梁弯曲时变形
梁纯弯曲变形
梁纯弯曲变形引言梁纯弯曲变形是工程力学中的一个重要概念。
在结构力学和土木工程中，梁是一种常见的结构元素，承受着各种外部荷载。
当外部荷载作用于梁上时，梁会发生变形。
本文将探讨梁在纯弯曲状态下的变形特性和相关的理论基础。
纯弯曲的概念纯弯曲是指梁所受的外部荷载仅产生弯矩作用，而不产生剪力作用。
在梁的纵轴上，上部受拉，下部受压，梁在这种状态下发生弯曲变形。
纯弯曲情况下，梁的截面仅发生弯矩引起的形状变化，并不会发生剪切变形。
纯弯曲对于大跨度的梁和悬臂梁等结构具有重要意义。
纯弯曲变形的理论基础梁纯弯曲变形的理论基础可以通过两种方法进行分析：理论分析和数值分析。
理论分析理论分析方法中，我们可以利用梁的弯矩-曲率关系来分析纯弯曲变形。
弯矩-曲率关系描述了梁截面上的弯矩和截面曲率之间的关系。
根据弯矩-曲率关系，我们可以计算出梁的曲率分布，从而得到梁的变形情况。
此外，利用材料力学中的应力-应变关系，还可以计算出梁截面上的应力分布。
数值分析数值分析方法中，我们可以使用有限元方法来模拟梁的纯弯曲变形。
有限元方法将梁划分为许多小的单元，通过求解弯矩和力的平衡方程，可以得到梁单元上的位移和应力分布。
通过将所有单元的位移组合起来，可以得到整个梁的变形情况。
纯弯曲变形的计算纯弯曲变形的计算依赖于梁的几何形状、材料特性和外部荷载。
常见的计算方法包括：基于梁理论的计算基于梁理论的计算方法适用于简单、均匀截面的梁。
在这种方法中，我们可以使用梁的截面形状和材料性质，通过弯矩-曲率关系计算出梁的曲率分布。
进一步，可以计算出梁的位移、剪力和应力等参数。
基于有限元分析的计算基于有限元分析的计算方法适用于复杂截面的梁。
在这种方法中，我们将梁划分为许多小的单元，并求解每个单元上的位移和应力分布。
通过将所有单元的位移组合起来，可以得到整个梁的变形情况。
梁纯弯曲变形的应用梁纯弯曲变形的应用广泛，特别是在土木工程和结构设计中。
通过对梁的纯弯曲变形进行分析，可以确定梁的合适截面形状和尺寸，以满足其承受的外部荷载要求。
第九章梁的弯曲变形
a xl
在 x l / 2处
y 0.5l
Fb
(3l 2 4b 2 ) 48 EI
yqx(l32lx2x3) 2E 4 I
A
B
ql3 24EI
x
l 2
ymax
5ql4 384EI
梁的简图
第九章 梁的弯曲变形
挠曲线方程
y6M EI(xllx)2(lx)
yC1
aB
qa4 2EI
yC2
qa4 8EI
3）叠加 y C y C 1 y C 2 2 q E 4a 8 I q E 4a I 5 8 q E 4( a I)
第九章 梁的弯曲变形
例9-5 悬臂梁跨度为 l =2m，截面为矩形，宽b = 100mm，高h =120mm，材料的弹性模量E=210GPa， 梁上载荷如图所示，求自由端A的挠度。
挠曲线方程 y f (x)
第九章 梁的弯曲变形
二、挠度和转角
挠度：截面形心线位 移的垂直分量称为该 截面的挠度，用 y 表 示，一般用 ymax 表示 全梁的最大挠度。
转角：横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角
位移称转角，用 表示。小变形时，转角 很小，
则有以下关系：
tanydy
1
(x)
M(x) EI
曲线 y f(x)的曲率
1
(x)
(1yy2)3/2
二阶小量
y (1y2)3/2
M(x) EI
挠曲轴线 近似微分方程
y M(x) EI
第九章 梁的弯曲变形
挠曲轴线 近似微分方程
y
梁的弯曲变形
第7章-梁的弯曲变形(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第7章 梁的弯曲变形与刚度梁弯曲变形的基本概念7.1.1 挠度在线弹性小变形条件下，梁在横力作用时将产生平面弯曲，则梁轴线由原来的直线变为纵向对称面内的一条平面曲线，很明显，该曲线是连续的光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线（图7-2）。
梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。
在小变形情况下，梁轴线上各点在梁变形后沿轴线方向的位移（水平位移）可以证明是横向位移的高阶小量，因而可以忽略不计。
挠曲线的曲线方程：)(x w w = （7-1）称为挠曲线方程或挠度函数。
实际上就是轴线上各点的挠度，一般情况下规定：挠度沿y 轴的正向（向上）为正，沿y 轴的负向（向下）为负（图7-4）。
必须注意，梁的坐标系的选取可以是任意的，即坐标原点可以放在梁轴线的任意地方，另外，由于梁的挠度函数往往在梁中是分段函数，因此，梁的坐标系可采用整体坐标也可采用局部坐标。
7.1.2 转角梁变形后其横截面在纵向对称面内相对于原有位置转动的角度称为转角（图7-3）。
转角随梁轴线变化的函数：)(x θθ= （7-2）称为转角方程或转角函数。
