简单的线性规划问题附答案
高中数学简单线性规划复习题及答案(最全面)
简单线性规划复习题及答案（1）1、设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥-020202y x y x y x ，则22y x ++的最大值为 452、设变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为答案：13、若实数x 、y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x ，则13++=x y z 的取值范围是]7,43[．4、设y x z +=，其中y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为5、已知x 、y 满足以下条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的取值范围是 4[,13]56、已知实数,x y 满足约束条件1010310x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22(1)(1)x y -+-的最小值为 127、已知,x y 满足约束条件1000x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1y x +的最大值为2，则m 的值为 58、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x9、若曲线y ＝ x 2上存在点（x ，y ）满足约束条件20,220,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，则实数m 的取值范围是 (,1)-∞10、已知实数y ,x 满足10103x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最小值为 －311、若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y的最小值为 13. 12、已知110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则22(2)(1)x y ++-的最小值为＿＿＿10＿13、已知,x y 满足不等式0303x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则函数3z x y =+取得最大值是 1214、已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z ＝2x ＋4y 的最小值是－615、以原点为圆心的圆全部在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0943042063y x y x y x 内，则圆面积的最大值为 π51616、已知y x z k y x x y x z y x 42,0305,,+=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-且满足的最小值为－6，则常数k = 0 . 17、已知,x y 满足约束条件，03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++的最小值是 118、在平面直角坐标系中，不等式组0,0,,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（a 为常数），表示的平面区域的面积是8，则2x y +的最小值 14-19、已知集合22{(,)1}A x y x y =+=，{(,)2}B x y kx y =-≤，其中,x y R ∈.若A B ⊆，则实数k 的取值范围是⎡⎣20、若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为 12-21、若实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是 222、已知点(,)P x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若3z x y =+的最大值为8，则实数k = 6- .23、设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- 23.24、已知实数y x , 22222)(y x y y x +++的取值范围为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+221,35．简单线性规划复习题及答案（2）1、设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x 则y x x y z +=的取值范围是 10[2,]3由于yx表示可行域内的点()x y ，与原点(00)，的连线的斜 率，如图2，求出可行域的顶点坐标(31)(12)A B ，，，， (42)C ，，则11232OA OB OC k k k ===，，，可见123y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，结合双勾函数的图象，得1023z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，2、若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于 1-3、设实数x 、y 满足26260,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则{}max 231,22z x y x y =+-++的取值范围是 [2,9]【解析】作出可行域如图，当平行直线系231x y z +-=在直线BC 与点A 间运动时，23122x y x y +-≥++，此时[]2315,9z x y =+-∈，平行直线线22x y Z ++=在点 O 与BC 之间运动时，23122x y x y +-≤++，此时，[]222,8z x y =++∈. ∴[]2,9z ∈图23 A yxOcB 634、佛山某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于解决最大化或最小化线性目标函数的问题，同时满足一组线性约束条件。
在这个任务中，我们将提供一道线性规划题目，并给出相应的答案。
题目描述：某公司生产两种产品A和B，每个单位的产品A利润为10元，产品B利润为15元。
公司有两个生产部门，分别是部门X和部门Y。
部门X每天最多能生产200个单位的产品A或150个单位的产品B；部门Y每天最多能生产100个单位的产品A或120个单位的产品B。
公司每天的生产时间为8小时，部门X生产一个单位的产品A需要1小时，生产一个单位的产品B需要2小时；部门Y生产一个单位的产品A需要2小时，生产一个单位的产品B需要1小时。
公司希望在满足生产能力和时间限制的情况下，最大化每天的利润。
解题步骤：1. 定义变量：- 设产品A的产量为x，产品B的产量为y。
2. 建立目标函数：- 目标函数表示每天的利润，即最大化10x + 15y。
3. 建立约束条件：- 部门X的生产能力限制：x ≤ 200，y ≤ 150。
- 部门Y的生产能力限制：x ≤ 100，y ≤ 120。
- 时间限制：x + 2y ≤ 8。
- 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。
4. 求解线性规划问题：- 将目标函数和约束条件带入线性规划模型，使用线性规划求解器求解得到最优解。
答案：根据上述线性规划模型，我们可以使用线性规划求解器求解得到最优解。
经过计算，最优解如下：- 产品A的产量为100个单位。
- 产品B的产量为120个单位。
