理想低通滤波器

(
2l 1) 2N
],
l
p
sin[
( 2l 1) 2N
],
, 2 1
2
, 2 1
2
(A
A2 1)1/ N .
幅度响应 特点：1、通带内单调下降；2、阻带内具有等波纹
阶数估计：
Ha(
js )
2
1
1 2TN2 (s
/p)
1
1
1 2 cosh[N cosh1(s / p ) A2
与巴特沃斯滤波器的主要区别：
1. Butterworth滤波器频率特性，无论在通带与阻带都随频率而单调 变化，因此如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕量， 也就是会超过指标的要求，因而并不经济。
2. 更有效的方法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内，或均匀 分布在阻带内，或同时均匀在通带与阻带内，这时就可设计出阶数 较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特 性的逼近函数来完成。
幅度响应 特点：1、通带内具有等波纹；2、阻带内单调下降
传输函数：
() : Ha (s)
c N
N
, pl l jl ,l 1,2, , N.
(s pl )
l 1
l
p
s
in[
(
2l 1) 2N
],
l
p
sin[
( 2l 1) 2N
],
, 2 1
2
, 2 1
2
(1
) . 1 2 1/ N
椭圆滤波器 [z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs) [num,den]=ellip(N,Rp,Rs,Wn,’s’) [num,den]=ellip(N,Rp,Rs,Wn,’type’,’s’) [N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s,’) 贝塞尔滤波器滤波器 [z,p,k]=besselap(N) [num,den]=besself(N,Wn) [num,den]=besself(N,Wn,’type’)
log
1
1
2
1,
同样由下式可求得A,
2 0.25895.
因此，
10
log
1 A2
40,
A2 10, 000。
1 / k1 196.51334， 1/ k 5000 /1000 5
N
cosh1(1 / k1) cosh1(1 / k)
2.60591 :
3
A.4 椭圆滤波器
Ha(
附录B 模拟高通、带通、带阻滤波器滤波器设计
模拟高通、带通、带阻滤波器可以通过简单的频率变换 由低通原型滤波器得到
设计步骤： 利用频率变换，由所需的模拟滤波器性能指标得到模拟低通 滤波器的性能指标 低通原型滤波器设计 用相反的频率变换将原型低通转换为所需的模拟滤波器
H LP (s)
sF (sˆ) sˆF 1 (s)
切比雪夫滤波器2型滤波器：
Ha(
j)
2
1
2
1
TN (s / p ) 2
TN (s
/ )
传输函数： N
(s zl )
() : Ha (s) C0
l 1 N
, pl l jl ,l 1,2, , N.
(s pl )
l 1
, , sl l l2l2
sl
l
l2 l2
l
p
s
in[
切比雪夫I型滤波器 [z,p,k]=cheb1ap(N,Rp) [num,den]=cheby1(N,Rp,Wn,’s’) [num,den]=cheby1(N,Rp,Wn,’type’,’s’) [N,Wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s,’) 切比雪夫II型滤波器 [z,p,k]=cheb2ap(N,Rp) [num,den]=cheby2(N,Rp,Wn,’s’) [num,den]=cheby2(N,Rp,Wn,’type’,’s’) [N,Wn]=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s,’)
1
1
2
(1 1)2 ,
(1)
Ha ( js ) 2
1
(s
1 /
c
)2
N
1 A2
2 2
,
(2)
其中，
p：通带截止频率；
：阻带截止频率。
s
N log10[( A2 1) / 2 ] log10 (1/ k1) : N