图7-3 梁的转角)(x 图7-2梁的挠曲线由图7-3可以看出，转角实质上就是挠曲线的切线与梁的轴线坐标轴x 的正方向之间的夹角。
所以有：xx w d )(d tan =θ,由于梁的变形是小变形，则梁的挠度和转角都很小，所以θ和θtan 是同阶小量，即：θθtan ≈，于是有：xx w x d )(d )(=θ （7-3） 即转角函数等于挠度函数对x 的一阶导数。
一般情况下规定：转角逆时针转动时为正，而顺时针转动时为负（图7-4）。
需要注意，转角函数和挠度函数必须在相同的坐标系下描述，由式（7-3）可知，如果挠度函数在梁中是分段函数，则转角函数亦是分段数目相同的分段函数。
梁纯弯曲变形
梁纯弯曲变形
梁纯弯曲变形是指在梁受到外力作用下，梁的形状发生变化，但梁的截面仍然保持平面状态的现象。
这种变形是梁在受力时常见的一种情况，也是梁的设计和计算中必须考虑的因素之一。
梁的弯曲变形是由于梁受到的外力作用产生的弯矩所引起的。
当梁受到弯矩作用时，梁的上部受到压力，下部受到拉力，从而导致梁的形状发生变化。
这种变形是梁在受力时的一种正常现象，但如果梁的变形过大，就会影响梁的使用效果和安全性。
为了避免梁的弯曲变形过大，需要在梁的设计和计算中考虑弯曲变形的因素。
首先需要确定梁的受力情况，包括梁的受力方向、大小和作用点等。
然后需要计算梁的弯曲变形量，以确定梁的变形是否符合要求。
如果梁的变形量过大，需要采取相应的措施来减小梁的变形，例如增加梁的截面积、改变梁的材料或者增加梁的支撑等。
在实际工程中，梁的弯曲变形是一个非常重要的问题。
如果梁的弯曲变形过大，不仅会影响梁的使用效果和安全性，还会对整个工程造成不良影响。
因此，在梁的设计和计算中，必须充分考虑梁的弯曲变形问题，采取相应的措施来保证梁的安全和稳定性。
总之，梁的弯曲变形是梁在受力时常见的一种现象，也是梁的设计和计算中必须考虑的因素之一。
为了避免梁的弯曲变形过大，需要在梁的设计和计算中充分考虑弯曲变形的因素，并采取相应的措施来保证梁的安全和稳定性。
梁的弯曲变形
座处的截面上y=0，固定端的截面上θ=0，y=0；二是根据整个挠曲线
的光滑及连续性,得到各段梁交界处的变形连续条件。
梁的弯曲变形
1.3 用叠加法求梁的变形
由于简单荷载作用下的挠度和转角可以 直接在表8-1中查得,而梁的变形与荷载呈线 性关系,因此,可以用叠加法求梁的变形。即 先分别计算每种荷载单独作用下所引起的转 角和挠度,然后再将它们代数叠加,就得到梁 在几种荷载共同作用下的转角和挠度。
2. 用积分法求梁的变形
对于等截面梁,EI=常数,式(8-23)可改写为
EIy″=-Mx
积分一次，得
EIθ=EIy′=-∫Mxdx+C
(8-24)
再积分一次,即得
EIy= -∫ ∫ Mxdxdx+Cx+D
(8-25)
式(8-24)、式(8-25)中的积分常数C和D,可通过梁的边界条件来决定。
边界条件包括两种情况：一是梁上某些截面的已知位移条件，如铰链支
梁的弯曲变形
梁的弯曲变形
梁的弯曲变形
梁的弯曲变形
梁的弯曲变形
【例8-5】
图8-26
梁的弯曲变形
工程力学
为了得到挠度方程和转角方程,首先需推出一个描述弯 曲变形的基本方程——挠曲线近似微分方程。弯曲变形挠曲 线的曲率表达式为
(8-22) 式(8-22)为研究梁变形的基本公式,用来计算梁变形后中 性层(或梁轴线)的曲率半径ρ。该式表明：中性层的曲率1ρ 与弯矩M成正比,与EI成反比。EI称为梁的抗弯刚度,它反映了 梁抵抗弯曲变形的能力。
2. 转角
梁的弯曲变形
梁变形时,横截面还将绕其中性轴 转过一定的角度,即产生角位移,梁任一 横截面绕其中性轴转过的角度称为该截 面的转角,用符号θ表示,单位为rad,规定 顺时针转为正。例如,图8-24所示的C处 截面的转角为θC。
材料力学 第6章 梁的弯曲变形
(c)
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在本章所取的坐标系中，
上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值。
如图6-5所示。 按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″， 负弯矩对应着正的w″，故（c）式
w
M (x)
(1
w2 )3 2
EI z
在小变形情况下， w dw 是一个很小的量， dx
则 w'2为高阶微量，可略去不计，故
挠曲线的近似微分方程
M x
w EI z
EIw''= −M (x)
(6-1b)
图6-5
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
6.4 积分法计算梁的变形
对于等直梁，可以直接积分，计算梁的挠度和转角。 将式(6-1b)积分一次，得到
EIw′ = EIθ = −∫ M (x) dx + C
maxFl 2 2EI来自A xyF
θmax B
x
wmax
l
图6-7 例题 6-1 图
wm a x
Fl 3 3EI
