5.(科学探究思维点拨)观察下列各等式:4－2=4÷2;329329÷=-;21)21(21)21(÷-=--…… (1)以上各等式都有一个共同的特征:某两个实数的________等于这两个实数的_____________;如果等号左边的第一个实数用x 表示,第二个实数用y 表示,那么这些等式的共同特征可用含x 、y 的等式表示为______________.(2)将以上等式变形,用含y 的代数式表示x 为______________.(3)请你再找出一组满足以上特征的两个实数,并写成等式形式: ______________.6.计算:1121222+-÷++-a aa a a a .7.计算:)242(2222---∙+a a a a a a . 8.计算:mnm nm -+2÷(m+n)·(m 2－n 2).- 3 -参考答案一、课前预习 (5分钟训练) 1答案:A 2. 答案:C3.22442bc a a b -∙=_________________.解析：22222224)2(448442cac ab a ab abc b a bc a a b -=∙-∙=-=-∙. 答案:22c a - 4.若m 等于它的倒数，则分式22444222-+÷-++m mm m m m 的值为_______________.解析：因m 等于它的倒数，则m=±1，化简分式得m1再代入求值；或分别将m=1或m=－1代入原式计算即可. 答案:±1 二、课中强化(10分钟训练)1.下列计算正确的是( ) A.a÷b·b1=a B.a·b÷a·b=1 C.m 1÷m·m÷m 1=1 D.m 3÷m1÷m 3=1 解析：A 、B 、D 均是运算顺序不对,C 中m 1÷m·m÷m 1=m 1·m1·m·m=1,所以C 正确. 答案：C2.化简y x y x +-÷(y －x)·yx -1的结果是( ) A.221y x - B.y x x y +- C.221x y - D.y x y x +-解析：y x y x +-÷(y －x)·221111xy y x x y y x y x y x -=-∙-∙+-=-. 答案：C 3.计算24462x x x +--÷(x+3)·xx x --+362的结果为( )A.22--xB.x -21C.2)2(2-x D.24--x解析：24462x x x +--÷(x+3)·x x x --+362 =3)3)(2(31)2()3(22-+-∙+∙---x x x x x x =22--x . 答案：A 4.已知a －b≠0，且2a －3b=0，则代数式ba ba --2的值是( ) A.－12 B.0 C.4 D.4或－12 解析：因为a －b≠0，由2a －3b=0，可得a=1.5b,将其代入bbb b b b b a b a 5.025.132=--=--=4. 答案:C5.计算:41441222--÷+--a a a a a . 解析：先将除法转化成乘法，对分子、分母进行分解，再约分. 答案:)1)(2(2+-+a a a .三、课后巩固(30分钟训练)1.在分式x a 3，y x xy 226+，222)(y x y x +-，2)(y x x y --，22)(y x y x -+中，不能进行约分的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析：x 2－y 2=(x+y)(x －y)，y －x 可变形为－(x －y)，找出公因式进行约分.故后4个全部可以约分. 答案:A2.下列各式正确的是( )A.y x yx y x y x +-=+-2222 B.222)11(1212-+-=--++x x x x x x C.b b a b a 2+= D.2222)(ba cb ac +=+ 解析：选项A 和D 犯的是同一个类型的错误，即误认为x 2+y 2=(x+y)2，而选项C 不符合分式的基本性质,故A 、C 、D 错误. 答案:B3.已知2a －b≠0,且5a －6b=0,那么代数式ba ba -+262的值是( )A.－12B.0C.6D.8或－12 解析：将a=b 56代入上式即可求得. 答案：C4.判断正误:(1)y x xy x x y y x y x y y x x +=÷+=+∙+÷+2122.( ) (2)33632)(z y x z y x +=+.( ) (3)246223)(z y x z y x =.( ) (4)n nn a b a b 2422)(-=-(n 为正整数).( ) (5)69323278)32(a b a b -=-.( )解析：(1)运算顺序是从左到右，而本题先算了后面的乘法.(2)商的立方等于分子、分母分别立方，分子的立方是两数和的完全立方，其展开式应为x 6+3x 4y+3x 2y 2+y 3. (3)商的平方等于分子、分母分别平方，分子的平方属于积的平方，等于积中各因式分别平方. (4)负数的偶次幂为正.- 5 -(5)先确定结果的符号，负数的奇次幂为负，然后分子、分母再分别乘方. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√5.