大学数学无穷小与无穷大资料

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高数上1.5无穷小与无穷大

证
f
1 (x)
是无穷小量，所以
f
(
1 x)g(
x)
f
1 (x)
.
1 g( x)
是无穷小量 . 从而 f ( x)g( x)当 x x0 是
为无穷大量 .
例9
求
lim n
1 n2
2 n2
n n2
.
解本题考虑无穷多个无穷小之和.
先变形再求极限
lim n
1 n2
2 n2
n n2
lim 1
n
2 n2
证
f
1 (x)
是无穷小量，所以
(1) 设 x x0 时，g( x)是有界量，f ( x)是无穷大量，证明：f ( x) g( x)是无穷大量 .
(2) 设 x x0 时，| g( x) | M (M 是一个正的常数)，
f ( x) 是无穷大量 . 证明：f ( x)g( x) 是无穷大量 .
值函数 f ( x)都满足不等式 | f ( x) | M , 则称函数
f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷大, 记作
lim f ( x) (或lim f (x) ).
x x0
x
特殊情形: 正无穷大, 负无穷大:
lim f ( x) ( lim f ( x) ).
x x0
x x0
例如, 构造如下数列变量：
x1
(n
)：
1,
1 2
，1 3
,
1 4
，，1 n
，
x1(n)是无穷小;
x2 (n)：
1,
2，1 3
,
1 ，，1 4n
，
x2(n)是无穷小;

大学一年级 1(4)无穷小与无穷大

反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x) 0. x x
1 M 0, 此时对 , 0, 使得当 M 1 0 x x0 时, 有 f ( x ) , 由于 f ( x ) 0, M 1 从而 M. f ( x) 1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
类似可证明 x 的情形.
0
11
无穷小与无穷大
例 x 2时,函数3 x 1可表为
3x 1 5 ( 3 x 6)
(其中 x 6是x 2时的无穷小 3 ,即
lim( 3 x 6) 0)
x2
故得 lim( 3 x 1) 5.
x2
12
无穷小与无穷大
x
注 1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; “无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达它的变化状态的. “无限制变小的量”
2) 零是可以作为无穷小的唯一的数.
4
无穷小与无穷大
二、无穷小的性质
性质1 x 是无穷小 x 是无穷小。性质2 （比较性质）若 x 是无穷小，且
四、无穷大的概念
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
1 如, 当x 0时, 函数 , cot x 是无穷大; x
当x 时,函数x 2 , x 3 是无穷大.
13
无穷小与无穷大
定义3 M 0(不论它多么大 0 (或X 0), ),
使得当0 | x x0 | (或 | x | X ),恒有
证设 lim f ( x )
x x0
1 此时对 M , 0, 使得当 0,

0 x x0 时,有 f ( x ) M ,即 1 . f ( x)

无穷小与无穷大

3．函数极限与无穷小的关系
在自变量的某一变化过程中，函数 f (x)以 A为极限的充要条件是 f (x) 可以表示为极限A与一个无穷小的和，即
lim f (x) A f (x) A α
二无穷大 1．无穷大的概念
定义2 在自变量的变化过程中，绝对值无限增大的变量X称为无穷大量，简称无穷大，记作 lim X 。
lim arcsin 4x lim 4x 2 x0 ln(1 2x) x0 2x
（3）因为当 x 0 时，1 cos x ～ 1 x2，ex2 1～ x2 ，所以 2
1 cos x
lim
x0
ex2 1
lim x0
1 x2 2 x2
1 2
高等数学
x 1
1 时， x 1 为无穷小。
（2）因为 lim( 2x 1) ，所以当 x 时，2x 1 为无穷小。
x
（3）因为 lim 2x ，所以当 x 时，2x 为无穷小。 x
（4）因为lim x
1 4
x
，所以当
x
时，
1 4
x
为无穷小。
例5 【银行存款】假设某人在银行存入10 000元，银行的年利率为，试分析存款时间越长，本利和如何变化？解
如果变量 X 取正值无限增大，则称变量 X为正无穷大，记作 lim X ；如果变量 X 取负值而绝对值无限增大，则称变量X为负无穷大，记作 lim X 。
例4 讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大：
（1）
y
1 x 1
（2）y 2x 1（3）y 2x
（4）y
1 4
x
解
（1）因为 lim 1 ，所以当 x1 x 1

