江苏省南通市崇川区启秀中学2018-2019年九年级(上)期中数学试卷 含解析

2018-2019学年江苏省南通市崇川区启秀中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（3分×10＝30分）1．（3分）如图是由五个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．2．（3分）木棒长为1.5m，则它的正投影的长一定（）A．大于1.5m B．小于1.5mC．等于1.5m D．小于或等于1.5m3．（3分）掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，则点数为奇数的概率是（）A．B．C．D．4．（3分）若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．65．（3分）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：6．（3分）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体个数最多为（）A．7 B．8 C．9 D．107．（3分）一个不透明的盒子里有150个红、黄两种颜色的小球，这些小球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计盒子中红球的个数为（）A．45 B．85 C．95 D．1058．（3分）下列说法正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD 的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°10．（3分）在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、G共线，点C在BE上，∠DAB＝60°，AG＝8，点M，N分别是AC和EG的中点，则MN的最小值等于（）A．2B．4 C．2D．6二、填空题（每空3分，共24分）11．（3分）“在数轴上任取一个点，这个点所表示的数是无理数”这一事件是（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）．12．（3分）在不透明的袋子中装有三张标着数字1、2、3的卡片，随机抽出一张卡片后放回，再随机抽出一张卡片，则两次抽到的数字之和为4的概率是．13．（3分）一个圆锥的主视图是边长为cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于cm2．14．（3分）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径等于cm．15．（3分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，0），C（6，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小，位似比为1：2，则线段AC中点P变换后对应点的坐标为．16．（3分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝°．17．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（共96分）19．（8分）从﹣2、1、3这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标．（1）列表或画树状图，写出该点所有可能的坐标；（2）求该点在第二象限的概率．20．（8分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，已知∠AOD＝60°．（1）求∠DEB的度数；（2）若AB＝6，求CD的长．21．（8分）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．（1）请你确定灯泡所在的位置并画出小亮在灯光下形成的影子；（2）如果小明的身高AB＝1.8m，他的影子长AC＝1.6m，且他到路灯的距离AD＝2.4m，求灯泡的高．22．（10分）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝0.9m，窗高CD＝1.1m，并测得OE＝0.9m，OF＝3m，求围墙AB的高度．23．（10分）小亮参加中华诗词大赛，还剩最后两题，如果都答对，就可顺利通关．其中第一道单选题有4个选项，第二道单选题有3个选项．小亮这两道题都不会，不过还有一个“求助”没有使用（使用求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．（1）如果小亮第一题使用“求助”，那么他答对第一道题的概率是；（2）他的亲友团建议：最后一题使用“求助”，从提高通关的可能性的角度看，你同意亲友团的观点吗？试说明理由．24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF．（1）求证：AD⊥ED；（2）若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半径．25．（12分）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB ＝∠ADB．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似．26．（13分）如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂直为D，圆E是△ACD的内切圆，切点分别为M，N，F，连接AE，BE；（1）求∠AEB的度数；（2）若AD＝DB，CD＝3，求扇形CAB的弧长和圆E的半径．27．（15分）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示）．（1）求二次函数y＝﹣x2+x+6的顶点坐标和x轴的交点坐标；（2）直接写出新函数对应的解析式；（3）当直线y＝﹣x+m与新图象有四个交点时，求m的取值范围．2018-2019学年江苏省南通市崇川区启秀中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（3分×10＝30分）1．