θ max为正值，表明梁变形后，截面B顺时针转动；
wmax为正值，表明点B位移向下。
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
例题6-2 一简支梁受均布荷载q作用，如图6-8所示。试求梁的转角方程和 挠度方程， 并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。
A x
y
F
θmax B
x
wmax
l
进行两次积分，得到
EIw EI Flx Flx2 C
(a)
2
EIw Flx2 Fx3 Cx D
梁受弯破坏的三种形态
梁受弯破坏的三种形态
梁受弯是指在受到外力作用下，梁的上部受压，下部受拉，导致梁产生弯曲变形的一种破坏形态。
梁受弯破坏的形态有三种，分别是弯矩破坏、剪力破坏和挤压破坏。
一、弯矩破坏
弯矩破坏是指在梁的顶部或底部形成一个或多个裂缝，由于弯曲变形产生的应力超过了梁材料的强度极限而导致的破坏。
当梁受到外力作用时，梁的上部受到压力，下部受到拉力，这种应力分布会导致梁在顶部或底部产生弯曲变形。
当弯曲变形超过梁材料的强度极限时，就会出现裂缝，最终导致梁的破坏。
二、剪力破坏
剪力破坏是指在梁的端部或跨中形成一个或多个裂缝，由于剪切力超过了梁材料的强度极限而导致的破坏。
当梁受到外力作用时，梁的上部和下部产生剪切力，这种剪切力会导致梁在端部或跨中产生剪切变形。
当剪切变形超过梁材料的强度极限时，就会出现裂缝，最终导致梁的破坏。
三、挤压破坏
挤压破坏是指在梁的底部产生一个或多个裂缝，由于挤压力超过了梁材料的强度极限而导致的破坏。
当梁受到外力作用时，梁的底部产生挤压力，这种挤压力会导致梁在底部产生挤压变形。
当挤压变
形超过梁材料的强度极限时，就会出现裂缝，最终导致梁的破坏。
梁受弯破坏的三种形态分别是弯矩破坏、剪力破坏和挤压破坏。
这些破坏形态的出现是由于梁受到外力作用，导致梁产生弯曲变形，超过了梁材料的强度极限而引发的。
在设计和使用梁结构时，需要合理选择材料和截面形状，以增强梁的承载能力，避免出现破坏形态，确保梁的安全可靠。
第13讲第7章-直梁的弯曲-
主要内容:
1.直梁平面弯曲的概念 2.梁的类型及计算简图 3.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩） 4.梁纯弯曲时的强度条件 5.梁弯曲时的变形和刚度条件梁纯弯曲源自的强度条件1.梁纯弯曲的概念
剪力弯曲 平面弯曲
纯弯曲
剪力FQ≠0 弯矩M ≠ 0
剪力FQ=0 弯矩M ≠ 0
在梁的纵向对称面内，两端施加等值、反 向的一对力偶。在梁的横截面上只有弯矩 而没有剪力，且弯矩为一常数，这种弯曲 为纯弯曲 。
2.梁纯弯曲时横截面上的正应力
1）变形特点 :
横向线仍为直线，只是 相对变形前转过了一个 角度，但仍与纵向线正 交。纵向线弯曲成弧线， 且靠近凹边的线缩短了， 靠近凸边的线伸长了， 而位于中间的一条纵向 线既不缩短，也不伸长。
平面假设：梁弯曲变形后，其横截面仍为平面，并垂 直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度。
由平面假设可知，纯弯 曲时梁横截面上只有正 应力而无切应力。由于 梁横截面保持平面，所 以沿横截面高度方向纵 向纤维从缩短到伸长是 线性变化的，因此横截 面上的正应力沿横截面 高度方向也是线性分布 的。以中性轴为界，凹 边是压应力，使梁缩短， 凸边是拉应力，使梁伸 长，横截面上同一高度 各点的正应力相等，距 中性轴最远点有最大拉 应力和最大压应力，中 性轴上各点正应力为零。
弯矩图的规律
1.梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图 为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转 折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突 变量为集中力偶的大小。
2.梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物 线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向 一致。
3.梁的两端点若无集中力偶作用，则端点 处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯 矩为集中力偶的大小。
梁的弯曲变形应用原理
梁的弯曲变形应用原理简介梁是一种常见的结构元素，用于承受和传递载荷。
在实际应用中，梁常常会发生弯曲变形，这种变形有着重要的应用原理和工程意义。
本文将介绍梁的弯曲变形的应用原理，以及它在工程领域中的具体应用。
梁的弯曲变形原理当梁受到外部载荷作用时，其会发生弯曲变形。
梁的弯曲变形主要是由内力矩引起的，内力矩是梁截面上的剪力和弯矩引起的。