- 每天的最大利润为(100 * 10) + (120 * 15) = 3100元。
因此，公司在满足生产能力和时间限制的情况下，每天的最大利润为3100元，最佳的生产方案是生产100个单位的产品A和120个单位的产品B。
这个线性规划问题的求解过程可以帮助公司在生产过程中做出最佳的决策，以最大化利润。
同时，通过调整约束条件和目标函数，可以应用线性规划方法解决其他类似的优化问题。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。
在实际应用中，线性规划可以用于解决各种决策问题，如生产计划、资源分配、投资组合等。
以下是一个线性规划问题的示例：问题描述：某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每件需要2小时的加工时间，产品B每件需要3小时的加工时间。
每天的加工时间总共有16个小时。
产品A的利润为100元/件，产品B的利润为150元/件。
工厂的目标是最大化每天的总利润。
解决步骤：1. 定义变量：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 建立目标函数：目标函数是每天的总利润，即：Z = 100x + 150y。
3. 建立约束条件：a) 加工时间约束：2x + 3y ≤ 16，表示每天的加工时间不能超过16小时。
b) 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0，表示产品的生产数量不能为负数。
4. 求解最优解：将目标函数和约束条件带入线性规划模型，使用线性规划算法求解最优解。
最优解及分析：经过计算，得到最优解为x = 4，y = 4，此时总利润最大为100 * 4 + 150 * 4 = 1000元。
通过最优解的分析可知，工厂每天应生产4件产品A和4件产品B，才能达到每天最大利润1000元。
同时，由于加工时间约束，每天的加工时间不能超过16小时，这也是生产数量的限制条件。
此外，也可以通过灵敏度分析来了解生产数量的变化对最优解的影响。
例如，如果产品A的利润提高到120元/件，而产品B的利润保持不变，那么最优解会发生变化。
在这种情况下，最优解为x = 6，y = 2，总利润为120 * 6 + 150 * 2 = 960元。
这表明，产品A的利润提高会促使工厂增加产品A的生产数量，减少产品B 的生产数量，以获得更高的总利润。
总结：线性规划是一种重要的数学优化方法，可以用于解决各种实际问题。
通过建立目标函数和约束条件，可以将实际问题转化为数学模型，并通过线性规划算法求解最优解。
线性规划题及答案
线性规划题及答案1. 问题描述假设一家餐馆每天供应两种菜品：A和B。
每份A菜品的成本为2美元，每份B菜品的成本为3美元。
餐馆每天有100美元的预算用于购买这两种菜品。
餐馆预计每天能卖出20份A菜品和30份B菜品。
每份A菜品的售价为5美元，每份B 菜品的售价为4美元。
餐馆希望最大化每天的利润。
2. 线性规划模型设变量：x1：购买的A菜品的份数x2：购买的B菜品的份数目标函数：最大化利润：Z = 5x1 + 4x2约束条件：成本约束：2x1 + 3x2 ≤ 100供应约束：x1 ≤ 20x2 ≤ 30非负约束：x1, x2 ≥ 03. 求解线性规划问题为了求解该线性规划问题，我们可以使用各种数学软件或线性规划求解器。
下面是使用一个线性规划求解器得到的最优解。
x1 = 20x2 = 26.67Z = 186.67解释：根据最优解，餐馆应该购买20份A菜品和26.67份B菜品以最大化每天的利润。
在这种情况下，每天的利润为186.67美元。
4. 灵敏度分析灵敏度分析用于确定目标函数系数或约束条件右侧值的变化对最优解的影响。
下面是对目标函数系数和约束条件右侧值进行灵敏度分析的结果。
目标函数系数灵敏度：如果A菜品的售价增加1美元，即目标函数系数从5变为6，则最优解不变，仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
如果B菜品的售价增加1美元，即目标函数系数从4变为5，则最优解不变，仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
约束条件右侧值灵敏度：如果成本约束从100美元增加到120美元，则最优解不变，仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
如果A菜品供应约束从20份增加到25份，则最优解不变，仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
如果B菜品供应约束从30份减少到25份，则最优解不变，仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。
根据线性规划模型的最优解和灵敏度分析的结果，我们可以得出以下结论：- 餐馆应该购买20份A菜品和26.67份B菜品以最大化每天的利润。
线性规划复习题2答案
线性规划复习题2答案1. 线性规划问题的标准形式是什么？答案：线性规划问题的标准形式是最大化或最小化目标函数，同时满足一系列线性不等式或等式约束，以及变量的非负性约束。
2. 线性规划中的基本可行解是如何确定的？答案：基本可行解是通过将某些变量设置为零，解出剩余变量的值，从而得到一个满足所有约束条件的解。
3. 单纯形法的基本原理是什么？答案：单纯形法是一种迭代算法，通过从一个基本可行解出发，沿着目标函数的最优方向移动，直到找到最优解或确定问题无解。
4. 如何判断一个线性规划问题是否有最优解？答案：如果线性规划问题的可行域非空，并且目标函数在可行域内有界，则该问题有最优解。
5. 线性规划问题中的对偶问题有什么意义？答案：对偶问题提供了原问题最优解的下界或上界，有助于判断原问题是否有可行解或最优解，并且对偶问题的最优解与原问题的最优解在数值上相等。
6. 线性规划问题中的影子价格是什么？答案：影子价格是指在满足所有约束条件下，目标函数值每增加一个单位，需要增加的资源量。
7. 如何使用图形法求解线性规划问题？答案：图形法是通过在坐标系中画出约束条件的图形，找到可行域，然后在可行域内找到使目标函数值最大的点，从而得到最优解。
8. 线性规划问题中的退化现象是什么？答案：退化现象是指在求解线性规划问题时，存在多个基本可行解具有相同的目标函数值，导致单纯形法无法确定唯一的最优解。
9. 线性规划问题中的松弛变量和剩余变量有什么区别？答案：松弛变量用于将不等式约束转换为等式约束，而剩余变量用于处理等式约束中变量的不足或过剩。
10. 线性规划问题中的目标函数和约束条件可以是哪些类型？答案：目标函数可以是线性函数，约束条件可以是线性不等式或等式。
简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题(附答案)简单的线性规划问题[学习目标]知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－ab x＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B 解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求 (1)x 2＋y 2的最小值；(2)y x 的最大值．解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，85， 又由⎩⎨⎧ x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝132，所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v ＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大，由(1)知C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32，所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案10解析画出可行域(如图所示)．