笛卡尔与解析几何的创立_马英典

１６５

科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 科　技　教　育

勒内·笛卡尔（Rene Descartes ，1596年至1650年）法国哲学家、科学家和数学家。笛卡尔是西方现代哲学思想的奠基者，其哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人。但是，可能许多人不太了解他对现代数学做出的重要贡献，笛卡尔因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何的创立者。

笛卡尔，1596年3月31日生于法国土伦的拉哈耶。父亲是一位律师，笛卡尔20岁毕业于普瓦界大学，去巴黎当了律师。在巴黎，他认识了米道奇(Mydarge)和梅森(Merrsnne)，花了一年时间与他们一起研究数学。笛卡尔为了追赶当时的时髦(有志之士不是献身宗教，就是献身军事)而去从军，遍历欧洲。1617年服役期间，在荷兰布莱达遇到一张数学难题招贴，由于看不懂上面的佛来米语，一位中年人热心地给他作了翻译，第二天他把解答交给了那位中年人，引起了中年人的极大惊讶，原来这个中年人是荷兰著名的数学教授别克曼(Isaac Beeckeman,1588年至1673年，荷兰)，这次偶然的机会使笛卡尔对自己的数学才华加深了信心，从此在别克曼教授的指导下学习数学，1628年他移居荷兰，在较为安静自由的学术环境中生活了二十年，写成了许多世界名著。其主要著作有《思想的指导法则》《世界体系》等。1637年，笛卡尔出版了他的《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书，书后三个附录之一的《几何学》，阐述了坐标几何即今解析几何的内容，它体现出一种“数”“形”结合的新思想，引起了数学的变革，成为变量数学的起点。

笛卡尔的中心思想是要建立一种普遍的数，使算术、代数、几何统一起来，其思想方法主要表现在:

1 引入了坐标概念

笛卡尔从自古已知的天文和地理的

经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x ，y)的对应关系、从而建立了坐标的观念。

笛卡儿的坐标系不同于一般的定理和数学理论，这是一种思想方法和技艺，它使个数学发生了崭新的变化。恩格斯对笛卡尔的这一贡献曾经这样评价：“数学中的转折点是笛卡儿的变量，有了它，运动进入了数学，因而辩证法进入了数学，因而微分和积分的运算也就立刻成为必要了。”为纪念这位杰出的业余数学家，人们现在所用的直角坐标系，通常叫做“笛卡儿直角坐标系”。

2 用方程表示曲线的思想

笛卡尔把两个相互关联的二个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线，研究二元方程F(x ，y)=0的性质。满足这个方程的x ，y 值无限多，当x 变化时，y 也跟着变化，y 的不同取值确定平面上许多不同的点，便构成了一条曲线，具备某种性质的点之间，存在某种关系，笛卡尔说:“这种关系可用一个方程来表示”，这就是他的方程表示曲线的思想。这样，可以用一个二元方程表示平面曲线，并根据方程的代数性质研究相应曲线的几何性质；反过来，可以根据曲线的已有的几何性质，确定曲线的方程，并用几何的观点来考察方程的代数性质。

3 推广了曲线的概念

笛卡尔不仅接受了以前被排斥的曲线，而且还开辟了整个的曲线领域；这里的曲线，笛卡尔指具有代数方程的那种。笛卡尔认为，几何曲线是那些可用一个惟一的含x ；y 的有限次代数方程来表示的曲线，避免了以能否画出来来判别曲线是否存在的观点。由于几何曲线未必都能用代数方程表示出来，所以今天看来，笛卡尔关于曲线的概念的推广还不彻底，莱布尼兹把有代数方程的曲线叫代数曲线，否则叫超越曲线。笛卡尔及其他数学家也同样研究了旋轮线、对数曲线嘴对数螺线和其他非代数曲线。

