泊松分布与生灭过程

泊松分布的另外一种表达方 式——负指数分布
(t ) t Pn (t ) e n！
n
若n=0
P0 (t ) e
P (h t ) e
在Δt的时间段内没有顾客达到的概率
t
前后两次随机事件发生的时间间隔大于Δt
t
12 2014-11-30
P (h t ) e
第三节 M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布—顾客到达率为λ
服务过程服从泊松分布（负指数分布）—系统服务率为μ 单通道，先到先服务
最简单的M/M/1排队系统：
M/M/1/∞/∞
2014-11-30
M/M/1/m/∞
27
M/M/1/∞/∞排队系统
系统容量无限、顾客源无限
最基本的排队系统 排队过程为生灭过程过程
其中，O(Δt)是当Δt →0时，关于Δt高阶无穷小， λ为单位时间内的顾客到达平均数。
2014-11-30 4


流的无后效性
在时间轴上，互不相交的时间区段 互独立的，即前一顾客的到达不影响后一顾客的到 达。
t1 , t 2 和 t3 , t 4 (t1 t 2 t3 t 4 ) 内，顾客的到达数是相
n
(t ) n t Pn (t ) e n！ 10
符合最简单流（泊松流）的随机事件 发生规律称为泊松分布
(t ) t Pn (t ) e n！
n
单位时间发生n个随机时间的概率 参数1个：λ —顾客的平均到达率 思考：交叉口交通流量，排队车辆？
2014-11-30 11
WS LS /
2014-11-30 33
4、排队时间——顾客在排队系统中的等待时间
李太勒公式
Lq Wq /( )
1

前后2名顾客到达系统的时间间隔
2014-11-30
Wq Lq /
34
M/M/1/m/∞排队系统
系统容量有限、顾客源无限
2014-11-30
35
λ S0 μ S1
i 0

i i i i 1
i 0 i 0


( 2 2 3 3 ) ( 2 2 3 ) 2 3
2014-11-30

1
(0 1)
31
2、排队长——系统中等待的顾客数量
系统稳定
ρ>1，数列发散
系统不稳定
称ρ为服务强度，若服务强度大于1，说明单位时间内到达的顾客 数比完成服务的顾客数多，系统中排队长度越来越大，产生阻塞。
2014-11-30 30
利用排队系统各状态概率计算运行指标
1、队长——系统中的顾客数量
LS Pi i
i 0

队长
i (1 ) i


设把长为Δt的时间区间分成m等分，每段长度为 。若在dt内，有一个顾客到达，则称被“占着”， dt t / m 如果在dt内，没ຫໍສະໝຸດ Baidu顾客到达，则称为“空着”。 被“占着”的概率近似为
P 1 (t , t t ) t o( t )

被“空着”的概率近似
P0 (t, t t ) 1 t o(t )
P1
P2
Pi
21
(i i ) Pi i 1Pi 1 i 1Pi 1
状态转移方程
求解该方程，可以获得各状态对应的概率
2014-11-30
22
对于S0
1P 1 0 P 0
对于S1
P 1
0 P0 1 0 P P 1 1 0
(1 1 ) P 1 0 P 0 2 P 2
对于S0 对于Sk
1P 1 0 P 0
转入
S0 λ0 λ1 S1 μ2 S2 μ3
k Pk k 1Pk 1
转出
λi-1 Si-1 Si
转出
λ2
转入
λi+1
Si+1 μi+2
μ1
…
λi-2
λi
μi+1
μi-1
μi
…
λk-2
Sk-1
λk-1 μk
Sk
μk-1
P0 2014-11-30
负指数分布
t
(t ) t Pn (t ) e n！
n
泊松分布
随机事件发生时间间隔 大于单位时间Δt的概率
P (h t ) 1 e
t
在单位时间Δt内，发生 n次随机事件的概率
随机事件发生时间间隔 参数1个：λ —顾客的平均到达率 小于单位时间Δt的概率
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3


2014-11-30
最简单流（泊松流）


流的平稳性
对于任意的t≥0及Δt≥0，在时间区间(t,t+Δt)内 有n个顾客到达的概率只与Δt有关，与时间区间的 起点t无关。 当Δt充分小时，在(t,t+Δt)内有一个顾客到达的 概率与Δt成正比，即 P 1 (t , t t ) t o( t )
2014-11-30

i
1
(1 2 3 i ) P0 129
M/M/1/∞/∞排队系统各状态概率 归结为无穷等比数列求和
(1 2 3 i ) P0 1
ρ<1，数列收敛
1 P0 1 1
P0=1-ρ