（3分）如图是由五个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可．【解答】解：从正面看可得到从左往右三列正方形的个数依次为：2，1，故选：B．2．（3分）木棒长为1.5m，则它的正投影的长一定（）A．大于1.5m B．小于1.5mC．等于1.5m D．小于或等于1.5m【分析】投影线垂直于投影底幕面时，称正投影，根据木棒的不同位置可得不同的线段长度．【解答】解：正投影的长度与木棒的摆放角度有关系，但无论怎样摆都不会超过1.5 m．故选：D．3．（3分）掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，则点数为奇数的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意和题目中的数据可以求得点数为奇数的概率．【解答】解：由题意可得，点数为奇数的概率是：，故选：C．4．（3分）若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．【解答】解：360°÷n＝．故这个正多边形的边数为4．故选：B．5．（3分）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（）2＝，故选：A．6．（3分）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体个数最多为（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：根据三视图知，该几何体中小正方体的分布情况如下图所示：所以组成这个几何体的小正方体个数最多为9个，故选：C．7．（3分）一个不透明的盒子里有150个红、黄两种颜色的小球，这些小球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计盒子中红球的个数为（）A．45 B．85 C．95 D．105【分析】设盒子中红球的个数为x，则黄球的个数为（150﹣x），根据“量重复摸球试验后发现摸到黄球的频率稳定在0.3”列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：设盒子中红球的个数为x，则黄球的个数为（150﹣x），根据题意，得：＝0.3，解得：x＝105，即盒子中红球大约有105个，故选：D．8．（3分）下列说法正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误；B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误；C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误．故选：C．9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD 的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，从而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【解答】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，∵∠AIC＝124°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）＝68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°，故选：C．10．（3分）在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、G共线，点C在BE上，∠DAB＝60°，AG＝8，点M，N分别是AC和EG的中点，则MN的最小值等于（）A．2B．4 C．2D．6【分析】连接BD、BF，延长AC交GE于H，连接BH，证明四边形BNHM是矩形，得出MN ＝BH，由直角三角形的性质得出GH＝AG＝4，AH＝GH＝4，当BH⊥AG时，BH最小，由直角三角形的性质得出BH＝AH＝2，即可得出答案．【解答】解：连接BD、BF，延长AC交GE于H，连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∠DAB＝60°，∴AD∥BC∥GF，AC⊥BD，BF⊥GE，BE＝BG，AM＝CM，EN＝GN，∴∠GAH＝30°，∠EBG＝∠DAB＝60°，∴△BEG是等边三角形，∴∠BGE＝60°，∴∠AHG＝90°，∴四边形BNHM是矩形，GH＝AG＝4，AH＝GH＝4，∴MN＝BH，当BH⊥AG时，BH最小，∵∠GAH＝30°，∴BH＝AH＝2，∴MN的最小值＝2；故选：A．二、填空题（每空3分，共24分）11．（3分）“在数轴上任取一个点，这个点所表示的数是无理数”这一事件是随机事件（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：“在数轴上任取一个点，这个点所表示的数是无理数”这一事件是随机事件，故答案为：随机事件．12．（3分）在不透明的袋子中装有三张标着数字1、2、3的卡片，随机抽出一张卡片后放回，再随机抽出一张卡片，则两次抽到的数字之和为4的概率是．【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：画树状图如下由树状图知，共有9种等可能结果，其中两次抽到的数字之和为4的情况有3种，所以两次抽到的数字之和为4的概率为＝，故答案为：．13．（3分）一个圆锥的主视图是边长为cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于πcm2．【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为，底面圆的半径为，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，所以这个圆锥的侧面积＝××2π×＝π（cm2）．故答案为：π．14．（3分）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径等于 1 cm．