高中数学-平面向量及常见题型

高中数学-平面向量及常见题型

向量知识点

☆零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0

与任意向量平行

☆单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量⇔｜0a

｜＝1

☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量

☆向量加法AB BC +=AC 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

AB BC CD PQ QR AR +++

++=，但这时必须“首尾相连”．

☆实数与向量的积：

①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa

，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a

⋅=λλ；

（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a

的方向相反；当0=λ时，

0 =a λ，方向是任意的

☆两个向量共线定理：

向量b 与非零向量a

共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ

☆平面向量的基本定理：

如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a

，有且只有一对实数21,λλ使：

2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

☆平面向量的坐标运算：

(1) 若()()1122,,,a x y b x y =

=，则()1212,a b x x y y ±=±±，1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅

(2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--

(3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)

(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y =

=，则a b ⊥，02121=⋅+⋅y y x x

☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质

☆两个向量的数量积：

已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅=

☆向量的投影：︱b ︱cos θ=

||

a b

a ⋅∈R ，称为向量

b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 ☆数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积

☆向量的模与平方的关系：22

||a a a a ⋅==

☆乘法公式成立： ()(

)

2

2

22

a b a b a b a b +⋅-=-=-；

()

2

2

2

2a b a a b b ±=±⋅+2

2

2a a b b =±⋅+

☆向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （0

1800≤≤θ）叫做向量a 与

b 的夹角

cos θ=cos ,a b a b

a b

•<>=

•

=

当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

补充：

线段的定比分点

()()()设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在P x y P x y P x y P P P 11122212l

l 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212λλλ→=→

P P P P P P P P 12121200→

><所成的比（，在线段内，，在外），且λλ

x x x y y y P P P x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩

⎪⎪=+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪121212121

2112

2λλλλ，为中点时，

()()()如：，，，，，，∆ABC A x y B x y C x y 112233

则重心的坐标是，∆ABC G x x x y y y 123

12333

++++⎛⎝ ⎫⎭⎪

经典例题 例1．已知

是

所在平面内一点，

为

边中点， 且

，那么（ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解：

. 故选A ．

例2．在平行四边形中，，M 为BC 的中点，则______.（用表

示）

命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.

解：由得，，所以

。

例3．如图所示，D 是△ ABC 的边AB 上的中点，则向量( )

（A ） （B ） （C ） （D ）

命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力.

解：，故选A.

例4.设平面向量、、的和.如果向量、、，满足

且顺时针旋转后与同向，其中，则（）

（A）（B）

（C）（D）

命题意图:本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.

常规解法：∵，∴故把2 (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30后与重合，故，应选D.

巧妙解法：令，则，由题意知，从而排除B，C，同理排除A，故选D.

点评：巧妙解法巧在取，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.