(x＋3)2＋y2即点A(－3,0)与可行域内点(x，y)之间距离的平方．显然AC长度最小，∴AC2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x＋3)2＋y2的最小值为10.题型三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？ 解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元． 反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解． 跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？ 解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007. 由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752.所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎨⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为()A ．－6B ．－2C ．0D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( )A ．－1,4B ．－1，－3C ．－2，－1D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y 给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________． 三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B解析如图，当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x ＋y－3＝0上，则m＝1.2．答案 C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎪⎪⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.课时精练答案一、选择题1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得A(－2,2)，设z＝2x－y，把z＝2x－y变形为y＝2x－z，则直线经过点A时z取得最小值；所以z min＝2×(－2)－2＝－6，故选A.2．答案 D解析作出可行域，如图所示．联立⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C.5．答案 D解析由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x ＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x ＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎨⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎨⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案13解析 |x |＋|y |≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方，∴x＋2y－4＞0，则目标函数等价于z＝x＋2y－4，易得当直线z＝x＋2y－4在点B(7,9)处，目标函数取得最大值z max＝21.方法二z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y－4|5·5，令P(x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－4＝0，则z＝5d，其中d为P(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离．由图可知，区域内的点B与直线的距离最大，故d的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max＝215·5＝21.三、解答题12．解z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5,2)时，z max＝2×5－2＝8.当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，z min＝2×1－4.4＝－2.4.13．解先画出可行域，如图所示，y＝a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A(2,9)，∴9＝a2，∴a＝3.∵a＞1，∴1＜a≤3.14．解由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300. 所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)， 即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450. 所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)， 即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0. 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，解得，点M 的坐标为(100,400)．所以当x＝100，y＝400时，z max＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每一个产品的生产需要消耗不同的资源，并且每一个产品的销售利润也不同。
公司希翼通过线性规划来确定生产计划，以最大化利润。
已知产品A每一个单位的生产需要消耗2个资源1和3个资源2，每一个单位的销售利润为10元；产品B每一个单位的生产需要消耗4个资源1和1个资源2，每一个单位的销售利润为15元。
公司目前有10个资源1和12个资源2可供使用。
二、数学建模1. 假设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。
2. 根据资源的消耗情况，可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 10 （资源1的消耗）3x + y ≤ 12 （资源2的消耗）x ≥ 0, y ≥ 0 （生产数量为非负数）3. 目标是最大化利润，即最大化销售收入减去生产成本：最大化 Z = 10x + 15y三、线性规划求解1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：最大化 Z = 10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 103x + y ≤ 12x ≥ 0, y ≥ 02. 通过图形法求解线性规划问题：a. 绘制约束条件的图形：画出2x + 4y = 10和3x + y = 12的直线，并标出可行域。
b. 确定可行域内的顶点：可行域的顶点为(0, 0)，(0, 2.5)，(4, 0)，(2, 3)。
c. 计算目标函数在每一个顶点处的值：分别计算Z = 10x + 15y在(0, 0)，(0, 2.5)，(4, 0)，(2, 3)四个顶点处的值。
