4.2 弹性不稳定渗流无限大地层典型解

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例：在一较大的新油田上，有一完善井，地下恒定流
量为100m3 /d投入生产，Rw=10cm, μo=2mPa· S, h=10m, k=0.5 μm2,æ=10000cm2 /s,预测井底压降情况。
• 解：t=0.1天时，
Rw 2 100 7 2.89 10 0.01 4 4æt 4 10 86400 0.1
Q u eu P(r , t ) P0 du 4 kh u
Q 1 u P0 P(r , t ) e du u 4 kh u
10
Q 1 u P0 P (r , t ) e du 4 kh u u
因为幂积分函数 Ei ( x)
dP Q eu du 4 kh u
������ = 0 时 u=∞ , ������ = ������0
又
������ 2 ������ = 4�����
������ = ������ 时 u=u , P=P(r,t)
分离变量积分:

p ( r ,t )
P0
Q u eu dP du 4 kh u
������������ 2 小（10cm）, 所以，投产几秒钟后，即可满足 4æt
≤ 0.01 。
所以，井底压力随时间的变化规律为：
Q 2.25æt Pw (t ) P0 ln 4 kh Rw 2
15
• 压力分布公式的简化形式
r2 0.01 4æt r2 5 4æt
Ei (u ) ln 2.25æt r2
• 计算得：
t(天) ΔPw 0 0.25 0.5 1 2 3 4 5 5.25 5.50 6 7
0
(10-1MPa)
5.67
5.93
6.18
6.44
6.59
6.69
6.77
6.79
6.81
6.84
6.90
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第二节 弹性不稳定渗流无限大地层典型解
• 小结
主要介绍无限大地层弹性不稳定渗流数学模型典型解。
r2 4æt Ei ( ) ln 2 0.5772 4æt r
2.25æ t ln r2
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r2 即 0.01时: 4æt
Q 2.25æt P ( r , t ) P0 ln 4 kh r2
• 一般油田的æ = ������������������������~������������������������������������������������/������，对于井底 ������ = ������������ 很
• 如果井不在坐标原点而是在(������0 , ������0 )处，则投产后的 压力分布公式：
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 Q P( x, y, t ) P0 [ Ei ( )] 4 kh 4æt
• 如研究的是注水井，注入量取-Q,地层中任意点压力
增值为：
x
������ 2 ������ = 4�����
1 x e dx x
Q P0 P(r , t ) [ Ei (u )] 4 kh
������(������, ������)
Q r2 P(r , t ) P0 [ Ei ( )] 4 kh 4æt
������(������, ������)：在t时刻，距点汇r处的压力
Q 2.25æt P (r , t ) P0 ln 4 kh r2
P (r , t ) P0
Q r2 P (r , t ) P0 [ Ei ( )] 4 kh 4æt
Ei (u ) 0
r2 0.01 5 查表确定 Ei (u ) 4æt
• 幂积分函数表，见教材p308-309
3
当液体向井做平面径向不稳定渗流，数学方程为：
P P 1 P 2 2 x y æ t
2 2
极坐标形式：
2 P 1 P 1 P 2 r r r æ t
P
P
t 0
P0
P0
初始条件 外边界条件
无限大
r
线源解
内边界条件(定产量)
P r r
Q r 0 2 kh
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Q r2 P(r , t ) P0 [ Ei ( )] 4 kh 4æt r2 幂积分函数 Ei (u ) Ei ( ) 的变化趋势。
4æt
• r越大u越大，−������������ (−������)越 小，������(������, ������)值增加，即距 井越远处压力值越大，压 降越小； • t越大u越小，压力������(������, ������) 变小，−������������ (−������)越大，则 压降越大。 12
dP d dP dP 即： u ( ) u du du du du
dP 令：P du
'
' dP 则：P ' u +uP ' 0 du
7
' dP P' u +uP ' 0 du
分离变量 :
1 1 ' dP ( 1)du ' P u
C2 eC1
积分：ln( P ' ) ln(u ) u C1
渗 流 力 学
Mechanics of Fluids in Porous Media
第四章 弹性微可压缩液体的 不稳定渗流
石油工程学院
第四章 弹性微可压缩液体的不稳定渗流
第一节 弹性不稳定渗流的物理过程 第二节 弹性不稳定渗流无限大地层典型解 第三节 弹性不稳定渗流有界地层典型解 第四节 弹性不稳定渗流的叠加和映射 第五节 圆形封闭地层中心一口井拟稳态时近似解 第六节 带时间变量边界条件的不稳定渗流—杜哈美原理
1.5 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0
Ei (u )
r2 u 4æt
1 2 3 4 5
• 若投产时间是不在������ = ������，而是在������ = ������0 时刻，则投产后 的压力分布公式：
Q r2 P(r , t ) P0 [ Ei ( )] 4 kh 4æ(t t0 )
u
r 0
dP r 2 du 2æt

