理论力学第四章2分析解析
理论力学第四章-摩擦解析
下面判断系统是否处于静平衡
脚端A 与B 的最大静摩擦力分别为 ：
y
C
FA fs A FNA 0.2 375 75 N
G
FB
f s B FNB
0.6 125
75 N
FSA A
FSA FSB 72.17 N
2d sin
Wr
f
cos
P
2d sin
Wr
f
cos
用摩擦角表示得:
Wr cos
d sin
P
Wr cos
d sin
[例]图示一折叠梯放在地面上，与地面的夹角 60o 。脚端A 与B和地面的摩擦因数分别为 fsA 0.2, fsB 0.6 。在折叠 梯的AC侧的中点处有一重为500N的重物。不计折叠梯的重量 ，问它是否平衡？如果平衡，计算两脚与地面的摩擦力。
y C G
A
B
x
(a)
处理此类问题时首先假定系
统为平衡。由于系统不一定处
于静摩擦的临界情况，可通过
平衡方程求得这些未知的静摩
擦力。所得的结果必须与最大
y
静摩擦力进行比较，以确认上
C
述系统平衡的假定是否成立。
G
A
B
x
(a)
以整体为对象，受力如图
MA 0
bFNB
bG 4
0
FNB 0.25G 125 N
无润滑
有润滑
0.15
0.1～0.12
0.3
0.15
0.1～0.15
0.18
0.3～0.5
0.15
0.4～0.6
0.1
动摩擦系数
无润滑
有润滑
0.09
理论力学答案第四章
《理论力学》第四章作业参考答案习题4-1解： 以棒料为研究对象，所受的力有重力P、力偶M ，与V 型槽接触处的法向约束力1N F 、2N F 和摩擦力1S F 、2S F，且摩擦力的方向与棒料转动方向相反，如图所示。
建立坐标系，列平衡方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∑∑∑0)(00F M F F O y x⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=-+0125.0125.0045sin 045cos 21012021M F F P F F P F F S S S N S N 临界条件下，补充方程： 11N S S F f F = 22N S S F f F = 联立以上各式得：223.01=s f491.42=s f （忽略）答：棒料与V 型槽间的静摩擦因数223.0=s f 。
习题4-6 解法一：(1)取整体为研究对象，作用力有重力P 、提砖力F，列平衡方程：0=-P F所以 )(120N F =(2)取砖块为研究对象，其受力情况如图所示：作用力有重力P、法向约束力NA F 、ND F 和摩擦力SA F 、SD F，由于其滑动趋势向下，所以其摩擦力的方向向上。
列平衡方程：∑=0)(F M D0250125=-SA F P补充方程： NA S SA F f F ≤ 所以)(60N F SA =)(160N F NA ≥(3)取构件AGB 为研究对象，所受的力除提砖力F外，还有砖块对其作用的正压力NAF ' 、摩擦力SA F ' ，G 点的约束力G X F 、G Y F 。
列平衡方程： ∑=0)(F M G03095='-'+NA SAF b F F 其中NAF ' 与砖块所受的力NA F 、SA F ' 与砖块所受的力SA F分别为作用力与反作用力关系，将各力的数值代入得)(110mm b ≤答：距离mm b 110≤时才能把砖夹起。
解法二：取构件GCD 为研究对象，受力情况如图所示。
理论力学课后习题答案 第4章 运动分析基础
(b)第4章 运动分析基础4－1 小环A 套在光滑的钢丝圈上运动，钢丝圈半径为R （如图所示）。
已知小环的初速度为v 0，并且在运动过程中小环的速度和加速度成定角θ，且 0 ＜ θ ＜2π，试确定小环A 的运动规律。
解：Rv a a 2nsin ==θ，θsin 2R v a =θθtan cos d d 2tR v a tv a ===，⎰⎰=t v v t R vv 02d tan 1d 0θ t v R R v t s v 00tan tan d d -==θθ⎰⎰-=t s t t v R R v s 0000d tan tan d θθtv R R R s 0tan tan ln tan -=θθθ4－2 已知运动方程如下，试画出轨迹曲线、不同瞬时点的 1．⎪⎩⎪⎨⎧-=-=225.1324tt y tt x ， 2．⎩⎨⎧==t y t x 2cos 2sin 3解：1．由已知得 3x = 4y （1） ⎩⎨⎧-=-=t y t x3344 t v 55-=⎩⎨⎧-=-=34y x5-=a 为匀减速直线运动，轨迹如图（a ），其v 、a 图像从略。