Z(0, 0) = 0Z(0, 2.5) = 37.5Z(4, 0) = 40Z(2, 3) = 80d. 比较所有顶点处的目标函数值，确定最优解：最优解为Z = 80，即在生产2个单位的产品A和3个单位的产品B时，可以获得最大利润80元。
四、结论根据线性规划的结果，公司在资源充足的情况下，应该生产2个单位的产品A和3个单位的产品B，以最大化利润。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于寻觅最优解决方案。
在实际生活和工作中，线性规划问题时常浮现，通过对问题进行建模和求解，可以得到最优的决策方案。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出详细的答案解析。
一、生产规划问题1.1 生产规划问题描述：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
每天工厂有8小时的生产时间，产品A每单位需要2小时，产品B每单位需要3小时。
问工厂每天应该生产多少单位的产品A 和产品B，才干使利润最大化？1.2 生产规划问题答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y，则目标函数为Max Z=100x+150y，约束条件为2x+3y≤8，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=2，y=2，最大利润为400元。
二、资源分配问题2.1 资源分配问题描述：某公司有两个项目需要投资，项目A每万元投资可获得利润2万元，项目B每万元投资可获得利润3万元。
公司总共有100万元的投资额度，问如何分配投资额度才干使利润最大化？2.2 资源分配问题答案：设投资项目A的金额为x万元，投资项目B的金额为y万元，则目标函数为Max Z=2x+3y，约束条件为x+y≤100，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=40，y=60，最大利润为240万元。
三、运输问题3.1 运输问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个销售点的需求量分别为100、150、200，每一个仓库的库存量分别为80、120。
仓库到销售点的运输成本如下表所示，问如何安排运输方案使得总成本最小？3.2 运输问题答案：设从仓库i到销售点j的运输量为xij，则目标函数为Min Z=∑(i,j) cij*xij，约束条件为每一个销售点的需求量得到满足，每一个仓库的库存量不超出。
通过线性规划方法求解，得出最优的运输方案，使得总成本最小。
四、投资组合问题4.1 投资组合问题描述：某投资者有三种投资标的可选择，预期收益率和风险如下表所示。
线性规划练习题含答案
线性规划练习题含答案一、选择题1．已知不等式组2,1,0y x y kx x ≤-+⎧⎪≥+⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k 的值为A ．－1 BD ．1 【答案】B【解析】略作出不等式组表示的可行域如右图所示阴影部分，由于AOB ∆的面积为2, AOC ∆的面积为1，所以当直线y=kx+1过点A （2，0），B （0，1故选B 。
2．定义()()max{,}a a b a b b a b ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，已知实数y x ,满足设{}m a x ,2z x y x y=+-，则z 的取值范围是 （ ） A【答案】D【解析】{},2,20max ,22,22,20x y x y x y x y x y z x y x y x y x y x y x y x y ++≥-+-≤⎧⎧=+-==⎨⎨-+<--->⎩⎩， 当z=x+y 时，对应的点落在直线x-2y=0z=2x-y 时，对应的点落在直线x-2y=0的右下3．若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1234,0,0y x y x 则 ）A ．BCD【答案】DP(x,y)与点(-1,-3)连续的斜率，数形结3,,4PA k =应选D4．设,x y ∈R 且满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值等于 ( )A. 2B. 3C.5D. 9【答案】B【解析】解：因为设,x y ∈R 且满足满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩故其可行域为当直线Z=x+2y 过点（1，1）时，z=x+2y 取最小值3， 故选B5．若实数，满足条件则的最大值为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A【解析】作出如右图所示的可行域，当直线z=2x-y 过点A 时，Z 取得最大值.因为A(3,-3)，所以Z max =23(3)9⨯--=,故选A.x y 0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩2x y -9303-6．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-120y x a y x y x ，若目标函数z=2x+6y 的最小值为2，则a =A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】解：由已知条件可以得到可行域，，要是目标函数的最小值为2，则需要满足直线过x 2y 1+=与x+y=a 的交点时取得。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、题目描述：假设某公司生产两种产品：A和B。
产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元。
生产一单位产品A需要消耗2个单位的原材料X和3个单位的原材料Y；生产一单位产品B需要消耗4个单位的原材料X和1个单位的原材料Y。
公司的生产能力限制为每天生产产品A不超过100个单位，生产产品B不超过80个单位。
原材料X每天供应量为180个单位，原材料Y每天供应量为150个单位。
为了最大化利润，公司应如何安排生产计划？二、解题思路：本题是一个线性规划问题，可以使用线性规划模型来解决。
首先，我们需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 目标函数：公司的利润最大化是我们的目标。
由于产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元，因此目标函数可以表示为：maximize 10x + 8y。
3. 约束条件：a) 生产能力限制：根据题目描述，每天生产产品A不超过100个单位，生产产品B不超过80个单位，可以得到以下约束条件：x ≤ 100y ≤ 80b) 原材料供应量限制：根据题目描述，原材料X每天供应量为180个单位，原材料Y每天供应量为150个单位，可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 1803x + y ≤ 150c) 非负约束：生产数量不能为负数，可以得到以下约束条件：x ≥ 0y ≥ 0综上所述，我们可以得到线性规划模型如下：maximize 10x + 8ysubject to:x ≤ 100y ≤ 802x + 4y ≤ 1803x + y ≤ 150x ≥ 0y ≥ 0三、求解线性规划问题：通过线性规划求解器，我们可以得到最优解。
假设使用某线性规划求解软件，输入上述模型后，运行求解器，得到最优解如下：x = 50，y = 30利润最大值为：10 * 50 + 8 * 30 = 860元四、答案解析：根据线性规划求解结果，为了最大化利润，公司应按照以下生产计划进行生产：每天生产50个单位的产品A和30个单位的产品B，此时公司的利润最大化为860元。