弯曲变形原理可以用以下几个要点来描述：1.梁撑杆法：梁在弯曲时，可以看做由无数撑杆组成的系统。
每个撑杆受到不同大小的拉伸或压缩力，整个梁发生的弯曲变形是各撑杆弹性变形的综合效果。
2.中性轴和截面旋转：梁弯曲时，存在一个中性轴，该轴是在截面内法线应力为零的位置。
梁在弯曲时，截面内部会发生旋转，上部受拉，下部受压，截面的变形呈现出弯曲的形态。
3.弯矩与曲率关系：梁的弯曲变形与弯矩和曲率有关。
弯矩是横截面上的合力矩，而曲率则是截面内部形成的曲线的曲率半径的倒数。
根据弯矩和曲率之间的关系，可以计算出梁的变形情况。
梁的弯曲变形应用梁的弯曲变形在工程领域中有着广泛的应用。
下面列举了梁的弯曲变形应用在不同工程中的具体案例：1. 建筑结构设计在建筑结构设计中，梁的弯曲变形是必须考虑的因素之一。
通过合理的梁的尺寸和形状设计，可以满足建筑物的结构强度和刚度要求，保证建筑物的安全性和稳定性。
2. 桥梁工程在桥梁工程中，梁的弯曲变形对于桥梁的承载能力和结构安全性影响重大。
通过分析梁的弯曲变形情况，可以确定桥梁的设计参数，保证桥梁承受车辆和行人的荷载，确保桥梁的正常使用和运行。
3. 机械设计梁的弯曲变形在机械设计中也有着广泛的应用。
例如，在起重机设计中，梁的弯曲变形会导致起重机的运动效果失真，因此需要精确计算梁的弯曲变形，以确保起重机的稳定性和可靠性。
4. 航天器设计在航天器设计中，梁的弯曲变形是非常重要的考虑因素。
航天器需要承受巨大的重力和惯性力，梁的弯曲变形对于航天器的结构强度和稳定性至关重要。
梁弯曲变形的计算
第7章 梁弯曲变形的计算§7-1 挠度与转角及梁的刚度条件梁变形前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率的变化表示。
梁变形前后位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移，如图7-1所示。
在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度，用v 表示；角位移是横截面变形前后的夹角，称为转角，用θ表示。
而dxx dv x )()(=θ，可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程Y=f(x)。
梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将其弹性变形限制在一定范围内，即满足刚度条件][][max max θθ≤≤v v式中的和][v ][θ分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。
§7-2 挠度曲线的近似微分方程忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为： 式（a）表明梁轴线上任一点的曲率)(1x ρ与该点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚度)(x M EI 成反比。
如图7-2所示。
而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程v 之间存在下列关系：)(xEIx M x )()(1=ρ （a） 232221)(1⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+±dx dv dx vd x ρ （b）将上式代入式（a），得到EIx M dx dv dx v d )(12322=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+±（c） 小挠度条件下，1<<=θdxdv，式（c）可简化为： EI x M dxv d )(22=±（d）在图7-3所示的坐标系中，正弯矩对应着22dx vd 的正值（图7-3a），负弯矩对应着22dxvd 的负值（图7-3b），故式（d）左边的符号取正值EI x M dx v d )(22= （8-1）式（7-1）称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。
显然，小挠度微分方程仅适用于线弹性范围内的平面弯曲问题。
梁的弯曲应力和变形
正应力分布规律：
1. 中性轴上的点应力为零；
M
2. 上下边缘的点应力最大，其余各 点的应力大小与到中性轴的距离成
正比。
M
中性轴
F
二、计算公式 F
mn
1. 变形几何关系
解：（ 1 ）求支座反力
12.75
kN m
（ 2 ）作弯矩图
max
M
max
Iz
y1
M max W1
max
M
max
Iz
y2
M max W2
（8 - 8） （8 校核哪个截面？
例 2 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=40 3×10 － 7m4 ，铸铁抗拉强度［ σ ＋］ =5m0MPa ，抗压强度