(科学探究思维点拨)观察下列各等式:4－2=4÷2;329329÷=-;21)21(21)21(÷-=--…… (1)以上各等式都有一个共同的特征:某两个实数的________等于这两个实数的_____________;如果等号左边的第一个实数用x 表示,第二个实数用y 表示,那么这些等式的共同特征可用含x 、y 的等式表示为______________.(2)将以上等式变形,用含y 的代数式表示x 为______________.(3)请你再找出一组满足以上特征的两个实数,并写成等式形式: ______________.解析：本题从特殊到一般,归纳总结出规律,然后利用规律解决特殊问题.由x=12-y y ,得y≠1.当y=4时,x=3161442=-. 答案：(1)差 商 x －y=y x (2)x=1112-=-y y yy(3)3164316=-÷4 6.计算:1121222+-÷++-a a a a a a . 解：原式=a a a a a a a a a a a a a 1)1(1)1()1)(1(1)1()1()1)(1(22=-+∙+-+=+-÷+-+. 7.计算:)242(2222---∙+a a a a a a . 解：原式=24)2(22--⨯+a a a a a =a. 8.计算:mn m n m -+2÷(m+n)·(m 2－n 2). 解：mnm n m -+2÷(m+n)·(m 2－n 2) =nm n m m n m +∙-+1)(·(m+n)(m －n)=m n m +.。
八年级数学下册 分式的加减同步测控优化训练(带解析) 人教新课标版
分式的加减5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.计算:(1)2422---x x x =_________________. (2)131112+-++--++x x x x x x =____________________. 答案:(1)x+2 (2)1+x x 2.计算:(1)xb x b -3; (2)aa 211-. 答案:(1)xb x b x b 23=-;(2) aa a 21211=-. 3.计算:(1)a a142-; (2)ab a b a a -=-. 解析：(1)把分式通分为a 2,得22414aa a a -=-; (2)改变后式分母的符号得b a a a b a b a a -=---2. 4.小明与小亮在做同一个题时，他俩的具体做法不同.小明:a aa a a a a a a a a a a a a 41341344124443413222==+=•+••=+. 小亮:a a a a a a a 4134141241443413=+=+•⨯=+. 你对这两种做法有何评论？解析：小明的通分相加后，分子、分母还有公因式，还需约分；小亮的相比就比较简捷，通分相加后就是最简分式，即为题目的最后结果.故小亮的做法还是比较简单的.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.通分:(1))1(2+x x ,x x -21=___________;(2)412-x ,xx 24-=_____________. 解析：(1)最简公分母是2(x+1)(x-1),)1)(1(2)1()1(22-+-=+x x x x x x x ;)1)(1(2)1(2)1(2)1()1(2112-++=+•-+⨯=-x x x x x x x x x x . (2)最简公分母是2(x+2)(x-2),)2)(2(2)2(24,)2)(2(22412-++-=--+=-x x x x xx x x x . 答案:(1))1)(1(2)1(2-++x x x x (2))2)(2(2)2(-++-x x x x 2.计算:(1)a a a 5153-+；(2)ba ab 23+. 解：(1)5155)15(155155155153==-+=-+=-+a a a a a a a a a a ; (2)aba b ab a ab b a b a a b a b b b a a b 6326362323232232222+=+=••+••=+. 3.计算:(1)3131+--x x ； (2)21422---a a a . 解：(1)969)3()3()3)(3(3)3)(3(3313122-=---+=+---+-+=+--x x x x x x x x x x x x ； (2))2)(2(2)2)(2(22)2)(2(2)2)(2(221422-+-=-+--=-++--+=---a a a a a a a a a a a a a a a a 21+=a 4.(2010某某某某模拟,17)计算:12112-++x x . 解：12)1)(1(1121122-+-+-=-++x x x x x x =11)1)(1(11212-=-++=-+-x x x x x x . 5.计算:12-+a a a ÷(1--a a a ).解：把a 看成1)1(--a a a 与1-a a 相减. 原式=21)2(11)1(11)1(2-+=--⨯-+=---÷-+a a a a a a a a a a a a a a a . 