四节无穷大与无穷小

例３求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
若未定式旳分子或分母为若干个因子旳乘积，则可对其中旳任意一种或几种无穷小因子作等价无穷小代换，而不会变化原式旳极限．
二、根据定义证明 : 当 x 0 时,函数 y 1 2x x
是无穷大,问 x 应满足什么条件 ,能使 y 104 .
三、证明函数 y 1 sin 1 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 , 但当 xx
x 0 时 ,这个函数不是无穷大 .
练习题答案
一、1、0；
3、；
二、0
x
1. 104 2
例1 证明 : 当x 0时,tan x sin x为x的三阶无穷小.
解
lim
x0
tan
x x3
sin
x
1 sin x 1 cos x
lim( x0 cos x x
x2
)
1 lim x0 cos x
sin x lim
x0 x
1 cos x
lim x0
x2
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
k
C
0, k
0,就说是
的k
阶的
无穷小.
例如，
x2 lim
0，
x0 3x
即 x 2 o(3x) ( x 0).
当 x 0 时，x2 是比 3x 高阶的无穷小;
lim sin x 1， x0 x
即 sin x ~ x ( x 0).
当 x 0 时，sin x 与 x 是等价无穷小．

同济大学《高等数学》(第四版)1-5节无穷小与无穷大

0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小关于无穷大的讨论都可归结为关于无穷小的讨论. 的讨论
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1、主要内容: 两个定义四个定理三个推论、主要内容两个定义;四个定理三个推论. 四个定理;三个推论 2、几点注意: 、几点注意
值f (x)都足等 f (x) > M, 满不式
x 称数则函 f (x)当x →x0(或 →∞)时无小为穷 ,
作记
x→x0
lim f (x) = ∞ (或 lim f (x) = ∞ ).
x→ ∞
特殊情形：正无穷大，负无穷大．特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
练习题答案
一、1、0； 3、 3、 ⇔ ； 2、 2、 lim f ( x ) = C ；
x→∞ x → ±∞
1 4、 4、 . f ( x)
1 二、 0 < x < 4 . 10 + 2
思考题
若 f ( x ) > 0 ，且 lim f ( x ) = A，
x → +∞
问：能否保证有 A > 0 的结论？试举例说明的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证. 不能保证

高等数学1.4无穷大与无穷小的关系

f ( x) A ( x)
x x 0 时的无穷小.
x x 0 时的无穷小. 0, 0, 当 0 x x0 时，
lim f ( x ) A ( x) , 即 f ( x) A , x x
0
因为 ( x ) 是当
二、无穷大定义: 绝对值无限增大的函数称为无穷大. 1 1 称为 x 0 时的无穷大如 x 0时，， x x 如 lim f ( x ) ; lim f ( x )
（2）设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
要证： M > 0， >0，当 0 <|x – x0| < ， 1 1 M. 恒有 f ( x ) , f ( x ) 0, f ( x) M 当x
1 x0 时，f ( x ) 为无穷大
M
x0
f (x)
M邻域， x0 的空心邻域， 0
该邻域内所有点相应的曲线上的点落在绿 –M 色区域内.
x0
x0
x
2 无穷大
x x0
lim f ( x )
y
>0， M > 0，当 0 <|x – x0| < ，恒有 | f (x) | >M.
( X 0) ( x X) 定义2 M 0, 0,当 0 x x0 时，有
x x0
x
f ( x) M
则称f ( x )是 x x 0 时的无穷大, 记为 ( x )
x x0
f ( x ) ). lim f ( x ) . ( lim x

大学数学_1_5 无穷小与无穷大无穷小的比较

在，则lim
' lim '
.
证

' '
lim lim( )

' '

lim
'

lim

' '
lim '

' lim '
.
例 4 求lim sin 5x . x0 tan 6x
解当 x 0时，sin 5x : 5x, tan 6x : 6x,所以
事实上， Q lim f (x) A lim( f (x) A) 0 ，记
f (x) A则有 f (x) A （其中lim 0 ）
反之，f (x) A ，lim 0 ，则 lim( f (x) A) 0，
故有lim f (x) A.
n
变量，由有界变量与无穷小之积仍为无穷小知
lim n sin n! lim n .sin n! 0. n n 1 x n 1
二、无穷大
定义 2 在自变量某一变化过程中，变量 X 的绝对值 X 无限增大，则称 X 为自变量在此变化过程中的无穷大量（简称无穷大）记作lim X ，其中“lim ” 是简记符号，类似于此前含义.
况加以解决.
两个无穷小的商也会出现各种不同结果，例如，当 x 0
时， x2 ,sin x,arctan x, 2x 等都是无穷小，但
lim
x0
x2 sin x