的情况，公式仍然适用。
（ 2 ）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工
字形、 T 字形、圆形等）的梁，也都适用。
M max WZ
梁弯曲时，其横截面上既有拉应力也有压应力。对于中性轴为对称 轴的横截面，例如矩形、圆形和工字形等截面，其上、下边缘点到 中性轴的距离相等，故最大拉应力和最大压应力在数值上相等，可 按左式求得。
一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。
在选择梁的截面时，一般按正应力强度条件选择，选好 截面后，再按剪应力强度条件进行校核。
对于细长梁，按正应力强度条件选择截面或确定许用荷载 后，一般不再需要进行剪应力强度校核。
在下列几种特殊情况下，需要校核梁的剪应力：
（ 1 ）梁的跨度较短，或在支座附近有较大的荷载作用。 在此情况下，梁的弯矩较小，而剪力却很大。 （ 2 ）在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小 而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大 ，而正应力值相对较小。 （ 3 ）木材在顺纹方向抗剪强度较差，木梁可能因剪应 力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。
第九章梁的弯曲变形-PPT精品文档
第一节
工程中的弯曲变形
梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强 度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变 形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线 挠曲线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的 作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲线。 挠曲线方程
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
M ( x ) y x C EI d
积分二次得挠度方程：
M ( x ) y d x d x Cx D EI
第九章 梁的弯曲变形 转角方程 挠度方程
M ( x ) y x C EI d M ( x ) y d x d x Cx D EI
式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 位移）确定：
0 , y 0 简支梁： y A B
悬臂梁： 0 , A
y 0 A
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
第九章 梁的弯曲变形
例9-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷 q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解：梁的弯矩方程为：
第九章 梁的弯曲变形 挠曲轴线 近似微分方程 结论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M(x) y EI
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
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梁的弯曲变形
案例三：工业厂房的弯曲变形
总结词
工业厂房在生产过程中，由于设备、货物等重量的影响，会产生弯曲变形，影响结构的稳定性。
详细描述
工业厂房在生产过程中，需要承受设备、货物等重量的影响。这些重量会导致厂房产生弯曲变形。如果变形过大， 将会影响厂房的正常使用和安全性。因此，对于工业厂房的弯曲变形问题，需要进行定期检测和维护，确保其正 常运转和安全性。
发展高效数值模拟方法
开发更精确、高效的数值模拟方法， 用于预测和控制梁的弯曲变形，为实 际工程应用提供指导。
优化梁的结构设计
基于对弯曲变形的深入理解，优化梁 的截面形状、尺寸和连接方式，提高 其承载能力和稳定性。
弯曲变形的未来发展趋势
跨学科交叉研究
加强与材料科学、物理学、计算科学等学科的交叉合作，引 入新技术和方法，推动梁的弯曲变形研究的发展。
04
梁的弯曲变形案例分析
案例一：桥梁的弯曲变形
总结词
桥梁在车辆、人群等外部载荷作用下， 会产生弯曲变形，影响结构的稳定性。
VS
详细描述
桥梁作为大型结构物，在长期承受车辆、 人群等外部载荷的作用下，会发生弯曲变 形。这种变形不仅会影响桥梁的美观性， 更严重的是会降低结构的稳定性，甚至引 发安全事故。因此，对于桥梁的弯曲变形 问题，需要进行定期检测和维修，确保其 安全性能。