2．由已知，得2arccos 213arcsin y x =化简得轨迹方程：2942x y -=（2）轨迹如图（b ），其v 、a 图像从略。
4－3 点作圆周运动，孤坐标的原点在O 点，顺钟向为孤坐标的正方向，运动方程为221Rt sπ=，式中s 以厘米计，t 以秒计。
轨迹图形和直角坐标的关系如右图所示。
当点第一次到达y 坐标值最大的位置时，求点的加速度在x 和y 轴上的投影。
解：Rt s v π== ，R v a π==t ，222n Rt Rv a π==y 坐标值最大的位置时：R Rt s 2212ππ==，12=∴tR a a x π==t ，R a y 2π-=4－4 滑块A ，用绳索牵引沿水平导轨滑动，绳的另一端绕在半径为r 的鼓轮上，鼓轮以匀角速度ω转动，如图所示。
理论力学教程(第四章)
静滑动摩擦力的特点
1 方向：沿接触处的公切线，
与相对滑动趋势反向；
2 大小：
3
（库仑摩擦定律）
④静摩擦系数的测定方法(倾斜法)
两种材料做成物体
和可动平面测沿下面滑
动时的 。
p
F=mgsin =fmgcos
2)、动滑动摩擦
tg f
两物体接触表面有相对运动时,沿接触面产生的切向 阻力称为动滑动摩擦力。
1)、静滑动摩擦
① 定义 两相接触物体虽有相对运动趋势，但仍保持相对静止F时，
给接触面产生的切向阻力，称为静滑动摩擦力或简称静摩 擦力。
满足
0 F Fmax (最大静摩擦力)
当 F Fmax时,则物体处于临界平衡状态
F
P Fmax f N (库仑静摩擦定律)
若物体静止，则 F P
摩擦的现象和概念
在大学物理已经讲到什么是摩擦：当物体与另一物体 沿接触面的切线方向运动或有相对运动的趋势时，在两物 体的接触面之间有阻碍它们相对运动的作用力，这种力叫 摩擦力。接触面之间的这种现象或特性叫“摩擦”。这里 来作更深入的研究，首先来看它的分类：滑动摩擦和滚动 摩擦。
滑动摩擦：相对运动为滑动或具有滑动趋势时的摩擦。
第四章 摩擦
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料群：
引言
前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体 之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下 都存在有摩擦。 [例]
平衡必计摩擦 3
摩擦
☆§4–1 滑动摩擦 ☆§4–2 摩擦角和自锁现象 ☆§4–3 考虑摩擦时物体的平衡问题 ☆§4–4 滚动摩阻的概念
性质：当物体静止在支承面时，支承面的总反力的偏角
理论力学第四章
同理求解得
F1min
G tan tanjf 1 tanjf tan
G tan(
jf
)
y
F1
x
Fmax
FN G
4、几何法求F1的最小值F1min，受力分析如图。
F1min
画力三角形如图。
由力三角形可得 F1min Gtan( jf )
物块平衡时，F1的大小应满足
FR2
-jf
jf
FR2
G
G F1min
对多数材料，通常情况下
f fs
理论力学
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§4-2 摩擦角与自锁现象
一、摩擦角 ①全约束力 即FR= FN + FS ，它与接触面的公法线成一偏 角j ，当物体处于临界平衡状态，即静摩擦力达到最大值 Fmax时,偏角j达到最大值jf，全约束力与法线夹角的最大 值jf叫做摩擦角。
fs2P 1 fs2
代入（3）
得
tan min
1 fs2 2 fs
1 tan2jf 2tanjf
cot 2jf
tan(
2
2jf
)
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FNB
B
FSB Pmin A FSA
几何法求解
当梯子处于向下滑动的临界平衡状态
时，受力如图，显然 FRA FRB ，于是
G tan jf F1 G tan jf