0,
lim
x0
arctan 2x
x

1 2
, lim x0

大学数学-1-5-无穷小与无穷大无穷小的比较精选全文完整版

lim
'
lim
' '
lim '
' lim '
.
例 4 求lim sin 5x . x0 tan 6x
解当 x 0时，sin 5x 5x, tan 6x 6x,所以
lim sin 5x lim 5x 5 . x0 tan 6x x0 6x 6
例 5 求lim (x 3) tan x . x0 arcsin 4x
第五节无穷小与无穷大无穷小的比较
一、无穷小
在讨论变量的极限时，经常遇到以变量零为极限的变量.
例如，数列(
1 2
)n
，当n
时，极限为
0；
函数 1 x2
，当n
时，极限也为
0；
函数（ x 2），当x 2时，极限为 0，等等.
这些在自变量某一变化过程中以零为极限的变量统称
为无穷小量（简称为无穷小）.
注意这里lim X 只是沿用了极限符号，并不意味着变量 x 的存在极限；无穷大()不是数，不可与绝对值很大的常数(如107 108等)混为一谈；无穷大是指绝对值可以任意变大的一个变量.
例 3 下列变量中，哪个是无穷大，哪个是无穷小，
为什么？
（1）1 (x 0) ；（2） tan x (x 0) ；（3） 1 (x 2) ；
比较两个无穷小在自变量同一变化过程中趋于零的“速
度”是很有意义的，并能为处理未定式极限问题带来一些具
体方法.
三、无穷小的比较
设 lim 0,lim 0, 且lim 也是在该变化过程中的
极限问题.
1. 如果lim 0, 就说是比高阶无穷小，记作
( );当 0时，也说是比低阶的无穷小.

大学文科数学2 第二章五、无穷大量与无穷小量

观察各极限
x x 2比 x 趋近于 0的速度要快得多 . lim = 0, x →0 x x lim 3 = ∞, x比 x 3 趋近于0的速度要慢得多 . x →0 x
2
y= x
y= x
y= x
2
3
极限值的不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 极限值的不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
对于 M > 0，当 n > N 时，都有 a n > M .
2)无穷小量无穷小量
若在某个变化过程中，函数f ( x )的绝对值 f ( x ) 变得越来越小，且想多小就会有多小. 2008 如，年北京奥运会倒计时.
定义：在某个变化过程中，以零为极限的
注：
变量为无穷小量 .简称无穷小 .
x → x0
（3）无穷大是一种特殊的无界变量但是无）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 界变量未必是无穷大
f ( x ) = x cos x ( x → ∞ )是无界变量, 但不是无穷大量.
如再 :
n 1 + − 1）（ 2 0， 0， ...} 数列 an = ，即{0，， 4， 6，是无 2 界变量，但不是无穷大量 .因无法找到 N ，使
∴
x →0 ， 2 是 3x 高的穷 . x 比阶无小
β 0 若lim ( ) = ∞，称是 α 阶无小则 β 比的穷 . α 0
β α 同无小若lim = C,则 β是的阶穷 . 称 α
观察各极限
β α 等无小若lim = 1,则 β是的价穷，称 α 记 α β. 作

《无穷小于无穷大》PPT课件

界变量.（2）当x 0时，f (x)不是无穷大.
证 (1) 任给M 0(无论M多么大），存在k N+ ,
使
xk
1
2k
(0,1).
于是
f
( xk
)
2k
2
,
2
当k充分大时, f (xn ) M . 无界，
(2)
取
xk
1
2k
(k 0,1, 2,3, )
对任意正数，当k充分大时, xk ,
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
函数与极限
14
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0.
M
x x0
0, 对
1 M
,
0,使得当0
x x0
时
恒有 f (x) 1 , 由于 f ( x) 0, 从而 1 M .
M
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷大. (x)
意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
函数与极限
15
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 2、几点注意:
（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. （3）无界变量未必是无穷大.
第四节无穷小与无穷大一、无穷小的概念
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),
总存在正数 ( 或正数 X ), 使得对于适合不等式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,对应的函数值