22+-x x =0，求3932---x x x 的值. 解：由22+-x x =0，得x-2=0，x=2， 当x=2时，3)3)(3(392--+=--x x x x x =x+3,即3932---x x x =5. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.(2010某某旅顺口模拟,5)已知两个分式:A=442-x ,B=x x -++2121,其中x≠±2,则A 与B 的关系是( )解析：B=444)2(22121212122--=-+--=--+=-++x x x x x x x x . ∴A 与B 互为相反数.答案：Cb a b a +=+111,则ba ab +等于( ) B.1C.0解析：b a b a +=+111,两边同乘以a+b,得111=+++=+++b a a b b b a a b a ,所以ba ab +=-1. 答案：Aab b a6543322-+=__________________. 解析：ba a ab ab b a 222121098654332-+=-+. 答案：ba a ab 22121098-+ 4.计算:xx x x x x -+-----212252=__________________. 解析：x-2与2-x 相差一个负号，2-x=-(x-2)，具体步骤如下:x x x x x x -+-----212252=2421521225222--=-++--=-++----x x x x x x x x x x x x2)2)(2(--+=x x x =x+2. 答案:x+2543z y x ==,则z y x z y x 6824++++=________________. 解析：543z y x ===k,即x=3k,y=4k,z=5k(k≠0),则代入原式即可. 答案:21 6.计算:(1)21211a a ---;(2)1112++--a a a a . 解：(1))1)(1(2)1)(1(11211121122+-++-+=-+-=---a a a a a a a a a =13)1)(1(122-+=+-++a a a a a . (2)原式=)1)(1()1)(1()1)(1(1)1)(1()1()1)(1(12-+-+=-+-+-=-+-+-+-a a a a a a a a a a a a a a a a =1 7.(2010某某某某模拟,13)计算:)225(262---÷--x x x x . 解：原式=)]2(25[262+--÷--x x x x =]2)2)(2(25[2)3(2--+--÷--x x x x x x =292)3(22--÷--x x x x =)3)(3(22)3(2x x x x x -+-⨯-- =2(x-3)·32)3)(3(1+-=-+-x x x . 8.计算:(1)2292312a a a a a a --÷-+-;(2))11(1112+----x x x x x . 解：(1)2292312a a a a a a --÷-+- =232123212)3)(3(31)2(-+--=-++-=--+•-+-a a a a a a a a a a a a a=22231-+-=---a a a a . (2))11(1112+----x xx x x =)1(1111112--+-•--x x x x x x =111111+--=++-xx x x x =0. 9.先化简，再求值:24421aa --+，其中a=34+. 解：214244424421442122222-=-+=-+--=-++=--+a a a a a a a a a a . 当a=34+时，原式=32-.快乐时光一天,老师正在给一个班的男孩子们上课,她要他们写一篇关于最近一场足球赛的作文.一个男孩写了几个字,就放下了笔.老师问他:“你为什么不写了?”男孩说:“我写完了.” 老师拿起他的本子,只见上面写着:“雨天,未赛.”。
【书稿】新人教数学八年级下同步测控优化训练(分式的基本性质)(带解析)
16.1.2 分式的基本性质5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.化简的结果是( )A. B. C. D.解析：分子a2-b2=(a+b)(a-b)，分母a2+ab=a(a+b)，公因式是a+b,即.答案:B2.分式的分子与分母都乘以(或除以)________________,分式的值不变.答案:同一个不等于零的整式3.填空:(1); (2).答案:(1)25(2)-44.填空:(1); (2).答案:(1)2a2(2)4a10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.等式中的未知的分母是( )A.a2+1B.a2+a+1C.a2+2a+1D.a-1解析：根据分式的基本性质,分子a2+2a+1a+1，分母也应a2-1a-1.答案:D2.填空:(1); (2).