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[例] 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦因数均为 f s=0.5，
求 多大时，梯子能处于平衡？
理论力学第4章 摩擦
4
3、 特征： 大小：0 F Fmax （平衡范围）满足 X 0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反
定律：Fmax f N （ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
所以物体运动：此时
F '动 N f '100.11N
（物体已运动）
25
[练习2] 已知A块重500N，轮B重1000N，D轮无摩擦，E 点的摩擦系数fE=0.2，A点的摩擦系数fA=0.5。
求：使物体平衡时块C的重量Q=？ 解：① A不动（即i点不产
生 平移）求Q 由于
T 'F1 f AN1 0.5500250N
14
此力系向 A点简化
d'
滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡
①滚阻力偶M随主动力偶（Q , F）的增大而增大;
② 0 M Mmax
有个平衡范围;
滚动 摩擦 ③ M max 与滚子半径无关;
④滚动摩擦定律： M max d N，d 为滚动摩擦系数。
15
滚动摩擦系数 d 的说明：
①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。
19
四、例题 [例1] 作出下列各物体
的受力图
20
[例2] 作出下列各物体的受力图
① P 最小维持平衡 ② P 最大维持平衡
状态受力图；
状态受力图
21
[例3] 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1,
求能自锁的倾斜角 。
解：研究楔块，受力如图
理论力学第四章摩擦问题
第四章摩擦现实生活中，绝对光滑的表面是不存在的，两物体之间具有相对运动或运动趋势时，接触面之间都有摩擦。
特殊情况下，摩擦力可以不计。
摩擦问题的两重性：有利：制动、传动、走路不利：产生阻力、消耗能量、降低效率按照物体表面相对运动情况，摩擦可分为滑动摩擦和滚动摩擦。
滑动摩擦又分为：动滑动摩擦：两接触面具有相对滑动。
静滑动摩擦：两接触面具有相对滑动趋势。
第一节滑动摩擦1、定义：两个相互接触的物体，发生沿着接触面的相对滑动或滑动趋势时，在公切线上彼此间产生阻碍运动或运动趋势的力，称为滑动摩擦力。
2、滑动摩擦力的方向：与被研究对象相对滑动或滑动趋势的方向相反。
⑴、有相对滑动趋势时-----静滑动摩擦力F s ：两个相互接触的物体，所受的外力较小，物体有相对滑动趋势，尚保持相对静止，此时接触面间产生的滑动摩擦力，称为静摩擦力（F s ).3、滑动摩擦力大小的三种情况（三种滑动运动状态）：如何确定摩擦力的具体值和方向？GNF F x sF F F 摩擦力静滑动摩擦定律：F max = f s N注意：F s 的大小是个不定值，随着外力的变化而变化。
其方向由外力系的合力方向决定，可以假设。
⑵、临界平衡状态时-----最大静滑动摩擦力F max ：静滑动摩擦定律：最大静摩擦力的大小与法向反力成正比。
F max = f s N其中：f s 称为静滑动摩擦因数GNF F x s F 摩擦力大小如何计算？F s =∑F x 且0≤ F s ≤F maxsF GN F Fx max F FF 当外力增加到某个值时，物体处于将动未动的临界平衡状态，这时静摩擦力达到最大值称为最大静摩擦力，以F max 表示。
⑶、有相对滑动时-----动滑动摩擦力F′：当物体接触面间有相对滑动时，出现的滑动摩擦力，称为动滑动摩擦力，它的方向与两物体间相对滑动的方向相反。
F '= f 'N其中：f '称为动滑动摩擦因数。
理论力学第四章扭转
内力T称为截面n-n上的扭矩。
Me
Me
x T
Me
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。
+
T
-
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
4
32 7640180 80109 π 2 1
86.4 103 m 86.4mm