梁的弯曲变形
• 梁的弯曲变形概述 • 梁的弯曲变形分析 • 梁的弯曲变形与结构安全 • 梁的弯曲变形案例分析 • 梁的弯曲变形研究展望
01
梁的弯曲变形概述
定义与类型
定义
梁的弯曲变形是指梁在受到外力 作用时发生的弯曲现象，导致梁 的轴线由直线变为曲线。
类型
根据弯曲变形的程度和性质，可 以分为弹性弯曲、塑性弯曲和脆 性弯曲等类型。
弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算
弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算弯曲力学梁是结构工程中常见的构件，用于承受横向力和弯矩。
在设计和分析梁的弯曲变形和内力时，了解梁的性质和力学行为至关重要。
本文将介绍弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算的相关知识。
1. 梁的基本概念在讨论弯曲变形和内力计算之前，我们首先需要了解梁的基本概念。
梁是一种长条形结构，由材料制成，其主要作用是承受横向力和弯矩。
梁通常用于支撑和传递载荷，使得荷载能够安全地传递到地基或其他支撑结构。
2. 弯曲变形弯曲力学梁在受到横向力作用时会发生弯曲变形。
弯曲变形可分为弯曲线的形状变化和截面各点的位移变化两个方面。
2.1 弯曲线的形状变化当横向力作用于梁上时，梁会呈现出一条弯曲线。
这条弯曲线称为弯曲曲线，弯曲曲线的形状取决于梁的几何形状、材料性质和受力情况。
常见的弯曲曲线形状包括凸曲线和悬臂曲线。
2.2 截面各点的位移变化在梁的弯曲过程中，截面上的各点将发生位移变化。
位移变化可分为纵向位移和横向位移两个方向。
纵向位移是指垂直于弯曲平面的位移，即梁的弯曲垂直方向的变形。
横向位移是指沿弯曲平面的位移，即梁的弯曲平面内的变形。
这些位移变化会导致梁的轴线发生曲率，截面上的各点相对于轴线发生旋转。
3. 内力计算在弯曲过程中，梁内部发生了一系列力的变化，包括弯矩、剪力和轴力。
这些内力是用来描述梁材料内部应力状态的。
内力计算是分析和设计梁结构的重要一步。
3.1 弯矩弯矩是梁内部发生的一对等大反向的力矩。
在弯曲力学中，弯矩是描述梁抵抗弯曲变形的重要参数。
弯矩的大小和分布取决于梁的几何形状、材料性质和受力情况。
3.2 剪力剪力是梁内部横向力的一种表现形式。
在弯曲力学梁中，剪力是垂直于梁轴线的力，用来描述梁材料负责承受横向力的能力。
3.3 轴力轴力是梁内部沿轴线方向的力。
当梁受到纵向拉力或压力时，轴力将发生变化。
轴力的大小和分布取决于梁的受力情况。
4. 弯曲梁的弯曲变形和内力计算方法在实际工程中，我们可以通过解析法或数值计算法来计算弯曲梁的弯曲变形和内力。
钢结构梁变形标准
钢结构梁变形标准
钢结构梁变形标准主要涉及到三种变形：弯曲变形、挤压变形和剪切变形。
1. 弯曲变形：是指钢梁在承受负荷后出现的弯曲变形。
根据标准要求，弯曲变形应符合L/300的标准，其中L为跨度。
也就是说，在台阶承载时，钢梁的弯曲变形不应超过跨度的1/300，否则可能会影响结构的正常使用。
2. 挤压变形：是指钢梁在受压力作用下的长轴方向出现的压缩变形。
根据标准要求，挤压变形应符合L/150的标准，其中L为跨度。
即在台阶承载时，钢梁的挤压变形不应超过跨度的1/150，否则会危及结构的安全。
3. 剪切变形：是指钢梁在承受横向力时发生的剪切变形，一般表现为上下翘起或者下垂。
根据标准要求，剪切变形应符合1/150的标准，即在台阶承载时，钢梁的剪切变形不应超过跨度的1/150，否则会影响结构的正常使用。
另外，对于钢梁平面弯曲，也有明确的允许偏差标准。
根据《建筑钢结构制作和安装技术规范》中的规定，钢梁平面弯曲允许偏差的标准为梁长的1/200或50mm，取其中较小值。
以上信息仅供参考，具体的钢结构梁变形标准可能因不同的设计规范、使用环境和结构要求而有所差异。
在实际应用中，需要参考相关的设计规范和标准，结合实际情况进行判断和评估。
3.3梁的弯曲变形分析
单位为M Pa
MM-和y截面上的弯矩 均以绝对值代入，至于弯曲 (N.mm) 正应力是拉应力还是压应力，则 y--计算点到中性轴距离(mm) 由欲求应力的点处于受拉侧还是 4 受压侧来判断。受拉侧的弯曲正 Iz--横截面对中性轴惯性矩 mm 应力为正，受压侧的为负。
推导过程
1）沿y轴线性分布，同 一坐标y处，正应力相 等。中性轴上正应力为 零。
梁发生平面弯曲时，横截面上一般产生两种 内力，即剪力和弯矩。
d A dA
dA
dA FS dA M M FS
dA M dA FS
在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA才能合成
弯矩M，只有切向内力元素d FS =τdA才能合成剪力 FS
• 在横截面上，只有弯矩M，没有剪 力Fs，这种弯曲称为纯弯曲； • 横截面上同时有弯矩M和剪力Fs， 这种弯曲称为横力弯曲。