【分析】把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr＝，解得：r＝1cm．故答案为：1．15．（3分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，0），C（6，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小，位似比为1：2，则线段AC中点P变换后对应点的坐标为（﹣2，﹣）或（2，）．【分析】分缩小后的三角形在第一象限和第三象限两种情况，根据网格结构分别找出点A、B、C的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点P的坐标．【解答】解：如图，∵A（2，2），C（6，4），∴点P的坐标为（4，3），∵以原点为位似中心将△ABC缩小位似比为1：2，∴线段AC的中点P变换后的对应点的坐标为（﹣2，﹣）或（2，）．故答案为：（﹣2，﹣）或（2，）．16．（3分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝40 °．【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，则利用互余计算出∠D＝40°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．【解答】解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACB＝∠D＝40°．故答案为40．17．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4．【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt△PBM中，PB＝＝4．综上所述，BP的长为3或4．18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为π﹣．【分析】先利用勾股定理求出DB′＝＝，A′B′＝＝2，再根据S阴＝S扇形BDB′﹣S△DBC﹣S△DB′C，计算即可．【解答】解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，DB′＝＝，A′B′＝＝2，∴S阴＝﹣1×2÷2﹣（2﹣）×÷2＝π﹣．故答案为π﹣．三、解答题（共96分）19．（8分）从﹣2、1、3这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标．（1）列表或画树状图，写出该点所有可能的坐标；（2）求该点在第二象限的概率．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有等可能的结果；（2）由（1）得出点刚好落在第二象限的情况，由概率公式即可求出问题答案．【解答】解：：（1）画树状图得：∴所有可能的坐标为（1，3）、（1，﹣2）、（3，1）、（3，﹣2）、（﹣2，1）、（﹣2，3）；（2）∵共有6种等可能的结果，其中（﹣2，1），（﹣2，3）点落在第二项象限，∴点刚好落在第二象限的概率＝＝．20．（8分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，已知∠AOD＝60°．（1）求∠DEB的度数；（2）若AB＝6，求CD的长．【分析】（1）由OD⊥AB，根据垂径定理可得，然后由圆周角定理，即可求得∠DEB 的度数；（2）根据含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵在⊙O中，OD⊥AB，∴，∵∠AOD＝60°，∴∠DEB＝∠AOD＝30°；（2）∵，∴∠AOD＝2∠BEB＝60°，∵AB＝6，∴AC＝3，∴OC＝，OA＝2∴CD＝．21．（8分）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．（1）请你确定灯泡所在的位置并画出小亮在灯光下形成的影子；（2）如果小明的身高AB＝1.8m，他的影子长AC＝1.6m，且他到路灯的距离AD＝2.4m，求灯泡的高．【分析】（1）连接CB延长CB交DE于O，点O即为所求．连接OG，延长OG交DF于H．线段FH即为所求．（2）根据＝，可得＝，即可推出DE＝4.5m．【解答】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．（2）解：由已知可得，＝，∴＝，∴OD＝4.5m．∴灯泡的高为4.5m．22．（10分）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝0.9m，窗高CD＝1.1m，并测得OE＝0.9m，OF＝3m，求围墙AB的高度．【分析】首先根据DO＝OE＝0.9m，可得∠DEB＝45°，然后证明AB＝BE，再证明△ABF ∽△COF，可得＝，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．【解答】解：连接DC，可得C，D，O在一条直线上，∵DO⊥BF，∴∠DOE＝90°，∵OD＝0.9m，OE＝0.9m，∴∠DEB＝45°，∵AB⊥BF，∴∠BAE＝45°，∴AB＝BE，设AB＝EB＝xm，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴＝，＝，解得：x＝4.2．经检验：x＝4.2是原方程的解．答：围墙AB的高度是4.2m．23．（10分）小亮参加中华诗词大赛，还剩最后两题，如果都答对，就可顺利通关．其中第一道单选题有4个选项，第二道单选题有3个选项．小亮这两道题都不会，不过还有一个“求助”没有使用（使用求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．（1）如果小亮第一题使用“求助”，那么他答对第一道题的概率是；（2）他的亲友团建议：最后一题使用“求助”，从提高通关的可能性的角度看，你同意亲友团的观点吗？试说明理由．