高等数学第一章第四节无穷小和无穷大

x
因此，讨论一般的极限问题，先讨论极限为 0 的问题。
一、无穷小 —— 极限存在的一种最特殊的情形
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小.
即：如 lim xn 0 ，
n x
{xn }是无穷小量。称当n 时，
如 lim f ( x) 0 ，称当x 时，f ( x)是无穷小量。如 lim f ( x) 0 ，称当x x0时，f ( x)是无穷小量。
0
证由无穷大与无穷小的关系，
1 只需证明是无穷小。 f ( x ) g( x ) 1 1 1 当x x0时, 为无穷小，极限为， f ( x) g( x ) A 1 1 1 从而也是无穷小. f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
故 f ( x ) g( x )是无穷大。
2
但 y( xk ) 2k sin 2k 0
注意图形：
不是无穷大．
1 1 1 1 y sin ; y x sin ; y sin x x x x
1 例3 证明 lim . x 1 x 1
证
M 0. 要使 1 M , x 1
1 y x 1
1 只要 x 1 , M
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义: 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论.
反例
1 2 1 例如,当x 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x 推论4 若 lim g( x )存在且不为零， ( x )是无穷小， ( x) 则 ( x ) 也是无穷小。

大学数学无穷小与无穷大

x0 tan x ~ x sin x ~ x
例如,
tan x x lim lim 1 x 0 sin x x 0 x
此定理表明,求两个无穷小之比的极限时,分子分母都可用等价无穷小来代替相应的部分,以简化极限计算过程。
注意：
替换定理只能用在两个无穷小量相乘除的情况,对于两个无穷小量相加减的情况不能用替换定理。 xx tan x sin x lim 3 lim 3 x 0 x 0 x x
例如
当x 1时, f ( x) x 1是无穷小， 1 1 则是无穷大 f ( x) x 1 当x 时, f ( x) x 1是无穷大， 1 1 则是无穷小 f ( x) x 1
例4 . 求
解: x = 1 时分母 = 0 , 分子≠0 , 但因 x 2 5 x 4 2
x 3x
x2
0.5 1.5
0.1 0.3
0
0 0 0
0.25 0.01 0.0001 0.000001
1.5.2 无穷小量阶的比较对无穷小量进行阶的比较是：为了考察两个无穷小量趋于0的速度。
设 f (x) 、g (x) 为x→x0 时的无穷小,如 f ( x) 果
1.5 无穷小与无穷大
一、无穷小二、无穷大三,无穷小与无穷大的关系
1 1 1 1 x , , , , 0 2 3 4 5
yx
2
1 1 1 1 y 2 , 2 , 2 , 2 , 2 3 4 5
0
1.5.1 无穷小 (infinitesimal)
定义1 . 如果
则称函数f(x)是x→x0时的无穷小量。

1 y x
x 1 , 1 , 1 , 1 , 0 2 3 4 5

高等数学-无穷小量与无穷大量

8
02 无穷大量
定义1.22 在自变量某一变化趋势下，变量的绝对值
无限增大，则称为自变量在此变化趋势下的无穷大量
（简称无穷大），记作 = ∞.
自变量的变化趋势可为 → ∞， → 0 （或 → 0 + ，
→ 0 − ）， → ∞（或 → +∞， → −∞）等.
9
02 无穷大量
性质1.3 有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小.
推论常数与无穷小的乘积是无穷小.
注 (1)无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.
(2) 两个无穷小的商的极限没有确定的结果，对于这
类问题，要针对具体情况具体分析.
6
01 无穷小量

1
.
例1 求
2
→0 + 1

解当 →
穷大量.
（2）在自变量的同一变化过程中，两个无穷大的和、差、
商，以及有界函数与无穷大的乘积，没有确定的结果.
12
01 无穷小量
本节内容
02 无穷大量
03 无穷大量与无穷小量的关系
04 无穷小的比较
05 等价无穷小的替换
13
03 无穷大量与无穷小量的关系
定理1.13 在自变量同一变化过程中：
1
1

→∞
= 0知，当 →
1
但是
→1
1
∞时，为无穷小；

= 1 ≠ 0 ，所以 →
1
1时，不是无穷小.