d1 86.4mm
4.直径d2的选取
按强度条件
A M e1 d1
B d2 C
M e2
M e3
3 16T 3 16 4580
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
结论：
0, 0
横截面上
0 0
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。
t
D
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力
强度计算三方面：
① ②
校核强度：
max
Tm a x WP
设计截面尺寸：
WP
Tmax
[ ]
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
③ 计算许可载荷： Tmax WP[ ]
例4.2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴 的强度。
理论力学(周衍柏)习题答案,第四章
第四章习题解答4.1解如题4.1.1图所示.坐标系的原点位于转动的固定点，轴沿轴与角速度的方向一致，即设点沿运动的相对速度为则有题意得：故在点时的绝对速度设与轴的夹角为，则故与边的夹角为，且指向左上方。
点时绝对速度设的夹角为，则,故与边的夹角为，且指向左下方。
4.2解如题4.2.1图所示，以转动的方向为极角方向建立坐标系。
轴垂直纸面向外，设点相对速度①设绝对速度的量值为常数，则：②对②式两边同时球时间导数得：依题意故解得通解当时，，将其带入①式游客的知：时，即最后有4.3解如题4.3.1图所示，直角坐标的原点位于圆锥顶点轴过圆锥的对称轴.点在轴上对应的一点，且有，所以点的绝对加速度：最后有4.4解如题4.4.1图所示，题4.4.1图坐标系是以轴转动的坐标系.图中画出的是曲线的一段，在任意一点处，假设某质点在此处静止，则该质点除了受重力、钢丝的约束力之外，还会受惯性离心力的作用，，方向沿轴正向，在作用下，致信处于平衡状态，则有①②有①得③又因为过原点.对上式积分得抛物线有③得将代入②的反作用力4.5以直管为参照系，方向沿管，沿竖直轴建立坐标系，则小球受力为：故沿方向运动的微分方程为：①有初始条件：可得①式解为故当邱刚离开管口时，即时.则得所以此时：故当球刚要离开管口时的相对速度为，绝对速度为，小球从开始运动到离开管口所需时间为4.6解以光滑细管为参考系，沿管，沿水平轴建立坐标系，如题4.6.1图所示，则小球受力为：故沿方向运动的微分方程为：①方程的通解而方程①的特解为：故方程①的通解为：初始条件为当时，故可得所以质点相对于管的运动规律为：4.7解以水平细管为参考系，沿管，沿竖直转动轴向上建立坐标系，如题图4.7.1图所示则易得质点反方向的运动微分方程为：①②将方程①②作简单变换可得：化简得其通解为：初始条件为：故可得：故4.8解以抛物线形金属丝为参照物沿抛物线在顶点的切线方向，沿竖直轴建立坐标系，则小环的运动微分方程为：①②故代入①②得化简即得4.9解一当小环相对平衡时，由上题可知即要求为常数，故故解二以地面为参照系，则小球受力，如图4-8所示.其中为固定地面的坐标系，故平衡时有：4.10解以地面为参考系，则小环的运动微分方程为：其中为与圆心的连线和通过点的直径间所夹的角化简得4.11解以地面为非惯性参考系，建立坐标系，指正南，竖直向上，发射点为原点，炮弹的运动微分方程为：①②③初始条件为故将①②③积分一次代入初始条件后得：④⑤⑥有⑥可得落地时间：⑦其中所以将展开可得由式及初始条件可得所以炮弹落地时的横向偏离为4.1 解以地面为非惯性，建立坐标系指向正南，竖直向上，上抛点为原点，质点的运动微分方程为：①初始条件为：如上题同理可得②③④代入①式得有④式求出落地时间为：有③式得：将代入得复落至地面时：。
洪嘉振《理论力学》第3版习题详解第4章
4-1C 图示长方形，OA =1，2=OB ，OC =3。
初始其连体基b e r 与参考基r e r平行。
在某瞬时矩形的姿态坐标（欧拉角）为T2π2π2π⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=q 。
试ry r 题4-1C （1）写出该瞬时连体基b e r关于参考基r e r 的方向余弦阵；（2）画出矩形的姿态图；（3）通过欧拉角的三次转动验证结果的正确性。