线性规划试题及参考答案
习题：一．人类资源分配问题红旗商场为一中心百货商场，它对售货人员需求经过统计分析如表所示。
为保证售货人员的休息（每连续工作五天后，休息两天）问：如何安排售货人员作息，即可满足工作需要，又使配备售货人员数最少？答：设x1为星期一开始上班的人数，x2为星期二开始上班的人数，……，x7星期日开始上班的人数。
我们就可得到如下的数学模型：min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7x3+x4+x5+x6+x7≥28x4+x5+x6+x7+x1≥15x5+x6+x7+x1+x2≥24x6+x7+x1+x2+x3≥25x7+x1+x2+x3+ x4≥19x1+x2+x3+x4+x5≥31x2+x3+x4+x5+x6≥28x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7≥0该问题的最优解为：x1=8，x2=0，x3=12，x4=0，x5=11，x6=5，x7=0；目标函数的最小值为36。
Lingo中的调试：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7;x1+x2+x3+x4+x5>28;x2+x3+x4+x5+x6>15;x3+x4+x5+x6+x7>24;x4+x5+x6+x7+x1>25;x5+x6+x7+x1+x2>19;x6+x7+x1+x2+x3>31;x7+x1+x2+x3+x4>28;二．市场应用某公司投资3万元进行媒体广告宣传，希望吸引观众购买本公司产品。
现有五种媒体供选择，相关信息如下表媒体被告知潜在顾客数（人/次）广告费用（元/次）媒体最高使用次数每次宣传质量日间电视1000 1500 15 65夜间电视2000 3000 10 90日报1500 400 25 40周末新闻杂志2500 1000 4 60电台广播300 100 30 20对广告宣传，公司有下列要求：1.至少进行10次电视广告宣传；2.至少有5万名潜在观众被告知；3.电视广告投入不超过18000元。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划（Linear Programming）是一种数学优化方法，用于在一组线性约束条件下，寻找目标函数的最优解。
在实际应用中，线性规划常用于资源分配、生产计划、物流运输等领域。
下面我将为您提供一道线性规划题及其答案，以帮助您更好地理解和应用线性规划方法。
题目：某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为8元。
工厂有两个车间可供生产，分别称为车间1和车间2。
车间1每天可生产产品A 4个单位或产品B 6个单位，车间2每天可生产产品A 3个单位或产品B 5个单位。
每天工厂总共有8个工时可供分配。
假设工厂每天至少需要生产10个单位的产品A和15个单位的产品B。
请问应如何安排生产，以使得工厂的利润最大化？解答：首先，我们需要定义决策变量。
设x为工厂生产的产品A的单位数，y为工厂生产的产品B的单位数。
其次，我们需要建立目标函数和约束条件。
目标函数：最大化利润：Z = 10x + 8y约束条件：1. 车间1每天可生产产品A 4个单位或产品B 6个单位：4x + 6y ≤ 82. 车间2每天可生产产品A 3个单位或产品B 5个单位：3x + 5y ≤ 83. 每天工厂总共有8个工时可供分配：4x + 3y ≤ 84. 工厂每天至少需要生产10个单位的产品A和15个单位的产品B：x ≥ 10y ≥ 15接下来，我们可以使用线性规划求解器来求解该问题。
求解结果如下：最优解：x = 10y = 15Z = 10x + 8y = 10(10) + 8(15) = 100 + 120 = 220因此，当工厂每天生产10个单位的产品A和15个单位的产品B时，可以获得最大利润为220元。
需要注意的是，这只是一个简单的线性规划问题示例，实际应用中可能会涉及更多的约束条件和决策变量。
在解决实际问题时，需要根据具体情况进行建模和求解。
希望以上内容能够帮助您理解和应用线性规划方法。
如有任何疑问，请随时向我提问。
线性规划练习题及解答
线性规划练习题及解答线性规划是数学中一种常见的优化方法，它广泛应用于实际问题的解决中。
本文将提供一些线性规划的练习题及解答，以帮助读者更好地理解和运用线性规划。
练习题1：某公司生产两种产品：甲品和乙品。
每天可用于生产的原料数量分别为A和B。
已知每单位甲品所需的原料A和B的消耗量分别为a1和b1，每单位乙品所需的原料A和B的消耗量分别为a2和b2。
假设甲品和乙品的利润分别为p1和p2，求解出该公司在给定原料限制下能获得的最大利润。
解答：设甲品的生产量为x，乙品的生产量为y，则目标函数为最大化利润，即maximize p1 * x + p2 * y。
受限条件为原料A的消耗量限制 a1 * x + a2 * y <= A，原料B的消耗量限制 b1 * x + b2 * y <= B。
另外，x和y的取值范围为非负数（x >= 0，y >= 0）。
这样，我们可以得出完整的线性规划模型如下：maximize p1 * x + p2 * ysubject to:a1 * x + a2 * y <= Ab1 * x + b2 * y <= Bx >= 0y >= 0练习题2：某工厂生产三种产品：甲、乙、丙。
已知每单位甲、乙、丙产品的利润分别为p1、p2、p3，每天需要的原材料A、B的数量为a和b，每单位甲、乙、丙产品消耗的原材料A、B的数量分别为a1、b1和a2、b2以及a3、b3。
现在要求在给定的原材料数量限制下，求解出最大化利润的生产方案。
解答：设甲、乙、丙产品的生产量分别为x、y、z，则目标函数为最大化利润，即maximize p1 * x + p2 * y + p3 * z。
受限条件为原材料A和B的数量限制，分别为 a1 * x + a2 * y + a3 * z <= a 和 b1 * x + b2 * y + b3 * z <= b。
另外，x、y、z的取值范围为非负数（x >= 0，y >= 0，z >= 0）。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的一组约束条件下，寻找目标函数的最大值或最小值。
它常被应用于经济学、工程学、运筹学等领域，用于解决资源分配、生产计划、物流优化等实际问题。
下面我将为你提供一道线性规划题目及其答案，以帮助你更好地理解和应用线性规划方法。
题目：某工厂生产两种产品，分别为A和B。
产品A每单位利润为5元，产品B每单位利润为4元。
工厂有两个车间，分别为车间1和车间2。
车间1每天最多可以生产100个A产品或80个B产品；车间2每天最多可以生产80个A产品或60个B产品。
每天工厂的总生产时间为8小时。
生产一个A产品需要1小时，生产一个B产品需要1.5小时。
工厂希望通过合理的生产安排，最大化每天的总利润。
请问，应该如何安排每个车间的生产数量，才能使得每天的总利润最大化？答案：为了解决这个问题，我们可以使用线性规划方法。
首先，我们定义决策变量：x1：车间1生产的A产品数量x2：车间1生产的B产品数量x3：车间2生产的A产品数量x4：车间2生产的B产品数量其次，我们需要建立目标函数和约束条件。
目标函数：总利润 = 5x1 + 4x2 + 5x3 + 4x4约束条件：车间1生产时间约束：x1 + 1.5x2 ≤ 8车间2生产时间约束：x3 + 1.5x4 ≤ 8车间1产量约束：x1 ≤ 100, x2 ≤ 80车间2产量约束：x3 ≤ 80, x4 ≤ 60非负约束：x1, x2, x3, x4 ≥ 0现在，我们可以使用线性规划求解器来求解这个问题。