r 0
dP 2u du
u 0
Q 2 kh
dP du
u 0
Q 4 kh
dP eu 又： C2 du u
u
dP du
C 2e u
u 0 u 0
C2
C2
Q 4 kh
9
dP Q eu du 4 kh u
P ' e ln ( u ) u C1 dP eu 即: C2 du u
1 u C1 eu e e C2 u u
8
P 因为：r r
r 0
Q 2 kh
u r r 2æt
������������ ������ = 4�����
dP u r du r
• 重点
1、弹性不稳定渗流数学模型；★★★
Βιβλιοθήκη Baidu
2、数学模型的求解方法；★★★
3、幂积分函数及其性质；★★★★ 4、弹性不稳定渗流压力分布的表达式及近似式。★★★★★
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Q r2 P P(r , t ) P0 [ Ei ( )] 4 kh 4æt
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• 数学上，幂积分函数可展开为：
r2 4æt r2 1 r2 2 Ei ( ) ln 2 0.5772 ( ) 4æt r 4æt 4 4æt
r2 当 0.01时, 即r很小或t 较大时，可近似取前两项， 4æt 其精确值与近似值误差不超过 0.25%
(t 0)
4
下面用Boltzmann变换求解， 设������ =
������������ ，则有： 4æ������
u r r 2æt
u r2 t 4æt 2
1 P 1 P 2 P 1 P 1 P (r ) 2 r r r æ t r r r æ t
对中间变量������(������, ������),令������ ������, ������ = ������(������)则有：
P dP u r du r
P dP u t du t
1 d dP u u 1 dP u (r ) r du du r r æ du t
第七节 油井的不稳定试井
第二节 弹性不稳定渗流无限大地层典型解
微可压缩液体，在均质地层弹性不稳定渗流的综 合微分方程：
2P 2P 2P 1 P 2 2 2 x y z æ t
æ=
������ 称导压系数 ������������
当k为μm2, μ为mPa.s, C为1/10-1MPa时， æ为cm2/s, 表示单位时间内压降传播的面积。
• 可用近似公式计算，则
Q 2.25æt Pw ln 4 kh Rw 2 100 106 2 2.25 104 t ln 3 4 0.5 10 86400 100
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100 106 2 2.25 104 t Pw ln 3 4 0.5 10 86400 100
������������ ������ = 4�����
d r 2 dP r 2 dP ( ) du 4æ t du 4æ t du
6
d r 2 dP r 2 dP ( ) du 4æ t du 4æ t du
������������ ������ = 4�����
d dP dP (u ) u du du du
5
1 d dP u u 1 dP u (r ) r du du r r æ du t
u r r 2æt
u r2 t 4æt 2
1 r d r 2 dP r 2 dP ( ) ( ) r 2æ t du 2æ t du 2æ t du d r 2 dP r 2 dP ( ) du 2æ t du 2æ t du