【分析】（1）由第一道单选题有4个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先分别用A，B，C，D表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示第二道单选题的3个选项，然后根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵第一道单选题有4个选项，∴小明第一题使用“求助”，则此时还剩3个选项，那么小明答对第一道题的概率是：；故答案为：；（2）分别用A，B，C，D表示第一道单选题的4个选项，a，b，c表示第二道单选题的3个选项若第一道选择求助，画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，此时通关的概率为；若第二道选择求助，画树状图可得：∵共有8种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，此时通关的概率为，∴最后一题使用“求助”，通关的可能性较大．24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF．（1）求证：AD⊥ED；（2）若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB＝90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH＝CD＝4，∠CHF＝90°，利用垂径定理得到BH＝FH＝4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵OA＝OC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OC∥AD，∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AD⊥ED；（2）解：OC交BF于H，如图，∵AB为直径，∴∠AFB＝90°，易得四边形CDFH为矩形，∴FH＝CD＝4，∠CHF＝90°，∴OH⊥BF，∴BH＝FH＝4，∴BF＝8，在Rt△ABF中，AB＝＝＝2，∴⊙O的半径为．25．（12分）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB ＝∠ADB．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似．【分析】（1）连接CD，由AC是⊙O的直径，可得出∠ADC＝90°，由角的关系可得出∠EAC＝90°，即得出EA是⊙O的切线；（2）连接BC，由AC是⊙O的直径，可得出∠ABC＝90°，由在RT△EAF中，B是EF的中点，可得出∠BAC＝∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA．【解答】（1）证明：如图1，连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ADB+∠EDC＝90°，∵∠BAC＝∠EDC，∠EAB＝∠ADB，∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝90°，∴EA是⊙O的切线．（2）证明：如图2，连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠CBA＝∠ABC＝90°∵B是EF的中点，∴在RT△EAF中，AB＝BF，∴∠BAC＝∠AFE，∴△EAF∽△CBA．26．（13分）如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂直为D，圆E是△ACD的内切圆，切点分别为M，N，F，连接AE，BE；（1）求∠AEB的度数；（2）若AD＝DB，CD＝3，求扇形CAB的弧长和圆E的半径．【分析】（1）连接EC．首先证明∠AEC＝135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题；（2）连接BC、EF、EM、EN、DE，证明△ABC是等边三角形，得出∠BAC＝60°，由直角三角形的性质得出AD＝CD＝，得出AB＝AC＝2，由弧长公式求出扇形CAB的弧长，由切线的性质和三角形面积即可求出圆E的半径为．【解答】解：（1）连接EC．如图1所示：∵E是△ADC的内心，∠ADC＝90°，∴∠ACE＝∠ACD，∠EAC＝∠CAD，∴∠AEC＝180°﹣（∠ACD+∠CAD）＝135°，在△AEC和△AEB中，，∴△EAC≌△EAB（SAS），∴∠AEB＝∠AEC＝135°；（2）连接BC、EF、EM、EN、DE，如图2所示：∵CD⊥AB，AD＝DB，∴AC＝BC，∵AC＝AB，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝CD＝，∴AB＝AC＝2，∴扇形CAB的弧长为＝，∵圆E是△ACD的内切圆，切点分别为M，N，F，∴EF⊥AD，EN⊥CD，EM⊥AC，EM＝EF＝EN，∵CD⊥AB，∴△ACD的面积＝△ACE的面积+△ADE的面积+△CDE的面积，即××3＝×2×EM+××EF+×3×EN，解得：EF＝，即圆E的半径为．27．（15分）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示）．（1）求二次函数y＝﹣x2+x+6的顶点坐标和x轴的交点坐标；（2）直接写出新函数对应的解析式；（3）当直线y＝﹣x+m与新图象有四个交点时，求m的取值范围．【分析】（1）令y＝0，解方程﹣x2+x+6＝0得A（﹣2，0），B（3，0），把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；（2）再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），故得出新函数对应的解析式；（3）求出直线y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．【解答】解：（1）如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），∵y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，∴顶点坐标为（，）；（2）将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），故当x＜﹣2或x＞3时，y＝﹣x2+x+6；当﹣2≤x≤3时，y＝x2﹣x﹣6（3）当直线y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．。