定积分在实际问题中的应用

第二节 定积分在实际问题中的应用 Application of Definite Integral

教学目的: 熟练掌握求解平面图形的面积方法,并能灵活、恰当地选择积分变量;会求平行截

面面积已知的立体的体积,并能求解旋转体的体积;能够解决物理应用中变力作功、液体压力方面的问题.

内 容: 定积分几何应用;定积分在物理中的应用. 教学重点: 求解平面图形的面积;求旋转体的体积.

教学难点: 运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积

教学方法: 精讲:定积分的几何应用;多练:用定积分求平面图形的面积和立体的体积 教学内容:

一、定积分的几何应用

1. 平面图形的面积

设函数12(),()y f x y f x ==均在区间[,]a b 上连续,且12()(),[,]f x f x x a b ≥∈,现计算由12(),(),,y f x y f x x a x b ====所围成的平面图形的面积.

分析求解如下:

(1) 如图6-3所示,该图形对应变量x 的变化区间为[,]a b ,且所求平面图形的面积S 对区间[,]a b 具有可加性.

(2) 在区间[,]a b 内任取一小区间[,]x x dx +,其所对应的小曲边梯形的面积,可用以dx 为底,12()()f x f x -为高的小矩形的面积(图6-3)中阴影部分的面积)近似代替.即面积微元为

12[()()]dS f x f x dx =-

(3) 所求图形的面积

22[()()]b

a

S f x f x dx =-⎰

图6-3

【例1】 求曲线x

y e =，直线0,1x x ==及0y =所围成的平面图形的面积.

解 对应变量x 的变化区间为[0,1],在[0,1]内任取一小区间[,]x x dx +,其所对应小窄条的面积用以dx 为底,以()()0x

x

f x

g x e e -=-=为高的矩形的面积近似代替,即面积微元

x dS e dx =

于是所求面积

1

10

1x x

S e dx e e ===-⎰

【例2】 求曲线2y x =及2

2y x =-所围成的平面图形的面积.

解 由2

2

2y x y x ⎧=⎨=-⎩

求出交点坐标为(1,1)-和(1,1),积分变量x 的变化区间为[1,1]-,面积微元 [()()]dS f x g x dx =-

即

222

(2)2(1)dS x x dx x dx

=--=-

于是所求面积

1

21

1

20

22(1)4(1)1140383

S x dx

x dx

x x -=-=-⎛

⎫=- ⎪

⎝⎭=⎰⎰

若平面图形是由连续曲线(),(),(()()),,x y x y y y y c y d ϕψψϕ==≤==所围成的,其面积应如何表达呢?

分析求解如下:

(1) 对应变量y 的变化区间为[,]c d ,且所求面积S 对区间[,]c d 具有可加性. (2) 在y 的变化区间[,]c d 内任取一小区间[,]y y dy +,其所对应的小曲边梯形的面积可用以()()y y ϕψ-为长,以dy 为宽的矩形面积近似代替,即面积微元为

[()()]dS y y dy ϕψ=-

于是所求面积

[()()]d

c

S y y dy ϕψ=-⎰

【例3】 求曲线2

x y =,直线2y x =-所围成的平面图形的面积.

解 由2

2

x y y x ⎧=⎨=-⎩解得交点坐标为(1,1)-和(4,2),则对应变量y 的变化区间为[1,2]-,

此时2

()2,()y y y y ϕψ=+=,则面积微元

2[()()](2)dS y y dy

y y dy

ϕψ=-=+-

于是所求面积

2

2

21

1

2

3(2)211212

392

S dS y y dy

y y y --==+-⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭=⎰⎰

【例4】 求由2

y x =及y x =所围成的平面图形的面积.

解 为了确定积分变量的变化范围,首先求交点的坐标.

由2y x y x ⎧=⎨=⎩

得交点(0,0),(1,1).

方法一

选x 为积分变量,则对应x 的变化区间为[0,1],此时(),f x x =2

()g x x =面积微元

2[()()]()dS f x g x dx x x dx =-=-

于是

1

20

23()11111102

3236S x x dx

x x =-⎛⎫=-=-=

⎪⎝⎭⎰

方法二

选y 为积分变量,对应y 的变化区间为[0,1],

此时()y ϕ=

,()y y ψ=则面积微元

[()()])dS y y dy y dy ϕψ=-=

于是

1

322)12103

2211326

S y dy

y y =⎛⎫=- ⎪⎝⎭=-=⎰

注:由此例可知,积分变量的选取不是唯一的,但在有些问题中,积分变量选择的不同,求解问题的难易程度也会不同.

【例5】 求椭圆22

221x y a b

+=的面积.

解 椭圆关于x 轴,y 轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即

10

44a

S S ydx ==⎰

利用椭圆的参数方程

cos sin x a t

y b t

=⎧⎨

=⎩ 应用定积分的换元法,sin dx a tdt =-,且当0x =时,,2

t x a π

=

=时,0t =,于是

2

220

2

4sin (cos )4sin 1cos242

14sin 22240

S b t a t dt

ab tdt

t

ab dt t ab t ab

ππ

π

π

π=-=-=⎛⎫

=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