解：（1）根据方向余弦阵与欧拉角姿态坐标的关系，直接可得该瞬时的长方体的方向余弦阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=001010100rb A （2）以上方向余弦阵的第1、2和3列分别为基b e r 的基矢量b x r 、b y r 和b z r在基r e r 上的坐标阵可知，b x r 与r z r 同向，与同向，b y r r y r b z r与r x r 反向。
根据题图中长方体顶点A 、B 与C在连体基上b e r的位置，在题解图4-1Ca-c 中找到相应的位置，构成长方体的姿态坐标为T2π2π2π⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=q 的当前姿态。
另一种方法是直接确定长方体顶点A 、B 与C 在参考基re r 上的当前位置。
根据已知条件可以定义给定点A 、B 与C 的矢径分别为A r r 、B r r 与C r r 。
在连体基b e r上的坐标阵分别为 ()T 001=′Ar ，，()T 020=′B r ()T 300=′C r 这些点在参考基r e r上的当前瞬时坐标阵为：，，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100001001010100A A A z y x ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛020020001010100B B B z y x ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛003300001010100C C C z y x直接根据上式给出的长方体顶点A 、B 与C 在基r e r 上的坐标阵，在基r e r上确定它的位置。
理论力学 第4章-空间力系
mx (P) m y (P) mz (P)
6. 空间力矩的平衡:
M
o
(R) 0 m m m
x
0 0 0
空间力矩的平衡方程
y
z
§4-4 空间一般力系的简化和合成
1. 空间一般力系向一点O简化:
1) O点的空间汇交力系: ( P , P , P , P ); 2) 空间附加力偶系: ( m ( P ), m ( P ), m ( P ), m
2. 力偶系的合成:
1) 合力偶矩定理:空间上力偶系的合力偶矩等于各 (几何法) 个分力偶矩的矢量和 I l
2) 合力偶矩投影定理: 空间上力偶系的合力偶矩在 (解析法) 一根轴上的投影等于各个合力偶矩在同 一 轴上的投影的代数和
Lx Ly Lz
l l l
x
y
z
3. 力偶系的平衡
x0 y0 z0 N A B c o s c o s T1 0 N A B c o s sin T 2 0 N A B sin Q 0
3. 求解 :
cos s in cos 80
2
60
2
145 105 145 80 100 4 5 ;
方向余弦; 方向余弦;
Lx Ly Lz
3. 空间一般力系的再生成:
合成为合力:
当 R 0 , L 0 或 R L 时 大 小: 方向: 作 用 线 : 由 空 间 作 用 线 函 数 方 程 确 定 ; 或 简 单 地 在 L 作 用 面 内 , 以 d=| L R | 及 L 转 向 来 确 定 作 用 线 位 于 R 左 侧 或 右 侧 的 位 置 . R=R 可合为一合力
理论力学第四章任意力系
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。
二、空间任意力系的简化与合成
1、空间一般力系向一点简化 把研究平面一般力系的简化方法用来研究空间一般力系的
简化问题，须把平面坐标系扩充为空间坐标系。
设作用在刚体上有
F1 F2
AB
I
Fi
y
R'
Ox
y
MO
O
简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0 ;
R'
2 . R' 0 , MO 0 ;
x
3 . R' 0 , M O 0 ;
4. R' 0 , M O 0 .
4. R' 0 , M O 0 .
为最一般的情况。此种情况还可以继续
2 . R' 0 , MO 0 ;
简化结果为一合力偶,MO = M 此时力系等效于一个力偶的作用.