解析：(1)右边的分母a2b等于左边的分母ab乘以a,根据分式的基本性质,右边的分子应是左边的分子a+b乘以a,即(a+b)a=a2+ab;(2)右边的分子x+y等于左边的分子x2+xy=x(x+y)除以x,所以右边的分母应是左边的分母x2除以x,即x2÷x=x.答案：(1)a2+ab(2)x3.填空:.解析：根据分子0.5m+0.3n5m+3n的变化规律，利用分式的基本性质求分母，即分母0.7m-0.6n7m-6n.答案:7m-6n4.当a_____________时，成立.解析：因为(a+1)(a-1)+1=a2，分子由aa2，分母由a+5a2+5a，即分式分子、分母同乘a得到，所以a≠0.答案:≠05.约分:(1)；(2).解：(1).(2)=x-2.6.不改变分式的值,使分式的分子、分母不含负号.(1); (2).解：正确利用分式的基本性质,应牢记分数线起括号作用.(1).(2).30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.对有理数x，下列结论中一定正确的是( )A.分式的分子与分母同乘以|x|，分式的值不变B.分式的分子与分母同乘以x2，分式的值不变C.分式的分子与分母同乘以|x+2|，分式的值不变D.分式的分子与分母同乘以x2+1，分式的值不变解析：因为|x|≥0,x2≥0,|x+2|≥0,x2+1≥1,所以答案为x2+1.答案:D2.对于分式,总有( )A. B.(a≠-1)C. D.解析：A中分子1→2扩大2倍，而分母没有扩大2倍.B中分子1→a+1扩大(a+1)倍，而分母a-1→a2-1也扩大了(a+1)倍.C中分子1→a-1扩大了(a-1)倍，而分母a-1→a2-1扩大了(a+1)倍.D中分子1-1，而分母是a-1a+1.故A、C、D变形不符合分式的基本性质，所以选B.答案:B3.轮船从河的上游A地开往河的下游B地的速度为v1,从河的下游B地返回河的上游A地的速度为v2,则轮船在A、B两地间往返一次的平均速度为( )A. B. C. D.解析：设从A地到B地的路程为s,那么轮船从A地到B地所用的时间为,从B地返回A地所用的时间为,往返一次总路程为2s,总时间为,所以平均速度为.答案：D4.填空:(1); (2).解析：如(1)分子3a2b3ab，为保证分式的值不变，分母也应4ac4c.(2)分子a-b(a-b)2，为保证分式的值不变，分母也应a+ba2-b2.答案:(1)4c (2)a2-b25.化简=_________________.解析：分母a2-4a+4=(a-2)2=(2-a)2,再约分,即.答案:6.已知x=,xy=1，则=____________.解析：先化简分式，再化简x=，,则x+y=()+()=4，所以.答案:7.填空:(1)分式,,的最简公分母是_____________；（2）分式,,的最简公分母是__________________.解析：有系数的找系数的最小公倍数，如(1)中4,3,5的最小公倍数是60，(2)中3,2,4的最小公倍数是12.凡是出现的因式要找次数最高的因式，如(1)出现了x,y,x2,y3几个因式，次数最高的因式是x2,y3.(2)中，次数最高的因式是a3.答案:(1)60x2y3(2)12a38.若成立,求a的取值范围.解：等式的左边可变为,从左边到右边是利用分式的基本性质,分子和分母都除以a-3,所以要保证a-3≠0,即a≠3.9.将下列各式进行约分:(1); (2).解析：约分时首先要确定分子和分母的公因式,对于分子、分母是多项式的要先分解因式.(1).(2).10.已知,求的值.答案:解法一：由,得x=3y..解法二：整体代入法..。
分式的基本性质专项练习30题(有答案)ok
分式的基本性质专项练习30题(有答案)ok1.如果将分式中的x、y都扩大到原来的10倍，分式的值会扩大10倍。
2.如果将分式中的x和y都扩大3倍，分式的值不变。
3.将分子、分母中各项系数化为整数不改变分式的值。
4.正确的是A。
5.正确的是B。
6.与分式的值相等的是B。
7.与分式的值相等的是D。
8.化简为9.化简为10.若x在(0,2)之间，化简后的结果为B。
11.正确的是C。
12.不改变分式13.正确的个数为B。
14.分子和分母的系数化为整数后，正确的变形有A、C、D。
15.不改变分式的值，使分子和分母的最高次项的系数为正数。
16.略17.不改变分式的值，将分式化简为18.若，则x的取值范围是19.分子与分母的各项系数化为整数为20.(1) 分式的乘法法则，(a≠)。
(2) 分式的除法法则，(1)除以一个数等于乘以它的倒数，(2)21.设22.略23.依次填入。
24.若x：y：z=1：2：1，则25.若 $a=b$，则 $a^2=ab$。
解析：对 $a^2=ab$ 两边同时减去 $b^2$，得到 $a^2-b^2=ab-b^2$，即 $(a-b)(a+b)=b(a-b)$，由于 $a=b$，所以 $a-b=0$，分母不能为 $0$，因此原等式不成立。
26.不改变分式的值，使分子、分母都不含负号：$\frac{-3x}{2y}$。
解析：将分子、分母同时乘以 $-1$，即可得到$\frac{3x}{-2y}$，化简后为 $\frac{-3x}{2y}$。
27.已知 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$。
