概率论和数理统计浙大四版习题答案解析第三章

第三章多维随机变量及其分布

1.[ 一]在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次,

次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量如下：

0,若第一次取出的是正品，

X

1,若第一次取出的是次品

0,若第二次取出的是正品，

Y

1,若第二次取出的是次品

试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况

由于每次取物是独立的。由独立性定义知。

P( X=i, Y=j)=P ( X=i)P (Y=j)

P( X=0, Y=0 )= 10 10

25

12 12 36

P( X=0, Y=1 )= 10 2

5

12 12 36

P( X=1, Y=0 )= 2 10 5

12 12 36

P( X=1, Y=1 )= 2 2 1

12 12 36

或写成

(2)不放回抽样的情况

10 9 45

每

X，Y

P{X=0,Y=0 }= 10 11 12—45

12 11 66

10 2 10

P{ X=0, Y=1 }= 10—竺

12 11 66

或写成 3.［二］ Y pg , 丫=吨曙 6） P { X=1, Y=1 }= 2 12 1 1

1

1 66

£

1

0 45 10 66 66 1

10 1 66

66

盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取 Y 表示取到白球的只数，求 X, Y 的联合分布律。 4只球，以X 表

3 2

35 35

6

12

2 1

35 35 35

1

6 3

2

0 35 35 35

解：（X , Y ）的可能取值为（i ,

j ), i =0, 1, 2, 0 1 2 3

3,

示取到黑球的只数，以 X j =0，12, i + j > 2,联合

分布律为 P { X=2, Y=1 }=

1 C 74 35 c 3c ；c ； 6 C 74

35 c 3c ；c ；

6 C ；

35

C ；c ； 3

C ； 35 c ；c ；c ； 12

P { X=0, Y=2 }= P { X=1, Y=1 }=

P { X=1, Y=2 }= P { X=2, Y=0 }=

C

；

35

P { X=2,

P { X=3, P { X=3, c ；

； 3

C ；

35 c 3C ；

2 Cy

35 c 3C ； 2 Cy

35

Y=2 }=

Y=0 }= Y=1 }

=

P { X=3,

Y=2 }=0

5.［三］ 设随机变量( k(6 x y), 0 x 2,2 y 4 X , Y )概率

密度为f (x, y) 0,其它

(1)确定常数k 。 (2 )求 P { X <1, Y <3} ⑶求P (X <} (4)求 P (X+YC 4} 分析：利用 P {( X Y) € G}= f (x, y)dx dy

G

f (x, y)dxdy 再化为累次积分，其

G D o

中 D o (x, y) 2,

1

k(6

⑵

P(X 1, Y 3)

dx

(6 丿0 2 8

x y)dy

1.5

(3)

P(X 1.5) P(X 1.5, Y

)0

2

4X

1

(4) P(X Y 4) dx

丄(6

x y)dy

f (x, y)dxdy

0 dx 1题中的随机变量(X 、 6. (1)求第 Y ) 1

3

2

4

1 —(6 28

2

3

x y)dy I 7

32

的边缘分布律。

2题中的随机变量(X 、

(2)求第 Y ) 36 36 的边缘分布

律。

5 36

1 36

1

X 0 1

Y 0 1

P i •

5

1

P j

5 1

~6

~6

~6

~6

②不放回抽样（第

1题）

边缘分布律为

X 0 1

Y

0 1

P i •

5 1

P J

5 1

6

6

6

6

(2) (X , Y ）的联合分布律如下

X 0

1

2

3

Y

、

3 3

8

8

3

1

1

8

8

X 的边缘分布律

Y 的边缘分布律

X 0 1 2 3

Y

1

3

P •丄

3 3 丄

P-j

6_ 2_

8

8 8

8

8

8

7.［五］ 设二维随机变量（ X , Y ) 的概率密度为

4.8y(2 x)

0 x

1,0 y x 求边缘概率密度.

f(x, y)

其它

解：f x (x)

f(x, y)dy

x

4.8y(2

x)dy

2.4x 2(2

x)

0 x

其它

f y (y) f(x, y)dx

1

4.8y(2 x)dx

y

2.4y(3 4y y 2)

边缘分布为

解: 1

0 y 其它

8.［六］ 设二维随机变量（X , Y ）的概率密度为