求解结果如下：车间1生产的A产品数量（x1）= 80车间1生产的B产品数量（x2）= 0车间2生产的A产品数量（x3）= 20车间2生产的B产品数量（x4）= 60总利润 = 5(80) + 4(0) + 5(20) + 4(60) = 400 + 0 + 100 + 240 = 740 元因此，为了使每天的总利润最大化，工厂应该安排车间1生产80个A产品，车间2生产20个A产品和60个B产品。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每一个产品都需要通过两个工序进行加工。
每一个工序的加工时间和利润都不相同。
现在需要确定每一个产品在两个工序上的加工时间和产量，以最大化总利润。
请根据以下要求进行线性规划求解。
二、问题分析1. 产品A在工序1上的加工时间为x1小时，产品A在工序2上的加工时间为x2小时。
2. 产品B在工序1上的加工时间为y1小时，产品B在工序2上的加工时间为y2小时。
3. 产品A在工序1上的产量为a1个，产品A在工序2上的产量为a2个。
4. 产品B在工序1上的产量为b1个，产品B在工序2上的产量为b2个。
5. 产品A在工序1上的利润为p1元/个，产品A在工序2上的利润为p2元/个。
6. 产品B在工序1上的利润为q1元/个，产品B在工序2上的利润为q2元/个。
三、目标函数和约束条件1. 目标函数：最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2。
2. 约束条件：a) 工序1的总加工时间：x1 + y1 ≤ 100小时。
b) 工序2的总加工时间：x2 + y2 ≤ 80小时。
c) 产品A的总产量：a1 + a2 ≤ 200个。
d) 产品B的总产量：b1 + b2 ≤ 150个。
e) 非负约束：x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。
四、线性规划模型最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2，满足约束条件：x1 + y1 ≤ 100，x2 + y2 ≤ 80，a1 + a2 ≤ 200，b1 + b2 ≤ 150，x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。
五、求解过程1. 根据线性规划模型，我们可以使用线性规划求解方法求解该问题。
2. 根据目标函数和约束条件，可以建立线性规划模型，并使用线性规划求解器进行求解。
3. 求解得到最优解，即每一个产品在两个工序上的加工时间和产量，以及最大化的总利润。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在一组线性约束条件下寻觅使目标函数取得最大（最小）值的变量值。
在实际生活和工作中，线性规划往往被用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。
一、资源分配问题1.1 问题描述：某公司有两个生产部门A和B，每天生产产品X和Y。
部门A 每天生产产品X需要消耗3个单位的资源，生产产品Y需要消耗2个单位的资源；部门B每天生产产品X需要消耗2个单位的资源，生产产品Y需要消耗4个单位的资源。
公司每天有20个单位的资源可供分配，如何分配资源才干使得产出最大化？1.2 解答：设部门A每天生产产品X的数量为x，生产产品Y的数量为y；部门B每天生产产品X的数量为u，生产产品Y的数量为v。
根据题目描述，可以建立如下线性规划模型：Maximize Z = 3x + 2y + 2u + 4vSubject to:3x + 2y + 2u + 4v <= 20x, y, u, v >= 0通过线性规划求解器可以得到最优解。
二、生产计划问题2.1 问题描述：某工厂有两个生产车间，每天生产产品P和Q。
车间1每天生产产品P需要花费5个单位的时间，生产产品Q需要花费3个单位的时间；车间2每天生产产品P需要花费4个单位的时间，生产产品Q需要花费6个单位的时间。
工厂每天有40个单位的时间可供分配，如何安排生产计划才干使得产量最大化？2.2 解答：设车间1每天生产产品P的数量为x，生产产品Q的数量为y；车间2每天生产产品P的数量为u，生产产品Q的数量为v。
根据题目描述，可以建立如下线性规划模型：Maximize Z = 5x + 3y + 4u + 6vSubject to:5x + 3y + 4u + 6v <= 40x, y, u, v >= 0通过线性规划求解器可以得到最优解。
三、运输问题3.1 问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个仓库有一定数量的产品可供销售点购买。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找使目标函数最大或最小的变量值。
在实际生活和工作中，线性规划经常被应用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。
一、资源分配问题1.1 约束条件：某公司有两种产品A和B，生产一单位产品A需要耗费2个单位的资源X和1个单位的资源Y，生产一单位产品B需要耗费1个单位的资源X和3个单位的资源Y。
公司每天可用资源X和资源Y分别为10个单位和12个单位。
假设产品A的利润为3万元，产品B的利润为4万元，问如何分配资源才能使公司利润最大化？1.2 目标函数：设生产产品A的单位数为x，生产产品B的单位数为y，则目标函数为Maximize 3x + 4y。
1.3 答案：通过线性规划计算，最优解为生产产品A 4个单位，生产产品B 2个单位，公司利润最大化为20万元。
二、生产计划问题2.1 约束条件：某工厂生产两种产品C和D，生产一单位产品C需耗费2个单位的资源M和3个单位的资源N，生产一单位产品D需耗费4个单位的资源M和2个单位的资源N。
工厂每天可用资源M和资源N分别为8个单位和10个单位。
产品C的利润为5万元，产品D的利润为6万元，问如何安排生产计划以最大化利润？2.2 目标函数：设生产产品C的单位数为x，生产产品D的单位数为y，则目标函数为Maximize 5x + 6y。
2.3 答案：经过线性规划计算，最佳生产计划为生产产品C 2个单位，生产产品D 2个单位，工厂利润最大化为22万元。
三、运输问题3.1 约束条件：某公司有三个仓库分别存储产品E、F和G，每个仓库的存储容量分别为100、150和200个单位。
产品E、F和G的单位运输成本分别为2元、3元和4元，需求量分别为80、120和150个单位。
问如何安排运输计划以最小化总成本？3.2 目标函数：设从仓库i运输产品j的单位数为xij，则目标函数为Minimize2x11 + 3x12 + 4x13 + 2x21 + 3x22 + 4x23 + 2x31 + 3x32 + 4x33。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、题目描述假设有一家创造公司，该公司生产两种产品：产品A和产品B。
公司有限的资源包括劳动力和原材料。
产品A每一个单位需要2个小时的劳动力和3个单位的原材料，产品B每一个单位需要4个小时的劳动力和1个单位的原材料。
公司每天有8个小时的劳动力和10个单位的原材料可用。
产品A的售价为每一个单位10美元，产品B的售价为每一个单位8美元。
创造一台产品A的成本为每一个单位6美元，创造一台产品B的成本为每一个单位4美元。
问题：如何确定每种产品的生产数量，以最大化公司的利润？二、线性规划模型假设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
则可以建立如下的线性规划模型：目标函数：最大化利润Maximize Z = 10x + 8y约束条件：1. 劳动力约束：2x + 4y ≤ 8（劳动力总共有8个小时）2. 原材料约束：3x + y ≤ 10（原材料总共有10个单位）3. 非负约束：x ≥ 0, y ≥ 0三、求解线性规划问题为了求解上述线性规划问题，可以使用各种数学软件或者线性规划求解器。
下面给出一个可能的求解过程和结果。
1. 使用线性规划求解器输入模型和约束条件。
2. 求解器计算出最优解，即最大化的利润。