因为力偶 可以在平面内任意 移动，故 这种情况下主矩与 简化中心 O 无关。
F1 F2
AB
I
Fi
y
MO Ox
y
MOOΒιβλιοθήκη 简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0 ;
求：１）合力的大小与方向；２）合力与基线OA的交点到O点的
距离 x 及合力作用线方程。(力系向Ｏ点简化的最后结果）
y 3m
解:１）求 FR'x , FR'y
▼
P1
1.5
9m
F1
3m
P2
理论力学4 平面一般力系
力F ′+ 力偶（ F ， F ′′）
3
说明： 说明 力线平移定理揭示了力与力偶的关系： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 （例断丝锥） 例断丝锥）
力+力偶 力偶
有关， ②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d 力平移的条件是附加一个力偶 ， 与 有关 ③力线平移定理是力系简化的理论基础。 力线平移定理是力系简化的理论基础。
Fx = 0, FAx − FT cos 30 0 = 0 ∑
Fy = 0, FAy + FT sin300 − P −Q = 0 ∑
1 ∑ M A = 0, FT 2 ⋅ 6a − P ⋅ 3a − Q ⋅ 4a = 0 F T = 17 . 33 kN 解得： F Ax = 15 . 01 kN 解得： F 22 Ay = 5 . 33 kN
a a 两力作用线过x1 = 和x2 = 3 2
17
§3-4
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
一 平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
r ′ 即 FR = 0
Mo = 0
FR′ = (∑ Fx )2 + (∑ Fy )2
MO = ∑MO (Fi )
∑ F = 0, F = 0 ∑ Fy = 0, FAy + FBy − P − q ⋅ 2a = 0
9
固定端（插入端） 固定端（插入端）约束 说明 ① 认为Fi这群力在同一平面内; 雨搭 ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶; ③ FA方向不定可用正交分力FAX, FAY 表示; ④ FAX, FAY, MA为固定端约束反力;
FR FYA FXA
(完整版)理论力学---第四章摩擦
sin q cosq
fs cosq fs sinq
P
F
sin q cosq
fs cosq fs sinq
P
F1
22
第四章 摩擦
用几何法求解 解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan(q )
23
第四章 摩擦
物块有向下滑动趋势时
F1min P tan(q )
P tan(q ) F P tan(q )
力偶矩的大小
A
M O
B
P
25
第四章 摩擦
已知：b , d , fs , 不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求： 挺杆不被卡住之值. a
26
第四章 摩擦
解： 取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置.
Fx 0 FAN FBN 0
Fy 0 FA FB F 0 M A 0
FN
(a
d 2
)
FBd
利用三角公式与 tan fs ,
P sinq fs cosq F P sinq fs cosq
cosq fs sinq
cosq fs sinq
24
第四章 摩擦
无重杆OA AB.其中OA长度L与水平线的倾角
为q
AB 水平.将重为P的物块放在斜面上，斜面
倾角 大于接触面的摩擦角 f
问若想在OA 杆上加一主动力偶使物块静止 在斜面上,转向?
19
第四章 摩擦
已知： P ,q , fs .