4
01 无穷小量
定理1.12 当 → 0 时，函数()以为极限的充分必
要条件是() = + ，其中 = ()是 → 0 的无穷

2-5无穷小与无穷大09[1]

x
若在定义中将 ①式改为 f ( x) M ( f ( x) M ),
则记作 lim f ( x) ( lim f ( x) ).
x x0
x x0
( x )
( x )
2. 几何意义
lim f ( x) ：
x x0
M 0, 0, 使得
当0 x x0 时,
总有 f ( x) M.
例4
求
lim
x0
tan
x sin x3
x
.
解
tan x ~ x,
1 cos x ~ x2 ,
2
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
2
∴ 原式
1 x3
lim
x0
2 x3
1. 2
问：下列推导是否正确？
∵∴
错解
当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
1 1 为无穷大 f (x) x 1
注据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为
无穷小来讨论.
4. 无穷大的比较
定义2.8 设 y , z 是自变量同一变化过程中的无穷大,
(1)若 lim y C 0, 则称 y 与 z 是同阶无穷大;
z
(2)若 lim y ,则称 y 是比 z 高阶的无穷大;
例如，说 “函数 x 1是无穷小”是不对的 ; 而应当说，函数 x 1 当 x 1 时为无穷小.
2. 无穷小与函数极限的关系
定理 2.7
lim f (x) A
x x0
f (x) A ,
其中为 x x0 时的无穷小 .
证 lim f ( x) A
x x0
0, 0, 当 0 x x0 时,有

无穷小量与无穷大量

f (x)
f (x) g(x)
lim
lim
lim
1 .
xa h( x) xa g( x) xa h( x)
前面讨论了无穷小量阶旳比较, 值得注意旳是, 并不是任何两个无穷小量都可作阶旳比较. 例如
sin x 与 x
1 x2
均为 x
时旳无穷小量,
却不能
按照前面讨论旳方式进行阶旳比较. 这是因为
例6
计算
lim
x 0
tan x sin x sin x3
.
解
lim
x 0
tan x sin x sin x3
lim
x 0
tan
x sin x3
x
sin
x(
1 cos
x
1
)
lim x 0
x3
lim
x 0
sin
x(1 cos x3 cos x
x)
lim
x 0
x
x2 2
x3
1. 2
xa f ( x)
(2) 能够类似地证明. 上述定理告诉我们，在求极限时，乘积中旳因子
可用等价无穷小量替代，这是一种很有用旳措施. 例5 计算 lim arctan x .
x 0 sin 2 x 解因为 arctan x ~ x , sin 2x ~ 2x ( x 0), 所以
lim arctan x lim x 1 . x 0 sin 2 x x 0 2 x 2
时的有界量.
例如: 1 x2 为 x 1 时的无穷小量 sin x(x )为有界量.
性质1 若函数 f ( x)与g( x)( x a) 都是无穷大，则函数 f ( x)g( x)( x a) 是无穷大.

高等数学教学课件第四节无穷小与无穷大

1
2k
(k0,1,2,3,)
2
y(xk)2k2,
当 k充分 ,y(x 大 k)M 时 . 无界，
(2 )取 x k 2 k 1 (k 0 ,1 ,2 ,3 , )
当 k充分 , x大 k ,时
但 y ( x k ) 2 k s2 i k n 0M . 不是无穷大．
10/15
例 1 证l明 im1 .
x x 0
x x 0
即对 0 , 0 ,当 0 x x 0时 ,有
f(x ) A (f(x ) A ) 0
故 lim f(x)A . x x0
6/15
意义：（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);
（2）给出了函 f(x数 )在x0 附近的近似表达
式f(x)A, 误差为 (x).
练习题答案
一、1、0；
3、；二、0 x 1 .
104 2
2、limf(x)C； x x
4、 1 . f(x)
18/15
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证：必要性设lim f(x)A, 令 (x )f(x )A , x x0 则l有 im (x)0, f(x ) A (x ). x x0 充分性设 f(x ) A (x ), 其中 (x)是x当 x0时的,无穷小
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则 li（ m f(x ) A ) lim (x ) 0
的函数值 f ( x)总满足不等式 f ( x) M ,
则称函数 f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷大,记作
lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
x
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特殊情形：正无穷大，负无穷大．