解析：将 $\frac{a+b}{b}$ 和 $\frac{c+d}{d}$ 分别化简，可得到 $\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$，即$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，由已知条件可知其成立。
分式的运算课后练习一及详解
分式的运算课后练习（一）主讲教师：傲德题一： 化简y x y x +-÷(y -x )·yx -1的结果是( ) A ．221y x - B ．y x x y +- C ．221xy - D ．y x y x +- 题二： 计算：(1)3131+--x x ；(2)21422---a a a ． 题三： 计算：12-+a a a ÷(1--a a a )． 题四： 若23111x A B x x x -=--+-，求A ，B 的值． 题五： 已知代数式5+22223213133a a a a a a a a-+-÷-⨯-+，请说明在代数式有意义的条件下，无论a 取何值代数式的值不变．题六： 我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如 ：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----，将假分式231m m ++，化成整式和真分式的和的形式． 题七： 化简求值：22932a a a a -÷-+-，其中a =3． 分式的运算课后练习参考答案题一： C ．详解：y x y x +-÷(y -x )·221111x y x y x y y x x y y x ••-==-+---．题二： (1)269x -；(2) 12a +． 详解：(1)969)3()3()3)(3(3)3)(3(3313122-=---+=+---+-+=+--x x x x x x x x x x x x ； (2)22122222(2)(2)(2)(2)(2)(2)4a a a a a a a a a a a a a +---=-=-+-+-+--21(2)(2)2a a a a -==+-+． 题三：12a a +-． 详解：把a 看成1)1(--a a a 与1-a a 相减． 原式=21)2(11)1(11)1(2-+=--⨯-+=---÷-+a a a a a a a a a a a a a a a ． 题四： A =2，B =1． 详解：()()()()()()21111111A x B x A B x A B A B x x x x x --+--+-==+-+--=231x x --，∴A −B =1，A +B =3，解得：A =2，B =1．题五： 无论a 取何值代数式的值都为5．详解：原式=5+()()()()2131311(1)a a a a a a a -+⋅-+--=5+33a a-=5， 当a ≠0且a ≠±1时，代数式有意义，无论a 取何值代数式的值都为5．题六： 11m m -++． 详解：231m m +=+2141m m -++=2 1411m m m -+++411m m =-++． 题七： -5．详解：2292312a a a a a a --÷-+-=232123212)3)(3(31)2(-+--=-++-=--+•-+-a a a a a a a a a a a a a =1325==5221a a a a --+=-----．。
分式方程优化专题训练
分式方程优化专题训练本文档旨在为学生提供一些分式方程优化问题的专题训练。
分式方程优化是数学中一个重要且常见的问题类型，它涉及到如何优化分式方程的值以满足一定的条件。
问题 1：求解特定分式方程的最大值给定分式方程 $f(x) = \frac{a}{x} + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是已知常数，$x$ 是变量。
要求找到使得 $f(x)$ 取得最大值的 $x$ 的值。
解答为了求解这个问题，我们可以先观察 $f(x)$ 的性质。
根据分式方程的性质，当 $x$ 取得较大值时，$f(x)$ 的值较小，当 $x$ 取得较小值时，$f(x)$ 的值较大。
因此，我们可以猜测 $f(x)$ 的最大值出现在 $x$ 无穷大或者 $x$ 无穷小的情况下。
我们可以将 $f(x)$ 的极限计算出来，找到最大值所对应的$x$ 的值。
设 $x$ 接近无穷大时，$f(x)$ 的极限为 $L_1$，设$x$ 接近无穷小时，$f(x)$ 的极限为$L_2$。
通过求解这两个极限，我们可以得到最大值所对应的 $x$ 的值。
具体计算的过程如下：1. 当 $x$ 接近无穷大时：$$\lim_{{x \to +\infty}} f(x) = \lim_{{x \to +\infty}}\left(\frac{a}{x} + b\right) = b$$2. 当 $x$ 接近无穷小时：$$\lim_{{x \to 0}} f(x) = \lim_{{x \to 0}} \left(\frac{a}{x} +b\right)$$由于分子 $a$ 是常数，当 $x$ 接近无穷小时，分母 $x$ 趋于$0$，因此 $\frac{a}{x}$ 的值趋于无穷大。