3. 解读结果。
四、求解结果经过计算，最优解如下：最大利润为：$64产品A的生产数量：2个单位产品B的生产数量：2个单位五、结果解释根据最优解，公司应该生产2个单位的产品A和2个单位的产品B，以最大化公司的利润。
此时，公司的最大利润为64美元。
六、敏感性分析敏感性分析用于确定模型的解对于参数变化的稳定性。
下面进行一些敏感性分析。
1. 劳动力的变化：假设劳动力增加到10个小时，重新计算模型。
结果如下：最大利润为：$76产品A的生产数量：2个单位产品B的生产数量：2个单位2. 原材料的变化：假设原材料增加到12个单位，重新计算模型。
结果如下：最大利润为：$76产品A的生产数量：2个单位产品B的生产数量：2个单位通过敏感性分析可以得出，当劳动力和原材料的供应增加时，最优解保持不变。
(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一 线性规划中的基本概念知识点二 线性规划问题 1．目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一 求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求(1)x 2＋y 2的最小值； (2)yx的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝⎛⎭⎫45，85， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫322＝132， 所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大， 由(1)知C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案 10解析 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )之间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x ＋3)2＋y 2的最小值为10. 题型三 线性规划的实际应用例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元．反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752， O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎫25，752， 但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c的值分别为( ) A ．－1,4 B ．－1，－3 C ．－2，－1 D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B 解析 如图，当y ＝2x 经过且只经过x ＋y －3＝0和x ＝m 的交点时，m 取到最大值，此时，即(m,2m )在直线x ＋y －3＝0上，则m ＝1. 2．答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方， 故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12.课时精练答案一、选择题 1．答案 A解析 画出可行域，如图所示，解得A (－2,2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ， 则直线经过点A 时z 取得最小值； 所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A. 2．答案 D解析 作出可行域，如图所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C 解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C. 5．答案 D解析 由题意知，直线x ＋by ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7与直线x ＋y ＝4的交点，且经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案 13解析 |x |＋|y |≤2可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C (3,1)方法一 ∵可行域内的点都在直线x ＋2y －4＝0上方， ∴x ＋2y －4＞0，则目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，易得当直线z ＝x ＋2y －4在点B (7,9)处，目标函数取得最大值z max ＝21. 方法二 z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5， 令P (x ，y )为可行域内一动点，定直线x ＋2y －4＝0， 则z ＝5d ，其中d 为P (x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离． 由图可知，区域内的点B 与直线的距离最大， 故d 的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max ＝215·5＝21. 三、解答题12．解 z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5,2)时，z max ＝2×5－2＝8.当l 移动到l 2，即过点C (1,4.4)时，z min ＝2×1－4.4＝－2.4.13．解 先画出可行域，如图所示，y ＝a x 必须过图中阴影部分或其边界．∵A (2,9)，∴9＝a 2，∴a ＝3. ∵a ＞1，∴1＜a ≤3.14．解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600， 解得，点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
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简单的线性规划问题附答案文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]简单的线性规划问题[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念知识点二1．目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小 ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大 ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小 2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一 求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1 答案 B解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时，z取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，x －y ＝1⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11. 跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) 或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求(1)x 2＋y 2的最小值； (2)yx的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝⎛⎭⎫45，85， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫322＝132， 所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v ＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大，由(1)知C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案 10解析 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )之间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x ＋3)2＋y 2的最小值为10. 