基于映射图像多角度复小波变换

基于映射的图像多角度复小波变换

[摘要] 图像处理在众多领域中都有广泛应用。离散小波变换(dwt)是信号和图像处理领域里一个十分有用的工具,但它只能从

出垂直、水平和对角三个方向进行图像分解,得到的相位信息有限。基于映射的复小波变换具有良好的方向性和平移敏感性,易于得到清晰的相位信息。将映射理论与复小波变换技术结合进行实验分析。结果证明,基于映射的复小波变换可以很好的实现图像的多角度分解和完全重构,且设计简单,具有广泛的应用前景。

[关键词]图像处理离散小波变换映射复小波变换

1.引言

小波变换是图像变化领域内最常用的技术之一,在信号处理,图

像编码、纹理识别等领域都有深入的研究和应用[1-2]。离散小波变换是对小波变换的时域和频域离散化得到的变换技术,是小波变换一个重要发展,但它的每一个尺度空间只能分解为水平、垂直和对角三个方向,得到的相位信息相对较少。二元树复小波变换克服了平移敏感性且具有良好的方向性,可以得到清楚的相位信息,但

滤波器设计复杂,需要进行反复的迭代运算,冗余较大。

综合以上因素,felix等人提出了基于映射的复小波变换[3],将

映射理论与复小波变换技术结合,把信号用复值滤波器映射到一个softy空间,使它的实部和虚部构成一个hilbert变换对,再进行小波运算。基于映射的复小波变换可以对地震资料进行属性计算、纹理分析等,具有计算效率高,处理效果好等优点[4- 5]。

2.基于映射的复小波变换理论推理

复小波变换的滤波与普通小波变换的滤波在结构上基本相同,不同之处只是复小波变换中使用的滤波器的系数都是复数,输出结果也是复数。对于单纯的复小波变换来说,完全重构的设计十分困难。二元树复小波变换[6](dt cwt)是一种常用的复小波变换。它保留了复小波变换的诸多优良特性,同时还具有完全重构特性。

为了实现对偶树复小波变换的反变换,在二元树复小波变换时对每一棵树分别使用双正交滤波器进行反变换,最后对两棵树的输出结果进行平均,以保证整个系统近似的平移不变。它可以对频率空间的各个部分进行划分,将产生六个方向的复系数带通子图。如图1所示。

然而,二元树复小波变换采用奇/偶滤波器会带来一些问题如:采样的结构不对称;两棵树有轻微不同的频率响应;滤波器是线性相

位的,所以只可能是双正交的。下面我们引入hardy空间的概念。hardy空间是复数域中的向量空间,在实际的信号处理、图像处理等应用中,信号一般都是实数域中的函数,为了建立与的联系,将

hardy空间定义在实数域中。在实空间中可以证明与是同构的,可以建立一一映射关系。利用这种映射关系我们就可以将内的dwt转换到里来计算,从而可以得到清楚的相位信息,并增强其方向性和平

移敏感性。其处理流程如下:先将空间的函数映射到中得,然后再对做dwt变换,得其hardy空间的dwt,然后再对其做所需的处理,得处理后的dwt,再对其进行idwt变换得到,最后通过逆映射滤波器把其

映射回空间得到重构的。

但是从空间到hardy空间的一一映射不能用数字滤波器实现,我们引入 softy空间。softy空间与hardy空间的特征十分相似,但可以用数字滤波器来实现到softy空间的一一映射。通过softy空间的映射,将中的函数映射到softy中再执行dwt,最后把它反映射到空间,得到所需的重构信号。softy空间是hardy空间的近似,也是的子空间,它与空间同构,因而理论上是完全可行的。并且softy 空间的映射和逆映射都可以用数字滤波器实现,所以在实际工作中也是可行的。

3.基于映射的复小波变换设计

我们用最大平滑滤波器和极小极大滤波器设置滤波器,具体细节不再累述。基于映射的复小波变换中,复小波的构成有两种方法,一种采用前置滤波器的映射滤波器,就是在dwt变换前先通过映射滤波器,后置滤波器是先进行dwt变换然后再通过映射波滤器,实验证明采用前置滤波器的效果更好一些。

基于映射的复小波变换的流程与softy空间的dwt相似,它首先将待分析信号从时间域映射到softy空间,然后做dwt变换,在时间尺度域中做必要的处理后再做idwt变换,处理完成后再把信号逆映射回时间域。

4.图像多角度分解实验分析

应用映射滤波器对lena图像副进行复小波变换,得到的结果如图2所示:图82(a) 为lena原始图像,(b)-(g)为从+75度、+45度、

+15度、-15度、-45度、-75度方向分解后得到的6个方向的相位。我们用六个分量可以完全重构出lena图像。经过推算,重构的最大误差为1.7053。

5.小结与展望

本文应用基于映射的复小波变换设计实验,因为它能够把负半平面的频率滤除,并能够把正垂直、正水平和负垂直、负水平的四个分量分开,从而增强了图像分解的方向性。最后用lena图像进行试验,得到图像六个方向的相位,可以完全重构原图像。

在试验过程中发现,滤波器的过渡带越尖锐,分解时对其它方向

分量压制得越好。基于映射的复小波变换应用于图像的多角度分解,重构误差小,且滤波器设计简单,因而是一种很实用的图像分解方法。

参考文献:

[1] s. mallet著,杨力华,戴道清,黄文良,湛秋辉译.《信号处理的小波导引》(第二版),北京,机械工业出版社,2003.

[2] 杨富生,《小波变换的工程分析与应用》,北京,科学出版社,1999.

[3] f.c.a. felix, directional, shift-insensitive, complex wavelet transforms with controllable redundancy, ph.

d.thesis, rice university, january 2002.

[4] f.c.a. felix, ivan w. selesnickb, rutger l.c. van spaendonck,c. sidney burrus,complexwavelet transforms with