(3)
2 log10 (s / p ) log10 (1 / k)
c 可由 N 和 (1)或 (2)确定。
增益函数/衰减函数（dB）
20lg Ha ( j)
p: 通带峰值波纹
p 20 lg(1 p )dB
s:最小阻带衰减
s 20 lg sdB
H( j)
1
1 1 2
1/A
p cc s
模拟低通滤波器的归一化幅度指标
最大通带衰减: max 20log10 ( 1 2 )dB max 20 log10 (1 2 p ) 2 p
j)
2
1
1 2R（N2
/
）
p
其中RN（x）是雅可比(Jacobi) 椭圆函数，ε为与通带衰
减有关的参数。
特点： 1、椭圆低通滤波器是一种零、极点型滤波器，它在有限频 率范围内存在传输零点和极点。 2、椭圆低通滤波器的通带和阻带都具有等波纹特性，因此 通带、阻带逼近特性良好。 3、对于同样的性能要求，它比前两种滤波器所需用的阶数 都低，而且它的过渡带比较窄。
H j 2 H ( j)H * ( j) H ( j)H ( j) H (s)H (s) s j
模拟滤波器类型
巴特沃兹 （Butterworth filter）
切比雪夫 （Chebyshev filter）
椭圆 （Elliptic filter）
贝塞尔 （Bessel filter）
10
log
1 A2
40
A2 10, 000
1/ k1 196.51334， 1/ k 5000 /1000 5
N log10 (1/ k1) 3.281 ~ 4
log10 (1 / k)
1 1 (p / c )2N
1
1
2
c
1 1 (s / c )2N
1 A2
c
Butterworth 滤波器设计举例
确定 和A,
由此可得：
10
log
1
1
2
1,
2 0.25895.
同样由下式可求得A,
10
log
1 A2
40,
因此，
A2 10, 000。
1/k1 196.51334， k 0.2
k 0.979796，0 0.00255135， 0.0025513525
N 2.23308
几种滤波器比较
A.2 巴特沃斯滤波器
1阶巴特沃斯滤波器
H s c
s c
n阶巴特沃斯滤波器
Ha j
Ha j
1
/ c 2 1
1
/ c 2n 1
Ha (s)
c N
N
1
, pl (1) 2 N jc ce j (2l N 1) / 2 N .
(s pl )
l 1
归一化形式（c=1）
Ha (s)
d0
d1s
d0 d N 1s N 1 s N
B1(s) s 1
B2 (s) s2 3s 3
BN (s) (2N 1)BN 1(s) s2BN 2 (s)
dl
(2N l)! 2N l l!(n l)! , l
0,1,
N
1
A.5 使用MATLAB进行模拟滤波器设计
巴特沃斯滤波器 [z,p,k]=buttap(N) [num,den]=butter(N,Wn,’s’) [num,den]=butter(N,Wn,’type’,’s’) [N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s,’)
H D (sˆ) ˆ
HLP (s) HD (sˆ) sF(sˆ)
HD (sˆ) HLP (s) sˆF1(s)
变换 : s 平面
sˆ 平面
B.1 模拟高通滤波器设计
s
pˆ p sˆ
pˆ ˆ
p
ˆ
0
p
p
ˆ p
p ˆ p
Hhp
sˆ
Hlp
s
s
pˆ
sˆ
p
,
ˆ p
p ˆ p ˆ
H ( j) 2
1
1 1 2
N=2 N=4
N=10
1 A2
p c
s
A.3切比雪夫滤波器
切比雪夫滤波器1型滤波器：
Ha(
j)
2
1
1 2TN2 (
/
p)
切比雪夫多项式：
cos(N cos1 ), TN () cosh(N cosh1 ), 迭代关系:
1, 1.
Tr () 2Tr-1() Tr-2 (), r 2, T0 () 1，且 T1() .
阶数估计：
N 2 log10 (4 / k1 )
log10 (1/ )
0
1 21
k k
k 1 k2
0 2(0 )5 15(0 )9 150 (0 )13
例：确定椭圆低通滤波器Ha (s)的最低阶数，使其满足下列 指标：f p 1 kHz时，衰减为 1 dB ；在fs 5 kHz时衰减不小于40dB.
