π
=
A 时，
B A sin sin 有最大值
2
1。 2．y=asinx+bcosx 型的函数
特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数
转化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：
y=sin(x+φ)，其中
tan b a
φ=
例1（2004年全国，理4）函数x x y cos 3sin +=在区间[0，
2
π
]上的最小值为___。 [解析] ： x x y cos 3sin +==2（x x cos 2
3
sin 21⋅+
） =2（3sin
cos 3
cos
sin π
π
⋅+⋅x x ）=2.3sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πx
因为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以3233ππππ+≤+≤x ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈+32,33ππππx 时，易知y 的最小值
为12123cos 232sin 2min =⨯==⎪⎭
⎫
⎝⎛+=πππy
[答案] 所以应填“1”。
例2已知函数f (x )=2cos x sin(x +
3
π
)－3sin 2x +sin x cos x
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值；
(3)若当x ∈［12
π，12
7π
］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值.
解：(1)f (x )=2cos x sin(x +
3
π
)－3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3
π
)－3sin 2x +sin x cos x
=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3
π
)
∴f (x )的最小正周期T =π
(2)当2x +3π=2k π－2
π
，即x =k π－125π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.
(3)令2sin(2x +3
π
)=1，又x ∈［27,2ππ］,
∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则
x =4π，故f -－1(1)= 4
π. 3．y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函数。
此类函数可先降次，再整理转化()sin y A x B ωφ=++形式解决，
例．求y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最小值，并求出y 取最小值时的x 的集合。
2sin cos 3x x ++⎡⎤⎣⎦2
2
解析：
y=sinx cosx
(
)2sin cos 21sin 2(1cos 2)sin 2cos 22
)2
4
3
sin(2)1,22,4428
32,|,8x x x x x x x x x k x k k Z y x x k k Z π
ππππππππ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
=+++=++=++∴+=-+=-+=-∈⎧⎫
==-∈⎨⎬
⎩⎭
222
min ＝sinx+cosx cosx 当即时
4．y=asin 2x+bcosx+c 型的函数
特点是含有sinx, cosx ，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin 2x+cos 2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成形如2(11)y At Bt c t =++-≤≤的二次函数来求解。
例是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a ·cos x +85
a －23在闭区间［0，2
π
］上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由.
22
2max 2max 5351
.:1cos cos (cos ).
822482
0,0cos 1.
2
531,2,cos 1,1282
202(),135101,02,cos ,1
224823
40().
20,0,cos 0,2a a y x a x a x a x x a a x y a a a a a a a x y a a a a a x y π
=-++-=--++-≤≤≤≤>>==+-=⇒=<≤≤≤≤==+-=⇒==-<<<=解当时若
时即则当时舍去若即则当时或舍去若即则当时max 5112
1()825
a a =-=⇒=>舍去
综合上述知，存在2
3=a 符合题设
5．y=
sin cos a x c
b x d
++型的函数
特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子，分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有多种，如利用万能公式换元后用判别式处理。 例．求函数y=
2sin 2cos x
x
--的最大值和最小值。
解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y, 即sin(x+φ
，
∵ |sin(x+φ)|≤1,
1，解出y 的范围即可。
解法2：
2sin 2cos x
x
--表示的是过点(2, 2)与点(cosx, sinx)的斜率，而点(cosx, sinx)是单位圆
上的点，观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值。
解法3：应用万能公式设t=tg(2
x
) 则y=22
22231t t t -++，即(2-3y)t 2-2t+2-y=0