题型三 线性规划的实际应用例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元．反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的倍，问桌子、椅子各买多少才行 解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752， O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎫25，752， 但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．95一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2 2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0 5．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( ) A ．－1,4B ．－1，－3C ．－2，－1D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1 二、填空题8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________． 10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个． 11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料 m 3，五合板 2 m 2，生产每个书橱需要方木料 m 3，五合板 1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少 (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少 (3)怎样安排生产可使所得利润最大当堂检测答案1．答案 B 解析 如图，当y ＝2x 经过且只经过x ＋y －3＝0和x ＝m 的交点时，m 取到最大值，此时，即(m,2m )在直线x ＋y －3＝0上，则m ＝1. 2．答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90. 3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方， 故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12. 课时精练答案一、选择题 1．答案 A解析 画出可行域，如图所示，解得A (－2,2)，设z ＝2x －y ， 把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ， 则直线经过点A 时z 取得最小值； 所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A. 2．答案 D解析 作出可行域，如图所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)． 4．答案 C 解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C.5．答案 D解析 由题意知，直线x ＋by ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7与直线x ＋y ＝4的交点，且经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D. 二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域， 作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]． 8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示． 在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8. 所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案 13解析 |x |＋|y |≤2可化为作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个．11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C (3,1) 方法一 ∵可行域内的点都在直线x ＋2y －4＝0上方，∴x ＋2y －4＞0，则目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，易得当直线z ＝x ＋2y －4在点B (7,9)处，目标函数取得最大值z max ＝21.方法二 z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5， 令P (x ，y )为可行域内一动点，定直线x ＋2y －4＝0，则z ＝5d ，其中d 为P (x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离．由图可知，区域内的点B 与直线的距离最大，故d 的最大值为|7＋2×9－4|5＝215. 故目标函数z max ＝215·5＝21. 三、解答题12．解 z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5,2)时，z max ＝2×5－2＝8.当l 移动到l 2，即过点C (1,时，z min ＝2×1－＝－.13．解 先画出可行域，如图所示，y ＝a x 必须过图中阴影部分或其边界．∵A (2,9)，∴9＝a 2，∴a ＝3.∵a ＞1，∴1＜a ≤3.14．解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元，则错误!错误!0≤x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则错误!错误!0≤y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则错误!错误!z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)． 作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600， 解得，点M 的坐标为(100,400)．所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。