[N,Wn]=buttord(1,4,0.1,40,’s’);
[B,A]=butter(N,Wn,’s’);
[num,den]=lp2hp(B,A,2*pi*4000);
或： [N,Wn]=buttord(8000*pi,2000*pi,0.1,40,’s’); [num,den]=butter(N,Wn,’high’,’s’);
附录A 模拟低通滤波器设计
A.1 滤波器特性
理想低通滤波器：
T
H ( j)
c
c
典型的模拟低通滤波器幅度响应指标
H( j)
1+ p
1
1- p
s
p cc s
滤波器特性：
通带 0 p 中，
1 p Ha ( j) 1 p, for p
阻带 s 中，
Ha ( j) s , fors
p: 通带截止频率 s: 阻带截止频率 p: 通带波纹 s: 阻带波纹
B.2 模拟带通滤波器设计
s
p
sˆ
sˆ2 ˆ 02 ˆ p2 ˆ p1
当滤波器指标为： p 500 rad / s;s 600 rad / s;通带波纹为0.5 dB; 阻带衰减为60 dB时，几种滤波器的幅频响应 H ( j)：
四种滤波器的比较： 巴特沃斯：通带和阻带均具有平滑幅度 切比雪夫I型：通带内等波纹，阻带平滑 切比雪夫II型：阻带内等波纹，通带平滑 椭圆：通带、阻带内具有等波纹特性
2 21，1 c时，
2N
G(2
)
10 log10
2 c
G(1) 6NdB
幅度响应与相位响应
巴特沃斯滤波器的设计
巴特沃斯滤波器可以由参数c和N完全确定。可以通过 指定通带截止频率、最小通带幅度、阻带截止频率和最大 阻带波纹来确定这两个参数。
2
Ha ( j p )
1
(
1 p/
c
)
2
N
设FT 为采样频率（Hz），Fp 和 Fs 分别为通带和阻带 截止频率（Hz），则归一化截止角频率为：
p
pT
p FT
2Fp
FT
2FpT
s
sT
s FT
2Fs
FT
2FsT
两个参数：
过渡比或选择性参数
k p s
分辨参数
(对低通滤波器 1)
k1 A2 1
( 1)
幅度平方函数与模拟传输函数之间的关系：
sN
a1s n1
1 a2sn2
aN 1s aN
巴特沃斯滤波器的特性：
1、 =0处的最大平坦幅度特性（前2N-1阶导数为0） 2、-3dB截止频率（参数c ）
G(c ) 10log10 Ha ( jc ) 2 10log10(1/ 2) 3dB c : 3dB截止频率 3、滚降的陡峭度（参数N）
N
cosh1( A2 c os h1 ( s
1 /
/p)
)源自文库
cosh1(1/ k1) cosh1(1/ k)
例：设计切比雪夫低通滤波器Ha (s)的最低阶数，使其满足下列 指标：f p 1 kHz时，衰减为 1 dB ；在fs 5 kHz时衰减不小于40dB.
(1) 确定 和A,
由此可得：
10
例4.16 设计模拟高通巴特沃兹滤波器：通带截止频率4kHz，阻带 截止频率1kHz，通带波纹0.1dB，最小阻带衰减40dB. （1）选择原型低通滤波器 p 1
s
2 2
4000 1000
4
低通原型的指标如下：通带截止频率1弧度/秒，阻带截
止频率4弧度/秒，通带波纹0.1dB，最小阻带衰减40dB. （2）用MATLAB设计原型低通滤波器
例：确定低通滤波器Ha (s)的最低阶数，使其满足下列指标： 在通带内具有最大平坦特性，在通带截止频率f p 1 kHz时，
衰减为 1 dB ；在阻带截止频率fs 5 kHz时衰减不小于40dB。
(1) 确定 和A,
10
log
1
1
2
1
2 0.25895
(2) 确定 N, (3) 确定 c ,
在相同条件下（阶数、波纹等），过渡带宽度： 巴特沃斯>切比雪夫>椭圆
相位：巴特沃斯、切比雪夫在通带3/4内近似线 性相位，椭圆在通带1/2内近似线性相位
A.5 线性相位滤波器
串联全通滤波器增加硬件复杂度 贝塞尔滤波器（Bessel lowpass filter）：
H (s)
d0 BN (s)