人教新课标版数学高二-人教数学必修五示范教案1.1.3解三角形的进一步讨论

解三角形的进一步讨论

本节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理；应指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然．但解题的时候，应有最佳选择．教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的问题进行归类，列表如下：

解斜三角形时可用的定理和

公式

适用类型 备注 余弦定理

a 2=

b 2+

c 2-2bcco s A

b 2=a 2+

c 2-2acco s B

c 2=b 2+a 2-2baco s C

（1）已知三边 （2）已知两边及其夹角 类型（1）（2）有解时只有一解 正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin === （3）已知两角和一边 （4）已知两边及其中一边的对角 类型（3）在有解时只有一解，类型（4）可有两解、一解或无解

三角形面积公式 ==A bc S sin 2

1 =B ac sin 2

1 C ab sin 2

1 （5）已知两边及其夹角

同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的主要途径有两条：（1）化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；（2）化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于灵活运用定理及公式．

教学重点 1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

2.三角形各种形状的判定方法；

3.三角形面积定理的应用．

教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向;

2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；

3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．

教具准备 投影仪、幻灯片 第一张:课题引入图片(记作1．1．3A)

正弦定理:R C

c B b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bcco s A ,b 2=c 2+a 2-2caco s B ,c 2=a 2+b 2-2abco s C ，

bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+= ,ab c b a C 2cos 2

22-+=.

第二张:例3、例4(记作1．1．3B )

[例3]已知△ABC , BD 为角B 的平分线,求证: AB ∶BC ＝AD ∶DC .

[例4]在△ABC 中,求证:a 2sin2B +b 2sin2A =2ab sin C .

第三张:例5(记作1．1．3C)

[例5]在△ABC 中,bco s A =aco s B ,试判断三角形的形状.

三维目标

一、知识与技能

1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

2.三角形各种形状的判定方法；

3.三角形面积定理的应用．

二、过程与方法

通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．

三、情感态度与价值观

通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．

教学过程

导入新课

师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片1.1.3A ).从幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用.

推进新课

思考：在△ABC 中，已知A =22c m ，B =25c m,A =133°，解三角形．（由学生阅读课本第9页解答过程）

从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．

【例1】在△ABC 中，已知A ,B ,A ，讨论三角形解的情况.

师 分析：先由a

A b

B sin sin =可进一步求出B ；则

C =180°-(A +B ),从而A C a c sin sin =. 一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．

1.当A 为钝角或直角时，必须a ＞b 才能有且只有一解；否则无解．

2.当A 为锐角时，

如果a ≥b ，那么只有一解；

如果a ＜b ，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若a ＞b sin A ，则有两解；

（2）若a =b sin A ，则只有一解；

（3）若a ＜b sin A ，则无解．

（以上解答过程详见课本第9到第10页）

师 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且b sin A ＜a ＜b 时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．

（1）A 为直角或钝角

（2）A为锐角

【例2】在△ABC中，已知a =7,b=5,c =3，判断△ABC的类型．

分析：由余弦定理可知

a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，

a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，

a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。

（注意：A是锐角/ △ABC是锐角三角形）

解：∵72＞52+32,即a2＞b2+c2，

∴△ABC是钝角三角形．

[教师精讲]

1．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题．

①已知两角和任一边，求其他两边和一角．

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．

2．正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中边角关系转化．例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2Rsin A、2Rsin B、2Rsin C来代替．

3.余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判断三角形的形状，它的主要功能是实现边角之间的转化．

（1）已知三边，求三个角．

（2）已知两边和夹角，求第三边和其他两角．

4．用方程的思想理解和运用余弦定理，当等式a2=b2+c2-2bcco s A中含有未知数时，这便成为方程，式中有四个量，知道三个，便可以解出另一个，运用此式可以求A或B或C 或co s A．