所以，上式的极限不存在。
综上所述，$f(x)$ 的最大值为$b$，当且仅当$x$ 为无穷大时。
问题 2：带有限制条件的分式方程优化问题给定分式方程 $f(x) = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2}$，其中$a$ 和 $b$ 是已知常数，$x$ 是变量。
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(1
1 x ) 2 x 1 x 1 x 1
四、解方程
100 30 x x7
1 1 32 7 9x 4x 5 1 1 x 2 1 3 x 2 x x 2x 2 3x 2 3x x2 2 x
x=-10
x=15
x=1
无解
五、解答题： 1.已知x=3y,试求
x
设甲的速度为x(km/h)， 则乙的速度为(x-1)(km/h) 根据如图（1）（2）的分 析得：
(2)
3x 3( x 1) 21 1 x 1 x 60
A
3x
C
3(x-1)
B
4 所以：x1=5，x2= 9 4 4 经检验，x1=5，x2= 都是原方程的根，但x2= 不合题意，所 9 9
x 3 x3
a 1 a
的值为零，则 x -3
x y x y y ， ， 的最简公分母为 2 xy 3x 2 6 xy 2
；
3．从甲地到乙地全长S千米，某人步行从甲地到乙地t 小时可以到达，现为了提前半小时到达，则每小时应
多走
s t (2t 1)
千米（结果化为最简形式）
≠1 4.当x________时，分式
=-3 当x________时，分式
3 x 1
有意义；
1 ＜1 5.当x________时，分式 的值为正数． x 1
x2 9 x 3
的值为0．
6．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中
0.5 x y 各项的系数化为整数，则 0.2 x 4 =
5 x 10 y 2 x 40
17.1 分式及其基本性质
第三课时 分式的优化训练
一、选择题 1．下列各式中，分式的个数为（ B ）
x y 3
a 2x 1
x 1
3a b
1 2x y
1 x y 2
2 1 x2 x3
A、5个 B、4个 C、3个 D、2个 2．下列各式正确的是（ B ） c c c c c A、a b a b B、 a b a b C、ac b a b D、 c c a b a b
3.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小 时后相遇.然后两人都用原来速度继续前进，结果甲达 到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多 走1千米，求甲、乙两人的速度。
解： (1) 甲 A
3小时 3x
3x 小时 x 1
3小时
乙 B
C
3(x-1)
甲 3( x 1) 小时 乙
3．下列分式是最简分式的是（ C ） x y xy y m 1 A、 1 m B、 3xy C、 x 2 y 2
4．将分式
x x y
2
D、 中的x、y的值同时扩大2倍，
61m 32m
则扩大后分式的值（ A ）
A、扩大2倍 B、缩小2倍 C、保持不变 D、无法确定
5．若分式
x2 x 2 x 1
9 ( x y ) 2 2 xy y 2 的值 2 2 x 7 xy y 31 3 2a 3ab 2b 的值 4 a ab b
1 1 2.已知： b 3，求分式 a
3.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小 时后相遇.然后两人都用原来速度继续前进，结果甲达 到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多 走1千米，求甲、乙两人的速度。
的值为零，那么x的值为( C )
A、x＝－1或x＝2 B、x＝
1 1 b
1 B、 a 1 c
C、x＝2 D、x＝－1
D
c
1 1 a 1 ，b 1 ，则用a表示c的代数式为( 6．若 b c
c A、
c C、 1 a a
)
D、 ；
6x2y2
二、填空题
1．若分式 2．分式
1 x 1 2．通分： 2 x x x( x 1) 2 公分母为：x(x-1)2
x x( x 1) 2
a 3ac 2 ( ) (9ac 2 ) 3．计算： 2b 4b 2 1 x2 x 1 x 1 x 1
a2 b2 ab ( ) a b a b b a a b
2
；
7．已知3m＝4n，则
m n m 2 m n m n m n2
9 ＝________ 7
三、解答题 34 a 4 b 3 c 17 3 2 1．约分： a b
8abc
4
a2 4 a2 2 a 4a 4 a 2
1 x2 2x 1
以舍去，取x1=5，则x-1=4。 答：甲的速度为：5(km/h)， 乙的速度为：4(km/h)。
整理得：9x2-49x+20=0 分解得：(x-5)(9x-4)=0
作业