求： 使物块静止，
水平推力
F的大小．
20
第四章 摩擦
解：
使物块有上滑趋势时，推力为
F1
画物块受力图
F 0, x
F1 cosq P sinq Fs1 0
理论力学 第四章 空间力系
第四章空间力系本章将研究空间力系的简化和平衡条件。
工程中常见物体所受各力的作用线并不都在同一平面内，而是空司分布的，例如车床主轴、起重设备、高压输电线塔和飞机的起落架等结构。
设计这些结构时，需用空间力系的平衡条件进行计算。
与平面力系一样，空间力系可以分为空间汇交力系、空司力偶系和空间任意力系来研究。
§4-1 空间汇交力系1.力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解若已知力F与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角分别为α、β、γ，如图4-1所示，则力在三个轴上的投影等于力F的大小乘以与各轴夹角的余弦，即X=cosαY=cosβ (4-1)Z=cosγ当力与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时，可把力先投影到坐标平面Oxy上，得到力，然后再把这个力投影到x、y轴上。
在图4-2中，已知角γ和，则力在三个坐标轴上的投影分别为X=sinγcosY=sinγsin (4-2)Z=cosγ若以、、表示力F沿直角坐标轴x、y、z的正交分量，以i、j、k分别表示沿x、y、z坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则图4-2=++=X i+Y j+Z k (4-3)由此，力在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为:=X i，=Y j，=Z k (4-4)如果己知力F在正交轴系Oxyz的三个投影，则力F的大小和方向余弦为=cos(,i)=cos(,j)= (4-5)cos(,k)=例4-1图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力的作用。
已知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) β和压力角α，试求力沿x、y和z轴的分力。
解:先将力向z轴和Oxy平面投影，得Z=-sinα=cosα再将力向x、y轴投影，得X=-sinβ=-cosαsinβY=-cosβ=-cosαcosβ则沿各轴的分力为=-cosαsinβi，=-cosαcosβj，=-sinαk式中i、j、k为沿x、y、z轴的单位矢量，负号表明各分力与轴的正向相反。
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讨论思考题
各零件作什么运动？哪些零件是平面运动？
你选择的基点的运动如何？ 1.
w
O1 B A C D O2
2. 筛动机构
A
C D1
B D2
w
O
O1
O2
3. 小型精压机的传动机构
D C O1 A B
E
w
O
例题：圆柱自静止落下,其轴心的速度为
2 3 gh v 3
其中g为常量, h为圆柱轴心离初始位置的距离.圆柱半 径为r, 求圆柱的平面运动方程
绕相交轴转动的合成运 动是定点运动，两轴的交点 就是定点。
此瞬时A齿轮相当于绕它与B齿轮的啮合线定轴转 动，这种瞬时定轴转动的转轴称为瞬轴。 A齿轮绕瞬轴的转动就是绝对运动，其角速度为wa
z
wa
z’
一般情况下
we wr
O x
ωa ωr ωe
绝对角速度矢所在的直 线是刚体绝对运动的瞬轴
y
刚体同时绕两个相交轴转动时，合成运动为绕瞬 轴的转动，而且绕瞬轴转动的绝对角速度等于绕两个 轴转动的角速度的矢量和。
w
O x v
j
j
牵连运动的平 移速度矢与相对运 动的转动角速度矢 始终相互垂直，这 是常见的平移与转 动的合成形式。
车轮的运动是随车轴的平移与绕车轴的转动的合成
A为任意选择的基点，平移的动系固连在基点A上 刚体相对A点转动；绝对运动是平移与转运的合成
z’ z O’ x’ O x
w
牵连运动的平移速度矢
与相对运动的转动角速度
y’
vO’
矢始终相互垂直时，刚体
上的每个点与固定平面
y
Oxy的距离始终保持不变
在运动过程中，刚体上的每个点与某一固定平面 的距离保持不变的运动称为平面运动。 平面运动刚体上任一点都在与固定平面平行的某 个平面内运动。