4 按方程的次数对方程进行分类

笛卡尔认为，含X 和Y 的一次和二次方程属于第一类，也是最基本的类，三次和四次方程表示的曲线属于第二类，五次和六次方程的曲线构成第三类，依次类推。作出这样的分类，原因在于，笛卡尔相信，每一类中高次的可以化为低次的，比如四次方程的解可以通过三次方程的解来求出，这当然又具有化归的思想。

针对笛卡尔的解析几何，数学家们不断予以完善与补充。在《几何学》中，笛卡尔引入了变量与坐标，但并未使用今天的“变量”一词；坐标方面，也只是引入了一条坐标轴(即今x 轴)。现在使用的“变量”一词，最早是由约翰·伯努利(lolann Bernoulli ）于1718年引入；“坐标”一词是1692年才由莱布尼兹正式引进的。第二条坐标轴即Y 轴，由克莱姆(G.Gramer ，1704年至1752年，瑞士)于1750年他的《代数曲线分析引论》中才正式引人，距x 轴的引入晚了一百多年，笛卡尔也没有使用纵、横坐标的词语。1692年，莱布尼兹引入“坐标”一词后，1694年，莱布尼兹正式使用了“纵坐标”，一词，而

“横坐标”，一词是在18世纪才由沃尔夫

(Christian Von Wolf ，1679年至1754年，法)等人引入的。19世纪后，解析几何的发展趋于成熟，被广泛应用在自然科学各领域和数学科学研究中。

解析几何的创立具有深远的历史意义。首先，解析几何使代数、几何实现了完美的统一。由于解析几何集中了代数与几何研究的优点，为数学研究提供了极大的便利。供了极大的便利。几何问题，可以用代数表达；几何目标可以通过代数的研究达到；反过来，代数的问题可以得到几柯意义上的解释，通过直观辅助分析，从而得出新的结果。犹如拉格朗日所说:“只要代数与几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸收产生新的活力，从那以后就以快速的步伐走向完善。”

其次，解析几何促进了几何的研究。笛卡尔原本设想，通过解析几何给几何引入一种新方法，然而成就却大大超出了他的预想。利用解析几何方法，平面几何中必须分别处理的问题，可以用代数统一处理，如在证明三角形的高线共点问题时，不须考虑交点是在三角形的内部或外部，实现了统一的证明。

再次，解析几何促进了代数的独立发展。从古希腊到公元1600年，几何在数学中一直占据着统治地位，代数一直是几何的附庸。解析几何的创立，充分展示了代数的作用，因此，1600年以后，代数逐步从几何的统治地位下独立出来，成为一门独立的数学分支，取得了它应有的地位。因此，解析几何促进了代数学的独立与发展。

最后，解析几何推进了科学的进步。17世纪，科学技术的迅速发展迫切需要数学为其提供便利的数学工具，解析几何的创立满足了科学技术发展的要求。通过解析几何。人们对曲线的研究越来越深刻，像大地测量学、航海学、历法学、天文学、军事学等领域，解析几何把形象与路线表达为代数形式，从而得出人们需要的数学知识。通过对抛物线的研究，牛顿制作了反射望远镜；人们还利用抛物线的聚焦性质设计制造出现代的探照灯。

参考文献

[1]项武义.基础数学讲义丛书·基础几何

学[M].北京：人民教育出版社，2004.[2]郭斌彩.数学史与数学家[M].西安：西

安地图出版社，2002.

①作者简介：马英典，女，中央司法警官学院信息管理系讲师，硕士。

笛卡尔与解析几何的创立①

马英典

（中央司法警官学院 河北保定 071000）

摘 要：笛卡尔引入了坐标的观念，将几何坐标公式化，为解析几何的创立做出了奠基性的贡献。解析几何的创立使代数、几何实现了完美的统一，不仅促进了几何的研究和代数的独立发展，而且推进了科学的进步。关键词：笛卡尔 解析几何 坐标中图分类号：G71文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2012)12(c)-0165-01

DOI:10.16661/ki.1672-3791.2012.36.201