分析动力学Kane方法

v 1

v 1
v
刚体上的任意一点P的速度为
f
v p vo ω op
刚体上任一点 的偏速度可以 表示为基点的 偏速度的函数
2019年4月17日
f (v) (0) (v) (0) v p vo uv vo ω uv ω op v 1 v1



2019年4月17日
刚体的广义惯性力
(v) ao ε op ω ω op vo dm B
(v) 1 ao vo dm B



B
(v) (v) aodm vo Mao vo

(v) (v) 2 ε op vo dm ε op dm vo B B (v) (v) ε opdm vo ε M oc vo B
主动力：
mB lg sin
2019年4月17日
例1：质点系的Kane方程
* 惯性力： FA mA xi mAu1i
rB rA le l2en 2 xi l (i cos j sin ) l2 (i sin j cos )
(1) A (1) B
(2) A (2) B
0 l (cos i sin j)
f FA 0; FB mB gj (v) (0) r v u v i i v i (1) (1) 广义主动力： F v 1 1 F A vA F B vB 0 (2) F2 FA v(2) F v B B gj l (cos i sin j) B m A
f)
各广义速率所对应的广义主动力和广义惯性力之和为0 将力投影到伪速度上所得到的平衡方程。 2019年4月17日
质点系Kane方程的基本思路
牛顿方法 变量(坐标)：
ri xi i yi j zi k
T
基本方程：
Fi mi ri Ni 0
消去约束力，减少变量数
虚功率原理 Kane方法
uv
方程是否仅含有广义速率而不包含广义坐标？ 2019年4月17日
例1：质点系的Kane方程
广义速率： u1 x; u2 质点的速度为：
y O x
mA g
A B
mB g
x
rA u1i rB u1i lu2 (cos i sin j)
偏速度：
v i; v v i; v
N N
广义主动力为: Fv Fi v
i 1
(v) o
Fi (ω( v ) opi )
i 1
利用体积公式
V a (b c) (a b) c
N (v) N Fv Fi vo opi Fi ω( v ) i 1 i 1



刚体的广义惯性力
ao ε op ω ω op ω(v ) op dm
B





1 ao ω( v ) op dm op ao ω( v ) dm
B
ω( v ) M oc a ω( v ) op d m a o o B 2 ε op ω(v ) op dm JO ε ω(v ) B
分析动力学之 Kane方程
偏速度：质点系
由N个质点组成的系统，有f=3N-r-s个自由度，广义速度：
ri ri (q1 , q2 ,
伪速度： q j
f
, ql , t )
f v 1
ri ri ri qk t k 1 qk
l
hjv uv hj 0 ( j 1, 2,
N i i i
N
v
v 1
f
(v ) i
uv
(F m r ) r 0
i i 1
(v ) F v i i i 1 N
定义广义主动力： F v
* 定义广义惯性力： F v
(v) ( m r ) v ii i i 1
* Kane方程： F v F v 0 (v 1, 2,
cos sin sin x cos z
sin sin cos y 角加速度用广义速度表示会复杂得多：
根据定义，广义主动力为：

广义惯性力为:
(v) Fv* ao ε op ω ω op vo ω(v ) op dm B



令
(v) ao ε op ω ω op vo dm B ao ε op ω ω op ω(v ) op dm B
v 1
f
(v) (v) R vC LC ω(v) mvC vC JC ω ω JC ω ω(v) 0
Kane方法的 解题步骤： 广义坐标 伪速度
2019年4月17日 加速度 广义力
例2：刚体定点转动
解：设OXYZ为参考坐标系，oxyz为固连的主轴坐标系。 设外力对O点的力矩为LO。 z Z 以欧拉角为广义坐标。 A 设转动惯量矩阵为 J O B 刚体的角速度： C ω x i y j z k y 伪速度选为： u1 x , u2 y , u3 z （这样选伪速度保证了广义速度的反解存在） o 角速度用伪速度表示为：ω u1i u2 j u3k Y x
* 2 (2) A (2) B
(2) v(1) i ; v A A 0 (2) v(1) i ; v B B l (cos i sin j)
l (cos i sin j)
mB l cos mB l2
mB l cos mB l mB g sin 0
(v) Fv F vo Lo ω(v)
F是外力的主矢量 Lo是外力的主矩
2019年4月17日
刚体的广义惯性力
Fv* a P v (pv ) dm
B
a p ao ε op ω ω op
(v) v (pv ) vo ω(v ) op

广义惯性力写为 因此Kane方程为：
(v) (v) Fv* F * vo L*o ωo
F(r ) F 0
* (r )
2019年4月17日
刚体Kane方程的基本思路
牛顿欧拉方法
mvo S ω ω ω S R S vo JO ω ω JO ω L mvC RC 随体坐标系原点取在质心上： JC ω ω JC ω LC
2
F2 mB g sin
2 (mA mB ) x mB (l cos l2 sin ) 0
2019年4月17日
偏速度：刚体
设刚体B上的P1,P2,…,PN点处分别作用有主动力F1,F2,…,FN。 取刚体的上的O点为基点，取伪速度为u1,u2,…,uf。 设刚体基点O的速度、角速度与伪速度的关系是： f 偏速度 f 偏角速度 (r ) (0) vo vo uv vo ω ω( r )u ω(0)
2 mA x mB x mB (l cos l2 sin ) 2 (mA mB ) x mB (l cos l2 sin ) 0 F 1 0
2019年4月17日
例1：质点系的Kane方程
F FA v FB v mA xi 0 2 mB x i l ( i cos j sin ) l 2 ( i sin j cos )
因此，可以“看出”偏角速度为： ω(1) i ω(2) j
X
(3) ω k 2019年4月17日
例2：刚体定点转动
dω d ω dω ω ω 刚体的角加速度： ε dt dt dt 角加速度在动系和惯性系中是一样的。 ω u1i u2 j u3k
在动系oxyz中求导： ε u1i u2 j u3k
பைடு நூலகம்



3

(v) (v) ω ω op vo d m ω ω M oc v o B







1 2 3 M ao ε oc ω ω oc vo(v)
(v) MaC vo
2019年4月17日
(F m r ) r 0
i i i i i 1
N
速度变分不一定独立 基本方程：
(v) F v ( m r ) v i i i i 0 (v) i i 1 i 1 N N
独立变量(伪速度)
ri vi( v ) uv vi(0)
v 1 f
其中： vi(v ) ri
(2) v(1) A i; v A 0 (2) v(1) B i; vB l (cos i sin j)
广义惯性力：
* * (1) * (1) F F v F v 1 A B B A
mA xi i 2 mB x i l ( i cos j sin ) l 2 (i sin j cos ) i
vo , ω
变量(坐标)：
基本方程：
虚功率原理
( Ri mvC ) vc [ LC JC ω ω ( JC ω)]} ω 0