y
y’ A j O’ x’
j
O x
刚体上各点在固定平面的一个平行平面内运 动 ——可简化为平面图形在自身平面内的运动
(b)
w 1r
Ⅲ
(a)
解： 1.明确各轮的运动。 2.取系杆为动参考系， 则齿轮Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ相 对于系杆作定轴转动。 3.利用定轴轮系传动 比公式进行计算。
例4-9 图示的行星轮系中，已知轮Ⅰ、Ⅲ的半径均为R， 轮Ⅱ的半径r，系杆O1O3以角速度w0顺时针转动；求轮 Ⅲ的相对角速度w3r与绝对角速度w3以及图示瞬时A、B 两点的速度。
x
wr
A
ja
’
jr
wa
在系杆O1O2上固连坐 标系O1x’y’，牵连运动是 绕O1轴的转动；轮Ⅱ绕系 杆上的O2轴转动，相对运 动也是转动。因此轮Ⅱ的 运动视为相对转动与牵连 转动的合成运动。
y
’
w
O x
x
y
A
’
B
转角关系
ja jr je
角速度关系
y
y
’
O2
we C
O1 Ⅰ
Ⅱ
je
x
wa wr we
绕相交轴转动合成的实用例——汽车后桥齿轮包原理
例4-8 行星轮减速机构如图所示，太阳轮Ⅰ绕O1轴转动，
带动行星轮Ⅱ沿固定齿圈Ⅲ滚动，行星轮Ⅱ又带动其 轴架（称为系杆）H绕OH轴转动。已知各齿轮的节圆半 径为r1、r2及r3，求传动比 i1H。
O2 Ⅱ A O1 H Ⅰ OH
w 3r
Ⅲ
w 2r
O2 H Ⅱ O1 Ⅰ
平面图形在其自身平面上的位置由图形内任意线段 O’A的位置来确定。确定O’A的位置只需要线段上任一 点O’的坐标和线段O’A与固定坐标轴Ox间的夹角j即可。
y y’ A j O’ x’
xO f1 (t ) yO f 2 (t ) j f3 (t )
此式就是刚体平面运动 的运动方程。
j
O x
平面图形在自身平面内的运动可以视为随 同基点的平移和绕基点转动的合成运动。
在平面图形上选取不同的基点，相应动系的平移牵 连运动是不同的。这表明，平面图形随同基点的平移 与基点的选择有关。
yA’ y A xA’ yB’ B xB’wLeabharlann O x vjj
平面图形绕基点转动的角速度与角加速度与基点 的选择无关。必须注意，这里所说的角速度与角加速 度都是相对于各基点处的平移动参考系而言的。
Ⅱ r1 O2 C O Ⅰ O1 Ⅱ r1 O2 O Ⅰ O1
w r1
wr
r2
wa
we
解：因为两齿轮啮合点C的速度等于零，可知O、C两 点的连线为瞬时轴。
r2
w r2
I
ω3r
ω1r O1
ω2 r
O2
III
O3
A
O1
O3 ω0 vo 3
B
(b) v B
A
ω0
II B
(a)
vA
解：1.明确各轮的运动。 2.取系杆为动参考系，则齿轮Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ相对于系杆作 定轴转动。3.利用定轴轮系传动比公式进行计算。
例4-10 行星锥齿轮Ⅱ与固定锥齿轮Ⅰ相啮合，可绕动轴 OO2转动，而动轴以角速度we绕定轴OO1转动，如图所 示。设在点C处轮Ⅰ的半径为r1，轮Ⅱ的半径为r2，求锥 齿轮相对于动轴的角速度wr。
4.2.3
转动与转动的合成
牵连运动是转动，相对运动也是转动，刚体的运动就 是转动与转动的合成。按照两个转动轴的位置关系可分 为以下两种类型。 1. 绕两个平行轴的转动的合成
定轮(太阳轮)
动轮(行星轮)
系杆
y
y
’
O2
we C
O1 Ⅰ
Ⅱ
je
x
动系固连在曲柄 OA上，牵连运动为 转动；连杆AB相对 动系中的A点转动。
刚体绕两平行轴转动时，其合成运动的角速度等 于牵连角速度与相对角速度的代数和。
x
wr
A
ja
’
jr
wa
刚体绕两个平行轴转动的合成结果
wawewr
wawe-wr
wa0
动轮平移 (转动偶)
2. 绕相交轴转动的合成
z
行星锥齿轮A绕z’轴转 动，同时z’轴又绕z轴转动。
wa wr
B z’
we
A O
4.2
刚体运动的合成
刚体的任何复杂运动都可以由几个简单的运动合成。 4.2.1 平移与平移的合成
如果刚体的相对运动与动系的牵连运动都是平移， 则刚体的绝对运动也一定是平移。
4.2.2 平移与转动的合成
yA’ y A xA’ yB’ B xB’
把动系固连在滑块B 上，AB的相对运动是绕B 点的转动 。