第六章 第四节 线性多步法

上式中右端的 y ( xi ) 用 y i 代替，就有
1 y n 1 y ( xn ) h[9 f ( x n1 , y n 1 ) 19 f ( xn , y n ) 24 5 f ( xn 1 , y ( x n 1 )) f ( xn 2 , y ( xn 2 )
.9
1 .0
三、小结
1、多步法的基本思想 2、线性多步法
Adams内插公式
1 h[9 f ( x n1 , y n 1 ) 19 f ( xn , y n ) 24 5 f ( xn 1 , y ( x n 1 )) f ( xn 2 , y ( xn 2 ) y n 1 y ( xn )
( x x n )( x x n 2 )( x x n 3 ) f ( x n 1 , y ( x n 1 )) ( x n 1 x n )( x n 1 x n 2 )( x n 1 x n 3 )
( x x n )( x x n 1 )( x x n 2 ) f ( x n 2 , y ( x n 2 )) ( x n 2 x n )( x n 2 x n 1 )( x n 2 x n 3 )

( x xn )( x xn1 )( x xn2 ) f ( xn3 , y( xn3 )) ( xn3 xn )( xn3 xn1 )( xn3 xn2 )
用上式代替（4.1）式右端积分中的 得到 y ( x n 的近似值 1)
f ( x, y( x)) ，也将
y n 1 y ( x n )
xn 1 xn
Hale Waihona Puke P3 ( x)dx令 x xn uh ，并注意到
xn1 xn xn xn1 xn1 xn2 h
则得
1 1 y n 1 y ( x n ) hf ( x n 1 , y ( x n 1 )) u (u 1)(u 2)du 0 6 1 1 hf ( x n , y ( x n )) (u 1)(u 1)(u 2)du 0 2 1 1 hf ( x n 1 , y ( x n 1 )) (u 1)u (u 2)du 0 2 1 1 hf ( x n 2 , y ( x n 2 )) (u 1)u (u 1)du 0 6 1 y ( x n ) h[9 f ( x n 1 , y ( x n 1 )) 19 f ( x n , y ( x n )) 24 5 f ( x n 1 , y ( x n 1 )) f ( x n 2 , y ( x n 2 ))]
( x xn1 )( x xn )( x xn1 ) f ( xn2 , y( xn2 )) ( xn2 xn1 )( xn2 xn )( xn2 xn1 )
用P3 ( x)代替 f ( x, y( x)) ，便得到 y( xn1 ) 的近似值 y n1 ，即
二、线性多步法
假定仍讨论本章开始给出的一阶微分方程的初值
y f ( x, y ) 问题（1.1）、（1.2） y ( x0 ) y 0
x n 1
与其等价的积分方程是
y ( x n 1 ) y ( xn )
xn
f ( x, y ( x)) dx
（4.1）
前面我们曾使用梯形公式，计算（4.1）式右端的积分，而得 到了改进的Euler方法。其实，这也可以理解为是插值点 x n 和 xn 1 的线性插值函数代替函数 f 而得到的。由于通常插值多项 式的次数越高越精确，所以使我们试图用高次插值多项式代替 f ， 来得到高精确的计算方法。
（4.2）
Adams外插公式
1 h[55 f ( x n , y n ) 59 f ( x n 1 , y n 1 ) 24 37 f ( x n 2 , y n 1 ) 9 f ( x n 3 , y n 3 )] y n 1 y n
例5取步长 h 0.1，使用线性多步法求解例1给出的初值问题。 解 为了使用线性多步法求解，今先使用Ｒ－Ｋ方法算
出 y1 , y 2和 y 3。然后分别使用外插公式以及外插、内插 联合使用的预估校正法计算后面的数值解。 （1） 预估公式（外插公式）
1 h[55 f ( x n , y n ) 59 f ( x n 1 , y n 1 ) 24 37 f ( x n 2 , y n 2 ) 9 f ( x n 3 , y n 3 )]
y n 1 ，与推导隐式方法（4.2）的
过程类似，可得到如下的显式公式：
1 h[55 f ( x n , y n ) 59 f ( x n 1 , y n 1 ) 24 37 f ( x n 2 , y n 1 ) 9 f ( x n 3 , y n 3 )] y n 1 y n
（4.3）
称（4.3）式为Adams外插公式。在讨论它们的截断误差 y( xn1 ) y n时，不仅要假定 y n y( xn ) 1 ，还要假定 y n1 y( xn1 ), y n2 y( xn和 yn3 y( xn3 ) ，容易证明截断 2) 5 ) 误差均为 O(h。
第四节 线性多步法
一、多步法的基本思想
二、线性多步法
三、小结
一、多步法的基本思想
前面介绍的几种方法都是单步法，即在计算时，仅用它
前面一步得到的信息
yn 。设想，当通过单步法已经算
出
y n , y n1 , y，如何能充分地利用这些信息，在计算 nk
y n时获得较高的精度，这就是多步法的基本思想。 1
（4.2）
显然，这是一个隐式方法，称（4.2）式为Adams内插公式。 上面之所以得到的是隐式方法，其原因在于选用了 x n 1 作
为插值节点。
我们取
xn3 , xn2 , x，和 n 1
P3 ( x)
xn 作为插值节点。这时的插值
多项式成为
( x x n 1 )( x x n 2 )( x x n 3 ) f ( x n , y ( x n )) ( x n x n 1 )( x n x n 2 )( x n x n 3 )
今取 xn2 , xn1 , xn 和 x n 1为插值节点，这时的插值多项式为
( x x n )( x x n 1 )( x x n 2 ) P3 ( x) f ( x n 1 , y ( x n 1 )) ( x n 1 x n )( x n 1 x n 1 )( x n 1 x n 2 ) ( x x n 1 )( x x n 1 )( x x n 2 ) f ( x n , y ( x n )) ( x n x n 1 )( x n x n 1 )( x n x n 2 ) ( x x n 1 )( x x n )( x x n 2 ) f ( x n 1 , y ( x n 1 )) ( x n 1 x n 1 )( x n 1 x n )( x n 1 x n 2 )
( y n0)1 y n
（2）校正公式（内插公式）
1 h[9 f ( x n 1 , y n 1 ) 19 f ( xn , y n ) 24 5 f ( xn 1 , y n 1 ) f ( x n 2 , y n 2 )] y n 1 y n
计算结果见表6.4
yn
xn
0 0 .1 0 .2 0 .3 0
Ｒ－Ｋ方法
外插法
预校方法
.4
0 .5 0 .6 0 .7 0 .8 0
1 1.095446 1.183217 1.264912 1.341551 1.414045 1.483017 1.548917 1.612114 1.672914 1.731569 1.341641 1.414213 1.483293 1.549192 1.612450 1.673313 1.732048