流的平稳性
流的普遍性
P 1 (t , t t ) t o( t )
P (t, t t ) o(t )
n 2 n

P0 (t, t t ) 1 t o(t )
在区间(t,t+Δt)内没有顾客到达的概率
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在长为(t,t+Δt)的时间区间内，到达n个顾 客的概率 Pn (t ) ?
状态i+1
一个事件
系统状态i
一个事件
状态i-1
2014-11-30
在Δt时刻内发生两个或两个以上 事件的概率为O(Δt) Δt→0， O(Δt) →0
如在Δt→0内，交叉口一条车道 到达两 辆车的概率为O(Δt) →0 16
系统具有0,1,2,……个状态。在任何时刻，若 系统处于状态i，并且系统状态随时间变化的过 程满足以下条件，称为一个生灭过程：
第二节 顾客到达分布
2014-11-30
1
系统的组成 顾客
顾客到达有先后
服务机构
服务时间有长短
存在随机性
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要想预测在某一时刻将有多少顾客要求服务系统服 务，或者预测某一顾客的服务时间将要延误多久这 都是不可能的 对单位时间内到达系统的顾客数和服务时间这两个 随机变量进行概率的描述 描述顾客到达和服务时间的方法，要求出单位时间 内有K个顾客到达系统要求服务的概率，以及服务时 间不少于某一时间长度的概率
1 10 P2 P P0 1 2 12
依次类推
i1 i1i2 0 Pi Pi1 P0 i i i1 1
且有 P 1
k i 0 i
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例：
某排队系统： M/M/1/3/∞/FCFS，λ=2，μ=3。 求解各状态对应的概率。 首先，做出相应的状态转移图
Lq Pi (i 1)
i 1


i Pi Pi
i 1 i 1

通道数
LS (1 P0 )

1

2 1
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3、逗留时间——顾客在排队系统中的总时间
李太勒公式
LS WS /( )
1

前后2名顾客到达系统的时间间隔
S0 2 S1
2
3
S2
2 3
S3
P2
3 对于S0
对于S2
3 i
P 1
0 2 P0 P0 1 3
8 P0 27
对于S1
1 10 4 P P P0 1 0 2 12 9
P3
i 0 2014-11-30
P 1
P0
2 4 8 P0 P0 P0 1 3 9 27
S0 λ0 λ1 S1 μ2 S2 μ3 λ2
μ1
…
λi-2 Si-1
λi-1 Si μi
λi Si+1 μi+1
λi+1 μi+2
…
λk-2 μk-1
Sk-1
λk-1 μk
Sk
μi-1
2014-11-30
P0
P1
P2
Pi
20
有 (i i ) Pi i 1Pi 1 i 1Pi 1
根据流的无后效性，在m个dt中，有顾客到达与没有顾客到 达可以看成是m次独立的试验
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在长为(t,t+Δt)的时间区间内，到达n 个顾客的概率 Pn (t ) ?
在m个dt中，有n个dt被顾客“占着”的概率
利用二项定律
t t Pn (t ) Pm (n) C 1 m m
2014-11-30
28
λ S0 μ S1
λ S2 μ
λ
λ
λ Si-1 Si μ
λ Si+1 μ
λ
…
μ μ
…
μ
P0
P1
P2
Pi
列状态转移方程组求各状态概率
P 1 P 0
P1 P0 P0 i 1 Pi Pi 1 Pi 1 i P0 i
P
i 0
2014-11-30
5
流的普遍性
在同一时刻，有两个及两个以上顾客到达的
概率与有一个顾客到达的概率相比小到可以 忽略的程度，即当Δt充分小时，在时间区间 (t,t+Δt)内有2个及2个以上顾客到达的概率 是关于的高阶无穷小。
P (t, t t ) o(t )
n 2 n
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24
生灭过程求解排队系统各状态概率过程
建立状态转移图
各状态转入率期望值 与转出率期望值相等
建立状态转移方程
P 1
i 0 i
k
求解状态转移方程
各状态概率
2014-11-30 25
作业：
利用生灭过程求解以下排队系统各状态的概率。
2 S0 3 S1
2 S2 4
3 S3 2
2014-11-30
26
P (t ) 0
n2 n

——普遍性条件
只要排队系统的输入过程和服务过程符合泊松分布，
排队过程符合生灭过程
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二、生灭过程状态转移图
顾客到达率
λ0 μ1 λ1 S1 μ2 S2 μ3 λ2 λi-2 Si-1 μi-1 μi λi-1 Si μi+1 λi Si+1 μi+2 λi+1 λk-2 μk-1 λk-1 μk
n m
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n
mn
9
dt0，m
t t Pn (t ) lim C 1 m m m
n m n mn
m(m 1)(m 2) (m n 1) t t lim 1 m n! m m
1、在（t,t+Δt）内系统由状态i转移到状态i+1的 概率为λiΔt+O(Δt)——平稳性条件
Δt内有一个顾客到达的概率
2、在（t,t+Δt）内系统由状态i转移到状态i-1的 概率为μiΔt+O(Δt)——平稳性条件
2014-11-30
Δt内有一个顾客离开的概率
17
3、在（t,t+Δt）内系统发生两次以上转移的概率 为O(Δt)，即有2个以上顾客到达或离开的概率为
S0
…
…
Sk-1
Sk
状态
2014-11-30
系统服务率
19
t→∞时，Pi(t)趋向于常数：系统达到稳定
系统达到稳定后：每个状态转入率的期
望值与转出率的期望值相等。
对于状态i：转出率的期望值为
i Pi i Pi (i i ) Pi
转入率的期望值为
i 1Pi 1 i 1Pi 1
λ S2 μ
λ
λ
λ Si
…
μ μ
…
Sm μ
P0
P1
P2
Pi
Pm
列状态转移方程组求各状态概率
如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客
单位时间内的到达数服从泊松分布。
如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客
到达的时间间隔服从负指数分布。
从本质上看，泊松分布与负指数分布是同一
个过程的不同表现形式。
2014-11-30 14
第三节 生灭过程
2014-11-30
15
一、生灭过程定义
研究系统内部状态变化的过程
n
m n
(t ) m m 1 m n 1 t lim 1 m n！ m m m m
n
m n
(t ) t lim 1 n！ m m
n
2014-11-30
m
(t ) t e n！