0.2L
M
qL2 8
x
M
qL2 40 qL2 50
+
x
+
qL2 50
合理布置载荷
F=qL q
L
L
M
qL2 4
x +
M
qL2 8
x +
合理布置载荷
F=qL F=qL
对称
L/5 4L/5
M
qL2 4
M x +
qL2/10
x
合理布置载荷
2. 合理选择梁的截面，用最小的截面面积得 到大的抗弯截面模量。
推论：
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短， 下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维 既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵 向纤维层称为中性层。 中性层与横截面的交线称为中性轴
减小梁弯曲变形的措施
减小梁弯曲变形的措施减小梁弯曲变形的措施引言在建筑工程中，梁是常见的结构元素，其承受着水平或竖直荷载的作用。
然而，梁在承受荷载过程中，可能会发生弯曲变形，影响建筑结构的稳定性和安全性。
因此，减小梁弯曲变形对于保证工程质量至关重要。
本文将介绍一些有效的措施，帮助减小梁的弯曲变形。
措施一：增加梁截面惯性矩•增加梁的截面尺寸，可以增加梁的惯性矩，从而减小梁的弯曲变形。
•在设计中可以选用更高的混凝土等级，以增加梁的尺寸。
•合理设计梁的截面形状，采用更宽的矩形截面或T形截面，可以增加惯性矩。
措施二：增加梁材料的强度•选用强度较高的材料，如高强度混凝土或高强度钢材，可以有效减小梁的弯曲变形。
•注意在设计中要考虑材料的可行性和成本效益。
措施三：加固梁的受力部位•根据梁的受力特点，加固梁的受力部位，可以有效减小梁的弯曲变形。
•在设计和施工中，采用加固措施，如在梁底部设置钢筋，或在受力部位加装钢板等。
措施四：设计合理的支承条件•合理设计梁的支承条件，可以减小梁的弯曲变形。
•在设计中应考虑梁的支承点和支承方式，选择合适的支承材料和结构形式。
措施五：考虑预应力设计•采用预应力设计的方法，可以有效地减小梁的弯曲变形。
•通过施加预应力，可以提高梁的刚度和承载能力，从而减小弯曲变形。
结论通过增加梁截面惯性矩、增加材料强度、加固受力部位、设计合理的支承条件和考虑预应力设计等措施，可以有效地减小梁的弯曲变形。
在实际工程中，应根据具体情况综合考虑，选择适用的措施来减小梁的弯曲变形，从而提高建筑结构的稳定性和安全性。
引言在建筑工程中，梁是常见的结构元素，承受着重力荷载和其他荷载的作用。
然而，梁在承受荷载时，可能会发生弯曲变形，影响建筑结构的稳定性和安全性。
为了减小梁的弯曲变形，我们可以采取一系列措施来提高梁的刚度和承载能力。
本文将详细介绍各个措施。
措施一：增加梁截面面积•增加梁截面的面积，可以增加梁的惯性矩，从而提高梁的刚度。
•通过增加混凝土的厚度，或者采用更宽的矩形截面或T形截面等方式，可以增大梁的截面面积。
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第七章 梁弯曲时的变形
§7−1 概 述
图7−1所示的简支梁，任一横截面的形心即轴线上的点在垂直于x 轴方向的线位移，称为挠度，用y 表示；横截面绕中性轴转动的角度，称为该截面的转角，用θ表示，如图中C 截面转过的角度θ即为C 截面的转角。
（7−1） 称为挠曲线方程。
（7−2）
称为转角方程。
§7−2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
在小变形情况下，梁的挠曲线为一平坦的曲线，挠曲线近似微分方程为
EI x M x y )
(d d 2
2±
= （7−3） 式中的正负号取决于2
2d d x y
与)(x M 的正负号的规定。
在如图11−2所示的坐标系中，y 轴以向下为正，当M (x )>0时，梁的挠曲
的
（7−3） ⎰+-==
C x x M EI
x d )(d θ （7−5）
再积分一次，可得
()[]⎰⎰++-
=D
Cx x
x M EI
y 2
d 1 （7−6）
以上两式中，C 、D 为积分常数，可通过梁的边界条件及变形连续条件确定。
例如在简支梁（图7−3a ）中，A 、B 支座处的挠度都等于零；在悬臂梁（图7−3b ）中，固定端处挠度和转角都等于零。
积分常数C 、D 确定后，代入式（7−5）、（7−6），便可求得梁的转角方程和挠曲线方程，进而可求得梁上任一横截面的转角和挠度。
例题7−1 图示等截面悬臂梁AB EI ，试 (b)
求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度y max 和最大转角θmax 。
解
b ），弯矩方程为： （a ） （2
（b ）
（3积分一次，得：
⎪
⎭⎫ ⎝⎛+-==C Fx Flx EI x y 2211d d θ （c ） 再积分一次，得：
⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=
D Cx Fx Flx EI y 32
61211 （d
） （4）利用梁的边界条件确定积分常数
在梁的固定端，横截面的转角和挠度都等于零，即：
0=x 时，0=y ，0=θ
代入式（c ）、（d ），求得C =0，D =0。
（5）给出转角方程和挠曲线方程
⎪
⎭⎫ ⎝⎛-==2211d d Fx Flx EI x y θ （e ） ⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=32
61211Fx Flx EI y （f ） （6）求最大挠度和最大转角
根据梁的受力情况和边界条件，可知此梁的最大挠度和最大转角都在自由端即x =l 处。
将x =l 代入（e ）、（f ）两式，则可求得最大转角及最大挠度分别为：
挠度为正，说明梁变形时B 点向下移动，转角为正，说明横截面B 沿顺时针方向转动。
用积分法计算梁的位移时，应先写出梁的弯矩方程，建立梁的挠曲线近似微分方程，然后通过积分得到转角和挠曲线方程式，积分中出现的积分常数可通过边界条件确定。
当全梁的弯矩不能用统一的方程式表示时，应分段列出其弯矩方程和挠曲线近似微分方程，并分段
积分。
积分常数的确定除了利用梁的边界条件
外，还需利用梁的变形连续条件。
§7−3 叠加法 当梁上同时作用几种荷载时，所引起的梁
的位移可采用叠加法计算，即先分别求出每一
项荷载单独作用时所引起的位移，然后计算这些位移的代数和，即为各荷载同时作用时所引
起的位移。
例题7−4 图示简支梁AB ，受均布荷载
和集中力偶作用，梁的弯曲刚度为EI ，试用叠加法求梁跨中点C 的挠度值和A 、B 截面的转角。
解：此梁上的荷载可以分为两项简单荷
载，如图（b ）、(c )所示。
（a ）
（b ）
（c ）
均布荷载单独作用时，从表格11−1可以查得：
EI ql y Cq
38454
=
，
EI ql θAq 243=，EI ql θBq 243-= 集中力偶单独作用时，从表格7−1可以查得：
EI l M y CM
162
e =
，EI l M AM 3e =θ，EI l M BM 6e -=θ
将以上两个结果叠加，得：
§7−4 梁的刚度校核
对于梁的刚度，通常是以挠度的容许值与跨长的比值⎦⎤
⎢⎣⎡l f 作为校核的标准，即梁在荷
载作用下产生的最大挠度m ax y 与跨长l 的比值不能超过⎥⎦⎤⎢
⎣⎡l f ，所以梁的刚度条件可以写成：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡≤l f l y max （7−7）
式中：⎥⎦⎤⎢⎣⎡l
f
根据不同的工程用途，在有关规范中，均有具体的规定值。
例题7−7 图示悬臂梁AB ，承受均布荷载q 的作用。
已知：l =3m ，
q =3kN/m ，4001
=⎦⎤⎢⎣⎡l f ，梁采用20a 号工字钢，其弹性模量E =200GPa ，试校核梁的刚度。
解：查得工字钢的惯性矩为: 梁的最大挠度为： 满足刚度要求。
对于工程中的梁，必须要同时满足强度条件和刚度条件。
一般情况下，强度条件往往起控制作用，如果满足强度条件，刚度条件一般也能满足。
因此，在设计梁时，一般先由强度条件选择梁的截面，然后再校核刚度。
§7−5 简单超静定梁的求解
如果梁的支座反力和内力仅靠静力平衡条件不能全部确定，这种梁称为超静定梁。
例如
在简支梁的中间增加一个支座（图7−4b ），此时梁的支座反力有四个，而对该梁只能列出三个独立的静力平衡方程，所以只用静力平衡条件不能求出全部的支座反力，即该梁是超静定梁。
又如在悬臂梁的自由端加一支座（图7−5b ），该梁也是超静定梁。
图7−4b 和图7−5b 所示的梁均为一次超静定
梁，而图7−6所示的梁为二次超静定梁。
超静定梁的内力求解方法很多，这里介绍最基
定悬臂梁（图7−7b ）。
该静定梁的变形情况应与原超静定梁的变形相同。
根据原超静定梁的约束条件可知，此梁在B 点的挠度应等于零，即0=B y 。
则图7−7b 所示的静定梁在均布荷载q 和F R B 共同作用下，B 点的挠度也应等于零，按叠加法，B 点的挠度可写成：
BF Bq B （a ）
式中：y B q 为悬臂梁在均布荷载单独作用下引起的B 点的挠度（图11−7c )，由表格11−1可查得：
EI ql y Bq
84
=
（b ）
y BF 为悬臂梁在F R B 作用下B 点的挠度（图7−7d ），同样由表格7−1可查得： EI l F y B BF
33R -
= （c ）
将（b ）、（c ）两式代入（a ）式，得：
0383
R 4=-EI l F EI ql B （d ）
由该式可解得：
所得F R B 为正，说明F R B 的实际方向与假定方向相同。
求得F R B 后，可按静力平衡条件求出该梁固定端的三个支反力，即：
0=Ax F ，
ql F Ay 85=
，281ql M A =
并可绘出其剪力图和弯矩图（图7−8）。